2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用1.1集合(9大)(精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用1.1集合(9大)(精练)(学生版+解析)，共18页。试卷主要包含了已知，且，则，若，则的可能取值有等内容，欢迎下载使用。
题型一：集合的含义与表示
1．已知，且，则（ ）
A．0B．C．0或3D．或3
2．（2025·西藏拉萨·一模）集合中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（ ）
A．B．C．D．
题型二：元素与集合的基本关系
4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知集合，若集合中至少有2个元素，则（ ）
A．B．C．D．
题型三：集合元素的特征
7．已知集合，则集合中的元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
8．若，则的可能取值有（ ）
A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3
9．（2025·高三·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（ ）
A．1B．C．2D．1或2
题型四：集合间的基本关系
10．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
11．集合，则的子集个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
12．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
13．已知集合，，若，，则集合的个数为（ ）
A．2B．4C．7D．8
题型五：集合的基本运算
14．已知全集，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
15．已知全集，集合，，则（ ）
A．或B．或
C．D．
16．若全集，集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
题型六：集合与排列组合的综合应用
17．若，则符合条件的有序集合对的个数为（ ）
A．81B．90C．108D．114
18．满足的集合、共有 组．
19．（2025·高三·河北·开学考试）已知是三个集合，且满足，则满足条件的有序集合对的总数是 .（用数字作答）
题型七：韦恩图表达集合的关系及运算
20．若集合、、满足：，则（ ）
A．B．C．D．
21．（多选题）图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
22．（多选题）（2025·高三·江苏南京·期中）若表示集合和关系的图如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．，
D．
题型八：容斥问题
23．用表示有限集合中元素的个数，例如，，则.对于任意两个有限集合，若，则（ ）
A．10B．12C．14D．18
24．今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学．
A．45B．48C．53D．43
25．向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（ ）
A．赞成的不赞成的有9人
B．赞成的不赞成的有11人
C．对都赞成的有21人
D．对都不赞成的有8人
题型九：集合中的创新问题
26．（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 .
27．（2025·山西临汾·三模）已知集合，其中，，．表示中所有不同值的个数．若集合，则 ；若集合，则 ．
28．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（ ）
A．15B．16C．17D．18
1．（2024年天津高考数学真题）集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023年天津高考数学真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·河北秦皇岛·三模）已知集合，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2025·湖北黄冈·二模）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·山东济南·三模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·江苏盐城·三模）设集合，，则的元素个数为（ ）
A．B．3C．2D．1
10．（2025·四川自贡·三模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·湖南·三模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2025·河北张家口·三模）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（ ）
A．10B．40C．45D．50
14．（多选题）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（ ）.
A．.B．.
C．若，则.D．若，则.
15．（多选题）（2025·四川绵阳·三模）已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（ ）
A．4个B．7个C．9个D．10个
16．（多选题）（2025·河北·三模）已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
17．（多选题）（2025·河南开封·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
18．（2025·山西·二模）设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 .
19．（2025·四川凉山·三模）已知集合，则满足的有序集组的个数为 ．（用数字作答）
20．（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ．
21．（2025·河北·模拟预测）已知集合或，若，则 ．
22．（2025·吉林·模拟预测）已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序构成数列，则数列的通项公式为 .
23．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ．
1.1 集合
题型一：集合的含义与表示
1．已知，且，则（ ）
A．0B．C．0或3D．或3
【答案】D
【解析】由题意知n为方程的根，当时，；
当时，一元二次方程有两个相同的根，则，解得，
此时，即．
综上所述：或．
故选：D．
2．（2025·西藏拉萨·一模）集合中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，该集合中的元素有个，
故选：B.
3．（2025·辽宁·三模）已知集合，则下列判断错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意可得，所以.
故选：A.
题型二：元素与集合的基本关系
4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题可知，
故A正确，BC错误，
集合不是集合的子集，故D错误.
故选：A.
5．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题可知且
解得.
故选：C.
6．已知集合，若集合中至少有2个元素，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为集合中至少有2个元素，
所以，解得，
故选：D．
题型三：集合元素的特征
7．已知集合，则集合中的元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，；
当时，；
当时，．
所以，共有个元素．
故选：C.
