高中数学北师大版 (2019)必修 第二册二倍角的三角函数公式优质导学案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册二倍角的三角函数公式优质导学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 求二倍角的三角函数值
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α=2tanα1−tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcsα
cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α
tan2α=2tanα1−tan2α
﹣将具体角度值代入公式，求解二倍角的三角函数值．
﹣验证计算结果的正确性．
1．已知tanθtan2θtanθ−tan2θ=45，则sin4θ+cs4θ＝（ ）
A．925B．35C．1725D．2425
【答案】C
【解答】解：由tanθtan2θtanθ−tan2θ=45，可得sinθcsθ⋅sin2θcs2θsinθcsθ−sin2θcs2θ=45，即sinθsin2θsinθcs2θ−csθsin2θ=45，
所以sinθsin2θ=45（sinθcs2θ﹣csθsin2θ）=45sin（θ﹣2θ）=−45sinθ，
因为tanθtan2θtanθ−tan2θ有意义，所以sinθ≠0，可得sin2θ=−45，
所以2sinθcsθ=−45，即sinθcsθ=−25．
因此，sin4θ+cs4θ=(sin2θ+cs2θ)2−2sin2θcs2θ=1−2×425=1725．
故选：C．
2．已知csα+sinα=74，且α∈(π2，3π2)，则tan2α的值为（ ）
A．9735B．−9735C．18735D．−18735
【答案】A
【解答】解：由sinα+csα=74，两边平方得sin2α+2sinαcsα+cs2α=716，
即1+2sinαcsα=716，解得sinαcsα=−932＜0，
根据α∈(π2，3π2)，可知sinα＞0，csα＜0，csα﹣sinα＜0，
结合（csα+sinα）2+（csα﹣sinα）2＝2，求得csα−sinα=−54，
由sinα+csα=74sinα−csα=−54，解得csα=7−58，sinα=7+58，所以tanα=7+57−5，
可得tan2α=2tanα1−tan2α=2×7+57−51−(7+57−5)2=2×(7+5)×(7−5)(7−5)2−(7+5)2=−36−207=9735．
故选：A．
3．已知角A为△ABC的一个内角，且sin(A+π3)=23，则sin(2A+23π)=（ ）
A．−459B．459C．±459D．259
【答案】A
【解答】解：由A∈（0，π），得A+π3∈(π3，4π3)，
结合sin(A+π3)=23∈（0，32），可得A+π3∈(2π3，π)，A为钝角，csA＜0，
所以cs(A+π3)=−1−sin2(A+π3)=−53，
可得sin(2A+23π)=2sin(A+π3)cs(A+π3)=2×23×(−53)=−459．
故选：A．
4．已知sin(α+π6)=−33，则sin(π6−2α)=（ ）
A．−63B．24C．13D．23
【答案】C
【解答】解：因为sin(α+π6)=−33，
则sin(π6−2α)=sin[π2−2(α+π6)]=cs[2(α+π6)]
＝1﹣2sin2（α+π6）＝1﹣2×13=13．
故选：C．
5．已知tanα＝3，则sin2α＝（ ）
A．35B．−45C．310D．710
【答案】A
【解答】解：因为tanα＝3，
则sin2α=2sinαcsα=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=2×39+1=35．
故选：A．
6．已知cs(α−π12)=13，则cs(2α+5π6)=（ ）
A．−79B．59C．79D．−59
【答案】C
【解答】解：由题意cs(α−π12)=13，
可得cs(2α+5π6)=cs[π+2(α−π12)]=−cs2(α−π12)=1−2cs2(α−π12)=1﹣2×（13）2=79．
故选：C．
7．已知sin(α−π3)=13，则cs(2α−5π3)=（ ）
