2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用6.5数列求和(1大考点+9大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用6.5数列求和(1大考点+9大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共6页。
\l "_Tc212629046" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc212629046 \h 3
\l "_Tc212629047" 一、数列求和常用方法 PAGEREF _Tc212629047 \h 3
\l "_Tc212629048" 常用二级结论 PAGEREF _Tc212629048 \h 3
\l "_Tc212629049" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc212629049 \h 5
\l "_Tc212629050" 题型一：观察法 PAGEREF _Tc212629050 \h 5
\l "_Tc212629051" 题型二：公式法 PAGEREF _Tc212629051 \h 8
\l "_Tc212629052" 题型三：分组求和法 PAGEREF _Tc212629052 \h 10
\l "_Tc212629053" 题型四：错位相减法 PAGEREF _Tc212629053 \h 12
\l "_Tc212629054" 题型五：裂项相消法之等差模型 PAGEREF _Tc212629054 \h 16
\l "_Tc212629055" 题型六：裂项相消法之等比模型 PAGEREF _Tc212629055 \h 20
\l "_Tc212629056" 题型七：裂项相消法之其它模型 PAGEREF _Tc212629056 \h 23
\l "_Tc212629057" 题型八：倒序相加法 PAGEREF _Tc212629057 \h 30
\l "_Tc212629058" 题型九：并项求和法 PAGEREF _Tc212629058 \h 34
\l "_Tc212629059" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc212629059 \h 41
\l "_Tc212629060" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc212629060 \h 44
\l "_Tc212629061" ①数形结合 PAGEREF _Tc212629061 \h 44
\l "_Tc212629062" ②转化与化归 PAGEREF _Tc212629062 \h 47
\l "_Tc212629063" ③分类讨论 PAGEREF _Tc212629063 \h 48
\l "_Tc212629064" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc212629064 \h 50
\l "_Tc212629065" 基础过关篇 PAGEREF _Tc212629065 \h 50
\l "_Tc212629066" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc212629066 \h 58
（1）熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
（2）掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．
一、数列求和常用方法
一．公式法
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
二．几种数列求和的常用方法
（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
常用二级结论
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
题型一：观察法
【例题1】（2025高三·全国·专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍童垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，…，设第层有个球，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【例题2】（24-25高二下·广西桂林·期末）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数，，，，，构成数列，其前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前 项和问题应该强化的意识．
【变式1】（2025·浙江绍兴·二模）已知虚数数列，则其前4n项和为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）观察下列式子：
；
；
；
…
根据规律，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
题型二：公式法
【例题3】（25-26高三上·四川内江·阶段练习）已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，的前n项和分别为，若，求n的值．
【例题4】（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)记，求数列的前项和.
【解题总结】
针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解．
【变式4】（25-26高二上·甘肃·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的值.
【变式5】（25-26高三上·北京·开学考试）已知公差为正数的等差数列满足成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前n项和的最大正整数n．
题型三：分组求和法
【例题5】（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知数列分别是等差、等比数列，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【例题6】（河北省十六校2025-2026学年高三上学期10月份联考数学试题）设等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解题总结】
（1）分组转化求和
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．
（2）分组转化法求和的常见类型
【变式6】（25-26高三上·北京·阶段练习）已知等比数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【变式7】（25-26高三上·吉林·阶段练习）在等差数列中，，在等比数列中，，公比.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
题型四：错位相减法
【例题7】（安徽省部分学校2025-2026学年高三上学期10月联考数学试卷）已知在数列中，．
(1)证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
【例题8】（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项.
(1)求和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设求数列的前项和.
(3)若对于恒成立，求实数的取值范围.
【解题总结】
错位相减法求数列的前n项和的适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
【变式8】（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值．
【变式9】（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，当时，，且 ．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．
【变式10】（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）在数列中，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前n项和．
题型五：裂项相消法之等差模型
【例题9】（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求前项和.
【例题10】（25-26高三上·四川泸州·阶段练习）已知数列满足，，设.若对于任意且，都有.
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式.
(3)求证：.
【解题总结】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【变式11】（25-26高三上·天津武清·阶段练习）已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列的前项和为，记数列的前项和为，求；
(3)若，求数列的前项和.
【变式12】（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列为等差数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项和的最大值；
(3)求数列前n项和．
题型六：裂项相消法之等比模型
【例题11】（25-26高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列中，为数列的前项和，是首项为1，公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式.
(2)若，记数列的前项和，证明＜1.
【例题12】（2025·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，.
(1)求；
(2)若数列满足，对任意，，恒有，.求数列的前项和.
【解题总结】
（1）
（2）
（3）
【变式13】（2025·湖南·模拟预测）设正项数列的前n项和，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【变式14】（25-26高三上·广东汕头·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)记，记数列的前项和为．
①求；②对，都有成立，求的取值范围．
【变式15】（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）设首项为2的数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若为整数，且对任意，，求的最大值；
(3)设，求数列的前项和.
题型七：裂项相消法之其它模型
【例题13】（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)证明是等差数列，并求的通项公式；
(3)若，记数列的前项和为，求.
