数学必修 第二册平面向量在几何、物理中的应用举例优质导学案

这是一份数学必修 第二册平面向量在几何、物理中的应用举例优质导学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量a→，b→如果以O为起点，作OA→=a→，OB→=b→，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量a→与向量b→的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量a→，b→的夹角为θ，那么我们把|a→||b→|csθ叫做a→与b→的数量积，记做a→⋅b→
即：a→⋅b→=|a→||b→|csθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0→•a→=0．
注意：
①a→⋅b→ 表示数量而不表示向量，符号由csθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：b→在a→上的投影是一个数量|b→|csθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则a→⋅b→=x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：a→与b→的数量积a→⋅b→等于a→的长度|a→|与b→在a→的方向上的投影|b→|csθ的积．
1．已知平面内三点A（2，1），B（6，4），C（1，16），则向量AB→在BC→的方向上的投影为（ ）
A．165B．335C．1613D．3313
2．已知|a→|=8，|b→|=4，＜a→，b→＞=120°，则向量b→在a→方向上的投影为（ ）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
▉题型2 平面向量在物理中的应用
【知识点的认识】
向量在物理中的应用
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决．因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题．
应用1：向量与力
向量是既有大小又有方向的量，它们有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上．
应用2：向量与速度、加速度与位移
速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．
应用3：向量与功、动量
物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．
（1）力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即W=|F→||S→|⋅cs＜F→，S→＞，功是一个实数，它可正，也可负．
（2）在解决问题时要注意数形结合．
【解题方法点拨】
用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：
（1）问题的转化，把物理问题转化成数学问题；
（2）模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；
（3）参数的获取，求出数学模型的相关解；
（4）问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．
3．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ）
A．10 m/sB．226m/sC．46m/sD．12 m/s
4．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F→1，F→2，且F→1，F→2与水平夹角均为45°，|F→1|=|F→2|=102N，则物体的重力大小为（ ）
A．20NB．102NC．10ND．52N
5．如图，作用于同一点O的三个力F1→，F2→，F3→处于平衡状态，已知|F1→|=1，|F2→|=2，F1→与F2→的夹角为2π3，则F3→的大小为 ．
▉题型3 平面向量的综合题
【知识点的认识】
1、向量的概念：
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
2、相关概念
（1）向量的模：AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB→|．
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0，方向不确定．
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是AB→|AB→|）．
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
3、向量的加减运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设a→与b→不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作AB→=a，BC→=b，则向量 叫做a→与b→的和，记作a→+b→，即a→+b→=AB→+BC→=AC→
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于AD→=BC→，根据三角形法则得AB→+AD→=AB→+BC→=AC→，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是AB→与AD→的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①a→+0→=0→+a→=a→；a→+（−a→）=0→；
②a→+b→=b→+a→；
③（a→+b→）+c→=a→+（b→+c→）．
向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为a→与b→的差，即a→−b→=a→+（−b→）．
设a→=OA→，b→=OB→，则．即=OA→−OB→=OA→+(−OB→)=OA→+BO→=BO→+OA=BA→．即OA→−OB→=BA→
特征；有共同起点的两个向量a→、b→，其差a→−b→仍然是一个向量，叫做a→与b→的差向量，其起点是减向量b→的终点，终点是被减向量a→的终点．（减终指向被减终）
（多选）6．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．“意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．下列说法正确的是（ ）
