2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用6.2　等差数列(3大考点+10大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用6.2　等差数列(3大考点+10大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共15页。
\l "_Tc211807865" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc211807865 \h 3
\l "_Tc211807866" 一、等差数列的有关概念 PAGEREF _Tc211807866 \h 3
\l "_Tc211807867" 二、等差数列公式 PAGEREF _Tc211807867 \h 3
\l "_Tc211807868" 三、性质 PAGEREF _Tc211807868 \h 3
\l "_Tc211807869" 常用二级结论 PAGEREF _Tc211807869 \h 4
\l "_Tc211807870" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc211807870 \h 5
\l "_Tc211807871" 题型一：等差数列的概念及通项 PAGEREF _Tc211807871 \h 5
\l "_Tc211807872" 题型二：等差数列的证明 PAGEREF _Tc211807872 \h 6
\l "_Tc211807873" 题型三：等差数列的性质 PAGEREF _Tc211807873 \h 7
\l "_Tc211807874" 题型四：等差数列的前n项和问题 PAGEREF _Tc211807874 \h 8
\l "_Tc211807875" 题型五：与有关的最值问题 PAGEREF _Tc211807875 \h 8
\l "_Tc211807876" 题型六： 奇数项和与偶数项和 PAGEREF _Tc211807876 \h 9
\l "_Tc211807877" 题型七：实际应用问题 PAGEREF _Tc211807877 \h 10
\l "_Tc211807878" 题型八：绝对值问题 PAGEREF _Tc211807878 \h 11
\l "_Tc211807879" 题型九：等差数列中的不等关系问题 PAGEREF _Tc211807879 \h 13
\l "_Tc211807880" 题型十：恒成立问题问题 PAGEREF _Tc211807880 \h 14
\l "_Tc211807881" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc211807881 \h 16
\l "_Tc211807882" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc211807882 \h 17
\l "_Tc211807883" ①数形结合 PAGEREF _Tc211807883 \h 17
\l "_Tc211807884" ②转化与化归 PAGEREF _Tc211807884 \h 17
\l "_Tc211807885" ③分类讨论 PAGEREF _Tc211807885 \h 18
\l "_Tc211807886" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc211807886 \h 19
\l "_Tc211807887" 基础过关篇 PAGEREF _Tc211807887 \h 19
\l "_Tc211807888" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc211807888 \h 20
1、理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2、探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3、能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
4、体会等差数列与一元函数的关系.
一、等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．
（2）等差中项
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
二、等差数列公式
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
（2）等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
三、性质
1、由等差数列生成新的等差数列
（1）公差为的等差数列具有如下性质：下标成公差为的等差数列的项组成以md为公差的等差数列，即在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．
（2）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数．
（3）若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
2、若，则．
（1）若，则；
（2）若，则．
（3）有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和：
3、若，则．
常用二级结论
1、等差数列中：，则有可以求出，甚至．
2、等差数列中：为首项是，公差是的等差数列，若，则特别的，若，则有．
3、有最大值；有最小值，若，则有同时取得最值
，的最大值；,的最大值．
题型一：等差数列的概念及通项
【例题1】记为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A．22B．24C．28D．36
【例题2】在等差数列中，，则（ ）
A．B．2C．3D．6
【解题总结】
等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项．和是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式1】等差数列的公差，若成等比数列，以下正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】记等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
【变式4】已知是等差数列的前项和，若，．则（ ）
A．B．4C．D．7
题型二：等差数列的证明
【例题3】已知数列的前项和为，满足，证明：数列为等差数列．
【例题4】已知数列的前项和，令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式．
【解题总结】
判断数列是等差数列的常用方法
（1）定义法：对任意是周一常数．
（2）等差中项法：对任意，湍足．
（3）通项公式法：对任意，都满足为常数）．
（4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）．
【变式5】已知正项数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)证明是等差数列，并求的通项公式；
(3)若，记数列的前项和为，求.
【变式6】已知数列中，，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【变式7】（2025·高三·云南德宏·开学考试）设数列的前n项和为．已知，．
(1)求的值；
(2)求证：为等差数列；
【变式8】（2025·高三·山东济南·开学考试）已知正项数列的前项积为，且满足.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)令，求数列的前项和.
题型三：等差数列的性质
【例题5】已知等差数列的前项和为，若，，则 .
【例题6】若为等差数列，，则它的前12项和为 ．
【解题总结】
如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求的值．
【变式9】设等差数列的前项和为，则正整数的值为 .
【变式10】（2025·高三·安徽·开学考试）已知是等差数列的前项和，，则 .
【变式11】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，则 ．
【变式12】已知等差数列的前n项和为，若，则 .
题型四：等差数列的前n项和问题
【例题7】已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则 .
【例题8】在等差数列中，已知，，则 .
【解题总结】
在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列．
【变式13】若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为 .
【变式14】（2025·高三·湖北·开学考试）已知等差数列的前项和分别为，且，则 ．
【变式15】各项均为正数的等差数列的前项和为，若，则的最大值为 ．
【变式16】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，则 ．
题型五：与有关的最值问题
【例题9】已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【例题10】（2025·高三·河北张家口·期末）已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是（ ）
A．4B．5C．6D．10
【解题总结】
求等差数列前项和最值的2种方法
（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；
②若，则满足的项数使得取得最小值．
【变式17】（2025·高三·辽宁·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，，则使最大的的值为（ ）
A．7B．8C．7或8D．8或9
【变式18】（2025·高三·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（ ）项.
A．2026B．2027C．4048D．4049
【变式19】（2025·江西·模拟预测）记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（ ）
A．40B．41C．42D．43
【变式20】（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（ ）
A．12B．13C．14D．25
题型六： 奇数项和与偶数项和
【例题11】已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ．
【例题12】已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ．
【解题总结】
①若数列共有项，则（为中间项），，；，；
②若数列共有项，则S2n＝n(an＋an＋1)（，为中间两项），，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an)．
【变式21】已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 .