【例题14】（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数，点在曲线上且
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，记，求
【解题总结】
（1）
（2）
（3）
（4），
则
【变式16】（2025高三·全国·专题练习）常见裂项求和有26种．已知下列通项，求数列的前项和：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)；
(11)；
(12)；
(13)；
(14)；
(15)；
(16)；
(17)；
(18)；
(19)；
(20)；
(21)；
(22)；
(23)；
(24)；
(25)；
(26)．
题型八：倒序相加法
【例题15】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，数列满足.
(1)求证：为定值，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：．
【例题16】（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数．
(1)若为奇函数，求a；
(2)求．
【解题总结】
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
【变式17】（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数.
(1)若为奇函数，求；
(2)求.
【变式18】（24-25高一上·河南·阶段练习）Sigmid函数是一个特殊的函数，在人工智能领域和生物学中发挥着重要的作用，其数学表达式是.
(1)判断的单调性，并用定义证明；
(2)设函数，求的值；
(3)若函数在上有零点，求实数的取值范围.
题型九：并项求和法
【例题17】（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足
（ⅰ）求数列的前项和；
（ⅱ）设，问是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.
【例题18】（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且 成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设，求数列的前项和.
【解题总结】
两两并项求和.
【变式19】（24-25高二下·云南·阶段练习）已知为等差数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前100项和.
【变式20】（25-26高三上·广东江门·阶段练习）设是等差数列，是等比数列，且.
(1)求与的通项公式；
(2)设的前项和为，求证：；
(3)设，求数列的前项和.
【变式21】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足
(1)若，，且，求；
(2)若数列也是公差为的等差数列
①求数列的通项公式；
②求数列的前项和.
【变式22】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前n项和，，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求的前项和；
1．已知数列的前n项和为若，，则
A．48B．50C．52D．54
2．等比数列中，，，则数列的前2022项和为
A．B．C．D．
3．设是数列的前n项和，若，，则数列的前99项和为
A．B．C．D．
①数形结合
1．如图，在xOy平面上有一系列点，，，，对每个正整数n，点位于函数的图像上，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切．若，且，，的前n项之和为，则
A．B．C．D．
2．已知定义域为R的偶函数满足，且当时，，若将方程实数解的个数记为，则 ．
3．如图，在中，D是AC边上一点，且，为直线AB上一点列，满足：，且，则数列的前n项和__________．
②转化与化归
4．数列满足，则的前100项和为 ．
5．已知数列是正项数列，是数列的前n项和，且满足若，是数列的前n项和，则 ．
6．已知数列的通项公式，则的前22项和 ．
③分类讨论
7．已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则
8．已知数列的前n项和为，，则数列的前n项和 ．
9．已知数列满足，，，则数列的前40项和为 ．
基础过关篇
1．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)，，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
5．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；
(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）求证：当时，求证：；
（ⅱ）求．
7．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
9．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
10．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
能力拓展篇
1．（2025·广东广州·模拟预测）已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（ ）
A．9143B．9145C．10009D．10154
2．（2025·贵州·模拟预测）高斯（Gauss）是德国著名的数学家，是历史上最杰出的数学家之一，被誉为“数学王子”.称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：.设，当时，的值域为 ；当，. .
3．（2024·广东梅州·一模） .
4．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知数列是等比数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
5．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列的首项，且满足（）.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若（），求数列的前项和.
6．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项，且满足
(1)求证：为等比数列；
(2)设，记的前项和，求满足的最小正整数．
7．（2025·陕西·模拟预测）已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和．
(1)求通项公式及；
(2)设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和．
8．（2025·陕西·一模）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前项和．
9．（2025·贵州·模拟预测）在等差数列中，；记为数列的前项和，且.
(1)分别求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
10．（2024·青海玉树·二模）已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______.从下列三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并解答.
(1)求的通项公式；
(2)令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为.若，，求实数的取值范围.
①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
11．（2025·广西·模拟预测）欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数，欧拉函数表示小于或等于的正整数中与互质的数的个数．例如（1，3，5，7与8互质）．
(1)求，，的值；
(2)已知数列满足，求的前项和．
12．（2025·广东广州·模拟预测）已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列．
(1)写出的前6项；
(2)记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和．
13．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正项数列的前n项之积为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求的前2n项和.
14．（2025·广东·模拟预测）已知等差数列与等比数列满足，，．
(1)求，的通项公式；
(2)记，为数列的前项和．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若当时，以，，为三边无法构成一个三角形，求的最大值．
15．（2025·安徽·模拟预测）已知数列的前项积为，其中，数列的通项公式为.
(1)求数列及的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求证：.
16．（2025·河南周口·模拟预测）已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设．
(1)求t的值；
(2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围；
(3)求的面积．
17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证：；
(3)求证：对任意的且，都有（其中为自然对数的底数）．
18．（2025·江苏泰州·模拟预测）抛掷一颗质地均匀的正方体骰子（正方体六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）n次，，记第i次抛掷结果向上的点数为（i=1，2，…，n），前m次抛掷结果向上的点数之和为7的概率为（m=1，2，…，n）．
(1)求；
(2)若t，，t与r互质，．
（i）求b的值；
（ii）已知正项数列满足，证明：．
19．（2025·江苏连云港·模拟预测）在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为．
(1)判断是否成等比数列？并说明理由；
(2)证明：，，成等比数列；
(3)设，数列的前项和为，证明：．
20．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围.