A．正三角形的费马点是正三角形的中心
B．若P为△ABC的费马点，且PA→+PB→+PC→=0→，则△ABC一定为正三角形
C．若△ABC三边长分别为1，3，2，则该三角形的费马点到各顶点距离之和为7
D．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A=π2，bc＝2，若点P为△ABC的费马点，则PA→⋅PB→+PB→⋅PC→+PC→⋅PA→=−39
7．如图所示，点P，Q分别位于边长为1的正方形ABCD的边DC，CB上，∠PAQ=π4，记点O为△APQ的外心，若AO→=xAP→+yAQ→，则x+y的最大值为 ．
8．已知a，b，c为△ABC三个内角A，B，C的对边，且c＝4，b＝5，a＝6，线段BC边对应的高为AD，△ABC内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H．
（1）求△ABC中高AD的长度；
（2）若∠BAC的角平分线交BC于E，求证AE→=ACAB+ACAB→+ABAB+ACAC→；
（3）欧拉线定理：设△ABC的重心，外心，垂心分别是G，O，H，则G，O，H三点共线，且|OH|＝3|OG|．请合理运用欧拉线定理，求AH→⋅AI→的值．
9．类似于平面直角坐标系，定义平面斜坐标系：设数轴x、y的交点为O，与x、y轴正方向同向的单位向量分别是i→、j→，且i→与j→的夹角为θ，其中θ∈(0，π2)∪(π2，π)，由平面向量基本定理：对于平面内的向量OP→，存在唯一有序实数对（x，y），使得OP→=xi→+yj→，把（x，y）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标，也叫做向量OP→在斜坐标系xOy中的坐标，记为OP→=(x，y)，在平面斜坐标系内，直线的方向向量（与直线平行的向量）、法向量（与直线垂直的向量）、点方向式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如θ＝45°时，方程x+12=y+33表示斜坐标系内一条过点（﹣1，﹣3），且方向向量为（2，3）的直线．
（1）若θ＝45°，a→=(x1，y1)，b→=(x2，y2)，求a→⋅b→；
（2）若θ＝45°，已知直线l：y=2x−2，求l的一个法向量．
10．在教材必修二第六章我们学习了平面向量的加法、减法、数乘和数量积四种运算，其中数量积也称为内积，结果为实数．其实向量还有其他运算，比如外积，混合积．两个向量a→与b→的外积记为a→×b→，其结果是一个向量．它的长度规定为|a→×b→|=|a→||b→|sin⟨a→，b→⟩，它的方向规定为与a→，b→均垂直；从外积定义可以看出．当a→，b→不共线时，长度表示以a→，b→为邻边的平行四边形的面积．
设三个向量a→，b→，c→，称(a→×b→)⋅c→为这三个向量的混合积，(a→×b→)⋅c→也可记为(a→，b→，c→)．
在空间直角坐标系中，若a→=(x1，y1，z1)，b→=(x2，y2，z2)，则|a→|=x12+y12+z12，a→⋅b→=x1x2+y1y2+z1z2，a→×b→=(y1z2−y2z1，x2x1−x1z2，x1y2−x2y1)．
阅读上述材料，解答下列问题：
（1）已知a→=(1，2，0)，b→=(1，0，1)，c→=(1，1，2)，求(a→，b→，c→)，|a→×b→|；
（2）若向量OA→=(x1，y1)，OB→=(x2，y2)，证明：当O，A，B三点不共线时、S△OAB=12|x1y2−x2y1|；
（3）证明：当a→，b→，c→不共面时，|(a→×b→)⋅c→|在数值上等于以a→，b→，c→为三条棱所构成的三棱锥的体积的6倍．
▉题型4 利用正弦定理解三角形
【知识点的认识】
1．正弦定理
﹣
【解题方法点拨】
﹣应用正弦定理：用正弦定理解决三角形中的边长和角度问题，特别是在已知部分角和边的情况下．
﹣三角形的解法：在已知两个角和一个边，或两个边和一个角的情况下，利用正弦定理求解其他边和角．
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=π3，a=23，c＝2，则角C的大小是（ ）
A．5π6B．π6C．π3D．π6或5π6
12．在三角形ABC中，a＝2，B=π3，b=23，则∠C＝（ ）
A．π6B．π2C．π6或π2D．π3或π2
13．在△ABC中，已知a=43，c＝12，C=π3，则A＝（ ）
A．π3B．π6C．π6或5π6D．π6或π3
▉题型5 正弦定理与三角形解的存在性和个数
【知识点的认识】
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
【解题方法点拨】
﹣解的存在性：利用正弦定理验证已知条件是否能够构成三角形．
﹣解的个数：分析三角形的解的个数，如是否有唯一解、无解或多个解．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b=3，B=π4，则△ABC的解有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
15．在△ABC中，已知BC＝2，B=π3，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是（ ）
A．(3，2)B．(3，4)C．（1，2）D．（2，4）
16．若△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝4，b＝5，A＝30°，则B的解的个数是（ ）
A．2B．1C．0D．不确定
▉题型6 正弦定理与三角形的外接圆
【知识点的认识】
1．正弦定理
【解题方法点拨】
asinA=bsinB=csinC=2R
（ R是△ABC外接圆半径）
17．已知△ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，acsB+bcsA＝csinC，若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为2，则△IAB面积的最大值为（ ）
A．22−2B．42−4C．2−1D．2−2
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，A=π3，则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．4πB．12πC．16πD．48π
19．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且a＝2，4（S+1）＝b2+c2，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A．22B．1C．2D．22