【变式22】（2025·高三·四川成都·期中）数列满足：，数列的前项和记为，则 ．
【变式23】等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于 ．
【变式24】在等差数列中，已知公差，且，则 .
【变式25】已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为 ．
题型七：实际应用问题
【例题13】某幼儿园老师为了奖励舞蹈比赛成绩前4名的小朋友，将购买的64块巧克力分给她们，使每人所得巧克力的块数成等差数列，且使较多的两份巧克力的块数之和是最少一份的巧克力的块数的12倍，则分得巧克力块数最多的小朋友得到（ ）
A．22块B．24块C．28块D．36块
【例题14】（2025·安徽合肥·二模）《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）
A．23岁B．32岁C．35岁D．38岁
【解题总结】
利用等差数列的通项公式与求和公式求解.
【变式26】（2025·四川绵阳·模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（ ）
A．380B．390C．400D．600
【变式27】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们将石子摆放成三角形（如图），三角形中的石子个数依次为1，3，6，10，…，这些数称为三角形数.若将这些三角形数中能被3整除的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．666B．705C．741D．780
【变式28】（2025·高三·河南新乡·开学考试）某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有（ ）
A．20排B．21排C．22排D．23排
【变式29】（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ）
A．15B．16C．17D．18
题型八：绝对值问题
【例题15】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若，求数列的前n项和．
【例题16】已知数列的前项和为，数列的通项，求数列的前项和．
【解题总结】
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
【变式30】记为数列的前项和，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【变式31】（2025·高三·河北保定·开学考试）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【变式32】已知数列中，，记．
(1)求证：数列是等差数列，并求出；
(2)设，求．
【变式33】已知数列的前项和．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
题型九：等差数列中的不等关系问题
【例题17】（多选题）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．当时，中只有最大D．当时，
【例题18】（多选题）数列为等差数列，为其前项和，已知，则（ ）
A．B．为单调递增数列
C．使的的最小值为18D．当且仅当时，最小
【解题总结】
（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”．
（2）数列的单调性与，的单调性不完全一致．
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”．
【变式34】（多选题）（2025·高三·安徽·开学考试）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，最大B．使得成立的最小自然数
C．D．中最小项为
【变式35】（多选题）设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．时，最大
C．使的n的最大值为13D．数列中的最小项为第8项
【变式36】（多选题）（2025·高三·湖南·期中）设等差数列的前项和为，公差为，已知，.则（ ）
A．B．
C．时，的最小值为D．最小时，
【变式37】（多选题）（2025·高三·湖北·期中）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是( ).
A．，B．C．D．当时，最大
【变式38】（多选题）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，最大
B．使得成立的最小自然数
C．
D．数列中最小项为
题型十：恒成立问题问题
【例题19】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为 ．
【例题20】已知数列是等比数列，且，，，成等差数列.若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是 .
【解题总结】
等差数列中的范围与恒成立问题是数列研究的重要方面。这类问题通常涉及数列的通项公式、前n项和公式以及不等式性质的应用。解决这类问题时，需要首先根据题意设定合适的变量，建立等差数列的通项或前n项和的不等式，然后利用不等式的性质进行推导，最终确定变量的取值范围，使得原不等式恒成立。
【变式39】（2025·高三·湖北武汉·开学考试）已知数列的前n项和为，且，，若对任意的，等式恒成立，则 ．
【变式40】（2025·山东潍坊·模拟预测）已知是公差为2的等差数列，其前项和为，是与的等差中项，则= ；设，若对，使得恒成立，则的取值范围为
【变式41】（2025·江苏无锡·模拟预测）已知数列的前项和为，，，若对任意，等式恒成立，则 .
【变式42】已知数列满足:对恒成立,且,其前项和有最大值,则使得的最大的的值是 .
【变式43】设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是 .
①若，则数列有最大项；②若数列有最大项，则
③若数列对任意的，恒成立，则
④若对任意的，均有，则恒成立
1．记为数列的前n项和，设甲：为等差数列：乙：为等差数列，则
A． 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．已知数列满足，，，则
A．B．C．D．
3．设等差数列的前n项和为，若，则
A．8B．7C．6D．5
①数形结合
1．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球依此类推，最底层有cd个小球，共有n层．现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为
A．1B．2C．3D．4
2．已知，，若，，成等差数列，则
A．0或1B．1或C．1或D．0或
3．已知实数x，y，z满足，且，，可以按照某个顺序排成等差数列，则（ ）
A．不可能是等差中项B．不可能是等差中项
C．不可能是等差中项D．，，都可能是等差中项
②转化与化归
4．等差数列、的前n项和分别为与，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知正项等差数列满足，则（ ）
A．4050B．2025C．4048D．2024
6．已知数列满足：，，，则
A．B．C．D．
③分类讨论
7．记数列的前n项和为，若，则的值不可能为
A．96B．98C．100D．102
8．已知等比数列，满足，，成等差数列，且，则数列的公比为
A．B．C．2D．3
9．数列的前n项和为，满足，则可能的不同取值的个数为
A．45B．46C．90D．91
基础过关篇
1．（2025年高考北京卷数学真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
2．（2025年高考天津卷数学真题），则数列的前项和为（ ）
A．112B．48C．80D．64
3．（2025年高考全国二卷数学真题）记为等差数列的前n项和.若则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
9．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ．
10．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
11．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
12．（2022年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有 个.
