高中数学平面向量基本定理及坐标表示优质导学案

这是一份高中数学平面向量基本定理及坐标表示优质导学案，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a→=λ1e1→+λ2e2→．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
1．如图，在△ABC中，AN→=12NC→，P是线段BN上的一点，若AP→=mAB→+15AC→，则实数m的值为（ ）
A．35B．25 C．1415D．910
【答案】B
【解答】解：∵AP→=AN→+NP→=AN→+λNB→=AN→+λ （AB→−AN→）
＝λAB→+（1﹣λ）AN→=λAB→+1−λ3AC→
∴1−λ3=15，∴m＝λ=25．
故选：B．
2．设D为△ABC所在平面内一点，CD→=3BD→，则（ ）
A．AD→=−13AB→+43AC→B．AD→=32AB→−12AC→
C．AD→=−32AB→+12AC→D．AD→=43AB→−13AC→
【答案】B
【解答】解：根据题意可知AD→=AC→+CD→=AC→+32CB→=AC→+32（AB→+AC→）=32AB→−12AC→．
故选：B．
3．已知△ABC，点D为边BC上一点，且满足BD→=2DC→，则向量AD→=（ ）
A．13AB→+13AC→B．13AB→+23AC→C．23AB→+13AC→D．23AB→+23AC→
【答案】B
【解答】解：∵BD→=2DC→，
∴AD→−AB→=2(AC→−AD→)，
∴AD→=13AB→+23AC→．
故选：B．
4．在△ABC中，D是AC边的中点，且点M满足BD→=3BM→，若AM→=λAB→+μAC→，则λ+μ＝（ ）
A．12B．23C．34D．56
【答案】D
【解答】解：由BD→=3BM→，可得AD→−AB→=3（AM→−AB→），整理得AM→=23AB→+13AD→，
结合D为AC中点，可得AD→=12AC→，所以AM→=23AB→+16AC→，
结合题意AM→=λAB→+μAC→，可得λ=23，μ=16，所以λ+μ=56．
故选：D．
5．如图，在△ABC中，AN→=tNC→(t＞0)，BP→=λPN→(λ＞0)，若AP→=34AC→−14BC→，则λ+t的值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】C
【解答】解：因为BP→=λPN→，
所以AP→=AB→+BP→=AB→+λλ+1BN→=AB→+λλ+1(−AB→+AN→)=AB→1+λ+λAN→1+λ，
因为AN→=tNC→(t＞0)，
所以AN→=tt+1AC→，AP→=AB→1+λ+tλ(1+t)(1+λ)AC→，
因为AP→=34AC→−14BC→=34AC→−14(−AB→+AC→)=14AB→+12AC→，
所以11+λ=14tλ(1+t)(1+λ)=12，
解得：λ＝3，t＝2，
所以λ+t＝5．
故选：C．
6．已知e1→，e2→是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．a→=0→，b→=e1→−e2→
B．a→=3e1→−3e2→，b→=e1→−e2→
C．a→=e1→−2e2→，b→=e1→+2e2→
D．a→=e1→−2e2→，b→=2e1→−4e2→
【答案】C
【解答】解：对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底，故A错误，
对于B：因为a→=3e1→−3e2→，b→=e1→−e2→，所以a→=3b→，所以此两个向量不可以作为基底，故B错误，
对于C：设a→=λb→，即e1→−2e2→=λ(e1→+2e2→)，则1=λ−2=2λ，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底，故C正确，
对于D：设a→=e1→−2e2→，b→=2e1→−4e2→，所以a→=12b→，所以此两个向量不可以作为基底，故D错误．
故选：C．
7．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC→=a→，BD→=b→，则AF→等于（ ）
A．14a→+12b→B．23a→+13b→C．12a→+14b→D．13a→+23b→
【答案】B
【解答】解：由已知可得：△DEF∽△AEB，
又DEEB=13，即DFAB=13，
即DF→=13AB→，
即AF→=AD→+13DC→，
即AF→=12(a→+b→)+13×12(a→−b→)=23a→+13b→，
故选：B．
▉题型2 平面向量的基底
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a→=λ1e1→+λ2e2→．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
【解题方法点拨】
﹣基底表示：将任意向量表示为基底向量的线性组合．
﹣转换基底：在不同基底下转换向量表示时，使用相应的基底向量．
