北师大版 (2019)必修 第二册从位移、速度、力到向量优秀学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册从位移、速度、力到向量优秀学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 平面向量的概念与几何表示
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小写字母a→、b→，…表示．有向向量的长度为模，表示为|AB→|、|a→|．
【解题方法点拨】用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示．
1．以下选项中，都是向量的是（ ）
A．时间、海拔B．质量、位移
C．加速度、体积D．浮力、速度
【答案】D
【解答】解：时间、海拔、质量、体积只有大小没有方向，不是向量；
浮力和速度既有大小又有方向，是向量．
故选：D．
2．若向量OM→=(1，1)，ON→=(−3，−2)分别表示两个力F1→，F2→，则|F1→+F2→|=（ ）
A．10B．25C．5D．15
【答案】C
【解答】解：由题意，向量OM→=(1，1)，ON→=(−3，−2)分别表示两个力F1→，F2→，
可得F1→+F2→=OM→+ON→=(1，1)+(−3，−2)=(−2，−1)，
所以|F1→+F2→|=(−2)2+(−1)2=5．
故选：C．
▉题型2 平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的模
AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB→|．
【解题方法点拨】
﹣计算模：也就是AB→的长度．
﹣实际应用：用于求解平面几何中的距离问题，如两点间的距离等．
3．已知a→和b→都是单位向量，则|a→+b→|的取值范围（ ）
A．（0，1）B．（0，2）C．[0，2]D．[0，1]
【答案】C
【解答】解：a→和b→都是单位向量，
则根据向量的三角不等式||a→|−|b→||≤|a→+b→|≤|a→|+|b→|，
故0≤|a→+b→|≤2．
故选：C．
4．已知向量AB→=(3，m)，AC→=(1，3)，且|AB→+AC→|=|AB→−AC→|，则△ABC的面积为（ ）
A．23B．33C．43D．63
【答案】A
【解答】解：因为|AB→+AC→|=|AB→−AC→|，
所以AB→2+2AB→⋅AC→+AC→2=AB→2−2AB→⋅AC→+AC→2，
化简得AB→⋅AC→=0，所以AB⊥AC，
又因为AB→=(3，m)，AC→=(1，3)，
所以AB→⋅AC→=3+3m=0，解得m=−3，
所以AB→=(3，−3)，
则|AB→|=32+(−3)2=23，|AC→|=1+3=2，
所以△ABC的面积为S=12×|AB→|⋅|AC→|=12×23×2=23．
故选：A．
5．已知向量a→，b→满足|a→−b→|=5，|a→+b→|＝|a→−2b→|，则|a→|＝（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】A
【解答】解：向量a→，b→满足|a→+b→|=|a→−2b→|，所以b→2=2a→⋅b→；
因为|a→−b→|=5，所以a→2−2a→⋅b→+b→2=5，
所以|a→|=5．
故选：A．
6．已知|AB→|=10，|AC→|=7，则|CB→|的取值范围为 [3，17] ．
【答案】[3，17]．
【解答】解：因为CB→=AB→−AC→，所以|CB→|=|AB→−AC→|，
又|AB→|−|AC→||⩽|AB→−AC→|⩽|AB→|+|AC→|，
|AB→|=10，|AC→|=7，
故3⩽|AB→−AC→|⩽17，所以3⩽|CB→|⩽17．
故答案为：[3，17]．
▉题型3 平面向量中的零向量与单位向量
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是AB→|AB→|）．
﹣零向量：0→它的模为0，方向是任意的．
﹣单位向量：模为1的向量，用于表示方向．任何非零向量v→可以通过v→|v→|转换为单位向量．
【解题方法点拨】
﹣零向量的应用：在向量加法中，零向量不会改变其他向量的值．
﹣单位向量的使用：将向量标准化为单位向量以简化方向的表示和计算．
给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若a→，b→都是单位向量，则a→=b→；
③若|a→|＝|b→|，则a→=b→或a→=−b→．
则所有正确命题的序号是_____．
解：①零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确，
②若a→，b→都是单位向量，则a→和b→不一定相等，方向可能不同，故②错误，
③若|a→|＝|b→|，只能说明其大小相等，推不出a→=b→或a→=−b→，故③错误，
