2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第5题条件等式求最值(高三备考)(学生版+解析)

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【山东名校2025届高三12月校际联合检测】． 已知正数x，y满足，则的最小值为______．
角度一、利用“1”的妙用结合条件等式先计算最小值，得出，由整体思想计算得；角度二、利用“1”的妙用结合条件等式计算，根据一元二次不等式计算即可.
由，得，所以，
因为，所以，
所以，即，所以，当且仅当，且，即时，上式取“＝”，所以的最小值为9．
角度二、因为，
则
令，即
1．已知，，且，则的最小值是（ ）
A．10B．15C．18D．23
（2024高三·全国·专题练习）
2．已知实数满足，，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
设，引参消元结合判别式法计算最值.
令，则有，
，即．
，
，
即．
，
，的最小值为9．
3．已知正数a，b满足，则下列结论不正确的是（ ）
A．ab有最大值B．有最小值8C．有最小值4D．有最小值
（24-25高二上·河北邢台·期中）
4．曲线的形状是一个斜椭圆，其方程为，点是曲线上的任意一点，点为坐标原点，则下列说法错误的是（ ）
A．曲线关于对称B．的最大值为
C．该椭圆的离心率为D．的最大值为
令，结合“1”的妙用得解一元二次不等式即可.
令，则有，
，
t的最小值为9，即的最小值为9．
（2024·湖北·一模）
5．已知实数满足，则最大值为（ ）
A．2B．3C．D．
利用方程思想消元解得，再结合柯西不等式计算最值即可.
由已知得，，
又，，
，当且仅当时，“＝”成立，的最小值为9．
6．已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）
7．已知 ，，则 的最小值为 ．
利用条件等式结合权方和不等式计算得，再解一元二次不等式即可.

有，故
又，
即
有，．
（当且仅当取等号）
（2024·四川·模拟预测）
8．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
（2024·河南信阳·模拟预测）
9．已知正数满足，则的最小值为 .
两次利用基本不等式配凑系数结合整体思想计算最值.

（取等条件，即），
代入有，解得，
，
即，
，有，即.
（2024高三·全国·专题练习）
10．设表示实数中最小的数，若，且，则中的最大值为 ．
利用拉格朗日乘数法计算偏导解方程即可.
，，
令
有，
令，有
代入，即
（舍），此时，.
11．实数a，b满足，，，则的最小值是（ ）
A．4B．6C．D．
（24-25高三上·天津滨海新·期中）
12．已知且，则的最小值为（ ）
A．B．7
C．15D．
（24-25高三上·四川广安·阶段练习）
13．已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
（2024高三·全国·专题练习多选）
14．已知，，，且满足，则（ ）
A．B．
C．D．
（24-25高一上·广东广州·阶段练习）
15．若实数x，y满足，则的最大值是 ．
（2024高二下·北京·竞赛）
16．对于 ，若非零实数 满足 ，且使 最大，则 的最小值为 .
17．若，则的最小值为 ．
（24-25高一上·江苏无锡·期中）
18．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ．
（24-25高一上·河北·期中）
19．若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式.
(1)若，证明二维形式的权方和不等式：.
(2)已知，，求的最小值.
(3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
已知正数，满足，求的最大值.
解：由权方和不等式得，
所以的最大值是5.