数学必修 第二册从力的做功到向量的数量积精品导学案

这是一份数学必修 第二册从力的做功到向量的数量积精品导学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 平面向量的概念与平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小写字母a→、b→，…表示．有向向量的长度为模，表示为|AB→|、|a→|，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB→|．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是AB→|AB→|）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
1．下列说法正确的是（ ）
A．若|a→|=|b→|，则a→=±b→
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
【答案】B
【解答】解：对于选项A，若|a→|=|b→|，则a→与b→的模相等，但方向无法确定，即选项A错误；
对于选项B，零向量的长度是0，即选项B正确；
对于选项C，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，即选项C错误；
对于选项D，共线向量是方向相同的向量，规定零向量与任意向量共线，即选项D错误，
故选：B．
2．已知向量a→=(4，3)，则与向量a→同向的单位向量的坐标为（ ）
A．(35，−45)B．(45，35)C．(−45，−35)D．(−35，45)
【答案】B
【解答】解：根据题意，向量a→=(4，3)，则|a→|=5，
所以与向量a→同向的单位向量为a→|a→|=(45，35)．
故选：B．
3．下面命题中，正确的是（ ）
A．若|a→|=|b→|，则a→=b→B．若|a→|＞|b→|，则a→＞b→
C．若a→=−b→，则a→∥b→D．若|a→|=0，则a→=0
【答案】C
【解答】解：对于A，若|a→|=|b→|，但两向量方向不确定，则a→=b→不成立，故A错误；
对于B，向量无法比较大小，故B错误；
对于C，若a→=−b→，则两向量反向，因此a→∥b→，故C正确；
对于D，若|a→|=0，则a→=0→，故D错误．
故选：C．
▉题型2 平面向量中的零向量与单位向量
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是AB→|AB→|）．
【知识点的认识】
﹣零向量：0→它的模为0，方向是任意的．
﹣单位向量：模为1的向量，用于表示方向．任何非零向量v→可以通过v→|v→|转换为单位向量．
【解题方法点拨】
﹣零向量的应用：在向量加法中，零向量不会改变其他向量的值．
﹣单位向量的使用：将向量标准化为单位向量以简化方向的表示和计算．
给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若a→，b→都是单位向量，则a→=b→；
③若|a→|＝|b→|，则a→=b→或a→=−b→．
则所有正确命题的序号是_____．
解：①零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确，
②若a→，b→都是单位向量，则a→和b→不一定相等，方向可能不同，故②错误，
③若|a→|＝|b→|，只能说明其大小相等，推不出a→=b→或a→=−b→，故③错误，
故答案为：①．
4．与向量a→=（﹣3，4）反向的单位向量是（ ）
A．b→=(35，−45)B．b→=(−35，45)
C．b→=(45，−35)D．b→=(−45，35)
【答案】A
【解答】解：设与向量a→=（﹣3，4）反向的单位向量是b→，
则b→=−a→|a→|=−1(−3)2+42⋅(−3，4)=(35，−45)．
故答案为：A．
▉题型3 平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量a→，b→如果以O为起点，作OA→=a→，OB→=b→，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量a→与向量b→的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量a→，b→的夹角为θ，那么我们把|a→||b→|csθ叫做a→与b→的数量积，记做a→⋅b→
即：a→⋅b→=|a→||b→|csθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0→•a→=0．
注意：
①a→⋅b→ 表示数量而不表示向量，符号由csθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：b→在a→上的投影是一个数量|b→|csθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则a→⋅b→=x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：a→与b→的数量积a→⋅b→等于a→的长度|a→|与b→在a→的方向上的投影|b→|csθ的积．
