2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用6.3　等比数列(3大考点+10大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用6.3　等比数列(3大考点+10大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共15页。
\l "_Tc211845068" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc211845068 \h 3
\l "_Tc211845069" 一、等比数列有关的概念 PAGEREF _Tc211845069 \h 3
\l "_Tc211845070" 二、等比数列的公式 PAGEREF _Tc211845070 \h 3
\l "_Tc211845071" 三、等比数列的性质 PAGEREF _Tc211845071 \h 3
\l "_Tc211845072" 常用二级结论 PAGEREF _Tc211845072 \h 4
\l "_Tc211845073" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc211845073 \h 5
\l "_Tc211845074" 题型一：等比数列的概念及通项公式 PAGEREF _Tc211845074 \h 5
\l "_Tc211845075" 题型二：等比数列的证明 PAGEREF _Tc211845075 \h 6
\l "_Tc211845076" 题型三：等比数列的常用性质 PAGEREF _Tc211845076 \h 8
\l "_Tc211845077" 题型四：等比数列的前n项和公式及其性质 PAGEREF _Tc211845077 \h 8
\l "_Tc211845078" 题型五：等比数列前n项和的实际应用 PAGEREF _Tc211845078 \h 9
\l "_Tc211845079" 题型六：公共项问题 PAGEREF _Tc211845079 \h 10
\l "_Tc211845080" 题型七：插项问题 PAGEREF _Tc211845080 \h 11
\l "_Tc211845081" 题型八：范围与最值问题 PAGEREF _Tc211845081 \h 12
\l "_Tc211845082" 题型九：等差数列与等比数列的综合应用 PAGEREF _Tc211845082 \h 13
\l "_Tc211845083" 题型十：奇偶问题 PAGEREF _Tc211845083 \h 15
\l "_Tc211845084" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc211845084 \h 19
\l "_Tc211845085" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc211845085 \h 20
\l "_Tc211845086" ①数形结合 PAGEREF _Tc211845086 \h 20
\l "_Tc211845087" ②转化与化归 PAGEREF _Tc211845087 \h 20
\l "_Tc211845088" ③分类讨论 PAGEREF _Tc211845088 \h 20
\l "_Tc211845089" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc211845089 \h 22
\l "_Tc211845090" 基础过关篇 PAGEREF _Tc211845090 \h 22
\l "_Tc211845091" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc211845091 \h 24
1、通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2、掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3、能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
4、体会等比数列与指数函数的关系.
一、等比数列有关的概念
1、等比数列的概念
（1）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
（2）递推公式形式的定义：(且)（，）.
2、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
注：①并非任何两数总有等比中项．仅当实数同号，即时，实数存在等比中项．对同号两实数的等比中项不仅存在，而且有一对互为相反数的等比中项．也就是说，两实数要么没有等比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解．
②是、、成等比数列的必要不充分条件.
二、等比数列的公式
（1）等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
（2）等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
三、等比数列的性质
1、数列仍是公比为的等比数列；
2、数列（为常数）为等比数列；特别地，当时，即是公比为的等比数列；
3、若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列；
4、在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
5、对称性：若，则；若，则．
6、前n项和的常用性质
①．
②，…构成公比为的等比数列().
7、与的性质
等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．
（1）若共有项，则；（2）若共有项，．
常用二级结论
①若，则．
②有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，都等于首末两项的积：．
题型一：等比数列的概念及通项公式
【例题1】（2025·广东深圳·模拟预测）设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（ ）
A．15B．16C．31D．
【例题2】若等比数列满足已知，，则的公比为（ ）
A．B．2C．D．4
【解题总结】
等比数列基本量运算的解题策略
（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，，
一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．
（2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论：
当时，；当时，
【变式1】已知是公比不为1的等比数列，，若成等差数列，则（ ）
A．B．C．4052D．
【变式2】数列是等比数列，且，，则（ ）
A．16B．14C．12D．10
【变式3】记为等比数列的前n项和．若则（ ）
A．B．
C．D．
【变式4】（2025·高三·云南大理·开学考试）若等比数列满足，则的公比为（ ）
A．2B．C．D．
题型二：等比数列的证明
【例题3】已知.
(1)若，，求；
(2)设，，证明：；
(3)在（2）的条件下，若，证明数列为等比数列并求的通项公式.