6.5 数列求和
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc212629045" 01 课标要求 PAGEREF _Tc212629045 \h 2
\l "_Tc212629046" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc212629046 \h 3
\l "_Tc212629047" 一、数列求和常用方法 PAGEREF _Tc212629047 \h 3
\l "_Tc212629048" 常用二级结论 PAGEREF _Tc212629048 \h 3
\l "_Tc212629049" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc212629049 \h 5
\l "_Tc212629050" 题型一：观察法 PAGEREF _Tc212629050 \h 5
\l "_Tc212629051" 题型二：公式法 PAGEREF _Tc212629051 \h 8
\l "_Tc212629052" 题型三：分组求和法 PAGEREF _Tc212629052 \h 10
\l "_Tc212629053" 题型四：错位相减法 PAGEREF _Tc212629053 \h 12
\l "_Tc212629054" 题型五：裂项相消法之等差模型 PAGEREF _Tc212629054 \h 16
\l "_Tc212629055" 题型六：裂项相消法之等比模型 PAGEREF _Tc212629055 \h 20
\l "_Tc212629056" 题型七：裂项相消法之其它模型 PAGEREF _Tc212629056 \h 23
\l "_Tc212629057" 题型八：倒序相加法 PAGEREF _Tc212629057 \h 30
\l "_Tc212629058" 题型九：并项求和法 PAGEREF _Tc212629058 \h 34
\l "_Tc212629059" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc212629059 \h 41
\l "_Tc212629060" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc212629060 \h 44
\l "_Tc212629061" ①数形结合 PAGEREF _Tc212629061 \h 44
\l "_Tc212629062" ②转化与化归 PAGEREF _Tc212629062 \h 47
\l "_Tc212629063" ③分类讨论 PAGEREF _Tc212629063 \h 48
\l "_Tc212629064" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc212629064 \h 50
\l "_Tc212629065" 基础过关篇 PAGEREF _Tc212629065 \h 50
\l "_Tc212629066" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc212629066 \h 58
（1）熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
（2）掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．
一、数列求和常用方法
一．公式法
（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．
（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．
二．几种数列求和的常用方法
（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．
（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．
常用二级结论
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
题型一：观察法
【例题1】（2025高三·全国·专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍童垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，…，设第层有个球，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，
则，
所以．
故选：D．
【例题2】（24-25高二下·广西桂林·期末）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数，，，，，构成数列，其前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意可知，，，，，
以此类推，，
所以其前项和，
所以.
故选：A.
【解题总结】
先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前 项和问题应该强化的意识．
【变式1】（2025·浙江绍兴·二模）已知虚数数列，则其前4n项和为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题设，，，，则，
，，，，则，
，，，，则，
，，，，则，
，
依次类推，，
所以其前4n项和为.
故选：B.
【变式2】（24-25高二上·黑龙江绥化·阶段练习）对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，，，
，
，
，
，
由等比数列的前项和公式，得，
所以的通项公式.
故选：A
【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）观察下列式子：
；
；
；
…
根据规律，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由规律可得，
所以
．
故选：B.
题型二：公式法
【例题3】（25-26高三上·四川内江·阶段练习）已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，满足．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，的前n项和分别为，若，求n的值．
【解析】（1）由题意得，，
又因为，
则，又
解得，可得，
因此，.
（2）由（1）得，，
由，得，即，解得．
【例题4】（25-26高二上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)记，求数列的前项和.
【解析】（1）因为，
所以，即.
又，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，
可知，当时，，，
当时，，，
所以数列的前项和为
.
【解题总结】
针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解．
【变式4】（25-26高二上·甘肃·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的值.
【解析】（1）设等比数列的公比为，，
由，得，
整理得，
即.
又，则，解得或.
由题知，所以，
所以数列的通项公式.
（2）由题知，
令，得，
故.
【变式5】（25-26高三上·北京·开学考试）已知公差为正数的等差数列满足成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，分别是等比数列的第1项和第2项，求使数列的前n项和的最大正整数n．
【解析】（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，
得，则，即，
则，所以.
（2）由（1）知：，等比数列的公比，，，
数列是首项、公比都为的等比数列，则，
由，得，则，即，而数列单调递增，
又，，因此，
所以所求最大正整数为4.
题型三：分组求和法
【例题5】（25-26高三上·内蒙古·开学考试）已知数列分别是等差、等比数列，且．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）设的公差为，的公比为，
则，所以；
所以，则，所以.
（2）由（1）可知，
则.
【例题6】（河北省十六校2025-2026学年高三上学期10月份联考数学试题）设等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为.
由题意可得
解得，，
则.
（2）由（1）可知，则，
故
.
【解题总结】
（1）分组转化求和
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．
（2）分组转化法求和的常见类型
【变式6】（25-26高三上·北京·阶段练习）已知等比数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）因为等比数列满足，
则，两式相除可得，解得.
所以的通项公式为.
（2）.