8．已知e1→，e2→是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（ ）
A．a→=0→，b→=e1→−e2→
B．a→=2e1→+e2→，b→=12e1→+14e2→
C．a→=e1→−2e2→，b→=2e1→+4e2→
D．a→=3e1→+3e2→，b→=−e1→−e2→
【答案】C
【解答】解：对于A，因为a→∥b→，所以a→，b→不可以作为平面向量一组基底，故A不符题意；
对于B，因为a→=4b→，所以a→，b→不可以作为平面向量一组基底，故B不符题意；
对于C，假设a→∥b→，则存在唯一实数λ，使得b→=λa→，即2e1→+4e2→=λ(e1→−2e2→)，
所以2=λ4=−2λ，无解，
所以向量a→，b→不共线，所以a→，b→可以作为平面向量一组基底，故C符合题意；
对于D，因为a→=−3b→，所以a→∥b→，
所以a→，b→不可以作为平面向量一组基底，故D不符题意．
故选：C．
▉题型3 用平面向量的基底表示平面向量
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a→=λ1e1→+λ2e2→．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
【解题方法点拨】
﹣表示转换：将向量v→写成基底向量的线性组合．例如，v→用基底e→1和e→2表示为v→=xe→1+ye→2．
﹣基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合．
9．如图，AD为ΔABC的边BC上的中线，且AD→=a→，AC→=b→，那么AB→为（ ）
A．2a→−b→B．a→−2b→C．2a→+b→D．a→+2b→
【答案】A
【解答】解：根据题意，可得CD→=DB→，即AD→−AC→=AB→−AD→，整理得AB→=2AD→−AC→=2a→−b→．
故选：A．
10．已知在平行四边形ABCD中，AP→=2PD→，CQ→=2QB→，记AD→=m→，AB→=n→，则PQ→=（ ）
A．−14m→+n→B．m→−13n→C．m→−14n→D．−13m→+n→
【答案】D
【解答】解：如图，
则PQ→=PA→+AB→+BQ→，其中BQ→=13BC→，AP→=23AD→=23m→，
因为在平行四边形ABCD中，有BC→=AD→，
所以PA→+AB→+BQ→=−23m→+n→+13m→=−13m→+n→．
故选：D．
▉题型4 平面向量的正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1、平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2、平面向量的坐标表示：
若i→、j→为平面直角坐标系中与x轴、y轴同向的单位向量，则对于平面内任一向量a→，有且仅有一对实数x，y，使得a→=xi→+yj→，使得a→=xi→+yj→，我们把（x，y）称为a→的坐标．表达式为a→=xi→+yj→=（x，y）
11．设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为2π3，如图所示．
（1）求F3的大小；
（2）求F2与F3的夹角．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意|F3→|＝|F1→+F2→|，
∵|F1|＝1，|F2|＝2，且F1→与F2→的夹角为23π，
∴|F3→|＝|F1→+F2→|=1+4+2⋅1⋅2⋅(−12)=3；
（2）∵F3→=−（F1→+F2→），
∴F3→•F2→=−F1→•F2→−F2→•F2→，
∴3•2•cs＜F3→，F2→＞=−1•2•（−12）﹣4，
∴cs＜F3→，F2→＞=−32，
∴＜F3→，F2→＞=5π6．
▉题型5 平面向量加减法的坐标运算
【知识点的认识】
﹣向量加法：如果a→=(a1，a2)和b→=(b1，b2)，则a→+b→=(a1+b1，a2+b2)．
﹣向量减法：如果a→=(a1，a2)和b→=(b1，b2)，则a→−b→=(a1−b1，a2−b2)．
【解题方法点拨】
﹣坐标运算：直接对向量的坐标分量进行加减操作，得出结果．
﹣实际应用：用于解决如点的移动、向量差等问题．
12．设向量a→，b→满足|a→|＝25，b→=（2，1），且a→与b→的方向相反，则a→的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣2）B．（3，4）C．（4，2）D．（﹣3，﹣4）
【答案】A
【解答】解：∵b→=(2，1)，且a→与b→的方向相反，∴设a→=(2t，t)(t＜0)，
又∵|a→|=25，
∴4t2+t2＝20，t2＝4，t＝﹣2，此时a→=(−4，−2)．
故选：A．
13．已知向量a→=(1，2)，b→=(2，1)，则|a→−b→|＝（ ）
A．2B．2C．5D．5
【答案】A
【解答】解：根据题意，向量a→=(1，2)，b→=(2，1)，
则a→−b→=（﹣1，1），则|a→−b→|=1+1=2，
故选：A．