13．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
14．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
能力拓展篇
1．（2025·广西·模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（2025·浙江·模拟预测）已知实数构成公差为的等差数列，若，，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选题）（2025·河北邯郸·一模）已知为等差数列的前项和，则（ ）
A．若，则
B．成等差数列
C．可能成等差数列
D．可能成等比数列
4．（多选题）（2025·高三·贵州·开学考试）已知数列满足，其中，则（ ）
A．
B．为等差数列
C．数列的前项和为
D．数列的前99项和大于
5．（多选题）（2025·黑龙江大庆·一模）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是递增数列
C．当时，D．当或4时，取得最大值
6．（多选题）（2025·湖南湘潭·一模）已知数列的通项公式为，前n项和为，数列满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．是公差为的等差数列
B．是中的项
C．数列是单调递增数列
D．数列中存在三项能构成等比数列
7．（多选题）（2025·广东广州·模拟预测）已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（ ）
A．B．
C．D．数列是等比数列
8．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，则（ ）
A．当时，取最大值B．使得的的最大值为4048
C．使得的的最小值为4050D．
9．（多选题）（2025·云南丽江·模拟预测）已知等比数列的首项，公比为q，前n项和为，前n项积为，函数，若，则（ ）
A．为递减的等差数列
B．
C．为递增的等比数列
D．取得最大值时的值是10
10．（多选题）（2025·湖北武汉·模拟预测）若，数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．关于点成中心对称B．数列是等差数列
C．数列的通项公式为D．
11．（多选题）（2025·四川成都·一模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（ ）
A．B．是等差数列
C．为偶数D．
12．（2025·湖南·一模）若数列满足，则 ．
13．（2025·江西新余·模拟预测）设，函数表示不超过的最大整数．若正项数列中，，且当时，，为其前项和，则 ．
14．（2025·高三·浙江温州·开学考试）在已知数列中，
(1)求数列的通项公式.
(2)数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由.
15．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列，
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和．
16．（2025·河北邢台·三模）已知等差数列的前项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)在中是否存在，，成等比数列？若存在，求出一个这样的3项；若不存在，请说明理由.
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
6.2 等差数列
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc211807864" 01 课标要求 PAGEREF _Tc211807864 \h 2
\l "_Tc211807865" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc211807865 \h 3
\l "_Tc211807866" 一、等差数列的有关概念 PAGEREF _Tc211807866 \h 3
\l "_Tc211807867" 二、等差数列公式 PAGEREF _Tc211807867 \h 3
\l "_Tc211807868" 三、性质 PAGEREF _Tc211807868 \h 3
\l "_Tc211807869" 常用二级结论 PAGEREF _Tc211807869 \h 4
\l "_Tc211807870" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc211807870 \h 5
\l "_Tc211807871" 题型一：等差数列的概念及通项 PAGEREF _Tc211807871 \h 5
\l "_Tc211807872" 题型二：等差数列的证明 PAGEREF _Tc211807872 \h 7
\l "_Tc211807873" 题型三：等差数列的性质 PAGEREF _Tc211807873 \h 10
\l "_Tc211807874" 题型四：等差数列的前n项和问题 PAGEREF _Tc211807874 \h 12
\l "_Tc211807875" 题型五：与有关的最值问题 PAGEREF _Tc211807875 \h 14
\l "_Tc211807876" 题型六： 奇数项和与偶数项和 PAGEREF _Tc211807876 \h 17
\l "_Tc211807877" 题型七：实际应用问题 PAGEREF _Tc211807877 \h 19
\l "_Tc211807878" 题型八：绝对值问题 PAGEREF _Tc211807878 \h 21
\l "_Tc211807879" 题型九：等差数列中的不等关系问题 PAGEREF _Tc211807879 \h 25
\l "_Tc211807880" 题型十：恒成立问题问题 PAGEREF _Tc211807880 \h 29
\l "_Tc211807881" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc211807881 \h 34
\l "_Tc211807882" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc211807882 \h 37
\l "_Tc211807883" ①数形结合 PAGEREF _Tc211807883 \h 37
\l "_Tc211807884" ②转化与化归 PAGEREF _Tc211807884 \h 39
\l "_Tc211807885" ③分类讨论 PAGEREF _Tc211807885 \h 40
\l "_Tc211807886" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc211807886 \h 43
\l "_Tc211807887" 基础过关篇 PAGEREF _Tc211807887 \h 43
\l "_Tc211807888" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc211807888 \h 49
1、理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2、探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3、能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
4、体会等差数列与一元函数的关系.
一、等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．
（2）等差中项
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
二、等差数列公式
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
（2）等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
三、性质
1、由等差数列生成新的等差数列
（1）公差为的等差数列具有如下性质：下标成公差为的等差数列的项组成以md为公差的等差数列，即在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．
（2）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数．
（3）若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
2、若，则．
（1）若，则；
（2）若，则．
（3）有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和：
3、若，则．
常用二级结论
1、等差数列中：，则有可以求出，甚至．
2、等差数列中：为首项是，公差是的等差数列，若，则特别的，若，则有．
3、有最大值；有最小值，若，则有同时取得最值
，的最大值；,的最大值．
题型一：等差数列的概念及通项
【例题1】记为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A．22B．24C．28D．36
【答案】C
【解析】由可得，
解得，
故，
故选：C
【例题2】在等差数列中，，则（ ）
A．B．2C．3D．6
【答案】C
【解析】设公差为，，
即，
故，
所以.
故选：C
【解题总结】
等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项．和是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式1】等差数列的公差，若成等比数列，以下正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由成等比数列，得，
则，又，
则，解得（舍去）或，
则，.
故选：C
【变式2】记等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，可得，即，
所以公差，
故选：A
【变式3】记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】D
【解析】设公差为，由可得且，
解得.
故选：D
【变式4】已知是等差数列的前项和，若，．则（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】D
【解析】设公差为，由，，则，解得，
所以.
故选：D.
题型二：等差数列的证明
【例题3】已知数列的前项和为，满足，证明：数列为等差数列．
【解析】因为，①
有，②
②－①得．
即
整理得，③
当时，④
③－④得，
则（），故数列为等差数列．
【例题4】已知数列的前项和，令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式．
【解析】在中，
令，可得，
当时，，
故，
，
即，即，
又，所以，即当时，，
又，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，
于是，所以．
【解题总结】
判断数列是等差数列的常用方法
（1）定义法：对任意是周一常数．
（2）等差中项法：对任意，湍足．
（3）通项公式法：对任意，都满足为常数）．
（4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）．
【变式5】已知正项数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)证明是等差数列，并求的通项公式；
(3)若，记数列的前项和为，求.