【例题4】已知数列满足：，，．
(1)求证：成等比数列；
(2)求数列的前项和．
【解题总结】
等比数列的判定方法
【变式5】记为数列的前项和，且，.
(1)求；
(2)证明：为等比数列；
(3)求.
【变式6】（2025·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，，．
(1)求，；
(2)证明：为等比数列；
(3)求．
【变式7】设数列的前项和为，且是公差为的等差数列．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)若对于任意正整数均成立，求整数的最大值．
【变式8】已知数列满足，点在函数的图象上，其中，，，求证：数列是等比数列．
【变式9】已知在数列中，，．当时，．求证：为等比数列；
题型三：等比数列的常用性质
【例题5】已知整数数列是等比数列，，则的最小值为 ．
【例题6】已知是等比数列，若分别是函数的两个零点，则 .
【解题总结】
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
【变式10】已知正项等比数列，，则 ．
【变式11】已知等比数列满足，则 .
【变式12】已知各项均为正数的等比数列满足，则 .
【变式13】若等比数列中的，是方程的两个根，则 ．
题型四：等比数列的前n项和公式及其性质
【例题7】（2025·广西·模拟预测）已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为 ．
【例题8】已知等比数列的前项和为，若，，则 .
【解题总结】
（1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．
①若共有项，则；②若共有项，．
（2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为．
【变式14】设等比数列的前项和为，若，则 ．
【变式15】（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ．
【变式16】若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ．
【变式17】（2025·高三·内蒙古包头·期中）记为公比不为1的等比数列的前项和，若，则公比 .
题型五：等比数列前n项和的实际应用
【例题9】李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（ ）
A．B．C．D．
【例题10】（2025·高三·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（ ）（参考数据：）
A．36小时B．38小时C．40小时D．42小时
【解题总结】
等比数列在实际应用中广泛存在，其独特的性质使得它在金融、物理、生物学等多个领域都有重要的应用。例如，在金融领域，等比数列可以用于计算复利、贷款分期偿还等问题；在物理学中，等比数列可以用来描述某些放射性物质的衰变过程；在生物学中，它也可以用于描述种群数量的增长等。因此，掌握等比数列的应用具有实际意义。
【变式18】我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（ ）
A．B．C．D．
【变式19】某企业年初贷款万元，年利率为，按复利计算，从年末开始，每年末偿还一定金额，计划第5年底还清，则每年应偿还的金额数为（ ）
A．万元B．万元C．万元D．万元
【变式20】洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（ ）
A．16B．32C．48D．64
【变式21】（2025·高三·北京海淀·期末）2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加. 记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）. 已知，，则最大时，的值为（ ）
（参考数据：，）
A．B．C．D．
题型六：公共项问题
【例题11】等差数列的前n项和为，，数列的通项．将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前50项和为（ ）
A．B．C．D．
【例题12】（2025·高三·天津河西·期中）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
公共项问题涉及两个或多个数列中共同存在的项。这些项可能具有特定的数值和序号关系，需要利用数列的通项公式和性质进行求解。例如，两个等差数列的公共项可以组成一个新的等差数列，其公差是两原数列公差的最小公倍数。
【变式22】（2025·高三·江西·期中）在等差数列中，，成公比不为1的等比数列，是的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ）
A．1B．C．D．
【变式23】（2025·安徽·模拟预测）已知数列，的通项公式分别为，，现从数列中剔除与的公共项后，将余下的项按照从小到大的顺序进行排列，得到新的数列，则数列的前150项之和为（ ）
A．23804B．23946C．24100D．24612
【变式24】（2025·安徽·一模）将数列{3n+1}与{9n-1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则（ ）
A．319B．320C．321D．322
【变式25】已知数列满足：且，数列与的公共项从小到大排列成数列，则（ ）
A．B．C．D．
题型七：插项问题
【例题13】（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（ ）
A．510B．514C．1022D．1026
【例题14】（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（ ）
A．30B．4944C．9876D．14748
【解题总结】
插项问题则是在数列的特定位置插入新的项，以改变数列的原始结构。这类问题通常要求分析插入项对数列性质的影响，如数列的单调性、最值等。在实际应用中，插项问题可用于数列的扩展、数列模型的修正等方面。
【变式26】已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，则（ ）
A．当时，数列单调递减B．当时，数列单调递增
C．当时，数列单调递减D．当时，数列单调递增
【变式27】已知等差数列满足，若在与之间插入个得到数列，为数列的前n项和，则（ ）
A．15B．C．D．62
【变式28】已知等比数列的前项和为，．在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，的值为（ ）
A．240B．360C．480D．560
【变式29】已知等比数列的前n项和为，且，其中．若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个公差为d的等差数列，则d＝（ ）
A．2B．3C．D．
题型八：范围与最值问题