所以
【变式7】（25-26高三上·吉林·阶段练习）在等差数列中，，在等比数列中，，公比.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）在等差数列中，，则公差，；
在等比数列中，，公比，则，
所以数列和的通项公式分别为，.
（2）由（1）得，
所以数列的前项和
.
题型四：错位相减法
【例题7】（安徽省部分学校2025-2026学年高三上学期10月联考数学试卷）已知在数列中，．
(1)证明：数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
【解析】（1）由，则，
故，又，
故数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，即；
（2），
则，
则，
故
，
故.
【例题8】（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项.
(1)求和的通项公式；
(2)对任意的正整数，设求数列的前项和.
(3)若对于恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由，，解得，
所以；则，
由是和的等比中项，则，解得，
又由，所以，所以.
（2）由（1）可得，
则，
，
将两式相减得：，
化简得.
（3）若对于恒成立，
即对于恒成立，
化简得对于恒成立，令，
则，当时，；
所以当时，，
所以当时，单调递减，当时，，
所以，所以.
故实数的取值范围为.
【解题总结】
错位相减法求数列的前n项和的适用条件
若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．
【变式8】（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值．
【解析】（1）当时，
由，
得，
两式相减得，
即．
是正项数列，
．
当时，，
，
数列是以为首项，1为公差的等差数列，
．
（2）由（1）知，
，
两式相减得
．
，
单调递增．
当时，，
当时，，
使的最小的正整数的值为8．
【变式9】（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知数列的前项和为，当时，，且 ．
(1)求；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）当时，，即，
则，即得，
即，而当时，，
故数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
故，则；
（2）由题意得，
故，
则，
故
，
则.
【变式10】（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）在数列中，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前n项和．
【解析】（1）已知，两边同时取倒数得：，
两边同时加可得：，
由此可得：，当时，，
因此得证：为等比数列，其首项为，公比.
（2）由（1）可得：为等比数列，其首项为，公比.
因此可得：，得： （）
（3）由（2）可知：（），可得：（）
设（1）
（2）
由（1）（2）得：
，
解得：.
（）.
题型五：裂项相消法之等差模型
【例题9】（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求前项和.
【解析】（1）因为，
当时，可得，解得；
当时，可得，
两式相减得，即；
可知数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以．
（2）由（1）可知，
则，，
可得，
故
.
【例题10】（25-26高三上·四川泸州·阶段练习）已知数列满足，，设.若对于任意且，都有.
(1)求的值；
(2)求数列的通项公式.
(3)求证：.
【解析】（1）由题知数列是等差数列，则，
，，，，
由可得：，，，
，解得：.
（2）由（1）知：，，，
则等差数列公差为，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
；
（3）证明：由（1）、（2）知
，
，，.
【解题总结】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【变式11】（25-26高三上·天津武清·阶段练习）已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列的前项和为，记数列的前项和为，求；
(3)若，求数列的前项和.
【解析】（1）在等差数列中，，而，
则是方程的两个实根，由，得，
解得，，，，
在等比数列中，由，，得，而，则，
所以数列，的通项公式分别为，.
（2）由（1）得，，
，
，
两式相减得
，
所以.
（3）由（2）得，，
所以
.
【变式12】（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列为等差数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前n项和的最大值；
(3)求数列前n项和．
【解析】（1）在等差数列中，由，得数列的公差，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，数列是递减数列，由，得，
因此等差数列的前项均为正数，从第项起均为负数，
所以当时，数列前项和取得最大值.
（3）由（1）知，
所以.
题型六：裂项相消法之等比模型
【例题11】（25-26高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列中，为数列的前项和，是首项为1，公差为1的等差数列.
(1)求数列的通项公式.
(2)若，记数列的前项和，证明＜1.
【解析】（1）由已知有，所以，解得，
当时，，
又满足上式，所以．
（2） ，
所以，
因为，所以，
【例题12】（2025·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，.
(1)求；
(2)若数列满足，对任意，，恒有，.求数列的前项和.
【解析】（1）因为，所以，，
两式相减得，所以，
两式相减得，所以数列是等差数列，
中，令得，又，
所以的公差，故；
（2）因为对任意，，恒有，
令，得，
所以数列是以为公比，以为首项的等比数列，
所以，
则，
所以
.
【解题总结】
（1）
（2）
（3）
【变式13】（2025·湖南·模拟预测）设正项数列的前n项和，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】（1）由得，可知，
两式相减得，
即，
，
∵当时，，
则是首项为1，公差的等差数列，
的通项公式为；
（2），
，
.
【变式14】（25-26高三上·广东汕头·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)记，记数列的前项和为．
①求；②对，都有成立，求的取值范围．
【解析】（1）在数列中，，当时，，
两式相减得，整理得，即，
而，即，则，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，，
经检验当也符合.
（2）①由（1）知，，，
所以
.
②由①知，，，
，
由数列单调递增，得，因此，
由对，，得，
所以的取值范围是．
【变式15】（25-26高三上·黑龙江吉林·阶段练习）设首项为2的数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若为整数，且对任意，，求的最大值；
(3)设，求数列的前项和.
【解析】（1）方法一：因为，所以.
又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，
所以数列的通项公式为.