（多选）14．已知向量a→=(1，x)，b→=(x−2，x)，若|a→+b→|=|a→−b→|，则x等于（ ）
A．0B．﹣1C．1D．﹣2
【答案】CD
【解答】解：由a→=(1，x)，b→=(x−2，x)，
可得a→+b→=(x−1，2x)，a→−b→=(3−x，0)，
∴|a→+b→|=(x−1)2+4x2，|a→−b→|=(3−x)2，
又∵|a→+b→|=|a→−b→|，
∴x2+x﹣2＝0，解得x＝1或﹣2．
故选：CD．
15．设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2）．
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标；
（3）点P是直线P1P2上的一点．当P1P→=λPP2→时，点P的坐标是什么？
【答案】（1）P(x1+x22，y1+y22)；
（2）(2x1+x23，2y1+y23)或(x1+2x23，y1+2y23)；
（3）P(x1+λx21+λ，y1+λy21+λ)．
【解答】解：（1）当P是线段P1P2的中点时，OP→=12(OP1→+OP2→)，
∴OP→=12（x1+x2，y1+y2）＝（x1+x22，y1+y22），
∴P(x1+x22，y1+y22)；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，分两种情况：
①当P1P→=13P1P2→时，
OP→=OP1→+P1P→=OP1→+13P1P2→=OP1→+13(OP2→−OP1→)=23OP1→+13OP2→=23(x1，y1)+13(x2，y2)=(2x1+x23，2y1+y23)，
∴P(2x1+x23，2y1+y23)，
②当P1P→=23P1P2→时，
OP→=OP1→+P1P→=OP1→+23P1P2→=OP1→+23(OP2→−OP1→)=13OP1→+23OP2→=13(x1，y1)+23(x2，y2)=(x1+2x23，y1+2y23)，
∴P(x1+2x23，y1+2y23)，
综上所述，点P的坐标为(2x1+x23，2y1+y23)或(x1+2x23，y1+2y23)；
（3）设P（x，y），
∵P1P→=(x−x1，y−y1)，PP2→=(x2−x，y2−y)，
又∵P1P→=λPP2→，λ≠﹣1，
∴（x﹣x1，y﹣y1）＝λ（x2﹣x，y2﹣y），
即x−x1=λ(x2−x)y−y1=λ(y2−y)，解得x=x1+λx21+λy=y1+λy21+λ，
∴P(x1+λx21+λ，y1+λy21+λ)．
▉题型6 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
【知识点的认识】
﹣数乘：对向量a→=(a1，a2)进行标量k的数乘，结果为ka→=(ka1，ka2)．
﹣线性运算：包括向量加法、减法和数乘等运算，可以应用于各种问题的求解．
【解题方法点拨】
﹣数乘计算：将向量的每个分量乘以标量k，得到数乘结果．
﹣线性运算应用：在计算问题中应用线性运算规则，如向量的缩放和组合问题．
16．已知向量AB→=（5，1），BC→=（m，9），CD→=（8，5）．若A，C，D三点共线，则m＝（ ）
A．54B．﹣11C．11D．−54
【答案】C
【解答】解：因为向量AB→=(5，1)，BC→=(m，9)，
所以AC→=AB→+BC→=(m+5，10)，
因为A、C、D三点共线，则AC→∥CD→，
CD→=(8，5)，
所以5（m+5）＝8×10，解得m＝11．
故选：C．
17．已知点A（﹣1，2），B（0，3），点P在线段AB上，且|AP→|=3|PB→|，则点P的坐标是（ ）
A．(−34，114)B．(−14，114)C．(114，14)D．(114，34)
【答案】B
【解答】解：由点P在线段AB上，且|AP→|=3|PB→|知AP→=3PB→，
设P点坐标为（x，y），则（x+1，y﹣2）＝3（﹣x，3﹣y），
即x+1=3⋅(−x)y−2=3(3−y)，解得x=−14，y=114．
故选：B．
18．已知点A（﹣1，4），B（3，7），C是线段AB上靠近点B的一个三等分点，则点C的坐标为（ ）
A．(13，6)B．(53，6)C．(13，5)D．(53，5)
【答案】B
【解答】解：因为点A（﹣1，4），B（3，7），设C（x，y），
可得AC→=23AB→，AB→=(4，3)，
又AC→=(x+1，y−4)，所以23(4，3)=(x+1，y−4)，
即x+1=83y−4=2，解得C(53，6)．
故选：B．
（多选）19．已知△ABC中，点D（1，2），E（2，0），F（3，2）分别为AB，BC，CA的中点，则（ ）
A．EF→=(1，2)B．CF→=(1，−2)
C．点A的坐标为（2，4）D．△ABF的面积为4
【答案】ACD
【解答】解：E（2，0），F（3，2），所以EF→=(3，2)−(2，0)=(1，2)，故A选项正确；
因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以CF→=ED→=(1，2)−(2，0)=(−1，2)，故B选项错误；
