高中数学北师大版 (2019)必修 第二册两角和与差的三角函数公式优秀学案设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册两角和与差的三角函数公式优秀学案设计，共9页。学案主要包含了知识点的认识，解题方法点拨等内容，欢迎下载使用。

▉题型1 两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
1．已知sinα=55，sinβ=1010，且α和β均为钝角，则α+β的值为（ ）
A．3π2B．5π4C．5π4或7π4D．7π4
【答案】D
【解答】解：∵α和β均为钝角，
∴csα=−1−sin2α=−255，csβ=−1−sin2β=−31010．
∴cs（α+β）=csαcsβ−sinαsinβ=−255×(−31010)−55×1010=22．
由α和β均为钝角，得π＜α+β＜2π，∴α+β=7π4．
故选：D．
2．已知cs(π3−α)+sin(4π3+α)=0，则cs(2α−π6)=（ ）
A．12B．32C．−12D．−32
【答案】A
【解答】解：∵cs(π3−α)+sin(4π3+α)=0，
由诱导公式可得，sin(π3+α)=cs(π3−α)，
由和差角公式可得，32csα+12sinα=12csα+32sinα，
则csα＝sinα，
可得tanα＝1，
∴α=π4+kπ(k∈Z)，
∴cs(2α−π6)=sinπ6=12．
故选：A．
3．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（0°≤θ≤80°）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htanθ．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，第二次的“晷影长”是“表高”的2倍，且cs2α+sin2α=−15，则tan（α﹣β）的值为（ ）
A．17B．−17C．13D．−13
【答案】A
【解答】解：由题意可知：tanβ＝2，
则cs2α=cs2α−sin2αcs2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α，sin2α=2sinαcsαcs2α+sin2α=2tanα1+tan2α，
可得cs2α+sin2α=1+2tanα−tan2α1+tan2α=−15，
解得tanα＝3或tanα=−12（舍去），
所以tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=17．
故选：A．
4．已知函数f(x)=32sin2x+32cs2x，则下列选项错误的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．曲线y＝f（x）关于点(π3，0)中心对称
C．f（x）的最大值为3
D．曲线y＝f（x）关于直线x=π6对称
【答案】B
【解答】解：f(x)=32sin2x+32cs2x=3sin（2x+π6），T＝π，所以选项A正确．
若曲线y＝f（x）关于点（a，0）中心对称，则f（a）＝0．
计算f(π3)=3sin(2×π3+π6)=3sin(4π6+π6)=3sin5π6=3×12=32≠0，所以曲线y＝f（x）不关于点(π3，0)中心对称，选项B错误．
因为正弦函数sinθ的最大值为1，在f(x)=3sin(2x+π6)中，f（x）max=3，选项C正确．
若曲线y＝f（x）关于直线x＝b对称，则f（b）为函数的最值．
计算f（π6）=3，3是函数f（x）的最大值，所以曲线y＝f（x）关于直线x=π6对称，选项D正确．
故选：B．
▉题型2 求两角和与差的三角函数值
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
【解题方法点拨】
﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcsβ±csαsinβ
cs（α±β）＝csαcsβ∓sinαsinβ
tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ
﹣将具体角度值代入公式，求解三角函数值．
﹣验证计算结果的正确性．
5．已知tanα=56，tanβ=6，则tan（α+β）＝（ ）
A．−4124B．4124C．−131D．131