故答案为：①．
7．与向量a→=（﹣3，4）反向的单位向量是（ ）
A．b→=(35，−45)B．b→=(−35，45)
C．b→=(45，−35)D．b→=(−45，35)
【答案】A
【解答】解：设与向量a→=（﹣3，4）反向的单位向量是b→，
则b→=−a→|a→|=−1(−3)2+42⋅(−3，4)=(35，−45)．
故答案为：A．
8．下列命题正确的是（ ）
A．平面内所有的单位向量都相等
B．模为0的向量与任意非零向量共线
C．平行向量不一定是共线向量
D．若a→，b→满足|a→|＞|b→|，且a→，b→同向，则a→＞b→
【答案】B
【解答】解：A．单位向量的方向可能不同，所以所有的单位向量不相等，A错误；
B．零向量和任何非零向量共线，B正确；
C．平行向量一定是共线向量，C错误；
D．向量不能比较大小，D错误．
故选：B．
9．判断下列各命题的真假：①向量a→与b→平行，则a→与b→的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段．其中假命题的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解答】解：对于①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，
故当a→与b→中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；
对于②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；
对于③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；
对于④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题；
综上，①③④为假命题，共有3个．
故选：B．
10．与a→=（5，﹣12）垂直的单位向量的坐标为 (1213，513)或(−1213，−513) ．
【答案】(1213，513)或(−1213，−513)．
【解答】解：设与a→=(5，−12)垂直的单位向量的坐标为b→=(x，y)，
则5x−12y=0x2+y2=1，解得x=1213y=513或x=−1213y=−513，
故答案为：(1213，513)或(−1213，−513)．
11．已知A（﹣1，2），B（3，5），则与向量AB→方向相同的单位向量为 （45，35） ．
【答案】（45，35）．
【解答】解：AB→=(4，3)，
∴与向量AB→方向相同的单位向量为：AB→|AB→|=15(4，3)=(45，35)．
故答案为：(45，35)．
▉题型4 平面向量的相等向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
（多选）12．关于平面向量a→，b→，c→，下列说法正确的是（ ）
A．若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→
B．若向量b→，c→不共线，对于平面内任一向量a→，都存在唯一实数λ，μ使a→=λb→+μc→
C．若a→，b→不相等，则a→，b→一定不共线
D．若|a→+b→|=|a→−b→|，则a→⊥b→
【答案】BD
【解答】解：A：当b→=0→，可满足a→∥b→，b→∥c→，但不一定得到a→∥c→，故A错误；
B：根据平面向量基本定理知道B正确；
C：当a→=−b→时，a→与b→不相等，但a→与b→共线，故C错误；
D：由|a→+b→|=|a→−b→|，两边同时平方得a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2a→⋅b→+b→2，解得a→⋅b→=0，即a→⊥b→，故D正确．
故选：BD．
（多选）13．下列说法正确的是（ ）
A．我们把既有大小又有方向的量叫作向量
B．单位向量是相等向量
C．零向量与任意向量平行
D．向量的模可以比较大小
【答案】ACD
【解答】解：对于A，根据向量的定义知A正确；
对于B，单位向量是长度为1的向量，方向不确定，故不一定是相等向量，B错误；
对于C，零向量与任意向量平行，C正确；
对于D，向量的模长是实数，故向量的模可以比较大小，D正确．
故选：ACD．
▉题型5 平面向量的平行向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
14．已知向量a→，b→不共线，AB→=λa→+b→，AC→=a→+μb→，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴AB→与AC→共线，
∴存在实数k，使AB→=kAC→，即λa→+b→=k(a→+μb→)，
又向量a→，b→不共线，∴λ=k1=μk⇒λμ=1，
由λ＞0，μ＞0，∴λ+4μ≥24λμ=4，
当且仅当λ＝4μ时，取“＝”号．
故选：B．