方法二：因为，所以.
由累乘法，
得，
当时，，也满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）方法一：由题意可知，
由（1）可知，
易得对恒成立（当且仅当时取等号），即，
故有最小值，
故，即的最大值为2.
方法二：由题意可知，
由（1）可知，
设，则，
令，则，此时单调递增.
又，故，故，
即，而，
故有最小值，
故，即的最大值为2.
（3）易得，
所以.
题型七：裂项相消法之其它模型
【例题13】（25-26高三上·河南安阳·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)证明是等差数列，并求的通项公式；
(3)若，记数列的前项和为，求.
【解析】（1）因为，故，解得或，
而，故.
（2）因为，故，
整理得到：，故是等差数列，且首项为，公差为，
故，而为正项数列，故，故，
故当时，，而也满足该式，
故.
（3），
故
.
【例题14】（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数，点在曲线上且
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，记，求
【解析】（1）因为点在曲线上，所以且 ，
所以，结合题设，故数列是首项、公差均为1的等差数列．
（2）由（1）及，知，则．
因为 ，所以，则，
故．
【解题总结】
（1）
（2）
（3）
（4），
则
【变式16】（2025高三·全国·专题练习）常见裂项求和有26种．已知下列通项，求数列的前项和：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)；
(11)；
(12)；
(13)；
(14)；
(15)；
(16)；
(17)；
(18)；
(19)；
(20)；
(21)；
(22)；
(23)；
(24)；
(25)；
(26)．
【解析】（1），
则
．
（2），
则．
（3），则．
（4），
则．
（5），
则．
（6），
则．
（7），
则．
（8），则．
（9）
，
则．
（10）
，
则．
（11），
则．
（12），
则．
一般地，有：
，
，
，
．
（13），
则．
（14），
由引理知，，
则，
则．
（15），
则
．
（16）
，
则．
（17）
，
则．
（18），
当时，
，
当时，
，
所以．
（19），
则．
（20），
则．
（21），
，，，，，
则．
（22），
即．
（23），
则．
（24），
，，，，，
则．
（25）
，
则．
（26）
，
则．
题型八：倒序相加法
【例题15】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，数列满足.
(1)求证：为定值，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：．
【解析】（1）由题意得
，
则，
得到，
两式相加得，即.
（2）由题意得，
则，
而，而，可得当时，，
令，因为反比例函数在上单调递减，
所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证.
【例题16】（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数．
(1)若为奇函数，求a；
(2)求．
【解析】（1）显然的定义域为，又为奇函数，
所以，即，
解得.此时，
因，
即，为上的奇函数，故为所求．
（2）由（1）知．
又，所以，
即．
设，则，
又，
两式左、右两边分别相加，得，
所以．
【解题总结】
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．
【变式17】（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数.
(1)若为奇函数，求；
(2)求.
【解析】（1）由函数，
可得，
因为为奇函数，则满足，解得，
当时，可得，其定义域为关于原点对称，
且，所以为奇函数，满足题意，
所以实数的值为.
（2）由函数，可得，
所以，
设，
则
两式相加得
因为，所以，可得，所以.
【变式18】（24-25高一上·河南·阶段练习）Sigmid函数是一个特殊的函数，在人工智能领域和生物学中发挥着重要的作用，其数学表达式是.
(1)判断的单调性，并用定义证明；
(2)设函数，求的值；
(3)若函数在上有零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）在上单调递增.，证明：任取，，且，
，
因为，所以，所以，
所以在上单调递增.
（2）由题意得，
所以，
故.
所以
.
（3）由题意得，
令，当时，.
在上有零点关于的方程在上有解.
方程可化为.
令，则，且，
因为函数在上单调递增，所以当时，，
故实数的取值范围是.
题型九：并项求和法
【例题17】（25-26高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足
（ⅰ）求数列的前项和；
（ⅱ）设，问是否存在正整数，使得？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）当时，，
当时，，
化简得：，
当时，，所以；
（2）（ⅰ）当时：
，，
，
，
因为，所以，
当时：
；
.
（ⅱ）当时：
，
计算（，）：
所以；​
所以当时，单调递增；
所以当时，，
当时， ，
当时，，
当时：
，
计算（，）：
，
因为（），所以，
所以当时，单调递减，
所以，
由，解得，此时.
【例题18】（25-26高三上·天津滨海新·阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且 成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）设公比为，，
即，故，
故，所以，解得，
又，所以；
（2），
当时，，
故
，
设①，则②，
式子①-②得
，
故，
所以
【解题总结】
两两并项求和.
【变式19】（24-25高二下·云南·阶段练习）已知为等差数列的前项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前100项和.
【解析】（1）设数列的公差为，由，得，即，
由，得，解得，，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，
，
则
所以.
【变式20】（25-26高三上·广东江门·阶段练习）设是等差数列，是等比数列，且.
(1)求与的通项公式；
(2)设的前项和为，求证：；
(3)设，求数列的前项和.
【解析】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）因为，所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
所以，
则，
作差得
，
所以，
【变式21】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足
(1)若，，且，求；
(2)若数列也是公差为的等差数列
①求数列的通项公式；
②求数列的前项和.