5．已知平面内三点A（2，1），B（6，4），C（1，16），则向量AB→在BC→的方向上的投影为（ ）
A．165B．335C．1613D．3313
【答案】C
【解答】解：AB→=(4，3)，BC→=(−5，12)，
∴AB→⋅BC→=−20+36=16，|BC→|=13，
∴AB→在BC→方向上的投影为：AB→⋅BC→|BC→|=1613．
故选：C．
▉题型4 平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→与b→和夹角为θ，则：
（1）a→⋅e→=e→⋅a→=|a→|csθ；
（2）a→⊥b→⇔a→⋅b→=0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→，b→方向相反时，a→⋅b→=−|a→||b→|；
特别地：a→⋅a→=|a→|2或|a→|=a→⋅a→（用于计算向量的模）
（4）csθ=a→⋅b→|a→||b→|（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）|a→⋅b→|≤|a→||b→|
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：a→⋅b→=b→⋅a→；
（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅b→）=a→•（λb→）；
（3）分配律：（a→⋅b→）•c→≠a→•（b→⋅c→）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→−b→）（a→+b→）=a→2−b→2．③a→•（b→•c→）≠（a→•b→）•c→，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=b→”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”；
⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=b→”，
即③错误；
∵|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴acbc=ab”不能类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”；向量的数量积不满足消元律，故acbc=ab”不能类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→．
6．已知θ∈R，向量a→=(sin2θ，cs2θ)，b→=(2，1)，则(a→+b→)⋅b→=（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【解答】解：由题意可得：(a→+b→)⋅b→=a→⋅b→+|b→|2=2sin2θ+cs2θ+5=2sin2θ+1−2sin2θ+5=6．
故选：A．
7．已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|+AC→|AC→|)⋅BC→=0，且|AB→−AC→|=22，|AB→+AC→|=62，点D是△ABC的边AB上的动点，则DB→⋅DC→的最小值为（ ）
A．﹣1B．−14C．−15D．−78
【答案】C
【解答】解：已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|+AC→|AC→|)⋅BC→=0，且|AB→−AC→|=22，|AB→+AC→|=62，点D是△ABC的边AB上的动点，
∵AB→|AB→|，AC→|AC→|分别表示AB→与AC→方向相同的单位向量，
∴以AB→|AB→|，AC→|AC→|这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，
故AB→|AB→|+AC→|AC→|所在直线为∠BAC的角平分线所在直线，
∵(AB→|AB→|+AC→|AC→|)⋅BC→=0，∴∠BAC的平分线与BC垂直，故AB＝AC；
取BC的中点O，连接AO，则AO⊥BC，
根据平面向量的减法法则和中线向量可得|AB→−AC→|=|CB→|=22，|AB→+AC→|=2|AO→|=62，
∴|AO→|=32，
建立如图平面直角坐标系，
则B(−2，0)，C(2，0)，A(0，32)，故BA→=(2，32)，
因为点D是△ABC的边AB上的动点，
所以设BD→=λBA→(0≤λ≤1)，则BD→=(2λ，32λ)，∴D(2λ−2，32λ)，
∴DB→=(−2λ，−32λ)，DC→=(22−2λ，−32λ)，
根据平面向量数量积的坐标公式可得DB→⋅DC→=−2λ⋅(22−2λ)+(−32λ)⋅(−32λ)=20λ2−4λ，