8．若，则的可能取值有（ ）
A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3
【答案】C
【解析】时，可得，符合题意；
时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题意；
时，可得，符合题意.
或均可以．
故选：C.
9．（2025·高三·四川成都·期中）已知集合，若对都有，则为（ ）
A．1B．C．2D．1或2
【答案】C
【解析】由题意得，
当时，解得或，
当时，满足要求，
当时，，，，中元素均与互异性矛盾，舍去，
当时，，此时，中元素与互异性矛盾，舍去，
综上，.
故选：C
题型四：集合间的基本关系
10．（2025·四川·模拟预测）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，则.
故选：B.
11．集合，则的子集个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
【答案】C
【解析】因为，
故子集个数为，
故选：C.
12．已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以，所以，
故选：B
13．已知集合，，若，，则集合的个数为（ ）
A．2B．4C．7D．8
【答案】B
【解析】由题意知，则集合为，，，共4个.
故选：B．
题型五：集合的基本运算
14．已知全集，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为全集，集合，则，
且集合，所以.
故选：D.
15．已知全集，集合，，则（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【解析】由题可得或，则或．
故选：A.
16．若全集，集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A：若，则，所以，
与矛盾，故A错误；
B：若，则，所以，
与矛盾，故B错误；
C：若，则，
由，得，所以，
与矛盾，故C错误；
D：若，则，
由，得，
所以，故D正确.
故选：D
题型六：集合与排列组合的综合应用
17．若，则符合条件的有序集合对的个数为（ ）
A．81B．90C．108D．114
【答案】A
【解析】当时，满足条件的有序集合对有1个；
当为单元集合时，例如，
则满足条件的集合可看成由的子集与集合的并集，共有个，
所以为单元集合时，满足条件的有序集合对有个；
当为二元集合时，满足满足条件的有序集合对有个；
当为三元集合时，满足满足条件的有序集合对有个；
当为四元集合时，满足满足条件的有序集合对有个.
综上，符合条件的有序集合对的个数为.
故选：A
18．满足的集合、共有 组．
【答案】9
【解析】当时，，
当时，或，
当时，或，
当当时，或或或，
故共有9组，
故答案为：9
19．（2025·高三·河北·开学考试）已知是三个集合，且满足，则满足条件的有序集合对的总数是 .（用数字作答）
【答案】1024
【解析】集合的子集共有个，
因为，
所以集合有32种情况，集合有32种情况，
所以满足条件的有序集合对的总数是.
故答案为：1024.
题型七：韦恩图表达集合的关系及运算
20．若集合、、满足：，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
由韦恩图可知，，，，，
故选：C.
21．（多选题）图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】
如图，
A选项：①+②，则②，故A正确；
B选项：①+④，则④， 故B错误；
C选项：③，①+②+④，则②，故C正确；
D选项：①，故D错误.
故选：AC.
22．（多选题）（2025·高三·江苏南京·期中）若表示集合和关系的图如图所示，则可能是（ ）
A．
B．
C．，
D．
【答案】AD
【解析】由可知,
对于A,满足,故A正确，
对于B, ，此时不满足,故B错误，
对于C, ，当且仅当取等号，故，此时,故C错误，
对于D，或，故,D正确，
故选：AD
题型八：容斥问题
23．用表示有限集合中元素的个数，例如，，则.对于任意两个有限集合，若，则（ ）
A．10B．12C．14D．18
【答案】A
【解析】由已知作集合的韦恩图，则
故选：A
24．今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学．
A．45B．48C．53D．43
【答案】C
【解析】设集合表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，
集合表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，
表示两科均在90分以上的学生，则集合中有40个元素，
表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知中有个元素，
又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，
故选：C．
25．向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多3人，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（ ）
A．赞成的不赞成的有9人
B．赞成的不赞成的有11人
C．对都赞成的有21人
D．对都不赞成的有8人
【答案】B
【解析】赞成A的人数为，赞成B的人数为.记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B.如图所示，
设对事件A，B都赞成的学生人数为x，
则对A，B都不赞成的学生人数为.赞成A而不赞成B的人数为，
赞成B而不赞成的人数为.依题意，解得.
所以赞成A的不赞成B的有9人，赞成B的不赞成A的有12人，对A，B都赞成的有21人，对A，B都不赞成的有8人.
