数学北师大版 (2019)6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例授课ppt课件

平面向量在几何、物理中的应用举例

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？

2．如何用向量方法解决物理问题？

二、新知探究

1.向量在几何中的应用

角度一：平面几何中的垂直问题

例1：如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE．

证明：法一：设＝a，＝b，

则|a|＝|b|，a·b＝0，

又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，

所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0．

故⊥，即AF⊥DE．

法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A（0，0），D（0，2），E（1，0），F（2，1），＝（2，1），＝（1，－2）．

因为·＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，

所以⊥，即AF⊥DE．

角度二：平面几何中的平行（或共线）问题

例2：如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝．求证：点E，O，F在同一直线上．

证明：设＝m，＝n，

由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，

所以＝＋＝＋

＝－m＋（m＋n）＝m＋n，

＝＋＝＋

＝（m＋n）－m＝m＋n．

所以＝．

又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．

角度三：平面几何中的长度问题

例3：如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．

解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，

而||＝|a－b|＝＝＝＝2，

所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝．

【规律方法】

用向量方法解决平面几何问题的步骤

2.向量在物理中的应用

例4：（1）在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

（2）已知两恒力F1＝（3，4），F2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0），求F1，F2分别对质点所做的功．

解：（1）如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．

因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．

在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12．5．

||＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°．

（2）设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s．

因为＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）．

所以W1＝F1·＝（3，4）·（－13，－15）

＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦），

W2＝F2·＝（6，－5）·（－13，－15）

＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）．

【规律方法】

用向量方法解决物理问题的“三步曲”

三、课堂总结

1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”

2．向量在物理学中的应用

（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．

（2）物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ（θ为F与s的夹角）．

四、课堂检测

1．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（   ）

A．10 m/s B．2 m/s

C．4 m/s D．12 m/s

解析：选B．由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．

所以小船在静水中的速度大小

|v|＝＝2（m/s）．

2．已知三个力f1＝（－2，－1），f2＝（－3，2），f3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝（   ）

A．（－1，－2） B．（1，－2）

C．（－1，2） D．（1，2）

解析：选D．由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－（f1＋f2＋f3）＝（1，2）．

3．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB．

证明：设＝λ（λ＞0且λ≠1），因为＝－＝＋－＝＋（－）

＝＋[（－）－（＋）]

＝＋（－）

＝（＋）＝（－λ＋1），

所以∥，又P，Q，A，B四点不共线，所以PQ∥AB．