2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第5题函数奇偶性的判断与应用(一题多变)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第5题函数奇偶性的判断与应用(一题多变)(学生版+解析)，共19页。学案主要包含了典例展示，思路分析，精细解析，题后反思，追根溯源，变化角度，变换角度，思路点晴等内容，欢迎下载使用。

【典例展示】（重庆·高考真题）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．
【思路分析】
本例（1）问是近几年常见高考题型，基本思路就是根据函数奇偶性定义、等价形式或常用性质，确定待定系数．根据，可得，再由得，特别提醒，本题中奇函数在时未必有定义，所以要检验；
第（2）问，由（1）知，首先判断在R上为减函数，结合函数为奇函数，将问题转化成关于“自变量”的含参不等式，可得，然后根据即可求解．
【精细解析】
（1）因为是R上的奇函数，
所以，即，解得，
从而有，
又由，知，解得，
经检验，当时，，满足题意；
（2）由（1）知，
任取，且，则
，
因为，所以，
所以，即，
所以在上为减函数，又因为为上为奇函数，
所以由得，
所以，得恒成立，
所以，
所以，
所以k的取值范围为．
【题后反思】
本题是函数奇偶性、单调性研究中的常见题型．关于函数奇偶性及其应用问题是高考考查的重点内容，题型主要包括：函数奇偶性的判断、由奇偶性求解析式、由奇偶性求参数、由奇偶性解不等式、抽象函数的奇偶性问题、奇偶性与周期性等综合问题、奇偶函数对称性的应用等．本题在求得“参数”的基础上，结合函数的单调性解答不等式恒成立问题，既体现了解答此类问题的一种“基本解法”，又很好第体现了转化与化归思想．值得注意的是，其中第一问解答过程，由于采用的“特殊值”法求得参数，之后的检验是十分必要的．．
【追根溯源】
1．函数的奇偶性
（1）偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)．
（2）奇函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)．
（3）理解函数的奇偶性定义，不仅是形式上记住，，还要注意到两个对称性：①定义域的对称性；②函数值的对称性．正是这两个对称性，构成了点的对称性，从而显示了图像的对称性．奇函数、偶函数图像所具有的对称性在解题中有着广泛的应用，
（4）若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
（1）f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1⇔f(x)为偶函数；
（2）f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1⇔f(x)为奇函数．
2．函数图像的对称性
（1）函数是奇函数图像关于原点对称；
（2）函数是偶函数图像关于y轴对称．
3．解题中常用的性质
（1）为偶函数；
（2）若奇函数在时有定义，则
【变化角度】明确函数的奇偶性、单调性，直接转化成关于参数的不等式，求参数范围．
设是定义在R上的偶函数，在区间上单调递增，且满足，求实数a的取值范围．
【思路分析】根据函数是偶函数，将原不等式转化成．再根据函数在区间上单调递增，偶函数的图像关于y轴对称，得到关于a的不等式，求得参数范围．
【详解】∵为R上的偶函数，∴．
∴不等式等价于．
∵，，
又∵在区间上单调递增，而偶函数的图像关于y轴对称，
∴在区间上单调递减，∴由，
得，
∴实数a的取值范围是．
【变换角度】变具体函数与抽象函数相结合，利用抽象函数的奇偶性求参数、确定函数解析式，进一步求函数值．
（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】
本题根据是奇函数和是偶函数条件，首先确定参数（待定系数）a的值，确定出函数解析式，接下来，思路一，利用定义为奇函数，为偶函数转化求解；思路二，由两个对称性可知，函数的周期，更易求解．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．．
【变换角度】变换含参函数解析式，利用函数的奇偶性求参数．
（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B.0 C． D.1
【思路分析】本题较易，直接利用函数为偶函数，选取自变量为1，-1对应函数值相等，求得a，验证符合要求．
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称．
，
故此时为偶函数．
故选：B．
【变换角度】给出含参数函数解析式，变求参数为探究其存在性，使函数为奇函数或偶函数．
对于函数，是否存在这样的实数a，使是偶函数或奇函数．
【思路分析】本题探究是否存在实数a，使得函数是偶函数或奇函数，先假设函数是偶函数或奇函数，并利用偶函数或奇函数的性质得到a必须满足的条件，由条件确定a存在或不存在，从而确定函数的奇偶性，再根据定义加以证明．
【详解】由，．若函数是偶函数，
则．即；
若函数是奇函数，则，无解．
当时，，此时函数的定义域是，
对于定义域内任意自变量x，
．
∴，即函数是偶函数．
（23-24高三下·上海青浦·阶段练习）
1．已知函数为偶函数，若，则a不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据偶函数性质，列关系式确定的关系，由此确定的范围即可.
【详解】因为为偶函数，
所以恒成立，即恒成立，
所以，
所以，
所以，又，
所以，
因为，所以，
故选：D
（2013·天津·高考真题）
2．已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C．
考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.
【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应
用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.
（2023·全国·高考真题）
3．若为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
（2022·全国·高考真题）
4．若是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
（2024·四川内江·三模）
5．若函数是奇函数，则 .
【答案】
【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得.
【详解】函数是奇函数，，
当时，，，
而当时，，则，
当时，，，
而当时，，则，
所以，.
故答案为：
（23-24高一上·广东湛江·期末）
6．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且．
(1)求的值，并求出的解析式；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)．
【分析】（1）由，求得，再结合函数的奇偶性，求得时，，进而求得函数的解析式；
（2）由（1），把在上恒成立，转化为，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：因为是偶函数，所以，解得，
当时，可得，可得，
所以函数的解析式为.
（2）解：由（1）知，当时，，
因为在上恒成立，
即，
又因为，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，即的取值范围是．