【解析】（1）因为，故，解得或，
而，故.
（2）因为，故，
整理得到：，故是等差数列，且首项为，公差为，
故，而为正项数列，故，故，
故当时，，而也满足该式，
故.
（3），
故
.
【变式6】已知数列中，，．
(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】（1）因为，所以，
即，，
所以是首项为，公差为1的等差数列，
故，即，
所以数列的通项公式为；
（2），①
，②
由得，
则，
所以，.
【变式7】（2025·高三·云南德宏·开学考试）设数列的前n项和为．已知，．
(1)求的值；
(2)求证：为等差数列；
【解析】（1）数列中，，
当时，，而，则，
当时，，所以.
（2）由，得，
当时，，
两式相减得，即，
整理得，而，
故数列是首项为，公差为1的等差数列.
【变式8】（2025·高三·山东济南·开学考试）已知正项数列的前项积为，且满足.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)令，求数列的前项和.
【解析】（1）证明：当时，，又，，所以，
当时，，又，所以，即，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列.
（2）由（1）知数列是首项为3，公差为2的等差数列，
则，，
，
所以数列的前项和.
题型三：等差数列的性质
【例题5】已知等差数列的前项和为，若，，则 .
【答案】
【解析】已知，，可得，即①；
，即②；
联立①②解得：，；
由等差数列的通项公式，可得，将，代入可得，
因为，，所以.
故答案为：.
【例题6】若为等差数列，，则它的前12项和为 ．
【答案】
【解析】根据题意可知前12项和为，
又易知，
所以前12项和为.
故答案为：.
【解题总结】
如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求的值．
【变式9】设等差数列的前项和为，则正整数的值为 .
【答案】
【解析】，，
则公差，则，
有，
又，则，
化简得，解得或（负值舍去），
故正整数的值为.
故答案为：.
【变式10】（2025·高三·安徽·开学考试）已知是等差数列的前项和，，则 .
【答案】0
【解析】在等差数列中，由，得，解得，
所以.
故答案为：0
【变式11】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列的前项和为，且，，则 ．
【答案】0
【解析】因为，所以，所以数列为等差数列，
所以，所以，所以．
故答案为：0.
【变式12】已知等差数列的前n项和为，若，则 .
【答案】42
【解析】.
故答案为：42.
题型四：等差数列的前n项和问题
【例题7】已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则 .
【答案】
【解析】由等差数列性质得
故答案为：
【例题8】在等差数列中，已知，，则 .
【答案】60
【解析】由于成等差数列，所以成等差数列，故，故，
故答案为：60
【解题总结】
在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列．
【变式13】若为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为 .
【答案】
【解析】因为为等差数列的前项和，且，，
所以可得，解得，
所以，，
设与的等比中项为，则，则，
所以与的等比中项为.
故答案为：
【变式14】（2025·高三·湖北·开学考试）已知等差数列的前项和分别为，且，则 ．
【答案】/
【解析】由可得，
又，
故，
故答案为：
【变式15】各项均为正数的等差数列的前项和为，若，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】解法一：因为，所以，
所以，因为，
所以，当且仅当时取等号．
解法二：因为，
所以，所以，
则，
故当时，取得最大值64．
解法三：（基本量思想）：设数列的公差为，
因为，所以，即，
所以，
当时，取得最大值64．
故答案为：
【变式16】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知是等差数列的前项和，若，则 ．
【答案】84
【解析】因为数列为等差数列，则也为等差数列，
可得，即，解得.
故答案为：84.
题型五：与有关的最值问题
【例题9】已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解析】设等差数列公差为，由，
则，，
∴，
解得，．
∴，
∴当时，取得最大值．
故选：B．
【例题10】（2025·高三·河北张家口·期末）已知等差数列的前项和为，且，则取最大值时的值是（ ）
A．4B．5C．6D．10
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，则，
化简得，即，
则
，
由，则当时，取最大值.
故选：B.
【解题总结】
求等差数列前项和最值的2种方法
（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；
②若，则满足的项数使得取得最小值．
【变式17】（2025·高三·辽宁·开学考试）已知等差数列的前项和为，若，，则使最大的的值为（ ）
A．7B．8C．7或8D．8或9
【答案】C
【解析】根据题意，数列为等差数列，所以（为正整数），，
因为，，所以， 解得，
所以，最大时，，
但由于为正整数，所以当或，最大.
故选：C.
【变式18】（2025·高三·浙江·开学考试）已知等差数列的前项和满足：，则数列的最小项是第（ ）项.
A．2026B．2027C．4048D．4049
【答案】A
【解析】由，
则，，，
因此等差数列为递增数列，
而，
，
则时，，，即；
当时，，要使最小，则，
此时，数列为递增数列，
则随着的增大，增大，减小，增大，但，，则增大，
因此，当时，最小.
故选：A.
【变式19】（2025·江西·模拟预测）记为等差数列的前n项和，且，则满足的n的最大值为（ ）
A．40B．41C．42D．43
【答案】B
【解析】由已知可得，
的公差为，故，
故，
令，又，所以，故n的最大值为41，
验证，，
所以n的最大值为41.
故选：B.
【变式20】（2025·江苏盐城·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时的值为（ ）
A．12B．13C．14D．25
【答案】C
【解析】由可得，由等差数列的性质可得：，
因，则等差数列的公差，即等差数列为递增数列，
故，即取最小值时，的值为14.
故选：C.
题型六： 奇数项和与偶数项和
【例题11】已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ．
【答案】
【解析】设等差数列的项数为，
则，
，
，解得：，即等差数列的项数为；
项的数列的中间项为第项，即，
由得：，解得：，即中间项为.