【例题15】（多选题）（2025·高三·山东青岛·开学考试）记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．
C．是中的最小项D．是中的最小项
【例题16】（多选题）（2025·高三·江西赣州·开学考试）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
【解题总结】
等比数列的范围与最值问题是数列研究中的重要内容。在处理这类问题时，首先需要明确等比数列的定义和性质，包括通项公式、前n项和公式等。对于范围问题，通常通过不等式求解，利用等比数列的性质确定数列项的取值范围。对于最值问题，则需分析数列的单调性，结合数列项的性质，求出数列的最大项或最小项。
【变式30】（多选题）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列选项中成立的是（ ）
A．B．
C．D．与均为的最大值
【变式31】（多选题）设等比数列的公比为，其前项和为前项积为并满足条件，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
【变式32】（多选题）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大项D．
【变式33】（多选题）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．是数列中的最小值
【变式34】（多选题）（2025·高三·江西·期中）在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（ ）
A．为单调递增数列B．
C．为的最大项D．无最大项
题型九：等差数列与等比数列的综合应用
【例题17】已知数列满足，， 其中为的前n项和，等比数列满足：，且，，成等差数列．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，的前项和为，若恒成立，求实数的最大值．
【例题18】已知数列的前项和为，，当时，；是等差数列，.
(1)求，的通项公式；
(2)记，求.
【解题总结】
（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．
（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．
【变式35】设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)求．
【变式36】已知数列的项数有限，且满足以下两个条件：①，②.称该数列为阶好数列.
(1)若为等比数列，写出阶好数列的各项(不必说明理由).
(2)若为等差数列，且为阶好数列，求该数列的通项(，用、表示).
(3)记阶好数列的前项和为，若存在()满足，则数列能否为阶好数列?请说明理由.
【变式37】已知正项数列中，．
(1)证明：是等比数列，并求其通项公式；
(2)记等差数列的前项和为，再从①；②；③中任选两个作为已知，使得，并求数列的前项和．
【变式38】（2025·辽宁大连·一模）已知首项相同的等差数列的公差与等比数列的公比大小相等，且，
(1)求数列和的通项公式;
(2)令，求数列的前项和.
题型十：奇偶问题
【例题19】已知数列的通项，求其前项和．
【例题20】（2025·广东汕头·一模）已知数列满足：（m为正整数），．
(1)设数列的前n项和为，当时，求；
(2)若，求m所有可能的取值集合M．
【解题总结】
求解等比数列的前项和，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
【变式39】已知等差数列和正项等比数列，的前项和为，且，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)若，求数列的前项和.
【变式40】已知为等差数列的前n项和，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式41】已知等差数列满足，的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式42】已知数列满足．
(1)设，写出；
(2)证明数列为等比数列；
(3)求数列的前项和．
【变式43】（2025·天津和平·二模）已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，.
(1)求和的通项公式；
(2)若，求
【变式44】已知数列满足，，公差不为的等差数列满足，，成等比数列，
(1)证明：数列是等比数列．
(2)求和的通项公式．
(3)在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列：，，，，，，，，，，….求中前项的和．
1．已知正项等比数列中，，为的前n项和，，则
A．7B．9C．15D．20
2．定义在的增函数满足：，且，已知数列的前n项和为，则使得成立的n的最大值是
A．8B．9C．10D．11
3．设首项为1，公比为的等比数列的前n项和为，则
A．B．C．D．
①数形结合
1．作边长为3的正三角形的内切圆，再作这个圆的内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆，如此下去，则前n个内切圆的面积之和为
A．B．C．D．
2．已知数列是公比为且的等比数列，点在圆上，且满足，若是圆的切线，则（ ）
A．B．C．2D．3
3．已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（ ）
A．B．C．D．
②转化与化归
4．已知等比数列的公比为q且，记，则“且”是“为严格增数列”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知数列是等比数列，，，令，则
A．B．C．D．
6．已知数列是公比不等于的等比数列，若数列，，的前2023项的和分别为m，，20，则实数m的值
A．只有1个B．有2个C．无法确定D．不存在
③分类讨论
7．已知等比数列中，，，则（ ）
A．16B．16或C．32D．32或
8．已知等比数列的前3项和为168，，则
A．14B．12C．6D．3
9．已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A．1B．2C．4D．9
基础过关篇
1．（2025年高考北京卷数学真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
3．（2023年天津高考数学真题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．16B．32C．54D．162
4．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
5．（多选题）（2025年高考全国二卷数学真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2025年高考全国一卷数学真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 .