设A（x，y），B（m，n），C（p，q），
则有1=x+m22=y+n2，2=m+p20=n+q2，3=x+p22=y+q2，
解得A（2，4），B（0，0），C（4，0），故C选项正确；
由C可知S△ABC=12×4×4=8，S△BCF=12×4×2=4
所以△ABF的面积为S△ABC﹣S△BCF＝8﹣4＝4，故D选项正确．
故选：ACD．
（多选）20．已知向量m→和a→，b→均不共线，且m→=xa→+yb→(x，y∈R)，则向量a→，b→可以是（ ）
A．a→=(1，3)，b→=(3，−1)B．a→=(2，−4)，b→=(−1，2)
C．a→=(−3，2)，b→=(3，2)D．a→=(0，2)，b→=(0，1)
【答案】AC
【解答】解：由向量m→和a→，b→均不共线，且m→=xa→+yb→(x，y∈R)，
可得，a→，b→不共线．
A．∵1×（﹣1）﹣3×3＝﹣10≠0，∴a→，b→不共线，A正确．
B．∵a→=(2，−4)，b→=(−1，2)，∴a→=−2b→，故a→，b→为共线向量，B错误．
C．∵﹣3×2﹣2×3＝﹣12≠0，∴a→，b→不共线，C正确．
D．∵a→=(0，2)，b→=(0，1)，∴a→=2b→，故a→，b→为共线向量，D错误．
故符合条件的只有AC．
故选：AC．
▉题型7 平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则b→∥a→（a→≠0→）⇔x1y2﹣x2y1＝0．
21．已知平面向量a→=(2，x)，b→=(x+2，4)，则“x＝2”是“a→∥b→”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：若“a→∥b→”成立，则x（x+2）﹣2×4＝0，解得x＝2或﹣4，
因此，由“x＝2”可以推出“a→∥b→”，反之，由“a→∥b→”不能推出“x＝2”，
故“x＝2”是“a→∥b→”的充分不必要条件．
故选：A．
22．已知点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且AP→=12AB→，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣1，−32）B．（﹣8，1）C．（1，32）D．（8，﹣1）
【答案】A
【解答】解：点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且AP→=12AB→，设点P的坐标为（x，y），
则（x﹣3，y+2）=12（﹣8，1）＝（﹣4，12），
∴x﹣3＝﹣4，y+2=12，求得x＝﹣1，y=−32，故点C的坐标为（﹣1，−32），
故选：A．
23．已知向量a→=（4，x），b→=（x，1），那么“x＝2”是“a→∥b→”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：向量a→=（4，x），b→=（x，1），a→∥b→，则4＝x2，解之得x＝±2，
则“x＝2”是“x＝±2”的充分而不必要条件，
即向量a→=（4，x），b→=（x，1），那么“x＝2”是“a→∥b→”的充分而不必要条件，
故选：A．
24．已知向量a→=(1，3)与b→=(m−4，m)共线，则实数m＝（ ）
A．8B．6C．2D．1
【答案】B
【解答】解：由题意得，m＝3（m﹣4），解得m＝6．
故选：B．
25．已知向量a→=(x，2)，b→=(x−2，1)，且a→∥b→，则x的值为（ ）
A．﹣2或4B．﹣2C．23D．4
【答案】D
【解答】解：因为a→∥b→，向量a→=(x，2)，b→=(x−2，1)，
则2（x﹣2）＝x，解得x＝4．
故选：D．
26．已知向量a→=（1，﹣3）与b→=（4，k）共线，则实数k＝（ ）
A．14B．﹣12C．﹣4D．112
【答案】B
【解答】解：∵向量a→=（1，﹣3）与b→=（4，k）共线，
∴41=k−3，
解得k＝﹣12．
故选：B．
27．已知平面向量a→=(−2，1)，b→=(−4，x)，若a→与a→+2b→共线，则实数x的值为（ ）
A．2B．﹣2C．8D．﹣8
【答案】A
【解答】解：由题意可得a→+2b→=(−10，1+2x)，
∵a→=(−2，1)与a→+2b→=(−10，1+2x)共线，
∴﹣2（1+2x）＝﹣10，解得x＝2．
故选：A．
28．已知向量a→=（﹣1，2），b→=（2，x）．若a→∥b→，则|b→|＝（ ）
A．23B．25C．42D．210
【答案】B
【解答】解：向量a→=（﹣1，2），b→=（2，x）．a→∥b→，
则﹣x＝4，解得x＝﹣4，
故|b→|=22+(−4)2=25．
故选：B．
题型1 平面向量的基本定理
题型2 平面向量的基底
题型3 用平面向量的基底表示平面向量
题型4 平面向量的正交分解及坐标表示
题型5 平面向量加减法的坐标运算
题型6 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
题型7 平面向量共线（平行）的坐标表示