北师大版 (2019)必修 第二册同角三角函数的基本关系精品学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册同角三角函数的基本关系精品学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：sinαcsα=tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs _α ，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin _α ，cs（π+α）＝﹣cs _α ，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin _α ，cs（﹣α）＝cs _α ．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs _α ．
公式五：sin（π2−α）＝csα ，cs（π2−α）＝sinα．
公式六：sin（π2+α）＝cs α ，cs（π2+α）＝﹣sin α
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝cs αcsβ +sin αsinβ ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝cs αcsβ ﹣sin αsinβ ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sin αcsβ +cs αsinβ ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sin αcsβ ﹣cs αsinβ ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin _α cs _α ；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α ＝2cs2α﹣1 ＝1﹣2sin2α ；
（3）T2α：tan 2α=2tanα1−tan2α．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“kπ2±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
1．已知tanα＝2，则sinα+2csα3sinα−csα的值为（ ）
A．−25B．45C．23D．25
2．已知sinα﹣2csα＝0，则3csα−4sinαsinα+csα=（ ）
A．49B．−54C．34D．−53
3．已知tanα＝5，则2sinα+3csα3sinα−2csα=（ ）
A．1713B．1C．35D．713
4．已知角α满足sinαcsα+2sinα=14，则tanα的值为（ ）
A．2B．﹣2C．12D．−12
5．已知α为第四象限角，且tanα＝﹣2，则csα＝（ ）
A．55B．−55C．255D．−255
6．已知α为第四象限角，且tanα＝﹣2，则csα＝（ ）
A．55B．−55C．255D．−255
7．若2sin2θ+3cs2θ＝3，则csθ＝（ ）
A．1B．﹣1C．±1D．0
（多选）8．已知α∈（0，π）且sinα+csα=55，则下列结论正确的是（ ）
A．sinαcsα=−25B．tan（5π﹣α）＝2
C．tanα=−12D．cs2α+2sin2α=14
（多选）9．若α是第二象限角，下列各式中不成立的是（ ）
A．tanα=−sinαcsαB．csα=−1−sin2α
C．sinα=−1−cs2αD．tanα=csαsinα
10．已知sinθ+csθ=43，θ∈(0，π4)，则sinθ﹣csθ的值为 ．
11．已知sinα+csα=−22，α∈(−π2，0)，则sinα﹣csα＝ ．
12．已知tanα=−512，则4sinαcsα﹣cs2α+1＝ ．
13．已知tan（π+α）＝5，则2sinα+3csα3sinα−2csα= ．
14．（1）已知csα=55，求sinα和tanα的值；
（2）已知108x＝3，4y＝3，求1x−1y的值；
（3）已知α∈（0，π），sinα+csα=15，求csα﹣sinα的值．
▉题型2 同角正弦、余弦的平方和为1
【知识点的认识】
同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
同角正弦和余弦的平方和为1．
【解题方法点拨】
﹣利用恒等式sin2θ+cs2θ＝1进行计算．
﹣结合具体问题，应用恒等式简化三角函数表达式．
﹣验证计算结果的正确性．
（多选）15．设α∈（0，π），已知sinα，csα是方程3x2﹣x﹣m＝0的两根，则下列等式正确的是（ ）
A．m=−34
B．sinα−csα=173
C．tanα=713
D．cs2α−sin2α=−179
16．已知α∈（0，π），且sinα+csα=713，则sinα﹣csα＝ ．
▉题型3 同角正弦、余弦的商为正切
【知识点的认识】
同角三角函数的基本关系
（2）商数关系：sinαcsα=tanα．
同角正弦和余弦的商为正切．
【解题方法点拨】
﹣利用关系式tanθ=sinθcsθ进行计算．
﹣结合具体问题，应用关系式简化三角函数表达式．
﹣验证计算结果的正确性．
17．已知tan(α+π4)=2，则sinαcsα+sinα=（ ）
A．14B．34C．32D．−12
18．已知tanα＝3，则csα−cs3αsinα的值为（ ）
A．34B．310C．35D．23
19．已知tanα＝2，则sinα+csαsinα−csα= ．
20．已知tanα＝3，则sinα+csαsinα−csα= ．
21．（1）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实根，求sin2α﹣2sinαcsα+3cs2α的值；
（2）已知sinα−csα=12，且α∈（0，π），求1sinα+1csα的值．
题型1 同角三角函数间的基本关系
题型2 同角正弦、余弦的平方和为1
题型3 同角正弦、余弦的商为正切