7．（2024年北京高考数学真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
8．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
9．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
10．（2023年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知等比数列的前项和为，且，，求 ；
11．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
12．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知为等比数列，，，则 .
13．（2025年高考全国一卷数学真题）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
14．（2023年天津高考数学真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
能力拓展篇
1．如图，等边三角形的边长为4，取各边的中点，，，作第2个等边三角形，然后再取各边的中点，，，作第3个等边三角形，依此方法一直继续下去，记为第1个三角形，为第2个三角形，为第3个三角形，，依此类推，则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为（ ）

A．B．C．D．
2．设，，若4是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
3．在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
4．已知的内角A、B、C成等差数列，且A、B、C所对的边分别为a、b、c，则以下结论正确的是（ ）
①；
②若a、b、c成等比数列，则为等边三角形；
③若，则为直角三角形；
④若，则为钝角三角形.
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
5．债券是金融市场中一种常见的投资产品，“债券现值”是其最重要的属性、一种常用的债券现值计算公式为，其中PV为债券现值，表示债券的期限（单位：年），为第年的利息，为年后的债券面值，为贴现率.若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．记首项为1的数列的前项和为，且是以为公比的等比数列．若对于任意正整数，均有，则整数的最大值为（ ）
A．0B．C．D．
7．（多选题）（2025·广西·模拟预测）已知数列的前项和为，，且，则（ ）．
A．不是等比数列B．
C．D．
8．（多选题）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．取得最小值时当且仅当D．数列是等比数列
9．（多选题）已知数列是等比数列，以下结论正确的是（ ）
A．是等比数列
B．若，，则
C．若，则数列是递增数列
D．若数列的前项和，则
10．（多选题）（2025·高三·安徽·开学考试）已知定义域为的函数f（x）＝的所有单调增区间，从左往右排列可以表示为，，令，且数列的前n项和为，则（ ）
A．B．是递增数列C．D．
11．（多选题）（2025·高三·河南·开学考试）若正数满足成等差数列，成等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若均为整数，则一定为整数
D．若均为整数，则一定为整数
12．设为首项大于0，公差不为0的等差数列，为的前项和，且，，成等比数列，则使得不等式成立时对应的最小整数的值为 .
13．设为首项大于0，公差不为0的等差数列，为的前项和，且成等比数列，则使得不等式成立时对应 ．
14．（2025·广西·模拟预测）欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数，欧拉函数表示小于或等于的正整数中与互质的数的个数．例如（1，3，5，7与8互质）．
(1)求，，的值；
(2)已知数列满足，求的前项和．
15．已知函数，设曲线在点，处的切线与轴的交点为，其中．
(1)写出，并求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
16．（2025·高三·江苏苏州·开学考试）已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且.
(1)求，；
(2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值.
17．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中．
(1)写出，，并求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
18．（2025·高三·湖北恩施·开学考试）如图，正方形ABCD的边长为，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，其边长记为；然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，其边长记为；依此方法一直继续下去，则记第个正方形的边长为.已知，.

(1)求，；
(2)记第n个正方形区域未被第个正方形区域覆盖的面积为，求使得成立的n的最小值.