【解析】（1），
所以，
因为，所以，即，
解得，又，所以.
（2）①因为，
所以，
因为是公差为的等差数列，所以可设为，
所以，
所以，又，所以解得
所以；
②，
当时，
；
当时，
；
综上，，即.
【变式22】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前n项和，，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求的前项和；
【解析】（1）设等比数列的公比为，
，，成等差数列，，即，，，解得：或（舍）；
，，即，解得：，；
当时，，整理可得：，
；
经检验，当时，满足，
综上所述：.
（2）由（1）得：，
，
令，则其前项和；
令，
则其前项和，
，
，，
.
1．已知数列的前n项和为若，，则
A．48B．50C．52D．54
【答案】C
【解析】解：法一，①，
当时，②，
①-②得当时，，
中奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为
，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，
法二：，
，，
数列是以7为首项，4为公差的等差数列，

故选：
2．等比数列中，，，则数列的前2022项和为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：设等比数列的公比为
因为，，
所以，解得，因此，
所以
因此数列的前2022项和为：
另解：观察选项将问题一般化，将各选项写成；；；，即有一项为数列的前n项和，
又等比数列中，，，则，
所以，将代入改写后的各选项，只有C符合．
3．设是数列的前n项和，若，，则数列的前99项和为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：解法一：因为 ①，所以 ②，
②-①得，，
又因为，
所以，则，
所以…
解法二：观察选项将问题一般化，将各选项写成；；；，即有一项为数列的前n项和，
又，，
所以解得，，，
所以，，
所以，将代入改写后的B，C，D选项，只有C符合．
同理取验证A选项不符合．
故选
①数形结合
1．如图，在xOy平面上有一系列点，，，，对每个正整数n，点位于函数的图像上，以点为圆心的都与x轴相切，且与外切．若，且，，的前n项之和为，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：由与彼此外切，
则，
，
，
又，
所以，
故数列为等差数列，且，
则，
故，
则，
故
2．已知定义域为R的偶函数满足，且当时，，若将方程实数解的个数记为，则 ．
【答案】
【解析】解：因为定义域为R的偶函数 满足 ，
所以 ，则 ，
所以函数 是以 2 为周期的周期函数，
方程 的实数解个数，
即为函数 与的交点个数，
不难发现 也是偶函数，所以两函数的交点是关于纵轴y对称的，
这里只分析 的情况．
结合条件作出两函数简要图象如下：
当 时，
此时有两个交点，即 ，
当 时，
此时有4个交点，即 ，
当 时，
此时有6个交点，即 ，以此类推，可知 ，
故 ，
所以 ，
故答案为： ．
3．如图，在中，D是AC边上一点，且，为直线AB上一点列，满足：，且，则数列的前n项和__________．
【答案】
【解析】解：由于D是AC边上一点，且，
则
，
由于为直线AB上一点列，
则，
因为，
则故，
整理，
即，
故，令，
则，即，
因此，
所以为等比数列，，
则，
故
故答案为：
②转化与化归
4．数列满足，则的前100项和为 ．
【答案】2500
【解析】解：已知，
当n为奇数时，为偶数，此时，移项可得
当n为偶数时，为奇数，此时移项可得，
要求的前100项和，可将相邻两项看作一组，
由前面分析可知，当n为奇数时，，那么．
这里一共有50组，每组的值分别为1，3，5，，99，这是一个首项，公差，项数的等差数列的前50项和，
根据等差数列求和公式，可得：，
因此，的前100项和为
5．已知数列是正项数列，是数列的前n项和，且满足若，是数列的前n项和，则 ．
【答案】
【解析】解：因为，
所以
则，
当时，，
所以数列为首项为1，公差为1的等差数列，
，
所以，
则，
，
故答案为
6．已知数列的通项公式，则的前22项和 ．
【答案】241
【解析】当且时，，
当且时，，
所以
…
故答案为：
③分类讨论
7．已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则
【答案】
【解析】解：因为数列是正奇数列，
对于数列，
当n为奇数时，设，则为偶数；
当n为偶数时，设，别为奇数，
所以，，则，
因此，
故答案为：
8．已知数列的前n项和为，，则数列的前n项和 ．
【答案】
【解析】解：数列的前n项和为，，
可得当时，，
即，
当时，，即有，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以
故答案为：
9．已知数列满足，，，则数列的前40项和为 ．
【答案】820
【解析】解：因为 ，
当 n 为奇数时 ，则 ， 是首项为1，公差为1的等差数列；
当 n 为偶数时 ，则 ， 是首项为2，公差为3的等差数列，
．
故答案为： 820 ．
基础过关篇
1．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)，，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
【解析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，
则由题得，
所以；
（2）（i）证明：由（1）或，，
当时，
设，
所以，
所以，
所以，为中的最大元素，
此时恒成立，
所以对，均有.
（ii）法一：由（i）得对任意实数，均有，
所以，，
所以取值随着的取值不同各不相同，
又为中的最大元素，
由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成：
当均为1时：此时该系列元素只有即个；
当中只有一个为0，其余均为1时：
此时该系列的元素有共有个，
则这个元素的和为；
当中只有2个为0，其余均为1时：
此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
…
当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
当均为0时：此时该系列的元素为即个，
综上所述，中的所有元素之和为
；
法二：由（i）得，为中的最大元素，
由题意可得，
所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次，
所以中的所有元素之和为.