故选：B
题型九：集合中的创新问题
26．（2025·上海普陀·二模）设为正整数，集合，若集合满足，且对中任意的两个元素，皆有成立，记满足条件的集合的个数为，则 .
【答案】19
【解析】当时，
若为二元集：如，共有15种，
若为三元集：如共有4种，
所以总共有：种；
故答案为：19.
27．（2025·山西临汾·三模）已知集合，其中，，．表示中所有不同值的个数．若集合，则 ；若集合，则 ．
【答案】 5
【解析】由，得；
∵最多有个值，
∴，
又集合，任取，，
当时，不妨设，则，
即，
当时，，
∴当且仅当时，，
即所有的值两两不同，
∴．
故答案为：5；
28．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】B
【解析】由题设，，，…，中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，
要使最大，则各集合中（）尽量小，
可知集合，，，…，的元素个数尽量少且数值尽可能连续，
不妨设，
可得，
可得，解得：或（舍去），
所以的最大值为16.
故选：B.
1．（2024年天津高考数学真题）集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为集合，，
所以，
故选：B
2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集,集合，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为整数集，，所以，．
故选：A．
3．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
5．（2023年天津高考数学真题）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，而，
所以.
故选：A
6．（2025·河北秦皇岛·三模）已知集合，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，
而，故，
故，
故选：D.
7．（2025·湖北黄冈·二模）若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为集合表示直线上所有点的集合，其元素是点，
集合表示直线上所有点的横坐标的集合，其元素是数，
所以.
故选：D.
8．（2025·山东济南·三模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意有，，
所以，
故选：C.
9．（2025·江苏盐城·三模）设集合，，则的元素个数为（ ）
A．B．3C．2D．1
【答案】B
【解析】因为，，
所以,有3个元素.
故选：B.
10．（2025·四川自贡·三模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，，
所以.
故选：D.
11．（2025·湖南·三模）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】不等式，解得，
不等式，解得，
所以集合，，，
故选：D.
12．（2025·河北张家口·三模）若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
，
所以，
故选：A
13．（2025·北京·模拟预测）集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（ ）
A．10B．40C．45D．50
【答案】C
【解析】由题知：
，，
，，
，，，
则
故选：C
14．（多选题）（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M具有如下性质：①若，则；②若，则.下列说法中正确的有（ ）.
A．.B．.
C．若，则.D．若，则.
【答案】BC
【解析】对于，若，令，则，令，则，令，不存在，即，矛盾，所以，故错误，
对于，由于集合非空，取任意元素，根据性质①，得，再根据性质②，得，进而，故正确，
对于，因为，所以，因为，所以，故正确，
对于，若，则，故错误，
故选：.
15．（多选题）（2025·四川绵阳·三模）已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（ ）
A．4个B．7个C．9个D．10个
【答案】AB
【解析】当时，不满足集合元素的互异性，排除.
不妨设（效果一样），已知，则.
将其变形为关于的表达式：
，移项可得，进一步得到.
因为且，所以，那么.
由此可知，所以集合至多有中的一个整数，若有两个，取较小者为，会与不等式矛盾.
令，对求导，可得，所以在上是递增函数.
假设存在且，令，，
由的单调性可知，这与矛盾，
所以中至多只有中的一个整数.
因为，所以集合至多只有中的一个整数.
因为，所以集合至多有中的一个整数.
因为，所以集合至多有中的一个整数.
又因为，，，所以集合中可以同时存在，，.
综上，集合至多有个元素.
，符合条件，说明集合的元素个数可以是个或个.
故选：AB.
16．（多选题）（2025·河北·三模）已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】已知集合，
当时，；当时，；当时，，
对于A，由对集合分析知，故A不正确，
对于C，由对集合分析知，故C正确；
对于B，当时，，此时，故B正确；
对于D，当时，，故D正确.
故选：BCD.
17．（多选题）（2025·河南开封·二模）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】，
对A，若，则，则根据有，显然矛盾，故A错误；
对B，假设，则，根据有，显然矛盾，则，故B正确；
对C，由A知，，则，故C正确；
对D，显然，必有，故D错误；
故选：BC.
18．（2025·山西·二模）设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 .