故答案为：；.
【例题12】已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ．
【答案】10
【解析】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为，
故，解得.
故答案为：10
【解题总结】
①若数列共有项，则（为中间项），，；，；
②若数列共有项，则S2n＝n(an＋an＋1)（，为中间两项），，eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(an＋1,an)．
【变式21】已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 .
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
因为等差数列的项奇数项之和为140，偶数项之和为120，
所以有，
故答案为：
【变式22】（2025·高三·四川成都·期中）数列满足：，数列的前项和记为，则 ．
【答案】2191
【解析】数列是以公差的等差数列;
.
,数列是以公比的等比数列;
.
.
故答案为：2191.
【变式23】等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于 ．
【答案】
【解析】因为等差数列共有项，
所有奇数项之和为，
所有偶数项之和为，
所以，，解得.
故答案为：.
【变式24】在等差数列中，已知公差，且，则 .
【答案】145
【解析】等差数列中，已知公差，


.
故答案为：145.
【变式25】已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为 ．
【答案】29
【解析】因为为奇数，所以，解得．
所以，所以．故所求的中间项为29．
故答案为：29
题型七：实际应用问题
【例题13】某幼儿园老师为了奖励舞蹈比赛成绩前4名的小朋友，将购买的64块巧克力分给她们，使每人所得巧克力的块数成等差数列，且使较多的两份巧克力的块数之和是最少一份的巧克力的块数的12倍，则分得巧克力块数最多的小朋友得到（ ）
A．22块B．24块C．28块D．36块
【答案】C
【解析】设4名小朋友每人所得的巧克力块数按从小到大的顺序排列为，且公差为，
根据题意，可得，即，解得，
所以.
故选：C.
【例题14】（2025·安徽合肥·二模）《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）
A．23岁B．32岁C．35岁D．38岁
【答案】C
【解析】设第n个儿子的年龄为岁，由题可知是等差数列，设其公差为d，前n项和为，
易得，则 ，
解得，
即这位公公的长儿的年龄为35岁．
故选：C.
【解题总结】
利用等差数列的通项公式与求和公式求解.
【变式26】（2025·四川绵阳·模拟预测）某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（ ）
A．380B．390C．400D．600
【答案】B
【解析】记每排摆放的花盆数为，数列的前项和为.
由题意可知，数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
故将该花坛铺满一共需要盆花.
故选：B
【变式27】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们将石子摆放成三角形（如图），三角形中的石子个数依次为1，3，6，10，…，这些数称为三角形数.若将这些三角形数中能被3整除的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．666B．705C．741D．780
【答案】C
【解析】设三角形数构成的数列为，则其通项公式为，
当或时，能被3整除，
所以的前36项有24项在数列中，则数列的第25项对应数列的第38项，所以.
故选：C.
【变式28】（2025·高三·河南新乡·开学考试）某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有（ ）
A．20排B．21排C．22排D．23排
【答案】B
【解析】依题意，该会场的座位构成以为首项，2为公差的等差数列，其前项和，
则，显然数列是递增数列，
，由，得，
所以该会场的座位至少有21排.
故选：B
【变式29】（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】B
【解析】令所给等差数列为，其前项和为，
则，即，因此，
解得，
则数列的公差，所以谷雨日影长.
故选：B
题型八：绝对值问题
【例题15】（2025·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，．
(1)求数列的通项公式．
(2)若，求数列的前n项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
因为，所以．
又因为，则，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，．
当时，，
；
当时，，
．
综上，.
【例题16】已知数列的前项和为，数列的通项，求数列的前项和．
【解析】时，，
时，，
又，所以；
则，
当时，，
当时，，
所以
【解题总结】
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
【变式30】记为数列的前项和，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）由可得，
两式相减，得，即，
当时，，则．
当时，，即，
于是由递推关系得，得，
而，满足上式，
故数列的通项公式为．
（2）由得，
当时，，则，
所以；
当时，，注意到，
故．
综上，．
【变式31】（2025·高三·河北保定·开学考试）已知等差数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）设的公差为.
由，
可得
解得
则.
（2）由（1）可知，当时，，则，
则.
当时，，则，
则.
故
【变式32】已知数列中，，记．
(1)求证：数列是等差数列，并求出；
(2)设，求．
【解析】（1）由，得，即，
又，所以为常数，
又，所以，
所以数列是公差为2，首项为－5的等差数列，．
（2）由（1）知，，
当时，，所以；
当时，，所以，
得到．
综上，.
【变式33】已知数列的前项和．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
【解析】（1）当时，；
当时，，
此时时，；
故；
（2）由可知当时，，当时，．
当时，，
当时，，
所以
题型九：等差数列中的不等关系问题
【例题17】（多选题）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．当时，中只有最大D．当时，
【答案】ABD
【解析】对于A，等差数列中，，有，有，可得，故A正确；
对于B，由，故B正确；
对于C，由，有，所以和最大，故C错误；
对于D，由，，有，故D正确．
故选：ABD．
【例题18】（多选题）数列为等差数列，为其前项和，已知，则（ ）
A．B．为单调递增数列
C．使的的最小值为18D．当且仅当时，最小
【答案】BC
【解析】A选项，设公差为，则，解得，
故，
，A错误；
B选项，因为，故为单调递增数列，B正确；
C选项，，令得或（舍去），
故使的的最小值为18，C正确；
D选项，因为，当时，，当时，，
当时，，故当或9时，最小，D错误.
