高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册离散型随机变量的数字特征教案设计，共21页。
课题
7.3.2 离散型随机变量的方差
教学目标
1. 通过具体实例，理解离散型随机变量的方差与标准差的概念.在引入方差的概念中，体会从特殊到一般，从理论到实践、类比的探究过程和思想方法.
2.能计算简单离散型随机变量的方差与标准差，并能解决一些实际问题.
3.掌握离散型随机变量的方差的性质.了解性质可以帮助我们简化方差的计算，还可以了解方差的本质。
教学重点:通过离散型随机变量的方差的学习，体会数学抽象的素养.
教学难点：用方差解决实际问题，提升数学运算的素养.
教学过程
1. 复习回顾
上一节课学习的离散型随机变量的均值中，我们是从比较两名运动员射箭水平为问题情境，先直观判断在类比样本方差均值得到离散型随机变量的定量刻画，给出离散型随机变量的均值的定义，然后通过例题理解运用，了解离散型随机变量的均值的实际意义.本节课我们继续用此路径学习离散型随机变量的方差.
问题情境→直观判断→ 回顾类比→定量刻画→决策建议
设计意图：通过复习离散型随机变量的均值，让学生回顾体会离散型随机变量的均值反映数据的集中趋势，回顾学习路径，体现学习的连贯性、一致性和系统性，同时也为学生学习指明方向.
2. 单元结构
设计意图：形成知识的框架.
3.建构新知
问题 1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数 X 和 Y 的分布列如下表 1 和表 2 所示：如何评价这两名同学的射击水平？
表 1 表 2
思考 1：可以从哪些方面评价这两名同学的射击水平？
预设答案：生 1：均值.
生 2：看中 10 环的概率，中位数，众数.
生 3：方差.
师生活动：先计算均值 E(X)= 8 ;E(Y)=8
因为两个均值相等，所以均值不能区分这两名同学的射击水平.均值，中位数，众数为我们提供数据的集中趋势的信息，这是概括数据特征的有效方法.但仅知道数据集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，所以射击水平除了要考虑击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.
总结：类似两组数据的比较，不仅要了解均值，还要考虑其稳定性，即数据的离散程度.
设计意图：发散学生思维，激发学生学习的探索欲.
思考 2：如何分析数据的离散程度呢？
预设答案：生 1：观察表格中数据.
生 2：类比样本的方差.
生 3：画数据的条形图.
师生活动：先观察表格中数据，发现两名同学环数大部分集中在 7，8，9 环.在借助条形图比较
图 1
图 2
图 1 和图 2 分别是X 和 Y 的概率分布图：发现乙同学的射击成绩更集中于 8 环，即乙同学的射击成绩更稳定。
设计意图：通过知识回顾，提出问题.在具体的问题情境中，引发学生思考积极参与互动，说出自己见解.从而引入离散型随机变量方差的概念，发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.
思考 3：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度?
追问 1：样本的离散程度是用哪个量刻画的？
预设答案：样本方差.
师生活动：我们一起回顾样本方差的研究路径;假设一组数据是x1, x2,, xn 用x 示这组数
,
据的平均数.
距离x i x
平均距离
n
i1
xi x
2 1
方差S n
n
（xi x）2
i1
标准差S
1
n
n
（xi x）2
i1
设计意图：回顾样本方差的研究过程，希望学生能类比样本方差，归纳出离散型随机变量的方差.再次理解为什么方差用“偏差平方的平均值”来计算.
追问 2：能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的离散程度？
我们知道,样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值 ”来实现的，一个自然的想法是,随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢?
样本方差：
2 1 2 2 2
S =n [(x1 - x) +(x2 - x) +... +(xn - x) ]
设离散型随机变量 X 分布列如下表：
X
x1
x2
x3
…
x1
P
p1
P2
P3
…
Pn
类比样本方差猜想归纳出离散型随机变量 X 的方差：
D(X) =(x1 - E(X))2 ×p1 +(x2 - E(X))2 ×p2 +... +(xn - E(X))2 ×pn
考虑 X 所有可能取值xi 与E(X) 的的偏差的平方 (x1 - E(X))2，(x2 - EX)2，(xn - EX)2 . 因为X 取 每 个 值 的 概 率 不 尽 相 同 ， 而 偏 差 平 方 关 于 取 值 概 率 的 加 权 平 均 为(x1 - E(X))2 p1 +L +(xn - EX)2 pn 所以可以用这个加权平均数来衡量随机变量 X 取值与其均
,
值 E(X)的偏离程度.一般地
D(X) =(x1 - E(X))2 ×p1 +(x2 - E(X))2 ×p2 +... +(xn - E(X))2 ×pn
= (xi E(X))2 pi
为离散型随机变量 X 的方差，有时也高为 Var(X),并称 为离散型随机变量 X 的标准差.记为（X）.
总结：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度，方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
设计意图：提升学生类比归纳能力，以及自主建构新知的能力.
追问 3：根据方差定义，我们可以计算问题 1 中两名同学射击成绩的方差和标准差吗？
师生活动：问题 1 中两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画它们成绩的稳定性.两名同学射
击成绩的方差和标准差分别为:
10
D(X) (i 8)2 P(X i) 1.16, 1.077;
i6
10
D(Y) (i 8)2P（Y i) 0.92, · 0.959
i6
因为 D(Y)