2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第2题抽象函数(高三备考)(学生版+解析)

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已知定义在上的函数满足：对，且，函数为偶函数，则（ ）
A． B． C．为偶函数 D．
利用赋值法结合抽象函数的对称性与周期性计算一一判定选项即可.

令，所以，于是，A正确；
令，所以，于是，
又不恒为0，所以，于是为奇函数，C错误；
因为函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，
于是其周期为4，所以，因此B答案正确；
因为，所以，于是，
所以，D正确，故选ABD．
（2024·四川泸州·一模）
1．已知函数的定义域为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】应用赋值法可求得，和，变换可得，与联立即可求得，应用可得，进而可得.
【详解】因为所以所以，
取，由可知，，故A错误；
取，由知，，
所以，故B正确；
令，由知，，即，
又因为，所以，故C错误；
由得，，
所以，
所以，所以，
又，所以，
所以，故D正确.
故选：BD
利用正弦的和、差公式构造函数模型满足条件，一一判定选项.
不妨取
又为偶，故可设，且周期
对于A，，对于B，对称中心为
有，故
对于C，易知为奇函数
对于D，由上可知，，
故，
有
故答案为ABD
（24-25高一上·山东日照·期中）
2．设，定义在R上的函数满足，且，，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．
【答案】ABD
【分析】对于A，令，，又，即可求得，即可判断；
对于B，令，再由，，即可得，即可判断；
对于C，令，可得，从而为奇函数，即可判断；
对于D，可推得，即的周期为，则，即可判断．
【详解】对于A，令，，得，
因为，所以，故A正确；
对于B，令，代入可得，
因为，，所以，
从而，故B正确；
对于C，令，代入得，
又因为对，恒成立且不恒为0，
所以，从而得为奇函数，
又不恒等于0，故C错误；
对于D，因为，所以，
所以为的周期，
所以，故D正确．
故选：ABD．
（24-25高一上·吉林·期中）
3．已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．
C．
D．若，则
【答案】ABD
【分析】对A：由是奇函数可得，即可得解；对B：由，借助赋值法计算即可得解；对C：借助所得函数的周期性，结合周期性与赋值法计算即可得；对D：由，计算即可得.
【详解】对A：由是奇函数，则，又定义域为，
故的图象关于点对称，故A正确；
对B：由，则，
故，故周期为，故，故B正确；
对C：，令，有，
故，故C错误；
对D：由，
则
，故D正确.
故选：ABD.
（2024高三·全国·专题练习）
4．已知函数的定义域为，，，则（ ）
A．
B．的图象关于点对称
C．的图象关于点对称
D．
【答案】ABD
【分析】令，，可得，即可判断A；令，即可根据奇函数的定义判断B；由，可得，可判断的图象关于点对称，即可判断C；结合奇函数的性质，即可判断D．
【详解】对于A，令，，则，即，解得，故A正确；
对于B，令，则，得，
由A可知，则，即，故是奇函数，B正确；
对于C，对任意的都有，可得，
因此的图象关于点对称，故C错误；
对于D，由于且是奇函数，得，
即，因此，，，…，，故D正确．
故选：ABD．
（23-24高三上·江西九江·期末）
5．已知函数f：R→R满足对任意x，y，z都有，则（ ）
A．
B．
C．函数为奇函数
D．函数为偶函数
【答案】AD
【分析】
用赋值法判断AB；求出函数的解析式，即可判断C；根据C中函数的解析式，即可判断D．
【详解】
对于A，令，则有，即，所以，故A正确；
对于B，令，则有，即，所以，故B错误；
对于C，令，则有，即，
令则有所以对任意，则有；
经检验，对任意实数x，y，z，有，满足题意，所以，此时函数为偶函数，故C错误；
对于D，由C可知有，所以有为偶函数，故D正确．
故选：AD．
（2024·四川德阳·一模）
6．定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（ ）
A．B．为奇函数
C．6是的一个周期D．
【答案】ACD
【分析】利用赋值法求解逐项判断即可.
【详解】该函数满足且，
对于A，令，可得，解得，故A正确；
对于B，令，，所以，所以为偶函数，故B错误；
对于C，令，，
可得，令，可得，
将两式相加得：，所以，
所以，所以，
因此，6是的一个周期，故C正确；
对于D，令，，，所以，
所以，
因为，，
因为，令，，所以，
令，，所以，
令，，所以，
令，，所以，
由于6是的一个周期，
所以，
所以，故D正确；
故选：ACD
（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）
7．定义域为的函数对任意的非零实数，都满足.当时，.下列结论正确的是（ ）
A．B．满足
C．D．在上单调递增
【答案】BC
【分析】A根据充分必要性说明；B利用题设条件证，即可判断；C令、即可判断；D先说明奇偶性，再利用单调性定义及题设条件证明的单调性，即说明上单调性.