故选：BC
【解题总结】
（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列是递增数列，恒成立”．
（2）数列的单调性与，的单调性不完全一致．
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函数有单调性连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性”．
【变式34】（多选题）（2025·高三·安徽·开学考试）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，最大B．使得成立的最小自然数
C．D．中最小项为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以，
由，所以，所以，且，
所以数列是递减的等差数列，且，
则当时，最大，故A正确；
对于B，由上述分析可知，当时，单调递减，
且，，
所以使得成立的最小自然数，故B正确；
对于C，由，且，
所以，即，故C错误；
对于D，因为当时，，，所以；
当时，，，所以；
当时，，，所以；
且，，
则有，，
所以，即，
所以中最小项为，故D正确．
故选：ABD．
【变式35】（多选题）设是等差数列的前n项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．时，最大
C．使的n的最大值为13D．数列中的最小项为第8项
【答案】BD
【解析】对于AB，由题意，又，所以，从而，则，故为递减数列，从第8项开始，，
则时，最大，所以A错误，B正确；
对于C ,，所以使的的最大值为14，C错误；
对于D，由ABC分析可知，当或时，时，
当时，，又，，所以时，最小，D正确.
故选：BD．
【变式36】（多选题）（2025·高三·湖南·期中）设等差数列的前项和为，公差为，已知，.则（ ）
A．B．
C．时，的最小值为D．最小时，
【答案】BC
【解析】对于A，由，则，
又，则，故A错误；
对于B，由A已得，则，故B正确；
对于C，由上分析，当时，，当时，，
又，又，
所以时，的最小值为，故C正确；
对于D，当最小时，，故D错误.
故选：BC.
【变式37】（多选题）（2025·高三·湖北·期中）设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是( ).
A．，B．C．D．当时，最大
【答案】BC
【解析】因为，，，所以和异号，且，又因为，所以，，所以，故A错误，B正确；
，故C正确；
因为，，所以当时，最大，故D错误.
故选：BC.
【变式38】（多选题）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，最大
B．使得成立的最小自然数
C．
D．数列中最小项为
【答案】ABD
【解析】根据题意：，即，
两式相加，解得，当时，最大，故A正确；
由，可得，所以，
故，
所以，故C错误；
由以上可得：，
，而，
当时，；当时，；
所以使得成立的最小自然数，故B正确.
当或时；当时；
由，
所以中最小项为，故D正确.
故选：ABD
题型十：恒成立问题问题
【例题19】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为 ．
【答案】
【解析】数列是公差为d的等差数列，设，
由，得，解得，则，
由对任意的恒成立，得.
所以公差d的取值范围为．
故答案为：
【例题20】已知数列是等比数列，且，，，成等差数列.若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，依题意，，又，
可得，解得，所以，
所以．
当为偶数时，由，得，
所以对任意的偶数成立，
因为单调递减，所以当时取最大值，
故；
当为奇数时，由，得，
所以对任意的奇数成立，
因为单调递增，且当时，，故．
综上所述，．
故答案为：.
【解题总结】
等差数列中的范围与恒成立问题是数列研究的重要方面。这类问题通常涉及数列的通项公式、前n项和公式以及不等式性质的应用。解决这类问题时，需要首先根据题意设定合适的变量，建立等差数列的通项或前n项和的不等式，然后利用不等式的性质进行推导，最终确定变量的取值范围，使得原不等式恒成立。
【变式39】（2025·高三·湖北武汉·开学考试）已知数列的前n项和为，且，，若对任意的，等式恒成立，则 ．
【答案】/
【解析】因为，所以当时，有，
两式相减得，所以，
所以数列是以m为首项，1为公差的等差数列，
所以，，
则，
所以，
又因为对任意的，等式恒成立，所以，
解得，，所以.
故答案为：.
【变式40】（2025·山东潍坊·模拟预测）已知是公差为2的等差数列，其前项和为，是与的等差中项，则= ；设，若对，使得恒成立，则的取值范围为
【答案】
【解析】由题意知是公差为2的等差数列，是与的等差中项，
则，即，
故；
故，
则，
当时，，数列的项增大；当时，，数列的项是减小的；
故为数列的最大值项，
对，使得恒成立，则，
即的取值范围为，
故答案为：，
【变式41】（2025·江苏无锡·模拟预测）已知数列的前项和为，，，若对任意，等式恒成立，则 .
【答案】
【解析】因为，
所以当时，有，
两式相减得，
即有，
整理得：，
所以，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，
，
则，
所以，
又因为对任意，等式恒成立，
所以，解得.
故答案为：
【变式42】已知数列满足:对恒成立,且,其前项和有最大值,则使得的最大的的值是 .
【答案】15
【解析】解:由题知,
即对恒成立,
所以数列为等差数列,
因为前项和有最大值,
所以数列单调递减,
因为,所以异号,且,
所以可化简为:,即,
因为,
,
所以使得的最大的的值为15.
故答案为:15
【变式43】设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是 .