【答案】A
【解答】解：因为tanα=56，tanβ=6，所以tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ=56+61−56×6=−4124．
故选：A．
6．已知cs(α+π6)=35，且α∈(0，π3)，则sin(α+5π12)的值是（ ）
A．7210B．−235C．−7210D．235
【答案】A
【解答】解：因为α∈(0，π3)，则α+π6∈（π6，π2），所以sin（α+π6）＞0，
且sin（α+π6）=1−cs2(α+π6)=1−925=45，
而sin(α+5π12)=sin[（α+π6）+π4]＝sin（α+π6）csπ4+cs（α+π6）sinπ4=45×22+35×22=7210．
故选：A．
7．已知cs（α﹣β）＝m，tanαtanβ＝2，则cs（α+β）＝（ ）
A．﹣3mB．−m3C．m3D．3m
【答案】B
【解答】解：因为cs（α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ＝m，tanαtanβ=sinαsinβcsαcsβ=2，
所以sinαsinβ＝2csαcsβ，
故csαcsβ+2csαcsβ＝m即csαcsβ=m3，
从而sinαsinβ=2m3，
故cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=m3−2m3=−m3．
故选：B．
8．已知cs（x+y）＝3cs（x﹣y），则tanxtany＝（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
【答案】B
【解答】解：由cs（x+y）＝3cs（x﹣y），
可得csxcsy﹣sinxsiny＝3（csxcsy+sinxsiny），
化简得﹣4sinxsiny＝2csxcsy，所以tanxtany=sinxsinycsxcsy=−12．
故选：B．
9．已知角α，β∈(0，π2)，且sinβ＝2cs（α+β）sinα，当tanβ取得最大值时，角α＝（ ）
A．π2B．π3C．π4D．π6
【答案】D
【解答】解：因为sinβ＝2cs（α+β）sinα＝2（csαcsβ﹣sinαsinβ）sinα＝2csαcsβsinα﹣2sin2αsinβ，
所以sinβ+2sin2αsinβ＝2csαcsβsinα，
所以sinβ（1+2sin2α）＝2csαcsβsinα，
因为α，β∈(0，π2)，
所以tanβ=2csαsinα1+2sin2α，即tanβ=sin2α1+2sin2α，
所以tanβ=sin2α1+2×1−cs2α2=sin2α2−cs2α，
令t＝tanα，
则tanβ=2t1+t22−1−t21+t2=2t2(1+t2)−(1−t2)=2t1+3t2，
因为α∈(0，π2)，所以t＞0，则tanβ=2t1+3t2=23t+1t．
根据均值不等式对于有：3t+1t≥23t×1t=23，
当且仅当3t=1t，即t=33时等号成立．
所以tanβ=23t+1t≤223=33，即当t=33时，tanβ取得最大值33．
因为t=tanα=33，且α∈(0，π2)，所以α=π6．
当tanβ取得最大值时，角α=π6．
故选：D．
10．已知sinα+csβ=23，csα+sinβ=−13，则sin（α+β）＝（ ）
A．1318B．−1118C．−1318D．−139
【答案】C
【解答】解：若sinα+csβ=23，
则(sinα+csβ)2=sin2α+2sinαcsβ+cs2β=49，
若csα+sinβ=−13，
则(csα+sinβ)2=cs2α+2csαsinβ+sin2β=19，
将两式子相加可得2sinαcsβ+2csαsinβ=59−2=−139，
化简得sinαcsβ+csαsinβ=−1318，
由两角和的正弦公式得sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=−1318，故C正确．
故选：C．
11．设sinα+sinβ=13，则12cs2α+sin(2π−β)−12的最小值为（ ）
A．−112B．−13C．−139D．−73
【答案】C
【解答】解：由sinα+sinβ=13得，sinβ=13−sinα，
因为﹣1≤sinβ≤1，
所以−1≤13−sinα≤1，解得−23≤sinα≤1，
于是12cs2α+sin(2π−β)−12
＝﹣sinβ﹣sin2α=−13+sinα−sin2α