利用二次函数的性质可知当λ=−−42×20=110时，DB→⋅DC→有最小值，最小值为−15．
故选：C．
（多选）8．对于平面向量a→，b→，c→，下列说法错误的是（ ）
A．若|a→−b→|=|a→+b→|，则a→⊥b→
B．(a→⋅b→)⋅c→=a→⋅(b→⋅c→)
C．若a→⋅b→=a→⋅c→，且a→≠0→，则b→=c→
D．{2e1→−e2→，4e1→−2e2→}可以作为平面向量的一个基底
【答案】BCD
【解答】解：对于A：若|a→−b→|=|a→+b→|，则|a→−b→|2=|a→+b→|2，
所以a→2−2a→⋅b→+b→2=a→2+2a→⋅b→+b→2，
所以a→⋅b→=0，
所以a→⊥b→，故A正确；
对于B：(a→⋅b→)⋅c→是与c→共线的向量，a→⋅(b→⋅c→)是与a→共线的向量，
而a→与c→不一定是共线向量，故B错误；
对于C：若a→⋅b→=a→⋅c→，可得a→⋅(b→−c→)=0，
因为a→≠0→，则a→⊥(b→−c→)或b→=c→，故C错误；
对于D：因为4e1→−2e2→=2(2e1→−e2→)，
所以4e1→−2e2→与2e1→−e2→共线，
所以{2e1→−e2→，4e1→−2e2→}不可以作为平面向量的一个基底，故D错误．
故选：BCD．
9．在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝3，AD＝a，且AB→⋅DC→=7，则a的最大值为 5 ．
【答案】5．
【解答】解：因为在平面四边形ABCD中，又AB＝BC＝CD＝3，AD＝a，且AB→⋅DC→=7，
所以作出示意图如下：
其中点E满足AE→=DC→，所以AD＝CE，
所以cs∠BAE=AB→⋅AE→|AB→|⋅|AE→|=AB→⋅DC→|AB→|⋅|AE→|=79，
所以BE=AB2+AE2−2AB×AEcs∠BAE=2，
所以AD＝CE≤BC+BE＝5，当且仅当C，B，E三点共线，即AD∥BC时等号成立，
所以a的最大值为5．
故答案为：5．
10．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，A＝60°，点D，E满足AD＝2DB，AC→=2CE→，AC边上的中线BM与DE交于点O．设AB→=a→，AC→=b→．
（1）用向量a→，b→表示BM→，DE→；
（2）求∠MOE．
【答案】（1）BM→=−a→+12b→，DE→=−23a→+32b→；
（2）∠MOE=π3．
【解答】解：（1）因为BM为AC边上的中线，
BM→=BA→+AM→=BA→+12AC→=−AB→+12AC→=−a→+12b→，
因为AD→=2DB→，AC→=2CE→，
所以AD→=23AB→，AE→=32AC→，
所以DE→=DA→+AE→=−AD→+AE→=−23AB→+32AC→=−23a→+32b→；
（2）由AB＝3，AC＝4得|a→|=3，|b→|=4，
又A＝60°，所以向量a→与b→的夹角为60°，
由图形可知∠MOE的大小等于向量BM→与DE→的夹角，
|BM→|=(−a→+12b→)2=a→2+14b→2−a→⋅b→=9+14×16−3×4×12=7，
|DE→|=(−23a→+32b→)2=49a→2+94b→2−2a→⋅b→=49×9+94×16−2×3×4×12=27，
BM→⋅DE→=(−a→+12b→)⋅(−23a→+32b→)=23a→2−116a→⋅b→+34b→2=23×9−116×3×4×12+34×16=7，
所以cs∠MOE=BM→⋅DE→|BM→|⋅|DE→|=727×7=12，
又因为∠MOE∈（0，π），所以∠MOE=π3．
▉题型5 平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→投影，A1B1叫做向量a→在向量b→上的投影向量．
向量a→在向量b→上的投影向量是|a→|csθb→|b→|．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把|a→|csθ叫作向量a→在向量b→上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|e→csθ（其中e→为与b→同向的单位向量），它是一个向量，且与b→共线，其方向由向量a→和b→夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：a→在b→方向上的投影向量与b→在a→方向上的投影向量不同，b→在a→方向上的投影向量为|b→|csθa→|a→|．
11．若向量a→，b→满足|b→|＝3，a→•b→=−6，则a→在b→上的投影向量是（ ）
A．−12b→B．−13b→C．23b→D．−23b→
【答案】D
【解答】解：因为|b→|＝3，a→•b→=−6，
所以a→在b→上的投影向量为a→⋅b→|b→|⋅b→|b→|=−63×3b→=−23b→．
故选：D．
12．已知向量a→=（0，−23），b→=（1，3），则向量a→在向量b→方向上的投影向量为（ ）