（多选）20．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半径为r＝3，满足acsA+bcsB+ccsC=R3，△ABC的面积S△ABC＝6，则（ ）
A．a+b+c＝4
B．R＝6
C．sinA+sinB+sinC=16
D．sin2A+sin2B+sin2C=13
▉题型7 余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
21．在△ABC中，∠B=π3，AB＝8，AC＝7，则BC＝（ ）
A．5B．3或5C．4D．2或4
22．在△ABC中，若A=π6，AB＝1，AC=3，则BC边上的高为（ ）
A．1B．2C．32D．2
23．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c=1：2：7，则其最大角为（ ）
A．π3B．π2C．2π3D．5π6
24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足4c2+a2＝b2，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．锐角三角形D．等腰三角形
25．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，b＝2，C=π3，则c＝（ ）
A．26B．39C．29D．19
▉题型8 三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S=12a•ha（ha表示边a上的高）；
②S=12absinC=12acsinB=12bcsinA．
③S=12r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤csα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤csα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
26．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A+sin2B﹣sin2C＝2sinBsinC•csA，且csB=−18，则ba=（ ）
A．94B．49C．32D．23
27．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，BC=3，则边AC的长为（ ）
A．1B．2C．2D．3
28．△ABC的周长为18，若csA−B2=2sinC2，则△ABC的内切圆半径的最大值为（ ）
A．1B．3C．2D．4
29．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2+ab＝c2，若角C的内角平分线CM＝2，则AC→•CB→的最小值为（ ）
A．8B．4C．16D．12
▉题型9 解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC=12aha=12bhb=12chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC=abc4R；
⑤S△ABC=s(s−a)(s−b)(s−c)，（s=12（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
30．如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为（ ）
A．5千米B．52千米C．4千米D．42千米
31．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2，B=π3，△ABC的面积S△ABC=3，则a+c＝（ ）
A．8B．23C．33D．4
32．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进80米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC＝3AC，则楼高AB约为（ ）
（3≈1.732，结果保留2位小数）
A．80.56米B．81.46米C．84.32米D．86.56米
33．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA=3a．
（1）求角B的大小；
（2）若b=23，求a+c的取值范围．
34．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(a2+b2−c2)sinC=3abcsC．
（1）求角C；
（2）若CA→⋅CB→=3，c=7，求△ABC的周长．
题型1 平面向量数量积的含义与物理意义
题型2 平面向量在物理中的应用
题型3 平面向量的综合题
题型4 利用正弦定理解三角形
题型5 正弦定理与三角形解的存在性和个数
题型6 正弦定理与三角形的外接圆
题型7 余弦定理
题型8 三角形中的几何计算
题型9 解三角形
定理
正弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
（ R是△ABC外接圆半径）
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
（ R是△ABC外接圆半径）
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A=a2R，sin B=b2R，sin C=c2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A=b2+c2−a22bc，
cs B=a2+c2−b22ac，
cs C=a2+b2−c22ab
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
A2+B2=π2−C2，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA=b2+c2−a22bc
csB=a2+c2−b22ac
csC=a2+b2−c22ab
正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△=12aha=12bhb=12chc
②S△=12absinC=12acsinB=12bcsinA
③S△=abc4R
④S△=s(s−a)(s−b)(s−c)，（s=12（a+b+c））；
⑤S△=12（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA=2S△bc
sinB＝
2S△ac
sinC=2S△ab