2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第6题对数函数图像与零点的综合应用(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第6题对数函数图像与零点的综合应用(学生版+解析)，共26页。学案主要包含了思路分析，题后反思，变化角度，举一反三，变换角度等内容，欢迎下载使用。
【2025届云南三校联考卷（二） 第8题】
，为函数的两个零点，其中，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．的最小值为4 D．的最小值为4
【思路分析】通过题意判断得到比1大还是小对的图象没有影响，然后不妨假设，进而得到，根据对数运算法则得到，将B、C、D选项利用消元思想转化为对勾函数求最值或取值范围问题即可求解，注意最值取得的条件是否符合题意.
【详解】函数的定义域为，且，
由，得，因此直线与函数的图象有两个公共点，
其横坐标为，，比1大还是小对的图象没有影响，可令，
而当时，递减，
当时，递增，于是，
对于A，由，得，即，A正确；
对于B，，而函数在上单调递增，因此，B正确；
对于C，，函数在上单调递增，因此，C错误；
对于D，，当且仅当时取等号，D正确，故选C．
【题后反思】对数函数问题巧妙运用数形结合的方法，通过基本不等式求最值要注意取得最值的条件是否成立，通过对勾函数求最值或取值范围需要注意自变量的范围.
【变化角度】分段函数+复合函数根的问题
【示例】已知函数，函数有4个不同的零点，，，且
，则的取值可能为（ ）
A． B．7 C． D．
【思路分析】令得，问题转化为有4个不同的根，即函数与函数有4个不同的交点，分别作出与的图像，利用二次函数与对数函数的图像性质，计算可得答案，
【详解】，令得，
函数有4个不同的零点，即有4个不同的根，
根据题意，作出的图像如图所示，

由二次函数的对称性可知，
由对数函数的性质，，即，
则有，得，所以，
由，解得，则，
对勾函数在上单调递增，有，得，
所以.
故选：AB
【举一反三】
1．定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变换角度】分段函数+三个零点的问题
【示例】已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】分析函数的性质，结合其图象求出a的范围，再用a表示，利用导数法求值域，即可计算作答.本题的关键是找到之间的关系，从而减少变量得到，再利用导数求出其值域即可.
【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其图象如图，

方程有三个不同的实数根，即直线与的图象有三个公共点，则，
由，得：，即，
而，，则，
于是得，
记，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
又函数在定义域上单调递减，所以.
故选：A
【举一反三】
2．设常数，函数；若方程有三个不相等的实数根，且，则下列说法正确的是（ ）
A．a的取值范围为B．的取值范围为
C．D．的取值范围为
【变换角度】分段函数+四个零点的问题
【示例】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路分析】作出函数的图象，设，则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项.
【详解】函数的图象如图所示，
设，则，
则直线与函数的图象个交点横坐标分别为，
对于A：函数的图象关于直线对称，则，故A正确；
对于B：由图象可知，且，
∴，即，所以，故B正确；
对于C，当时，，
由图象可知，则，故C错误；
对于D，由图象可知，
所以，故D错误.
故选：AB.
【举一反三】
3．已知函数，若函数有四个不同的零点，，，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知函数，若存在实数.满足，且，则的取值范围是
5．为函数的两个零点，其中，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最小值为
6．函数.若该函数的两个零点为，则（ ）
A．B．C．D．无法判定
7．已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若方程存在三个不同的实数解，且满足，设，则的最大值为 ．
9．已知，若函数有5个零点，则实数的取值范围是 .