定义法
若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列
中项公式法
若数列中，且，则是等比数列
通项公式法
若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列
前项和公式法
若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列
6.3 等比数列
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc211845067" 01 课标要求 PAGEREF _Tc211845067 \h 2
\l "_Tc211845068" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc211845068 \h 3
\l "_Tc211845069" 一、等比数列有关的概念 PAGEREF _Tc211845069 \h 3
\l "_Tc211845070" 二、等比数列的公式 PAGEREF _Tc211845070 \h 3
\l "_Tc211845071" 三、等比数列的性质 PAGEREF _Tc211845071 \h 3
\l "_Tc211845072" 常用二级结论 PAGEREF _Tc211845072 \h 4
\l "_Tc211845073" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc211845073 \h 5
\l "_Tc211845074" 题型一：等比数列的概念及通项公式 PAGEREF _Tc211845074 \h 5
\l "_Tc211845075" 题型二：等比数列的证明 PAGEREF _Tc211845075 \h 7
\l "_Tc211845076" 题型三：等比数列的常用性质 PAGEREF _Tc211845076 \h 12
\l "_Tc211845077" 题型四：等比数列的前n项和公式及其性质 PAGEREF _Tc211845077 \h 14
\l "_Tc211845078" 题型五：等比数列前n项和的实际应用 PAGEREF _Tc211845078 \h 16
\l "_Tc211845079" 题型六：公共项问题 PAGEREF _Tc211845079 \h 19
\l "_Tc211845080" 题型七：插项问题 PAGEREF _Tc211845080 \h 22
\l "_Tc211845081" 题型八：范围与最值问题 PAGEREF _Tc211845081 \h 25
\l "_Tc211845082" 题型九：等差数列与等比数列的综合应用 PAGEREF _Tc211845082 \h 29
\l "_Tc211845083" 题型十：奇偶问题 PAGEREF _Tc211845083 \h 36
\l "_Tc211845084" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc211845084 \h 43
\l "_Tc211845085" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc211845085 \h 45
\l "_Tc211845086" ①数形结合 PAGEREF _Tc211845086 \h 45
\l "_Tc211845087" ②转化与化归 PAGEREF _Tc211845087 \h 47
\l "_Tc211845088" ③分类讨论 PAGEREF _Tc211845088 \h 48
\l "_Tc211845089" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc211845089 \h 50
\l "_Tc211845090" 基础过关篇 PAGEREF _Tc211845090 \h 50
\l "_Tc211845091" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc211845091 \h 58
1、通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2、掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3、能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
4、体会等比数列与指数函数的关系.
一、等比数列有关的概念
1、等比数列的概念
（1）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
（2）递推公式形式的定义：(且)（，）.
2、等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
注：①并非任何两数总有等比中项．仅当实数同号，即时，实数存在等比中项．对同号两实数的等比中项不仅存在，而且有一对互为相反数的等比中项．也就是说，两实数要么没有等比中项（非同号时），如果有，必有一对（同号时）．在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解．
②是、、成等比数列的必要不充分条件.
二、等比数列的公式
（1）等比数列的通项公式
设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．
推广形式：
（2）等比数列的前n项和公式
等比数列的公比为，其前项和为
三、等比数列的性质
1、数列仍是公比为的等比数列；
2、数列（为常数）为等比数列；特别地，当时，即是公比为的等比数列；
3、若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列；
4、在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为
等比数列，公比为．
5、对称性：若，则；若，则．
6、前n项和的常用性质
①．
②，…构成公比为的等比数列().
7、与的性质
等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．
（1）若共有项，则；（2）若共有项，．
常用二级结论
①若，则．
②有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项之积都相等，都等于首末两项的积：．
题型一：等比数列的概念及通项公式
【例题1】（2025·广东深圳·模拟预测）设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则（ ）
A．15B．16C．31D．
【答案】C
【解析】因为数列是各项均为正数的等比数列，且，
故，联立可得，化简可得，
解得或，
当时，,不符合题意，舍去；
当时，，
.
故选：.
【例题2】若等比数列满足已知，，则的公比为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】A
【解析】设数列的公比为，则有，，
则，即.
故选：A.
【解题总结】
等比数列基本量运算的解题策略
（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，，
一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．
（2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论：
当时，；当时，
【变式1】已知是公比不为1的等比数列，，若成等差数列，则（ ）
A．B．C．4052D．
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，
因为成等差数列，所以，
即，解得或（舍去），
所以.
故选：A.
【变式2】数列是等比数列，且，，则（ ）
A．16B．14C．12D．10
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，则
解得
因此，，
故选:A．
【变式3】记为等比数列的前n项和．若则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，则，，
，，
，解得，，
，，
，
故选：D．
【变式4】（2025·高三·云南大理·开学考试）若等比数列满足，则的公比为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，
由，可得，
由等比数列的性质可得，
所以，
解得.