①若，则数列有最大项；②若数列有最大项，则
③若数列对任意的，恒成立，则
④若对任意的，均有，则恒成立
【答案】①②④
【解析】①当时，若，则数列有最大项为 ，若 ，则存在，有 ，所以数列有最大项为，故正确；
②当时，存在，当时，，此时，故数列无最大项，所以若数列有最大项，则，故正确；
③若， 恒成立，则，故错误；
④若对任意的，均有，则，若，则，若，则设（为不大于的最大整数），，则，故不成立，故正确；
故答案为：①②④
1．记为数列的前n项和，设甲：为等差数列：乙：为等差数列，则
A． 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】解：方法
若为等差数列，设其公差为d，
则，，
，
故为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，若为等差数列，即为常数，设为t，
即，
故，
当时，，
两式相减有：，
当时，，即，
即时也成立，
故为等差数列，
则甲是乙的必要条件，
故甲是乙的充要条件，
故选
方法
因为甲：为等差数列，设数列的公差为d，
则，
则，
故为等差数列，即甲是乙的充分条件．
反之，乙：为等差数列，即为常数，，
即，
当时，，
上两式相减得：，
所以，
当时，上式成立，
又为常数，
所以为等差数列，
则甲是乙的必要条件，
故甲是乙的充要条件，
故选
2．已知数列满足，，，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：方法一：由题意可得：，则，
可得，即，
可知数列是首项为，公差为1的等差数列，
则，即，所以；
方法二：因为，，
可得，，，
据此可以发现规律，所以
故选：
3．设等差数列的前n项和为，若，则
A．8B．7C．6D．5
【答案】C
【解析】解：方法一：由题意得：，，
则等差数列的公差，
则，，
所以；
方法二：因为等差数列的性质即为等差数列，
则，得，解得
故选：
①数形结合
1．北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球依此类推，最底层有cd个小球，共有n层．现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共7层，小球总个数为168，则该垛积的第一层的小球个数为
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】解：设各层的小球个数为数列，由题意得，，，，因为，可得，，，，则，
因为前7层小球总个数为168，
所以，即，解得或舍去，
所以，可得，即该垛积的第一层的小球个数为2个．
故选：
2．已知，，若，，成等差数列，则
A．0或1B．1或C．1或D．0或
【答案】D
【解析】解：因为，，
则以，所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
则，
所以，，，
因为，，成等差数列，
所以，
所以，
两边平方，得，
即，
再两边平方，得，
整理，得，
解得或0，
所以或
故选
3．已知实数x，y，z满足，且，，可以按照某个顺序排成等差数列，则（ ）
A．不可能是等差中项B．不可能是等差中项
C．不可能是等差中项D．，，都可能是等差中项
【答案】D
【解析】解：①若为等差中项，则有，
此时，如图所示，所以A不正确；
②若为等差中项，则有，此时或，如图所示，所以B不正确；
③若为等差中项，则有，
此时，如图所示，所以C不正确；
综上知，，都可能是等差中项．
故选
②转化与化归
4．等差数列、的前n项和分别为与，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：因为 都是等差数列，所以，
所以
所以
故选
5．已知正项等差数列满足，则（ ）
A．4050B．2025C．4048D．2024
【答案】B
【解析】解：正项等差数列满足，
，
，即，
，
数列是常数列，
则，即，
故选：
6．已知数列满足：，，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：因为 ，由题意可知、均不会为0，
两边取倒数，得 ，
所以 ，
因为 ，
所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列．
所以 ，
故 ，所以 ．
故选
③分类讨论
7．记数列的前n项和为，若，则的值不可能为
A．96B．98C．100D．102
【答案】D
【解析】解：当时，，设，
当时，，则，
即，所以，
时取等，故D错误；
若，，且，，，
此时；
若，，且，，，
此时
故A，B，C正确．
故选：
8．已知等比数列，满足，，成等差数列，且，则数列的公比为
A．B．C．2D．3
【答案】C
【解析】解：设等比数列的公比为q，
由，，成等差数列，得，
即，
故或，
当时，，不符合题意，
故
故选：
9．数列的前n项和为，满足，则可能的不同取值的个数为
A．45B．46C．90D．91
【答案】B
【解析】解：由累加法可得，其中，
故，且奇偶交错出现．
若为奇数，由可得对可取遍中的每一个奇数；
若为偶数，由可得对可取遍中的每一个偶数，
又，
当时，；
考虑时，调整为3，则对应的可增加，
依次对至少一个调整为3后
，
即，
从上述的调整过程可得取遍了中的奇数或偶数取奇数还是偶数取决于的奇偶性，
当时，取遍了中的奇数，合计46个．
故选：
基础过关篇
1．（2025年高考北京卷数学真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
故选：C.
2．（2025年高考天津卷数学真题），则数列的前项和为（ ）
A．112B．48C．80D．64
【答案】C
【解析】因为，
所以当时，，
当时，，
经检验，满足上式，
所以，令，，
设数列的前n项和为，
则数列的前项和为
数列的前项和为
.
故选：C
3．（2025年高考全国二卷数学真题）记为等差数列的前n项和.若则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为d，则由题可得 ，
所以.
故选：B.
4．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】方法一：利用等差数列的基本量
由，根据等差数列的求和公式，，
又.
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故.
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差，则，则.
故选：D
5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选：B.
6．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【解析】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
9．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ．
【答案】
【解析】根据等差数列的求和公式，.
故答案为：
10．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
【答案】95
【解析】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，
则.
故答案为：.
11．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【解析】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以.
故答案为：48；384.
12．（2022年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知等差数列的公差不为零，为其前n项和，若，则中不同的数值有 个.
【答案】98
【解析】等差数列的公差不为零，为其前项和，，
，解得，
，
，，1，，中，，，
其余各项均不相等，
，1，，中不同的数值有：．
故答案为：98．
13．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
14．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【解析】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
能力拓展篇
1．（2025·广西·模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】由题意得，
.
两式相减得，
解得.
因为，化简得
因为，所以由方程②可得，代入方程①可得，
因为，化简得，
解得.
故选：D.
2．（2025·浙江·模拟预测）已知实数构成公差为的等差数列，若，，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由实数构成公差为的等差数列，所以设，
则，所以，
构造函数，，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以的最小值为，
当时，，当从负方向趋近于时，，
所以，所以或，
所以的取值范围为．
故选：A．
3．（多选题）（2025·河北邯郸·一模）已知为等差数列的前项和，则（ ）
A．若，则
B．成等差数列
C．可能成等差数列
D．可能成等比数列
【答案】BC
【解析】对于选项A：，当时，；
当时，，
适合，，故选项A错误；
对于选项B：为等差数列的前项和，设的公差为d，
则，
，，
，
,
，，，成等差数列，故选项B正确；
对于选项C：设等差数列的公差为，则，，，
若成等差数列，则，
即，解得，
，，，，，，成等差数列，故选项C正确；
对于选项D：设等差数列的公差为，则，，，
若成等比数列，则，即，
解得，将看成是关于的一元二次方程，，
只有当时，方程有解，
且解为，此时，则不可能成等比数列，故选项D错误.
故选：BC.