A．(32，32)B．(32，332)
C．(−32，−32)D．(−32，−332)
【答案】D
【解答】解：因为向量a→=（0，−23），b→=（1，3），
所以向量a→在向量b→方向上的投影向量为：
|a→|cs＜a→，b→＞b→|b→|=a→⋅b→|b→|2b→=−64（1，3）＝（−32，−332）．
故选：D．
13．已知向量a→=（﹣1，2），b→=（2，﹣1），则向量a→在向量b→方向上的投影向量为（ ）
A．45b→B．−45b→C．45a→D．−45a→
【答案】B
【解答】解：根据投影向量的定义，可得向量a→在向量b→方向上的投影向量为：
a→ ⋅ b→|b→|2b→=−45b→．
故选：B．
14．已知a→=（1，3），b→=（2，0），则a→在b→上的投影向量为（ ）
A．（1，0）B．(3，0)C．(12，32)D．(32，32)
【答案】A
【解答】解：根据题意，可得|b→|＝2，a→⋅b→=1×2+3×0＝2，
所以a→在b→上的投影向量为a→⋅b→|b→|•b→|b→|=12b→=（1，0）．
故选：A．
▉题型6 平面向量的数量投影
【知识点的认识】
1、两个向量的数量积及其性质：
（1）a→•b→＝|a→||b→|cs＜a→，b→＞；
（2）a→⊥b→⇔a→•b→=0（a→，b→为非零向量）；
（3）|a→|2=a→2，|a→|=a2+b2+c2．
2、向量的投影：|b→|csθ=a→⋅b→|a→|∈R，称为向量b→在a→方向上的投影．
15．已知a→=(1，2)，b→=(1，−7)，c→=2a→+b→，则c→在a→方向上的投影为 −355 ．
【答案】−355．
【解答】解：∵a→=(1，2)，b→=(1，−7)，c→=2a→+b→，可得c→=（3，﹣3），
∴c→⋅a→=3﹣6＝﹣3，|a→|=5，
∴c→在a→方向上的投影为：c→⋅a→|a→|=−355．
故答案为：−355．
▉题型7 平面向量数量积的坐标运算
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量a→，b→如果以O为起点，作OA→=a→，OB→=b→，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量a→与向量b→的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量a→，b→的夹角为θ，那么我们把|a→||b→|csθ叫做a→与b→的数量积，记做a→⋅b→
即：a→⋅b→=|a→||b→|csθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0→•a→=0．
注意：
①a→⋅b→ 表示数量而不表示向量，符号由csθ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：b→在a→上的投影是一个数量|b→|csθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则a→⋅b→=x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：a→与b→的数量积a→⋅b→等于a→的长度|a→|与b→在a→的方向上的投影|b→|csθ的积．
16．设x∈R，向量a→=(3，x)，b→=(1，−1)且a→⊥b→，则cs〈a→+b→，a→〉=（ ）
A．1010B．31010C．91010D．10
【答案】B
【解答】解：因为a→=(3，x)，b→=(1，−1)，又a→⊥b→，所以3﹣x＝0，解得x＝3，
所以a→=(3，3)，a→+b→=(4，2)，
所以cs〈a→+b→，a→〉=3×4+3×232+32⋅42+22=31010，
所以cs〈a→+b→，a→〉=31010．
故选：B．
17．已知a→=(1，2)，b→=(2，−1)，则a→⋅(a→−b→)的值为（ ）
A．3B．5C．4D．6
【答案】B
【解答】解：由题意，可得a→−b→=(−1，3)，
又a→=(1，2)，所以a→⋅(a→−b→)=5．
故选：B．
18．已知平面向量a→=(3，−2)，b→=(1，λ+1)，若a→⊥b→，则λ＝（ ）
A．12B．−13C．−53D．−52
【答案】A
【解答】解：a=(3，−2)，b=(1，λ+1)，
由a→⊥b→，得a→⋅b→=3−2(λ+1)=0，
所以λ=12．
故选：A．
19．已知a→=（2，﹣1），b→=(1，−1)，则(a→+2b→)⋅(a→−3b→)等于（ ）
A．10B．﹣10C．3D．﹣3
【答案】B
【解答】解：∵a→+2b→=(4，−3)，a→−3b→=(−1，2)，
∴(a→+2b→)⋅(a→−3b→)=4×(−1)+(−3)×2=−10．
故选：B．
20．若向量a→=（﹣7，t），b→=（﹣1，4），且a→⊥b→，则t＝（ ）
A．28B．﹣28C．74D．−74
【答案】D
【解答】解：由a→⊥b→，可得a→⋅b→=(−7)×(−1)+4t=0，即4t+7＝0，解得t=−74．