故选：B.
题型二：等比数列的证明
【例题3】已知.
(1)若，，求；
(2)设，，证明：；
(3)在（2）的条件下，若，证明数列为等比数列并求的通项公式.
【解析】（1）由题意可得，①
则，
所以，，
所以，
②
联立①②解得，
所以.
（2）证明：，，
则，
故
，.
（3）证明：由（2）得：，
时，有 ，，
则，
又，，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
同理，
又，，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
结合等比数列的通项公式，可得：
，，
两式作差，得，
故 .
【例题4】已知数列满足：，，．
(1)求证：成等比数列；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）由题意，，
令，即，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即可证明数列为等比数列.
（2）由（1）可知，
所以，
则
.
【解题总结】
等比数列的判定方法
【变式5】记为数列的前项和，且，.
(1)求；
(2)证明：为等比数列；
(3)求.
【解析】（1）令，得，而，
则，得.
（2）由，
当时，，
两式相减，可得，即，
而，则，满足上式，
故是首项为，公比为的等比数列.
（3）方法一：由（2）可得，故，
故.
方法二：由，得，
而，故数列是首项为1，公比为的等比数列，
故，故.
【变式6】（2025·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，已知，，．
(1)求，；
(2)证明：为等比数列；
(3)求．
【解析】（1）由可得，故，进而，
（2）由可得，
为常数，
故为等比数列，且公比为，首项为，
（3）由（2）知，即，
，故，
所以
【变式7】设数列的前项和为，且是公差为的等差数列．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)若对于任意正整数均成立，求整数的最大值．
【解析】（1）因为，
由题意可知：数列是以为首项，公差为的等差数列，
则，可得，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列.
（2）由（1）可知：，即，且，
当时，则，
所以.
（3）若对于任意正整数均成立，
若，则，即；
若，则，即；
可得，此时整数的最大值为，
若，则，符合题意；
综上所述：整数的最大值为.
【变式8】已知数列满足，点在函数的图象上，其中，，，求证：数列是等比数列．
【解析】由已知得，
所以，
因为，
所以，两边同时取对数得
，即，
所以是以为首项，公比为2的等比数列．
【变式9】已知在数列中，，．当时，．求证：为等比数列；
【解析】由题意，数列中，，，
当时，，
即，
即，．
∴是以为首项，以为公比的等比数列．
题型三：等比数列的常用性质
【例题5】已知整数数列是等比数列，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为是各项均为整数的等比数列，且，
即，即，故，
设等比数列的公比为，则，则、同号，同理可知、同号，
要使得取最小值，则，所以，
因为，则有，此时，不合乎题意；
或，此时，合乎题意，此时；
或，此时，合乎题意，此时.
综上所述，的最小值为.
故答案为：.
【例题6】已知是等比数列，若分别是函数的两个零点，则 .
【答案】
【解析】分别是函数的两个零点，
则，所以，
又，
由知，，
所以，
故答案为：
【解题总结】
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度．
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
【变式10】已知正项等比数列，，则 ．
【答案】58
【解析】是正项等比数列，则，，
所以，
故答案为：58.
【变式11】已知等比数列满足，则 .
【答案】
【解析】由题意得，所以.
故答案为：.
【变式12】已知各项均为正数的等比数列满足，则 .
【答案】7
【解析】已知各项均为正数的等比数列满足，所以，所以，即，
所以.
故答案为：7.
【变式13】若等比数列中的，是方程的两个根，则 ．
【答案】/
【解析】由题意得．
因为，，…，，，
所以．
因为，所以，
则．
故答案为：.
题型四：等比数列的前n项和公式及其性质
【例题7】（2025·广西·模拟预测）已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为 ．
【答案】/0.5
【解析】由，可得，
当时，，所以，
当时，，所以.
故答案为：
【例题8】已知等比数列的前项和为，若，，则 .
【答案】21
【解析】因为数列是等比数列，所以，，成等比数列，
因为，，所以，所以，
所以.
故答案为：21
【解题总结】
（1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．
①若共有项，则；②若共有项，．
（2）等比数列中，表示它的前项和．当时，有也成等比数列，公比为．
【变式14】设等比数列的前项和为，若，则 ．
【答案】31
【解析】因为为等比数列，且，所以，，成等比数列．
设，则．
因则有，即，所以．
故．
故答案为：31.
