2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第8题函数视角解锁递推密码(解透一题)(学生版+解析)

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【2025北京房山一模】已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（ ）
A．若，则数列是等比数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是常数列，则
D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2
以数列满足的递推关系（λ为常数）为背景，通过对λ的不同取值情况以及数列不同性质（等比、递增、常数、周期）的设定，给出四个选项，要求考生逐一分析判断，属于对数列知识的综合考查.
【问题分析】
教材通过递推公式定义数列的生成规律（如），强调递推式与通项公式的联系，并引导将复杂递推关系转化为等差或等比数列.
高考对递推关系式的考察方式， 通过递推式给出前几项差或积的规律，考查学生归纳能力; 以递推式为载体，结合函数性质或不等式考查数列的单调性、极限等.
数列满足的递推关系，则对于生成函数为，当当时，不动点为；当时，存在吸引不动点.结合函数图象可以进行反例构造和反证处理.
【详细解析】
对于A中，当时，有.取对数得，即.这表明与之间存在线性关系，但并不直接形成等比数列的形式.等比数列的定义是后一项与前一项的比值为常数，即要求，若，则.因此A错误
于是构造反例，若时，数列是常数列0，不是等比数列，所以A错误.
整理深化: 当且时，两边取对数，可得，即，
此时数列表示首项为，公比为的等比数列；
对于 B ，数列是递增数列成立，
又， 成立，
数列是递增数列恒成立
正负不确定，所以不能得出数列.
构造反例，例如，取，，则，即当较大时，会呈现递减趋势，并非递增数列，所以选项B错误.
注意：对，可以令取特殊值，仿照选项A构造常数列取反例.
对于选项C， 若数列是常数列，则.
此时方程有正根. 解得，选项C正确.
对于D中，假设数列是周期数列，且最小正周期为，即且，
因为，可得，所以，
则，即，
又因为数列的各项均为正数，即，
所以，即，这与矛盾，
所以数列的最小正周期不可能是，所以D错误.
故选：C.
方法一 函数角度处理递推关系式
人教A版教材通过结构化知识体系和数学思想渗透，从而建立递推关系的系统性认知；而高考则从基础应用到高阶思维多层次考查递推式的转化能力与创新解法.解题注重递推模型的归纳（如构造法、不动点法）
一阶递推关系式一般写作： ，其中 是一个已知函数，表示当前项如何决定下一期的值 .与函数研究方法的有机结合工具是蛛网图，作图方法如下:
第1步，由数列初始值作出直线，交生成函数于点.由于，所以点即为点.
第2步，过点作平行于x轴的直线交于点.这样我们便找到了的位置.
第3步，把当成，重复第1-2步，我们便能得到数列的每一项.
具体来说，就是根据递推关系，每一次迭代都将作为自变量代入进行计算，从而得到下一次的迭代结果.通过构造函数与分析，可以更直观地观察和掌握数列的变化趋势及其稳定性
我们可以归纳:
对于型的数列，若该数列有不动点（即方程的根），记某个不动点为.
（1） 若，则该不动点为“吸引不动点”，其中不恒等于0）;
当时，若则递增；，则递减.
当时，与单调性相反.
（2）若，则该不动点为“排斥不动点”;
（3）若，则该不动点对一侧吸引，对另一侧排斥.结论建议结合作图分析.
方法二 两反法解决命题真假
对全称命题（如“所有A满足B”），只需一个反例即可推翻; 常用于数学、逻辑学中难以直接构造反例的命题（如几何、数论问题）
【数列递推关系模型不变，改变命题形式】
1．已知数列的各项均为正数，且满足(为常数，．给出下列四个结论：
①对给定的数列，设为其前n项和，则有最小值；
②若数列是递增数列，则；
③若数列是周期数列，则最小正周期可能为2；
④若数列是常数列，则
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【设计数列递推关系不动点为吸引不动点，考察数列变换趋势】
2．设，，，则数列是（ ）
A．单调递增的
B．既不单调递增也不单调递减的
C．单调递减的
D．以上说法全错
【隐藏式设计数列递推关系，考察数列构造转化方法】
3．已知数列的前项和，那么
A．此数列一定是等差数列B．此数列一定是等比数列
C．此数列不是等差数列，就是等比数列D．以上说法都不正确
【考察结论应用】
4．已知数列满足，且对任意，有，则的取值范围是 .
【改变数列递推关系模型】
5．首项为正数的数列满足，给出下列四个结论：
①存在和，使得是等比数列；
②若且是奇数，则为奇数；
③若且，则存在使得；
④若且，则是递减数列.
其中所有正确结论的序号是 .
【改变题型为解答题，要求会推理论证】
6．首项为正数的数列{}满足
(1)证明：若 为奇数，则对一切 ， 都是奇数；
(2)若对一切，都有，求的取值范围.