A．−79B．79C．223D．−223
【答案】A
【解答】解：∵sin(α−π3)=13，
∴cs(2α−5π3)=cs(2α−2π3−π)=−cs(2α−2π3)=2sin2(α−π3)−1=−79．
故选：A．
8．已知x∈R，则“x＝kπ（k∈Z）”是“sin2x＝0”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：当x＝kπ（k∈Z）时，sin2x＝0，即充分性成立；
但当sin2x=0⇒x=k2π(k∈Z)，即必要性不成立；
所以“x＝kπ（k∈Z）”是“sin2x＝0”的充分不必要条件．
故选：A．
9．已知tanα＝2，则sin(2α−π2)=（ ）
A．−45B．−35C．35D．45
【答案】C
【解答】解：根据题意得sin(2α−π2)=−cs2α＝﹣（cs2α﹣sin2α）
＝sin2α﹣cs2α=sin2α−cs2αsin2α+cs2α=tan2α−1tan2α+1=4−14+1=35．
故选：C．
10．下列正确的是（ ）
A．sinπ12csπ12=12
B．2tan22.5°1−tan222.5°=12
C．cs4π8−sin4π8=−22
D．1−2cs222.5°=−22
【答案】D
【解答】解：对于A，左边=12sinπ6=12×12=14≠右边，故错误；
对于B，左边＝tan45°＝1≠右边，故错误；
对于C，左边＝（cs2π8+sin2π8）（cs2π8−sin2π8）＝cs2π8−sin2π8=csπ4=22≠右边，故错误；
对于D，左边＝﹣（2cs222.5°﹣1）＝﹣cs45°=−22≠右边，故正确．
故选：D．
11．已知sinθ=35，则cs2θ＝ 725 ．
【答案】725．
【解答】解：由题意得cs2θ=1−2sin2θ=1−2×(35)2=725．
故答案为：725
12．已知sin(θ+π6)=23，则sin(2θ−π6)= −19 ．
【答案】−19．
【解答】解：因为sin(θ+π6)=23，
所以sin(2θ−π6)=sin(2θ+π3−π2)
=−cs(2θ+π3)
=2sin2(θ+π6)−1
=2×(23)2−1
=−19．
故答案为：−19．
13．若角α的终边经过点（1，4），则tan（π﹣2α）＝ 815 ，sin2α1+cs2α= 4 ．
【答案】815；4．
【解答】解：角α的终边过点（1，4），则tanα=41=4，
所以tan（π﹣2α）＝﹣tan2α＝﹣tan2α=−2tanα1−tan2α=−81−42=815；
sin2α1+cs2α=2sinαcsα2cs2α=sinαcsαcs2αcs2αcs2α=tanα=4．
故答案为：815；4．
14．已知2π3＜α＜5π3，且cs(α−π3)−csα=33，则sin(2α−π3)= −223 ．
【答案】−223．
【解答】解：由题意可得12csα+32sinα−csα=33，
可得32sinα−12csα=sin(α−π6)=33；
由2π3＜α＜5π3，可得α−π6∈(π2，3π2)，
可得cs(α−π6)=−1−13=−63，
所以sin(2α−π3)=2sin(α−π6)cs(α−π6)=2×33×(−63)=−223．
故答案为：−223．
15．若sin(α−π8)=13，则cs(π4−2α)= 79 ．
【答案】79．
【解答】解：已知sin(α−π8)=13，
则cs(π4−2α)=cs(2α−π4)=cs[2(α−π8)]=1−2sin2(α−π8)=1−2×19=79．
故答案为：79．
16．已知sinθ=13，则sin(5π2−2θ)= 79 ．
【答案】79．
【解答】解：sin（5π2−2θ）＝sin（2π+π2−2θ）
＝sin（π2−2θ）＝cs2θ．
又sinθ=13，
所以cs2θ=1−2sin2θ=1−2×(13)2=79．
故答案为：79．
17．已知a→=(1， csθ)，b→=(sinθ， 2)，且a→⊥b→，且tan2θ＝ 43 ．
【答案】43．
【解答】解：由题意可得1×sinθ+2×csθ＝0，
可得tanθ＝﹣2，
可得tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×(−2)1−(−2)2=43．
故答案为：43．
18．设向量a→=(2csθ，sinθ)，向量b→=(1，−1)，且a→⊥b→，则sin(3π2+2θ)= 35 ．
