2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第8题多个知识交汇问题(高三备考)(学生版+解析)

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【浙江省9＋1高中联盟2024-2025学年高三上学期11月期中考试】．已知曲线C的方程为：，，，，过M的直线交曲线C于、两点（A在B的上方），已知，，下列命题正确的是（ ）
A．
B．的最小值是2
C．周长的最大值是
D．若，将沿翻折，使面面，则折后
对于A项由正弦定理结合椭圆定义可判定；对于B，结合A的结论与三角恒等变换、基本不等式可判定；对于C，利用两点距离公式及基本不等式可判定；对于D，联立直线与曲线方程计算AO，BO长，再根据条件判定线线垂直计算空间距离即可.．

由已知，在中，已知，，
由正弦定理得，
又，即，
所以，故A正确；
由
，
得：，
在中，，，则，，
所以，，
故，
当且仅当，时取到最小值是2，故B正确；
周长，
设，，
又，，则
，
当且仅当，即时，等号成立，
故周长的最大值是，故C正确；
设AB的方程是：与联立得：，
解得：（舍去）或，则点A为椭圆上顶点，，
又在圆上，所以，
又沿翻折后，平面平面，平面平面，，
则平面，又平面，则，
所以，故D错误．
1．数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.给出下列三个结论：
①曲线关于直线对称；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过1；
③存在一个以原点为中心､边长为的正方形，使曲线在此正方形区域内（含边界）.
其中，正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
（2024·辽宁鞍山·二模）
2．在平面直角坐标系中，定义为点到点的“折线距离”．点是坐标原点，点在直线上，点在圆上，点在抛物线上．下列结论中正确的结论为（ ）
A．的最小值为2B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为
设，构造椭圆，结合椭圆的定义计算可判定C；由椭圆焦半径及三余弦公式、余弦定理解三角形即可判定D.

A、B选项同解法一；
C选项设，构造椭圆，，B点可以看成是椭圆与圆的交点，
当b最大时最大，所以当B在时最大，此时，所以，
故周长的最大值是，故C正确；
D选项由椭圆的焦半径公式得，
又．
根据三余弦公式有，所以；
所以由余弦定理有，故D错．
3．2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中（O为坐标原点），把到定点和距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，记为Γ，已知为双纽线Γ上任意一点，有下列命题：
①双纽线Γ的方程为；
②面积最大值为；
③；
④的最大值为．
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①②B．①②③
C．②③④D．①②③④
4．已知F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线C上的两点，的中点M在C的准线上的投影为N，则（ ）
A．曲线C的准线方程为B．若，则的面积为
C．若，则D．若，则
由平行四边形的对角线定理及基本不等式可判定C；联立直线与曲线方程求出AB两点坐标，利用距离公式计算判定D.

A，B选项同解法一；
C选项由平行四边形的对角线定理有
，所以．
由基本不等式，
有，当且仅当等号成立．
故周长的最大值是，故C正确；
D选项由题知直线AB的方程为，联立方程求得
，，
由两点间距离公式得，故D错．
5．如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.和分别是“果圆”与x轴，y轴的交点.给出下列三个结论：
①；
②若，则；
③若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P，使得，则.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）
6．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，其中在第一象限，则下列正确的是（ ）
A．的准线为
B．的最小值为
C．以为直径的圆与轴相切
D．若且，则
7．已知曲线C：，直线l经过坐标原点O，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C是半径为1的圆
B．点O一定不在曲线C上
C．对任意的，必存在直线l与曲线C相切
D．若直线l与曲线C交于A，B两点，则的最小值为2
8．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新lg.设计师的灵感来源于曲线C：.其中星形线E：常用于超轻材料的设计.则下列关于星形线说法正确的是（ ）
A．E关于y轴对称
B．E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过
C．E上的点到原点距离的最小值为
D．曲线E所围成图形的面积小于2
9．已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线l经过焦点F，且，则
B．若，则直线l的倾斜角为
C．若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为
D．若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切
（2024·福建龙岩·三模）
10．已知抛物线与圆交于A，B两点，且.过焦点的直线与抛物线交于M，N两点，点是抛物线上异于顶点的任意一点，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，则（ ）
A．若，则直线的斜率为B．的最小值为18
C．为钝角D．点与点的横坐标相同时，最小
11．定义：点为曲线外的一点，为上的两个动点，则取最大值时，叫点对曲线的张角.已知点为抛物线上的动点，设对圆的张角为，则的最小值为 .
12．如图，把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，，，，分别是“曲圆”与轴，轴的交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于，两点，则的周长的取值范围是 .
（24-25高三上·上海·开学考试）
13．如图，半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，.“果圆”与x轴的交点分别为、，若在“果圆”y轴右侧部分上存在点P使得，则的取值范围为 .

（24-25高二上·北京·阶段练习）
14．造型在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线.已知椭圆的左､右焦点分别为，焦距为4，若动点满足，则动点的轨迹就是一个双纽线.下列说法正确的是 .
①轨迹仅经过一个整点（即横､纵坐标都是整数的点）；
②若点位于椭圆上，且，则的离心率为；
③点与原点之间的距离不超过；
④若直线与曲线有且仅有一个公共点，则或.
（2024·浙江舟山·模拟预测）
15．阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点，并按这样的规律继续下去．
(1)求．
(2)求证：不存在正整数，使得三角形的面积为2022;
(3)求证：对于任意正整数，三角形为锐角三角形．