故选：D．
▉题型8 数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量a→与b→不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为 60° ．
解：zz=3+i3−i=(3+i)2(3−i)(3+i)=2+23i4=12+32i=cs60°+isin60°．
∴复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（3，1）与向量（3，﹣1）的夹角．
21．已知a→，b→是两个单位向量，若向量a→在向量b→上的投影向量为12b→，则向量a→与向量a→−b→的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【答案】B
【解答】解：设向量a→与向量a→−b→的夹角为α，
由题意得，|a→|＝|b→|＝1，
因为向量a→在向量b→上的投影向量为12b→，
所以a→⋅b→|b→|⋅b→|b→|=12b→，
即a→⋅b→=12，
所以|a→−b→|=(a→−b→)2=a→2−2a→⋅b→+b→2=1−2×12+1=1，
则csα=a→⋅(a→−b→)|a→||a→−b→|=a→2−a→⋅b→=1−12=12，
因为0°≤α≤180°，
所以α＝60°．
故选：B．
22．设向量a→，b→满足|a→|＝|b→|＝1及|3a→−2b→|=7，则a→，b→的夹角为（ ）
A．π3B．π6C．π4D．2π3
【答案】A
【解答】解：将|3a→−2b→|=7平方，得9|a→|2+4|b→|2−12a→⋅b→=7，
由已知有：9+4﹣12csθ＝7，∴csθ=12，因为两个向量的夹角范围为：0≤θ≤π，
则θ=π3．
故选：A．
23．平面向量a→，b→满足|a→|＝2，|b→|＝1，且（3a→−2b→）•（a→+b→）＝9，则向量a→，b→的夹角为（ ）
A．π3B．2π3C．3π4D．5π6
【答案】B
【解答】解：因为|a→|=2，|b→|=1，且(3a→−2b→)⋅(a→+b→)=9，
所以3a→2+a→⋅b→−2b→2=9，
则12+a→⋅b→−2=9，a→⋅b→=−1，
设向量a→，b→的夹角为θ，则2×1×csθ=−1，csθ=−12，θ∈[0，π]，
则θ=2π3．
故选：B．
24．已知向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=2且a→⊥(a→+b→)，则a→与b→的夹角为（ ）
A．π6B．2π3C．3π4D．5π6
【答案】B
【解答】解：∵|a→|=1，a→⊥(a→+b→)，
∴a→⋅(a→+b→)=a→2+a→⋅b→=1+a→⋅b→=0，∴a→⋅b→=−1，且|b→|=2，
∴cs＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→||b→|=−12，且＜a→，b→＞∈[0，π]，
∴＜a→，b→＞=2π3．
故选：B．
25．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA→|=|OB→|=|OC→|，NA→+NB→+NC→=0→，且PA→⋅PB→=PB→⋅PC→=PC→⋅PA→，则点O，N，P依次是△ABC的（ ）
A．重心 外心 垂心B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心D．外心 重心 内心
【答案】C
【解答】解：∵|OA|＝|OB|＝|OC|，∴O到三角形三个顶点的距离相等，
∴O是三角形的外心，
根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，
∴只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，
∵PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，∴PB→⋅（PA→−PC→）＝0，PB→⋅CA→=0，∴PB→⊥CA→，
同理得到另外两个向量都与边垂直，
得到P是三角形的垂心，
故选：C．
26．已知向量a→，b→满足|b→|＝2|a→|，若a→⊥（a→−b→），则a→与b→的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【答案】B
【解答】解：由题意，a→，b→满足|b→|＝2|a→|，
若a→⊥（a→−b→），则有a→⋅(a→−b→)=a→2−a→⋅b→=0，
即a→⋅b→=a→2=14b→2，
设a→与b→的夹角为θ，θ∈[0，π]，
则有csθ=a→⋅b→|a→||b→|=14b→212b→2=12，
则a→与b→的夹角为π3．
故选：B．
▉题型9 两点间的距离公式
【知识点的认识】
﹣距离公式：两点（x1，y1）和（x2，y2）之间的距离由公式：
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
