2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第8题配方法与二次型函数最值问题(一题多变)(学生版+解析)

这是一份2026年高三数学一轮复习之一题多变讲义第8题配方法与二次型函数最值问题(一题多变)(学生版+解析)，共22页。学案主要包含了典例展示，思路分析，精细解析，题后反思，追根溯源，变化角度，变换角度等内容，欢迎下载使用。

【典例展示】已知函数在区间上的最大值为1，求a的值．
【思路分析】 本例是根据函数在指定区间取得最大值的情况，求参数.由于二次项系数为参数，因此，应该首先从讨论其是否为0开始.而当其不为0时，考虑二次函数图象开口方向及单调性对最值的影响，又分和时，应用配方法求解参数的取值.
【精细解析】ⅰ．当时，．
∵函数在区间上单调递减，
∴．不符合题意，舍去．
ⅱ．当时，．
若，即，．
解得，符合题意．
若，即，．
解得（舍去）．
ⅲ．当时，．
若，则，与矛盾．
若，则时，．
解得（舍去）．
若，，，
解得（舍去），或．
综上可得，，或．
【题后反思】
本例主要根据含参二次函数在给定区间上的最值，求参数．需首先讨论二次项系数是否为0，以及其的符号的正负，经配方后再讨论对称轴的范围，最后结合图像来求解．当二次项系数为正，即二次函数图像开口向上时，函数在给定区间上的最大值有2种情况，可通过讨论对称轴与区间中点的位置关系而求得；要考虑最小值的话分3种情况，可对对称轴在区间的左侧、内部、右侧3种情况分类讨论求解．当二次项系数为负，即二次函数图像开口向下时的讨论亦类似，最大值分3种情况.本题的解答给解答此类问题，提供了一个“范本”，即处理“二次型”问题时应该关注的几个方面，一般的，在二次项系数正负一定的情况下，解决二次函数在区间的最值问题的思路是：抓住“三点一轴”，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论思想即可解决问题．在下面的变式及训练题中，将围绕与指数函数、对数函数、三角函数、圆锥曲线等相关的“二次”问题进一步深化，注意与换元法的结合.
【追根溯源】
二次型函数通常是指可以转化为二次函数的复合函数，求这类函数的最值或根据函数的最值求参数，通常用配方法，结合复合函数的单调性、对称性加以讨论求解．配方法在高中阶段数学学习中应用广泛．如三角函数中的最值问题，解析几何中与圆锥曲线相关的最值问题以及不等式的证明中，与换元法相结合，配方法的作用至关重要．
1．配方目标的确定性
配方目标的确定性：出现平方式，但出现怎样的平方式又具有灵活性，所以配方途径又是多向的．
2．配方对象的多样性
配方对象的多样性：不排除对更高次数多项式的配方．数、字母具体的数学式、抽象的函数关系等都可以进行配方．
3．配方后必须注重问题的细节
任何一种解题方法的应用都有其适用范围，配方法也不例外，求二次型函数的最值必须把相应简单函数的性质结合起来讨论，不应盲目扩大或缩小方法的使用范围，不要忽视问题中的约束条件．
【变化角度】变含参“二次”函数为与对数的复合函数，变求参数为求对数函数式的最值.
已知且，求函数的最大值和最小值．
【思路分析】本题为求对数函数的最大值和最小值．由于可以通过对数运算转化为关于的二次型函数，可以运用配方法求解，但首先应由两个条件不等式的限制求出的取值范围，在此范围内求最值．
【详解】由，得，则，即．
∵
，
当，即时，，
当，即时，．
∴函数的最大值为2，最小值为．
【变换角度】变含参“二次”函数为与三角函数函数的复合函数，变由函数的最值求参数为探究参数的存在性.
是否存在实数a，使得函数在上的最大值为1？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由．
【思路分析】首先应用三角函数的同角公式，将其化为关于余弦的复合二次函数，利用换元思想，可利用二次型函数在闭区间上的最值求解，对于含参数的问题要注意讨论所有可能的情况．
【详解】．
∵当时，．
∴若，即，则当时，．
解得（舍去）；
若，即，则当时，．
解得或（舍去）；
若，即，则当时，，
解得（舍去），
综上可知，存在符合题设．
【变换角度】变含参“二次”函数求参数问题，为椭圆中线段长度比取得最值求参数，应用函数知识解答圆锥曲线中的最值求参数问题.
如图所示：椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8．
（1）求椭圆M的标准方程．
（2）设直线与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T．求的最大值及取得最大值时m的值．
【思路分析】第（1）问，根据椭圆的几何性质及给定矩形的面积，列方程组，求得a，b，进而写出标准方程；
第（2）问，首先将直线方程与椭圆方程联立，经过一系列“标准化”操作，应用根与系数的关系，求得|PQ|的表达式，分，，，等四种情况讨论的最值，求出答案.
【详解】
（1）解：，∴， ①
矩形ABCD的面积为8，即． ②
由①②解得，，∴椭圆M的标准方程是．
（2）解：．
设，．
则，，
由得．
．
当l过A点时，，当l过C点时，．
ⅰ．当时，有，，．
（其中）．
由此当，即，时，取得最大值．
ⅱ．由对称性，可知若，则当时，取得最大值．
ⅲ．当时，，．
由此知，当时，取得最大值．
综上，当和0时，取得最大值．
【变换角度】给出与指数函数、对数函数的复合函数，结合函数的奇偶性、函数的图像，利用换元思想，应用二次函数的性质求最值，达到求参数的.
（23-24高一上·重庆·期末）为偶函数，.
(1)求实数的值；
(2)若时，函数的图象恒在图象的上方，求实数的取值范围；
(3)求函数在上的最大值与最小值之和为2020，求实数的值.
【思路分析】第（1）问根据偶函数定义列方程可得解；
第（2）问，由已知，转化成恒成立，参变分离得，利用对数性质求得函数最大值；
第（3）问，化简函数为，利用换元思想，结合讨论求最值，从而得解.
【详解】（1）∵函数为偶函数，
，
，
得，
解得，即.
（2）若时，函数的图像恒在图像的上方，
则恒成立，
即，即.
所以.
因为时，，
所以，得，
综上：.
（3），
所以当时，
当 时，取得最大值，当取得最小值，
所以，解得.
【点睛】本题主要了考查函数与方程的综合应用，结合函数奇偶性求出k的值，以及利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键，属于难题．
（23-24高一上·安徽宣城·开学考试）
1．已知函数在上的最大值为4，求的值．
（2008高一·全国·竞赛）
2．若，函数的最大值为0，最小值为，求与的值.
（2009高一·全国·竞赛）
3．若函数的定义域为，值域为，求．
（2022高一下·江苏南京·竞赛）
4．已知、为方程的两根，求的最小值.
5．已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．

（23-24高一上·江西景德镇·期末）
6．已知函数，（，且）．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)是否存在实数，使得函数在区间上取得最大值2？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．