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
【解析】（1）由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，即，
∴是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，首项为3，公差为1，
∴，即，
在中，
，
∴，
当且时，
∴，
∴
∴
.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【解析】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
5．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；
(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）求证：当时，求证：；
（ⅱ）求．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
因为，即，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
当时，则，即
可知，
，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，则；
若，则，
当时，，可知为等差数列，
可得，
所以，
且，符合上式，综上所述：.
6．根据等差数列求和分析可得.
7．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【解析】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
9．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)设的前n项和为，求证：；
(3)求．
【解析】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以；
（2）证明：因为所以要证，
即证，即证，
即证，
而显然成立，所以；
（3）因为
，
所以
，
设
所以，
则，
作差得
，
所以，
所以.
10．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
能力拓展篇
1．（2025·广东广州·模拟预测）已知是首项为2，公比为2的等比数列，记，其中，记数列的前项和为，则（ ）
A．9143B．9145C．10009D．10154
【答案】D
【解析】由题意得，
，，，
所以，
当时，，
共10项，这10项的和为,
其余项有项，
当时，，
这些项的和为
，
所以.
故选：.
2．（2025·贵州·模拟预测）高斯（Gauss）是德国著名的数学家，是历史上最杰出的数学家之一，被誉为“数学王子”.称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，例如：.设，当时，的值域为 ；当，. .
【答案】
【解析】第一空：当，，所以，
当，，，
当，，所以，
所以当时，的值域为；
第二空：，
所以，所以，
又因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：①；②.
3．（2024·广东梅州·一模） .
【答案】
【解析】因为，
所以
.
故答案为：.
4．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知数列是等比数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）由，得，，
因为是等比数列，
设的公比为，所以，得，
则，则；
（2）记的前项和为，则
.
5．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列的首项，且满足（）.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)若（），求数列的前项和.
【解析】（1）证明：由，
得，，且，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，
（2）由（1）知数列是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，
故，
所以
，
设①
所以②
①－②得：.
所以，又，
所以.
6．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项，且满足
(1)求证：为等比数列；
(2)设，记的前项和，求满足的最小正整数．
【解析】（1），
是以1为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）得，即，
所以，
所以，
因为，
所以为递增数列，又.
所以满足的最小正整数为10.
7．（2025·陕西·模拟预测）已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和．
(1)求通项公式及；
(2)设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和．
【解析】（1）由已知得，，则，
所以.
（2）由已知得，，又由（1）得，
所以，
则.
令，
则，
所以，
即；
令，则，
所以.
8．（2025·陕西·一模）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意，得，解得，
则.
（2）由（1）知，，
因为数列是公比为3的等比数列，其首项为，
则，则，
所以.
9．（2025·贵州·模拟预测）在等差数列中，；记为数列的前项和，且.
(1)分别求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）设数列的首项为，公差为d，
，则，
所以数列的通项公式为．
因为，所以当时，，则．
当时，，则，
所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以．
（2）因为，设数列的前项和为，
①
②
①-②得
∴
，
则．
10．（2024·青海玉树·二模）已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______.从下列三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并解答.
(1)求的通项公式；
(2)令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为.若，，求实数的取值范围.
①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）选①，设递增等差数列的公差为，由，，，
有，化简得．则，，
所以的通项公式为．
选②，设递增等差数列的公差为，由，，，
有，化简得，
即，解得，则，
所以的通项公式为．
选③，设递增等差数列的公差为，由是与的等差中项，
得，即，
则有，化简得，
即，解得，则，
所以的通项公式为．
（2）由是以2为首项，2为公比的等比数列，得，
由（1）知，即有，
则，
于是得，
两式相减得：，
因此，又，
不等式，等价于，
于是得，恒成立，
令，则，
则时，，即数列单调递增，
当时，，即数列单调递减，
当时，，则，所以实数的取值范围是．
11．（2025·广西·模拟预测）欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数，欧拉函数表示小于或等于的正整数中与互质的数的个数．例如（1，3，5，7与8互质）．
(1)求，，的值；
(2)已知数列满足，求的前项和．
【解析】（1）因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以;
因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以;
所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，
所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即.
（2）由（1）可知，
两式相减得
.
12．（2025·广东广州·模拟预测）已知向量，，函数，的所有大于0的零点构成递增数列．
(1)写出的前6项；
(2)记的所有偶数项构成数列，设，求数列的前n项和．
【解析】（1）由题意
．
由，得．
所以或．
即或，取其中的正数构成递增数列．
知的前6项为．
（2）由（1）知，所以．
所以．①
．②
①－②，得
．
所以.
13．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知正项数列的前n项之积为，且.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)设，求的前2n项和.
【解析】（1）依题意，，当时，得，则，
由，得，则，即，
当时，，于是，解得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）得，
则，
所以
.