这是平面直角坐标系中常用的距离计算公式．
【解题方法点拨】
﹣计算距离：
1．代入公式：将两点的坐标代入距离公式．
2．简化计算：计算平方差的和，开方得到距离．
27．已知函数y=32x+32与函数y＝2x+1﹣2﹣1﹣x的图象交于M，N，P三点，则此三点中最远的两点间的距离为 13 ．
【答案】13．
【解答】解：不妨记y1=f(x)=32x+32=32(x+1)，y2=g(x)=2x+1−2−1−x=2x+1−2−(1+x)，
函数y=32x与y＝2x﹣2﹣x是奇函数且关于坐标原点对称，
易知f（x），g（x）两个函数的图象均以点（﹣1，0）为对称中心，
所以三个交点中一个必是点（﹣1，0），另外两个点关于点（﹣1，0）对称．
不妨记N（﹣1，0），设M(x1，32x1+32)，x1＞−1，所以f（x1）＝g（x1），
即32(x1+1)=2x1+1−2−(1+x1)，解得x1+1＝1，x1＝0，
则|MN|=(x1+1)2+(32x1+32)2=134=132，
所以此三点中最远的两点间的距离为2|MN|=13．
故答案为：13．
28．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设A（x1，y1），B（x2，y2），则欧几里得距离D（A，B）=(x1−x2)2+(y1−y2)2，曼哈顿距离d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，余弦距离e（A，B）＝1﹣cs（A，B），其中cs（A，B）＝cs〈OA→，OB→〉（O为坐标原点）．
（提示：方程ax+by+c＝0（a，b，c∈R）表示一条直线，可由两点求直线方程）
（1）若A（﹣1，2），B（1，﹣1），求A，B之间的曼哈顿距离d（A，B）和余弦距离e（A，B）；
（2）若点M（2，1），d（M，N）＝1，求e（M，N）的最大值．
【答案】（1）d（A，B）＝5，e(A，B)=10+31010；
（2）1−255．
【解答】解：（1）因为A（﹣1，2），B（1，﹣1），
所以d（A，B）＝|﹣1﹣1|+|2﹣（﹣1）|＝5，
可得OA→=（﹣1，2），OB→=（1，﹣1），
所以|OA→|=(−1)2+22=5，|OB→|=12+(−1)2=2，
又因为OA→⋅OB→=1×(−1)+(−1)×2=−3，
所以cs(A，B)=cs〈OA→，OB→〉=OA→⋅OB→|OA→||OB→|=−35×2=−31010，
由题意可得e(A，B)=1−cs(A，B)=1−−31010=10+31010；
（2）设N（x，y），由题意得：d（M，N）＝|2﹣x|+|1﹣y|＝1，
即|x﹣2|+|y﹣1|＝1，
当x≥2y≥1时，可化为x+y﹣4＝0；
当x≥2y≤1时，可化为x﹣y﹣2＝0；
当x≤2y≥1时，可化为x﹣y＝0；
当x≤2y≤1时，可化为x+y﹣2＝0；
而|x﹣2|+|y﹣1|＝1表示的图形是正方形ABCD，
其中A（2，0）、B（3，1）、C（2，2）、D（1，1）．
即点N在正方形ABCD的边上运动，OM→=(2，1)，ON→=(x，y)，
当cs(M，N)=cs〈OM→，ON→〉取到最小值时，〈OM→，ON→〉最大，相应的e（M，N）有最大值，
因此，点N有如下两种可能：
①点N为点A，则ON→=(2，0)，
可得OM→•ON→=2×2+1×0＝4，|OM→|=22+12=5，|ON→|＝2，
可得cs(M，N)=cs〈OM→，ON→〉=42×5=255；
②点N在线段CD上运动时，此时ON→与DC→=(1，1)同向，取ON→=(1，1)，
得OM→•ON→=2×1+1×1＝3，|OM→|=22+12=5，|ON→|=12+12=2，
则cs(M，N)=cs〈OM→，ON→〉=35×2=31010．
因为31010＞255，所以e（M，N）的最大值为1−255．
29．如图，在四面体A﹣BCD中，AC＝2，BD=2，AC与BD所成的角为45°，M，N分别为AB，CD的中点，求线段MN的长．
【答案】22或102．
【解答】解：取BC的中点E，连接EM，EN，
∵M，E分别是AB，BC的中点，∴ME∥AC，ME＝AC＝1，
同理得ENBD，EN＝BD=22，
∴∠MEN是异面直线AC与BD所成角或其补角，
∵AC与BD所成的角为45°，
∴∠MEN＝45°或∠MEN＝135°，
在△MEN中，ME＝1，EN=22，
当∠MEN＝45°时，
MN=EM2+EN2−2EM⋅ENcs45°=12+(22)2−2×1×22×22=22，
当∠MEN＝135°时，
MN=EM2+EN2−2EM⋅ENcs135°=12+(22)2−2×1×22×(−22)=102，
∴线段MN的长为22或102．
故答案为：22或102．
题型1 平面向量的概念与平面向量的模
题型2 平面向量中的零向量与单位向量
题型3 平面向量数量积的含义与物理意义
题型4 平面向量数量积的性质及其运算
题型5 平面向量的投影向量
题型6 平面向量的数量投影
题型7 平面向量数量积的坐标运算
题型8 数量积表示两个平面向量的夹角
题型9 两点间的距离公式