15．已知e1→，e2→是两个不共线的向量，且向量xe1→+3e2→，e1→+ye2→同向，则x+2y的最小值为（ ）
A．12B．6C．26D．6
【答案】C
【解答】解：由向量xe1→+3e2→，e1→+ye2→同向，e1→，e2→是两个不共线的向量，
得x1=3y，且x＞0，y＞0，则xy＝3，
因此x+2y≥22xy=26，当且仅当x=6，y=62时取等号，
所以x+2y的最小值为26．
故选：C．
16．下列说法正确的是（ ）
A．向量AB→与向量BA→的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】A
【解答】解：因为|AB→|=|BA→|，所以向量AB→与向量BA→的长度相等，故A正确，
对于两个有共同起点，且长度相等的向量，
它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误，
当b→=0→时，a→与c→可能不共线，故C错误
若两个单位向量平行，
当两个单位向量方向共线时，二者为相反向量，故D错误．
故选：A．
17．已知平面向量a→=（1，2），b→=（2x，x﹣1），且a→∥（b→−a→），则x＝（ ）
A．−13B．13C．53D．3
【答案】A
【解答】解：a→=(1，2)，b→−a→=(2x−1，x−3)，
由a→∥(b→−a→)，得2（2x﹣1）＝x﹣3，所以x=−13．
故选：A．
18．设a→，b→是两个不共线的向量，若向量ka→−b→与−2a→+kb→的方向相同，则k＝（ ）
A．2B．−2C．2D．﹣2
【答案】B
【解答】解：由题意知ka→−b→=λ(−2a→+kb→)，λ＞0，即k=−2λ−1=kλλ＞0，解得λ=22，k=−2．
故选：B．
19．设a→，b→为两个非零向量，则“a→|a→|=b→|b→|”是“a→∥b→”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：由a→|a→|=b→|b→|，可得a→=|a→||b→|b→，
因为|a→||b→|为常数，所以由向量共线定理可得a→∥b→，
所以由“a→|a→|=b→|b→|”可以推出“a→∥b→”，
当a→∥b→时，由向量共线定理可得a→=λb→，
此时λ=|a→||b→|或λ=−|a→||b→|，
所以由“a→∥b→”推不出“a→|a→|=b→|b→|”，
所以“a→|a→|=b→|b→|”是“a→∥b→”充分不必要条件．
故选：A．
（多选）20．下列关于平面向量的说法错误的是（ ）
A．若a→，b→是共线的单位向量，则a→=b→
B．若a→=b→，则|a→|=|b→|
C．若a→≠b→，则a→，b→不是共线向量
D．若a→∥b→，则一定存在实数λ，使得a→=λb→
【答案】ACD
【解答】解：若a→，b→是共线的单位向量，则a→=b→或a→=−b→，故A错误；
两向量相等，即大小相等，方向相同，故B正确；
若a→≠b→，a→，b→的长度可能不等，但方向相同或相反，
此时a→，b→共线，故C错误；
若a→∥b→，如a→≠0且b→=0时，
则不存在实数λ，使得a→=λb→成立，故D错误．
故选：ACD．
21．已知向量a→，b→不共线，AB→=λa→+b→，AC→=a→+μb→，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：向量a→，b→不共线，AB→=λa→+b→，AC→=a→+μb→，
因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使AB→=kAC→，即λa→+b→=k(a→+μb→)，
又向量a→，b→不共线，所以λ=k1=μk⇒λμ=1，由λ＞0，μ＞0，所以λ+4μ≥24λμ=4，
当且仅当λ＝4μ＝2时，取等号，即λ+4μ的最小值为4．
故答案为：4．
22．已知向量a→=(x，1)，b→=(4，x)，当x＝ ﹣2 时，a→与b→方向相反．
【答案】﹣2．
【解答】解：当a→∥b→时，x2﹣1×4＝0，解出x＝2或x＝﹣2，
当x＝2时，a→=(2，1)，b→=(4，2)，此时b→=2a→，a→与b→方向相同，不满足条件；
当x＝﹣2时，a→=(−2，1)，b→=(4，−2)，此时b→=−2a→，a→与b→方向相反，满足条件．
故答案为：﹣2．
23．设a→和b→是两个不共线的向量，若AB→=ma→+2b→，CB→=a→+b→，CD→=2a→−b→，且A，B，D三点共线，则实数m的值为 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：因为A，B，D三点共线，所以AB→∥BD→，
又BD→=CD→−CB→=a→−2b→，
所以存在实数λ使得ma→+2b→=λ(a→−2b→)，
所以m=λ2=−2λ，
解得m＝λ＝﹣1．
故答案为：﹣1．
题型1 平面向量的概念与几何表示
题型2 平面向量的模
题型3 平面向量中的零向量与单位向量
题型4 平面向量的相等向量
题型5 平面向量的平行向量