2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第3题排数问题(一题多变)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第3题排数问题(一题多变)(学生版+解析)，共26页。学案主要包含了思路分析，题后反思，变化角度，举一反三，变换角度等内容，欢迎下载使用。

【2025年6月成都七中2026届零诊T7】用数字组成一个五位数，每个数字至少出现一次，则能被3整除的五位数有（ ）
A.8个 B.16个 C.24个 D.32个
【思路分析】
根据题意，将满足题意的五位数分为两类，先确定数字，再根据特殊位置法进行排序计算，由分类计数原理即可得解.
【详解】
根据题意，满足条件的五位数有以下两类：
第一类，这五个数字为，首位不能是0，所以有个；
第二类，这五个数字为，首位不能是0，所以有个.
所以，满足题意的五位数有个.
故选：D.
【题后反思】
此类问题是常考的排列问题，难度不大，一是要清楚能被3整除的数字的特征；二是需要使用重复数字排列且含有特殊数字“0”，那么特殊数字“0”必然不能出现在首位，所以特殊位置要优先考虑.故从以下几方面进行一题多变的设计.
【变化角度】将典例中重复数字排列问题变为无重复数列排列问题，仍考查能被某数整除问题，如下：
例：用数字、、、、、、组成没有重复数字的且被整除的三位数的个数为 .
【思路分析】
将个数字分为三类，被整除的有、、，被除余数为的有：、，被除余数为的有：、，先确定所选的三个数字，然后确定首位不能排，结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】
数字、、、、、、中被整除的有、、，
被除余数为的有：、，被除余数为的有：、，
若所选的个数均能被整除，即所选的三个数为、、，则三位数的首位不能放，
此时，首位数有两种选择，此时，共有个合乎条件的三位数；
若在、中选一个数，在、中选一个数，则需在、、中选一个数，
若在、、中选择，则三位数的首位不能排，首位有两种选择，
此时，满足条件的三位数个数为；
若在、、中选择为或，则首位任排，
此时，满足条件的三位数的个数为.
综上所述，满足条件的三位数的个数为.
故答案为：.
【举一反三】
1．从1，2，3，4，5中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所有组成的数中能被3整除的数有（ ）
A．24个B．30个C．32个D．48个
【答案】A
2．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中能被5整除的个数为（ ）
A．6B．10C．12D．18
【答案】C
【变换角度】仍以含有特殊数字“0”为背景，改变所求问题，变为能组成多少个偶数问题，如下：
例：由0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的4位数中偶数的个数为（ ）
A.144 B.168 C.156 D.192
【思路分析】
分个位上的数字为0和个位上的数字为2或4两种情况求解，然后利用分类加法原理可求得结果.
【详解】
若个位上的数字为0，可以组成个无重复数字的4位数的偶数，
若个位上的数字为2或4，可以组成个无重复数字的4位数的偶数，
故可以组成60＋96＝156个符合条件的数.
故选：C.
【举一反三】
3．用，，，，，，这七个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．105个B．42个C．146个D．52个
【答案】A
4．用0、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 个．（用数字作答）
【答案】30
【变换角度】改变典例中的题设条件，将含有特殊数字“0”的排列问题变为不含特殊数字“0”的排列问题，如下：
例：只用2，3，4，5四个数字组成一个五位数，规定这四个数字必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数有（ ）
A.96 B.144 C.240 D.288
【思路分析】
由题意知必有一个重复数字，故先选一个作为重复数字，然后由分步乘法计数原理分三步求解即可.
【详解】
从2，3，4，5四个数字选个作为重复数字，共有种选法，
将不重复的个数字全排列，有种排法，
不重复的个数字排好后形成个空位，从中选个空位插入重复数字，
共有种选法，
根据分步乘法计数原理，可得，
所以这样的五位数有个.
故选：.
【举一反三】
5．从1，2，4，5，7，8这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（ ）．
A．24B．36C．60D．120
【答案】C
6．用，，，…，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为 ．
【答案】224
7．从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（ ）
A．12个B．10个C．8个D．7个
【答案】B
8．用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这些三位数中是3的倍数的有（ ）
A．3个B．6个C．9个D．12个
【答案】D
9．用数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A．52B．58C．56D．50
【答案】A
10．从数字中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（ ）
A．52个B．64个C．66个D．70个
【答案】D
11．由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，则（ ）
A．其中能被5整除的数有240个B．其中偶数有312个
C．其中2，4相邻的数有192个D．其中1，3不相邻的数有372个
【答案】BC
12．用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 .（结果用数字作答）
【答案】72
13．用1，2，3，4，5这5个数字可以组成 个无重复数字的三位数，这些三位数中能被3整除的共有 个（用数字作答）．
【答案】 60 24
14．用0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中能被3整除的偶数有 个.（用数字作答）.
【答案】52