2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第16题爪形三角形解题的三大”魔法武器“(解透一题)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第16题爪形三角形解题的三大”魔法武器“(解透一题)(学生版+解析)，共23页。

【2025届四川省成都三诊T8】
已知在△ABC中，，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
本题围绕△ABC展开，涉及三角形中的角度（π且AD为其角平分线）和边长关系（）．综合运用三角形内角平分线定理、正弦定理以及三角函数的相关知识来求解tan∠ABC的值．通过本题可以考查学生的数学抽象素养，将三角形中的几何关系抽象为数学等式；还考查了数学建模素养，把实际的三角形问题建立成可求解的数学模型，从而培养学生解决实际问题的能力．
“多思少算” 是高中数学解题的一种非常重要的策略，选择题关注选项的提示作用．
方法一：动态观察+特殊值试错法
解析：动态分析，过定角A和边BA，令B变化，如图，
当AD垂直BC时，，显然需要增大，即，排除A;
观察选项，选项C取值对应角B为特殊角，在此情况下求CD的大小．
如图， 在三角形ABD中， ，在三角形ADC中， ，
所以，故答案选C．
方法点评：动态分析，特殊值验证，适用于选择，如果是解答题呢？
本题是与三角形角平分线有关的解三角形问题，其本质上是求解组合三角形的问题，在中，如果视DC为定值，那么一对边角确定，三角形的外接圆大小确定．问题要求，本质是求角，令，则合三角形的角都可以表示出，只需要借助建立的方程即可．
方法二：三角方程"魔法公式"
令，鉴于为的角平分线，且，
故．
为了简化运算，不妨取长度为单位1，即
在里，依据正弦定理有)，即．
所以．
在中，根据正弦定理，其中，
所以，则．
或（舍去，θ是三角形内角）
所以，即
方法点评：借助建立的方程，得到的二次方程．本题求，题目在给出爪型图（三角形组合图象）情景下求，从高中知识板块可以联系到解析几何，直线的倾斜角与斜率则可沟通，于是建立适当坐标系，转化为解析几何问题．
方法三：坐标系变身术
以B为坐标原点，以BA 方向为轴建立直角坐标系，
不妨设 ，则
则（其中，
联立解得，
同理，
联立解得，
又，即整理得：
即，
注意解得 ，所以
方法点评：作为解答题的答题，借助直线倾斜角直接构建目标元，优化了运算．
选择题优先用"动态+特殊值"：快速排除选项，减少计算量，就像用排除法做逻辑题．
解答题看条件选武器：
如果题目强调三角函数关系（如正弦、余弦），用三角方程法；
如果图形有明显的直线或坐标关系，用坐标系变身术．
画图是解题神器：无论用哪种方法，先画草图标出关键信息，让大脑和眼睛一起工作！
【训练用动态观察法----图形是否有“动态元素”（旋转、滑动）】
1．在正方形中，点是边的中点，点是边上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【类题训练，改线段关系为面积关系】
2．在中，，的角平分线交于点D，的面积是面积的3倍，则（ ）
A．B．C．D．
【类题训练，爪形三角形的解答】
3．中，为线段上的点，则（ ）
A．B．若D为中点，则线段长度为13
C．若为的角平分线，则D．若，则
【类题训练，加强角平分线性质推导思想应用】
4．在△ABC中，点D在边BC上，AD为∠A的角平分线，，.
(1)求的值；
(2)求边AB的长.
【拓展训练，加强角平分线性质推导思想应用】
5．的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值．