【详解】由，易知定义域为，满足且时，必要性成立，
但满足题设要求的函数不一定是，A错；
由，则，B对；
令，则，
令，则，C对，
令，则，定义域为，即为偶函数，
令，则，
由，则，即在上递增，故上递减，D错；
故选：BC
（24-25高一上·湖南·阶段练习）
8．已知定义域为的函数满足：，且当时，，则（ ）
A．
B．的图象关于轴对称
C．在上单调递减
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【分析】A选项，赋值法得到，进而赋值得到；B选项，令得，，B正确；C选项，令，，由定义法得到在上单调递增，C错误；D选项，变形得到，在BC基础上，得到不等式，求出解集.
【详解】A选项，中，令得，
解得，
令得，解得，A正确；
B选项，中，令得，
，故的图象关于轴对称，B正确；
C选项，中，令，其中，
则，
因为当时，，且，所以，
所以，，
所以在上单调递增，C错误；
D选项，因为，所以，
故，
即，
由BC选项知，在上单调递增，又为偶函数，
，且，
两边平方得，
解得，且，
所以不等式的解集为，D正确.
故选：ABD
【点睛】抽象函数的单调性或奇偶性研究，通常情况下要利用赋值法，得到特殊点的函数值，再进行合理赋值，结合函数的单调性的定义，奇偶性的定义进行求解
（24-25高三上·江西·阶段练习）
9．已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】由得到，再结合，确定，进而通过的对称性、周期性逐项判断即可.
【详解】①，
②，
由②可得：③，
①③联立可得：④，
所以的图象关于点对称，A错；
由④，又为偶函数，所以，
所以，两式相减可得：，
又，，结合
所以，B对，
，由，可知：，
所以，所以，C错；
由，可得，结合，
得：，
所以，
又，所以
即，，，
所以，
所以，D正确.
故选：BD
（24-25高三上·四川自贡·期中）
10．已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A．B．
C．的图象关于点对称D．若，则
【答案】ACD
【分析】利用已知抽象函数关系式和奇偶性定义可推导得到的周期性和对称性，由此可知ABC的正误；根据周期性可求得的值，由此可计算得到D正确.
【详解】对于A，，
，，
，即是周期的周期函数，
，A正确；
对于C，为奇函数，，
即，关于点中心对称，C正确；
对于B，，令，则，
，又，，B错误；
对于D，且关于点中心对称，，
，，
又，，图象关于轴对称，
又关于点中心对称，的图象关于轴对称；
当时，，，，，
，
，
，D正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：关于函数对称性结论如下：
（1）若，则关于直线成轴对称；
（2）若，则关于成中心对称.
（2024高三·全国·专题练习）
11．已知函数不为常数函数，且对任意，都有，则（ ）
A．B．恒成立
C．为偶函数D．
【答案】ABD
【分析】根据赋值法可求得选项A，令，用换元法得到函数，可判断B；根据偶函数的定义可判断C，结合选项B中的结论可判断D.
【详解】对于A，令，得．
由题意，得不恒为零，所以，故A正确；
对于B，令，得，再令，得，
于是得到，，
令，得，故，所以，
从而恒成立，故B正确；
对于C，若为偶函数，则，即，
令，得，
又，所以为常数函数，与已知条件矛盾，故C错误；
对于D，由，，
得，当且仅当时，等号成立，
由函数不为常数函数，，满足，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：
本题考查抽象函数的性质，关键掌握函数奇偶性的判定及性质：
（1）赋值法，赋值法在抽象函数中是常用的一种方法，易理解，好计算；
（2）换元法，根据换元法将抽象函数转化为具体函数，更易分析解析式；
（3）运用函数奇偶性的性质可得到对称位置的函数值；
（3）结合基本不等式可求出最值，注意“一正二定三相等”．
（2024·湖北·一模）
12．已知定义在上的函数分别满足：为偶函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数为周期函数
B．
C．的图像关于点中心对称
D．
【答案】ACD
【分析】根据表达式化简计算可得，即A正确，因为偶函数在原点处的取值不确定，可判断B错误，由对称中心定义可判断C正确，利用累加法计算可得D正确.
【详解】对于A，由可得，即的周期为2，A正确.
对于B，因为为偶函数，令可得无法确定，B错误，
对于C，因为为偶函数，所以，
可得，
因此关于点中心对称，即C正确；
对于D，，，
累加可得，所以，即D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：在求解对称中心问题时，要充分利用定义将表达式化简得出相应结论即可.