根据二次函数性质可知，当sinα=−23时，12cs2α+sin(2π−β)−12取最小值−139．
故选：C．
12．已知角β的终边上一点P的坐标为（1，2），则tan(β+π4)=（ ）
A．−13B．13C．﹣3D．3
【答案】C
【解答】解：由题意可得：x＝1，y＝2，则tanβ=yx=2，
则tan（β+π4）=tanβ+11−tanβ=2+11−2=−3．
故选：C．
13．已知−π2＜α−β＜π2，sinα−2csβ=1，csα+2sinβ=2，则cs（α﹣β）＝（ ）
A．32B．63C．33D．12
【答案】A
【解答】解：由sinα﹣2csβ＝1，平方得sin2α+4cs2β﹣4sinαcsβ＝1…①，
由csα+2sinβ=2，平方得cs2α+4sin2β+4csαsinβ＝2…②，
①+②，可得5+4（csαsinβ﹣sinαcsβ）＝3，
即5﹣4sin（α﹣β）＝3，解得sin(α−β)=12．
结合−π2＜α−β＜π2，可得cs(α−β)=1−[sin(α−β)]2=1−14=32．
故选：A．
14．已知α是第二象限角且sinα=35，2sinβ−csβ=0，则tan（α﹣β）的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．211
【答案】C
【解答】解：因为α是第二象限角且sinα=35，则csα=−45，所以tanα=−34，
又2sinβ﹣csβ＝0，则tanβ=12，
则tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ=−34−121+(−34)×12=−2．
故选：C．
15．已知α，β都是锐角，tanα=17，sinβ=1010，则tan（α+2β）＝（ ）
A．1B．35C．43D．34
【答案】A
【解答】解：因为α，β都是锐角，tanα=17，sinβ=1010，
所以csβ=31010，tanβ=13，
所以tan2β=2tanβ1−tan2β=231−19=34，
则tan（α+2β）=tanα+tan2β1−tanαtan2β=17+341−17×34=1．
故选：A．
16．（1）已知csα=13，α是第四象限角，sinβ=35，β是第二象限角，求cs（α﹣β）的值；
（2）已知tanα=17，sinβ=1010，α，β∈(0，π2)，求α+2β．
【答案】（1）−4+6215；
（2）π4．
【解答】解：（1）因为csα=13，α是第四象限角，
所以sinα=−1−cs2α=−223，同理求得csβ=−1−sin2β=−45，
所以cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=−415−6215=−4+6215；
（2）因为sinβ=1010，且β为锐角，
所以csβ=1−sin2β=31010，可得tanβ=sinβcsβ=13，
tan2β=2tanβ1−tan2β=2×131−(13)2=34＞0，结合0＜2β＜π，可得0＜2β＜π2，
因为0＜α＜π2，所以0＜α+2β＜π，
由tanα=17，可得tan(α+2β)=tanα+tan2β1−tanαtan2β=17+341−17×34=1，所以α+2β=π4．
17．（1）若cs(α−β)=55，cs2α=1010，并且α，β均为锐角，且α＜β，求α+β的值；
（2）已知α∈(0，π2)，且cs(α+π3)=−63，求sinα．
【答案】（1）不存在；
（2）3+326．
【解答】解：（1）由题意得−π2＜α−β＜0，
结合cs(α−β)=55，可得sin(α−β)=−1−cs2(α−β)=−255，
因为cs2α=1010＞0，且α为锐角，
所以0＜2α＜π2，即0＜α＜π4，可得sin2α=1−cs22α=31010，
cs（α+β）＝cs[2α﹣（α﹣β）]＝cs2αcs（α﹣β）+sin2αsin（α﹣β）
=1010×55−31010×255=−22，结合α+β∈（0，π），可得α+β=3π4，
而0＜α＜π4，β∈（0，π2），可得0＜α+β＜3π4，与α+β=3π4矛盾，所以满足条件的α+β不存在；
（2）由题意得π3＜α+π3＜5π6，
结合cs(α+π3)=−63，可得sin(α+π3)=−1−(−63)2=33，
所以sinα=sin[(α+π3)−π3]=sin(α+π3)csπ3−cs(α+π3)sinπ3
=33×12−(−63)×32=3+326．