【答案】35．
【解答】解：∵向量a→=(2csθ，sinθ)，向量b→=(1，−1)，且a→⊥b→，
∴a→⋅b→=2csθ−sinθ=0，
∴tanθ＝2，
∴sin(3π2+2θ)=−cs2θ=−(cs2θ−sin2θ)=−cs2θ−sin2θcs2θ+sin2θ=−1−tan2θ1+tan2θ=35．
故答案为：35．
19．已知sinα=35，α∈(π2，π)．
（1）求csα，tanα的值；
（2）求sin2α，cs2α的值；
（3）求cs(α+π3)的值．
【答案】（1）csα=−45；tanα=−34；
（2）sin2α=−2425；cs2α=725；
（3）cs(α+π3)=−4+3310．
【解答】解：（1）由sinα=35，α∈(π2，π)可得csα=−45，tanα=−34；
（2）所以sin2α=2sinαcsα=2×35×(−45)=−2425；
cs2α=cs2α−sin2α=(−45)2−(35)2=725；
（3）cs(α+π3)=csαcsπ3−sinαsinπ3=−45×12−35×32=−4+3310．
▉题型2 二倍角的三角函数的逆用
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α=2tanα1−tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcsα
cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α
tan2α=2tanα1−tan2α
﹣将具有二倍角公式展开模式的表达式，改写成二倍角并求解．
20．化简sinα2csα2=（ ）
A．sinαB．12sinαC．csαD．12csα
【答案】B
【解答】解：根据sinα＝sin（2×α2）＝2sinα2csα2，可得sinα2csα2=12sinα．
故选：B．
21．cs245°﹣sin245°＝（ ）
A．−22B．−12C．0D．1
【答案】C
【解答】解：cs245°−sin245°=(22)2−(22)2=0．
故选：C．
22．cs275°﹣sin275°的值为（ ）
A．−32B．−12C．12D．32
【答案】A
【解答】解：cs275°﹣sin275°＝cs150°＝﹣cs30°=−32．
故选：A．
▉题型3 半角的三角函数
【知识点的认识】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tanα2=sinα2csα2=sinα2⋅csα2cs2α2=sinα1+csα；②tanα2=sinα2csα2=sin2α2sinα2⋅csα2=1−csαsinα．
【解题方法点拨】
例：函数y=sinx(1+tanx⋅tanx2)的最小正周期为 π ．
解：∵y=sinx(1+tanx⋅tanx2)
=sinx(1+tanx⋅1−csxsinx)
＝sinx+tanx（1﹣csx）
＝sinx+tanx﹣sinx
＝tanx
∴T＝π
故答案为：π
这个题的解题关键就是正切函数半角的转化，所用的公式就是这里列出来的上面一种，像这个问题的思路其实是简单的，就是化简，化成一个单独的三角函数，而且只能是把tanx化成正余弦函数．
23．已知α是第二象限角，且3sinα+4csα＝0，则tanα2=（ ）
A．2B．12C．﹣2D．−12
【答案】A
【解答】解：∵3sinα+4csα＝0，
∴3tanα+4＝0，可得：tanα=−43=2tanα21−tan2α2，整理可得：2tan2α2−3tanα2−2＝0，
∴解得：tanα2=2，或−12，
∵α是第二象限角，
∴kπ+π4＜α2＜kπ+π2，k∈Z，
∴tanα2＞0，故tanα2=2．
故选：A．
24．若sinα=−35，且α∈(π，3π2)，则tanα2的值为 ﹣3 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：因为α∈(π，3π2)，所以csα=−1−sin2α=−1−(−35)2=−45，
所以tanα=sinαcsα=34=2tanα21−tan2α2，解得tanα2=−3或13，
因为α∈(π，3π2)，所以α2∈(π2，3π4)，所以tanα2=−3．
故答案为：﹣3．
题型1 求二倍角的三角函数值
题型2 二倍角的三角函数的逆用
题型3 半角的三角函数