14．（2025·广东·模拟预测）已知等差数列与等比数列满足，，．
(1)求，的通项公式；
(2)记，为数列的前项和．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若当时，以，，为三边无法构成一个三角形，求的最大值．
【解析】（1）记公差为，公比为，
则，，
故，
则
即，
故，解得，故，．
（2）（ⅰ）由，
当为偶数时，
，
而，
两式相减，可得到
，
故此时；
当为奇数时，
，
于是．
（ⅱ）考虑可以构成三角形的情况．
当为奇数时，，
，，
于是，
故要能够以，，为三边构成一个三角形，
则只需即可．
则，
当时，，，
故此时；
当时，显然．
故由为奇数可知此时的最大值为3．
当为偶数时，，
，．
当时，，，，此时显然可构成三角形，
当时，易知，
故只需，即可构成三角形．
而
故当为偶数时，以，，为三边必然构成一个三角形．
综上，的最大值为3．
15．（2025·安徽·模拟预测）已知数列的前项积为，其中，数列的通项公式为.
(1)求数列及的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)求证：.
【解析】（1）当时，；
当时，；
因为当时，也满足.故数列的通项公式为.
因为，
所以数列的通项公式为.
（2）由(1)得，，则，
两边同乘以3，得：
两式相减得，
所以数列的前项和.
（3）由(1)得，，则数列单调递减，所以且，
所以，
所以，
所以：
，
故得证.
16．（2025·河南周口·模拟预测）已知点在抛物线上，过点作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，再过作斜率为的直线交于另一个点，设与关于y轴对称，以此类推一直作下去，设．
(1)求t的值；
(2)求数列的通项公式，并求数列的前项和的取值范围；
(3)求的面积．
【解析】（1）因为点在抛物线上，则，解得；
（2）由可知，，
因为点在抛物线上，则，且，
过，，且斜率为的直线，
联立方程，消去得，解得或，
因为，故，即，
故数列是首项为2，公差为4的等差数列，所以，
又，所以，
所以，所以，
又是关于的递增函数，故，的取值范围是；
（3）由（2）知：，，，
直线的方程为，
即，
点到直线的距离为，
，
所以的面积为．
17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证：；
(3)求证：对任意的且，都有（其中为自然对数的底数）．
【解析】（1）函数的定义域为．
①当时，，所以在上单调递增，
②当时，令，解得．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：当时，，
要证明，即证，即，
设，则，令得，．
当时，，当时，，
所以为极大值点，也为最大值点．
所以，即．故；
（3）证明：由（2）知（当且仅当时等号成立），
令，则，
所以
，
即，
所以．
18．（2025·江苏泰州·模拟预测）抛掷一颗质地均匀的正方体骰子（正方体六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）n次，，记第i次抛掷结果向上的点数为（i=1，2，…，n），前m次抛掷结果向上的点数之和为7的概率为（m=1，2，…，n）．
(1)求；
(2)若t，，t与r互质，．
（i）求b的值；
（ii）已知正项数列满足，证明：．
【解析】（1）设事件A：前两次抛掷结果向上的点数之和为7，
因为样本空间，所以，
因为{，，，，，}，所以，
所以．
（2）（i）当时，，当时，由（1）得，
当时，因为7=1＋1＋5=1＋2＋4=1＋3＋3=2＋2＋3，所以，
当时，因为7=1＋1＋1＋4=1＋1＋2＋3=1＋2＋2＋2，所以，
当时，因为7=1＋1＋1＋1＋3=1＋1＋1＋2＋2，所以，
当时，因为7=1＋1＋1＋1＋1＋2，所以，
当时，因为7=1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，所以，
所以
==，
因为t，r互质，所以，所以．
（ii）证明：因为，所以，因为，
所以当时，，所以，
所以，所以，
所以=，
因为，
所以．
19．（2025·江苏连云港·模拟预测）在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为．
(1)判断是否成等比数列？并说明理由；
(2)证明：，，成等比数列；
(3)设，数列的前项和为，证明：．
【解析】（1）当时，成公差为1的等差数列，
则，；
当时，成公差为2的等差数列，则，；
当时，成公差为3的等差数列，则．
所以，，从而，故成等比数列.
（2）由，，成公差为的等差数列，得，
可得：，，，，，
累加得
因为，，成公差为的等差数列，所以，
，又因为，，成公差为的等差数列，
所以，
所以，得，，成等比数列．
（3）由，由（2）知：
当为奇数时，，，
当为偶数时，，，
故，且对一切正整数，有，
时，
，
综上，．
20．（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和；
(3)若数列满足，不等式对一切恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）当时，.
当时，.
根据指数运算法则,,则.
当时，也满足.
故数列的通项公式为：.
（2）已知，由（1）可知，则，
；
所以.
所以.
故数列的前n项和为：.
（3）已知，由（1）可知，则
①.
当时，，解得.
当时，②.
①②相减得：，
所以.
当时，也满足.
那么不等式可化为.
当n为偶数时，若恒成立，即恒成立：
因为在n为偶数时单调递增，当时取最小值，，所以时，不等式恒成立.
当n为奇数时，若恒成立，即恒成立：
因为在n为奇数时单调递减，当时取最大值，所以时，不等式恒成立.
故的取值范围为：.