2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第3依“法”解决数列新定义(高三备考)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第3依“法”解决数列新定义(高三备考)(学生版+解析)，共26页。学案主要包含了典型例题，思路导引，详细解析，举一反三等内容，欢迎下载使用。

【山东青岛2024-2025学年高三年级调研检测T11】
（多选题）设数列和的项数均为，称为数列和的距离．记满足的所有数列构成的集合为．已知数列和为中的两个元素，项数均为，则下列正确的有（ ）
A．数列和数列的距离为4
B．若，则
C．若，则
D．若，，数列和的距离小于2017，则的最大值为3456
本题数列题将“新”溶于命题之中.通过定义一个两数列的距离这一新概念来创设问题情境考察数列知识.数列是高中数学的一个重要知识，也是高等数学如常微分方程组合数学的基础，既是特殊的函数，也能构成各种各样的递推关系.属于高考数学中必考查的内容之一，对于新定义问题，要求我们在阅读理解题意的基础上，善于观察问题的结构特征和本质，依据题中提供的信息，联系所学过的数学知识和方法，将新定义的数列题迁移到等差、等比或递推数列的知识上来，从而解决问题.
本题给定一个新信息，数列和的距离，要求我们通过认真阅读理解、观察分析，并与已有认知结构中的知识进行同化，探索获取有用的信息，从而创造性地解决问题.对于选项A，直接套用定义约定验证即可;对于B选项，题目给出 一分式递推关系， 根据初始条件和递推公式，计算出前几项， 再通过这几个特殊项归纳出通项公式，.在选择题中合理地进行猜想，往往能有效地简化运算.值得注意，需要关注选项对知识考察的暗示. 从选项提示来看，需判B选项，要关注的前n项的积，证明或反驳时， 的取值与初始项无关.对于选项C，由于递推关系没有给出初始项， 说明初始项可以任意，故可以思考反例排出；对于选项D 结合选项B归纳的结论套用约定解决.

对于A，数列1，3，5，7和数列的距离为，（提醒：套用定义约定）A正确；
对于B，由得，，，，，
因此数列中的项周期性重复，且间隔4项重复一次，即满足，，，，，
，可以判断B正确；
对于C，举反例，取，则，当时，，， 不成立，故C错误；
对于D，由B分析知，若，，则，，，，
，，，，，，
，
故满足数列和的距离小于2017的的最大值为3456，D正确．
所以，答案为ABD.
本题是一道数列相关的新定义试题，解题关键是掌握新定义的本质，借助新定义的数列的特征，向已掌握的数列知识转化.解题的突破点是正确理解与运用新的概念、新的运算或新的关系的意义，理解新符号，转化为熟悉的内容，利用相关知识进行.值得注意的是，对于，我们可以深入研究”对于连续函数 ，若 ，则称 为 的不动点. 分式函数型 的通项公式的求解，构造函数 ，并令 ， 求出 的不动点.若 有 2 个不动点，则用 两端分别减去两个不动点，得到两个式子，两式相除构造等比数列来求通项公式; 若 只有 1 个不动点，则用 两端减去该不动点，再取倒数，构造等差数列求通项; 若 没有不动点，则在考题中， 往往是周期较小的周期数列，直接根据首项和递推公式 求出前几项找规律即可. 本题就对这一性质进行编制考察.
新定义型试题主要目的是考查考生在短时间内以最快速度理解、接受并运用新知识解决数学问题能力，给出等和数列的概念，类题如下：
【典型例题】定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．若数列是等和数列，且，公和为3，则这个数列的前n项和的计算公式为 ．
【思路导引】根据等和数列定义可写出通项公式，分为奇数偶数求和即可.
【详细解析】
由，公和为3知，
当n为偶数时，，
当，n为奇数时，为偶数，，
代入检验知时也成立，∴.
【举一反三】
1．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积，已知数列是等积数列且，前61项的和为113，则这个数列的公积为（ ）
A．2B．3C．6D．8
形如 的分式型递推数列求解通项公式问题， 是高考数列试题中的难点. 故而高考在考查此类问题时，通常先给出辅助数列 ，通过求辅助数列的通项，进而再求 的通项. 显然这里的辅助数列是求解最终目标的通项的一座“桥”.
【典型例题】设 ，则数列 的通项公式 _____.
【思路导引】此题给出的递推公式 属于“”型，试题中给出了 “桥” ， 通过这座“桥”，可以进一步求出 的通项.
【详细解析】
由条件得，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则．
【举一反三】
2．已知数列中
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若数列中，证明：
3．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积.已知数列是公积不为0的等积数列，且，前7项的和为14.则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．公积为1D．
4．设正整数，其中，记．则（ ）
A．B．
C．D．
5．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为 ，且这个数列的前21项和的值为 ．
6．已知数列的首项，，.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由.
7．若数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为.
(1)求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
(2)记A为满足递推关系的所有数列的集合，数列和为A中的两个元素，且项数均为.若，，数列和的距离，求m的最大值；
(3)记S是所有7项数列（其中，或1）的集合，，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.