【答案】
【解析】，，
显然集合的所有元素中，绝对值最小的元素是.
故答案为：.
19．（2025·四川凉山·三模）已知集合，则满足的有序集组的个数为 ．（用数字作答）
【答案】729
【解析】设集合B的元素个数为，则集合B的个数有个，
可知集合B的子集有个，即集合A的个数有个；
所以有序集组的个数为个.
故答案为：729.
20．（2025·河南·模拟预测）已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得，又因为，
所以，解得．
故答案为：.
21．（2025·河北·模拟预测）已知集合或，若，则 ．
【答案】0
【解析】由得，，因为或，
所以，所以和2是方程的两根，
所以，解得，所以．
故答案为：.
22．（2025·吉林·模拟预测）已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序构成数列，则数列的通项公式为 .
【答案】
【解析】设，
则，
等式左侧为3的倍数，为3的倍数，
所以也为3的倍数，
故为大于1的奇数，所以.
故答案为：.
23．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数且时，称M为“间断整数集”．集合的所有子集中，是“间断整数集”的个数为 ．
【答案】968
【解析】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素，
按子集中元素的个数分类，
①当元素个数为2时，不满足定义的子集有：
，共9个；
此时满足定义的子集有个，
②当元素个数为3时，不满足定义的子集有：
，共8个；
此时满足定义的子集有个，
③当元素个数为4时，不满足定义的子集有：
，共7个；
此时满足定义的子集有个，
④当元素个数为5时，不满足定义的子集有：
，共6个；
此时满足定义的子集有个，
⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有：
，共5个；
此时满足定义的子集有个，
⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有：
，共4个；
此时满足定义的子集有个，
⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有：
，共3个；
此时满足定义的子集有个，
⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有：
，共2个；
此时满足定义的子集有个，
综上所述，满足题意的子集共有个.
故答案为：968.
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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc199240653" 01 题型归纳 PAGEREF _Tc199240653 \h 2
\l "_Tc199240654" 题型一：集合的含义与表示 PAGEREF _Tc199240654 \h 2
\l "_Tc199240655" 题型二：元素与集合的基本关系 PAGEREF _Tc199240655 \h 2
\l "_Tc199240656" 题型三：集合元素的特征 PAGEREF _Tc199240656 \h 2
\l "_Tc199240657" 题型四：集合间的基本关系 PAGEREF _Tc199240657 \h 3
\l "_Tc199240658" 题型五：集合的基本运算 PAGEREF _Tc199240658 \h 3
\l "_Tc199240659" 题型六：集合与排列组合的综合应用 PAGEREF _Tc199240659 \h 4
\l "_Tc199240660" 题型七：韦恩图表达集合的关系及运算 PAGEREF _Tc199240660 \h 4
\l "_Tc199240661" 题型八：容斥问题 PAGEREF _Tc199240661 \h 5
\l "_Tc199240662" 题型九：集合中的创新问题 PAGEREF _Tc199240662 \h 5
\l "_Tc199240663" 02 真题、模拟题 PAGEREF _Tc199240663 \h 6
目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc199240653" 01 题型归纳 PAGEREF _Tc199240653 \h 2
\l "_Tc199240654" 题型一：集合的含义与表示 PAGEREF _Tc199240654 \h 2
\l "_Tc199240655" 题型二：元素与集合的基本关系 PAGEREF _Tc199240655 \h 2
\l "_Tc199240656" 题型三：集合元素的特征 PAGEREF _Tc199240656 \h 3
\l "_Tc199240657" 题型四：集合间的基本关系 PAGEREF _Tc199240657 \h 4
\l "_Tc199240658" 题型五：集合的基本运算 PAGEREF _Tc199240658 \h 5
\l "_Tc199240659" 题型六：集合与排列组合的综合应用 PAGEREF _Tc199240659 \h 6
\l "_Tc199240660" 题型七：韦恩图表达集合的关系及运算 PAGEREF _Tc199240660 \h 7
\l "_Tc199240661" 题型八：容斥问题 PAGEREF _Tc199240661 \h 9
\l "_Tc199240662" 题型九：集合中的创新问题 PAGEREF _Tc199240662 \h 10
\l "_Tc199240663" 02 真题、模拟题 PAGEREF _Tc199240663 \h 12