▉题型3 两角和与差的三角函数的逆用
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
【解题方法点拨】
﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcsβ±csαsinβ
cs（α±β）＝csαcsβ∓sinαsinβ
tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ
﹣将具有右侧模式的表达式改写成两角和与差的三角函数形式并计算．
18．sin130°cs170°﹣cs50°sin10°＝（ ）
A．−32B．32C．−12D．12
【答案】A
【解答】解：原式＝﹣sin50°cs10°﹣cs50°sin10°
=−sin(50°+10°)=−sin60°=−32．
故选：A．
19．已知α，β均为锐角，sinα＝2sinβcs（α+β），则tanα的最大值为（ ）
A．3B．2C．33D．22
【答案】C
【解答】解：因为sinα＝sin[（α+β）﹣β]＝sin（α+β）csβ﹣cs（α+β）sinβ＝2sinβcs（α+β），
所以sin（α+β）csβ＝3sinβcs（α+β），即tan（α+β）＝3tanβ，
所以tanα＝tan[（α+β）﹣β]=tan(α+β)−tanβ1+tan(α+β)tanβ=2tanβ1+3tan2β，
因为β为锐角，所以tanβ＞0，所以2tanβ1+3tan2β=21tanβ+3tanβ≤221tanβ⋅3tanβ=33，
当且仅当1tanβ=3tanβ，即tanβ=33时取等号；
所以tanα的最大值是33．
故选：C．
20．sin70°sin10°+cs10°sin20°＝（ ）
A．1B．12C．0D．32
【答案】B
【解答】解：sin70°sin10°+cs10°sin20°
＝sin70°sin10°+cs10°cs70°
＝cs60°=12．
故选：B．
21．已知sinx−2csx=5sin(x+φ)，则sinφ﹣2csφ＝（ ）
A．0B．455C．−455D．5
【答案】C
【解答】解：由题意可得sinx−2csx=5sin(x+φ)=5sinxcsφ+5csxsinφ，
所以csφ=55，sinφ=−255，
则sinφ−2csφ=−255−2×55=−455．
故选：C．
（多选）22．下列关系式正确的是（ ）
A．sin20°cs65°−sin65°cs20°=22
B．sin75°cs75°=14
C．sin215°=2−34
D．sin170°cs50°−cs40°cs10°=−12
【答案】BC
【解答】解：根据sin20°cs65°﹣sin65°cs20°＝sin（20°﹣65°）＝﹣sin45°=−22，可知A错误；
根据sin75°cs75°=12×2sin75°cs75°=12sin150°=12sin30°=14，可知B正确；
根据sin215°=1−cs30°2=2−34，可知C正确；
根据sin170°cs50°﹣cs40°cs10°＝sin10°sin40°﹣cs40°cs10°，
＝﹣（cs40°cs10°﹣sin10°sin40°）=−cs(40°+10°)=−cs50°≠−12，可知D错误．
故选：BC．
（多选）23．下列各式中，计算结果为3的是（ ）
A．tan25°+tan35°+3tan25°tan35°
B．cs85°cs25°﹣sin85°sin25°
C．sin15°+cs15°cs15°−sin15°
D．sin40°+sin80°cs20°
【答案】ACD
【解答】解：A，因为tan（25°+35°）=tan25°+tan35°1−tan25°tan35°=3，
所以tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=3，A正确；
cs85°cs25°﹣sin85°sin25°＝cs（85°+25°）＝cs110°≠3，B错误；
sin15°+cs15°cs15°−sin15°=tan15°+11−tan15°=tan45°+tan15°1−tan15°tan45°=tan60°=3，C正确；
sin40°+sin80°cs20°=sin(60°−20°)+sin(60°+20°)cs20°=2sin60°cs20°cs20°=3，D正确．
故选：ACD．
题型1 两角和与差的三角函数
题型2 求两角和与差的三角函数值
题型3 两角和与差的三角函数的逆用