4．（多选题）（2025·高三·贵州·开学考试）已知数列满足，其中，则（ ）
A．
B．为等差数列
C．数列的前项和为
D．数列的前99项和大于
【答案】BCD
【解析】对于A，由题意，数列满足，可得，故A错误；
对于B，因为，所以为常数，且，
所以数列为首项为，公差为的等差数列，故B正确；
对于C，由选项B可知，所以，所以，
所以数列的前项和为，故C正确；
对于D，由可知，所以，
因为对都有，所以，
所以数列的前99项和，故D正确.
故选：BCD
5．（多选题）（2025·黑龙江大庆·一模）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是递增数列
C．当时，D．当或4时，取得最大值
【答案】ACD
【解析】因为，所以，又所以数列是首项为9,公差为-3的等差数列.
记公差为d,则,所以,.
选项A：.所以选项A正确.
选项B：因为公差为-3，所以数列是递减数列.所以选项B错误.
选项C：当，即.所以选项C正确.
选项D：,所以在时单调递增，在时单调递减.因为,所以当或时，取得最大值，最大值为18.所以选项D正确.
故选：ACD.
6．（多选题）（2025·湖南湘潭·一模）已知数列的通项公式为，前n项和为，数列满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．是公差为的等差数列
B．是中的项
C．数列是单调递增数列
D．数列中存在三项能构成等比数列
【答案】AC
【解析】由，则，
所以，则数列为等差数列，公差为，
则，
所以，则，
所以，
所以是公差为的等差数列，故A正确；
而，令，
解得，则不是中的项，故B错误；
而，
则数列是单调递增数列，故C正确；
假设中的三项成等比数列，则，
，
即，
则，
由于，则①且②，
由②可得，代入①可得，
由于，则数列中不存在三项能构成等比数列，故D错误.
故选：AC.
7．（多选题）（2025·广东广州·模拟预测）已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（ ）
A．B．
C．D．数列是等比数列
【答案】ABD
【解析】对于B，当时，．
又为等比数列，则，故B正确，
对于A，则，所以，解得，故A正确，
对于C，而
，故C错误，
对于D，又，
且，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故D正确.
故选：ABD
8．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，则（ ）
A．当时，取最大值B．使得的的最大值为4048
C．使得的的最小值为4050D．
【答案】ABD
【解析】由，，得．所以，A正确，
由和得，
结合，，
故使得的的最大值为4048，使得的的最小值为4049，所以B正确，C错误．
，解得，D正确．
故选：ABD．
9．（多选题）（2025·云南丽江·模拟预测）已知等比数列的首项，公比为q，前n项和为，前n项积为，函数，若，则（ ）
A．为递减的等差数列
B．
C．为递增的等比数列
D．取得最大值时的值是10
【答案】AC
【解析】依题意，，
则，，由，得，即，
对于AB，，数列为首项为公差为的等差数列，
又，即，因此数列为递减的等差数列，A正确，B错误；
对于C，由，得数列为等比数列，
而及，则数列递增，C正确；
对于D，数列各项为正且单调递减，由，得，
数列前5项大于1，第6项等于1，从第7项开始小于1，则取最大值时n的值为5或6，D错误.
故选：AC
10．（多选题）（2025·湖北武汉·模拟预测）若，数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．关于点成中心对称B．数列是等差数列
C．数列的通项公式为D．
【答案】ABD
【解析】函数的定义域为，
由已知，
所以，
所以，
又，，
所以，所以的图象关于点对称．故A正确；
因为，所以，
所以，所以，
所以，又，
所以，
所以，故，
所以，所以．C错误；
所以当时，，所以数列是等差数列，故B正确，
所以，，，，，
所以，
，故D正确．
故选：ABD．
11．（多选题）（2025·四川成都·一模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第层有个球，则（ ）
A．B．是等差数列
C．为偶数D．
【答案】ABD
【解析】根据题意，当时，，
累加得，
，易知也满足，所以，
，故A正确；
，故B正确；
为奇数，故C错误；
，，
，
，
即，故D正确；
故选：ABD.
12．（2025·湖南·一模）若数列满足，则 ．
【答案】121
【解析】由题意可得，作差得，
故
故答案为：121.
13．（2025·江西新余·模拟预测）设，函数表示不超过的最大整数．若正项数列中，，且当时，，为其前项和，则 ．
【答案】198
【解析】由于当时，，所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，即．又，
即，
所以．
由于，
则，
，
所以，
又由于，
所以，故．
故答案为：198.
14．（2025·高三·浙江温州·开学考试）在已知数列中，
(1)求数列的通项公式.
(2)数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意得，，
所以成等比数列，故；
，而，
所以成等比数列，故，故；
（2）设中存在不同的三项恰好成等差数列，
①若均为奇数，不妨设，则，即，
得，因为是奇数，是偶数，故不可能成立；
②若二奇一偶，不妨设为奇数，为偶数，
则为偶数，为奇数，则，即，
因为被3除余2，同理也被3除余2，
故被3除余1，而为3的倍数，故不可能成立；
③若一奇二偶，不妨设为偶数，为奇数，则为奇数，为偶数，
则，即，
因为为3的倍数，不是3的倍数（被3除余1），故不可能成立；
④若均为偶数，不妨设，则，即，
得，因为被3除余是3的倍数，故不可能成立，
综上中不存在不同的三项恰好成等差数列.
15．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列，
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，即，即
又因为成等比数列，所以，即，即，
联立方程组，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，所以，
因为，即，
可得，
，
所以，所以数列的前2n项的和为．
16．（2025·河北邢台·三模）已知等差数列的前项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)在中是否存在，，成等比数列？若存在，求出一个这样的3项；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设的公差为，
由，，得
化简得解得，，
所以.
（2）由（1）知，所以，，，
因为是单调递增数列，且，
所以若存在3项，，成等比数列，则必有，
即，
化简得，即，
令，，，符合，
所以，，成等比数列.
数列
结论
{c＋an}
公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an}
公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k}
公差为2d的等差数列
{pan＋qbn}
公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)