【变式15】（2025·河北秦皇岛·二模）已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ．
【答案】2
【解析】由题设，可得，
若的公比为，则，
所以，则.
故答案为：2
【变式16】若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ．
【答案】 2 9
【解析】在等比数列中，由，得，解得，
设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9.
故答案为：2；9
【变式17】（2025·高三·内蒙古包头·期中）记为公比不为1的等比数列的前项和，若，则公比 .
【答案】/
【解析】由题设，且，
所以，则，
所以，可得（舍）.
故答案为：
题型五：等比数列前n项和的实际应用
【例题9】李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，2015年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为.
同理可得：2016年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为；
2017年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为；
……
2024年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为.
所以，2025年10月1日取出前面的存款共有：.
故选：D
【例题10】（2025·高三·江西宜春·开学考试）现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（ ）（参考数据：）
A．36小时B．38小时C．40小时D．42小时
【答案】C
【解析】记第n小时后细胞的个数为，则，
，故是首项为，公比为的等比数列，
故，
令，得，
则，故，
又为整数，故当细胞总数超过小时，所需时间至少为40小时.
故选：C
【解题总结】
等比数列在实际应用中广泛存在，其独特的性质使得它在金融、物理、生物学等多个领域都有重要的应用。例如，在金融领域，等比数列可以用于计算复利、贷款分期偿还等问题；在物理学中，等比数列可以用来描述某些放射性物质的衰变过程；在生物学中，它也可以用于描述种群数量的增长等。因此，掌握等比数列的应用具有实际意义。
【变式18】我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意知：这个人原来持金为斤，
第1关收税金为：斤；
第2关收税金为斤；
第3关收税金为斤，
以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤，
所以，
即，解得.
故选：C.
【变式19】某企业年初贷款万元，年利率为，按复利计算，从年末开始，每年末偿还一定金额，计划第5年底还清，则每年应偿还的金额数为（ ）
A．万元B．万元C．万元D．万元
【答案】B
【解析】解:设每年应偿还的金额为万元,
由题意，得
，
所以
故选：B
【变式20】洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库，被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”，分为6层，对每一层来说，上一层的数量是该层的2倍，则从下往上数，第4层“浮雕像”的数量为（ ）
A．16B．32C．48D．64
【答案】C
【解析】由题意，从下往上“浮雕像”的数量成等比数列，设为，
则，公比，所以，
所以，所以第4层“浮雕像”的数量为.
故选：C
【变式21】（2025·高三·北京海淀·期末）2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加. 记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）. 已知，，则最大时，的值为（ ）
（参考数据：，）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意，，，
则，令，
则，，
因此当时，；当时，，即最大，
所以当最大时，.
故选：B
题型六：公共项问题
【例题11】等差数列的前n项和为，，数列的通项．将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前50项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设等差数列公差为，又因为，所以，所以，
所以，且都是奇数，
所以，所以将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列，
所以数列的前50项和为的前50项和，
所以.
故选：B.
【例题12】（2025·高三·天津河西·期中）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】数列中的项为，
观察得到中的奇数项都是数列中的项，
即可以写成的形式，其为公比为4的等比数列，
故，故.
故选：D
【解题总结】
公共项问题涉及两个或多个数列中共同存在的项。这些项可能具有特定的数值和序号关系，需要利用数列的通项公式和性质进行求解。例如，两个等差数列的公共项可以组成一个新的等差数列，其公差是两原数列公差的最小公倍数。
【变式22】（2025·高三·江西·期中）在等差数列中，，成公比不为1的等比数列，是的前项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】因为等差数列中，，成公比不为1的等比数列，
所以，可得，解得，
所以，则，可得，
由数列为正奇数列，
对于数列，设时，可得为偶数；
当时，可得为奇数，
所以数列与的公共项从小到大排列得到数列的通项公式为，
则，
所以.
故选：C.
【变式23】（2025·安徽·模拟预测）已知数列，的通项公式分别为，，现从数列中剔除与的公共项后，将余下的项按照从小到大的顺序进行排列，得到新的数列，则数列的前150项之和为（ ）
A．23804B．23946C．24100D．24612
【答案】D
【解析】因为，，，故数列的前项中包含的前项，故数列的前150项包含的前项排除与公共的8项.
记数列，的前项和分别为，，
故选：D.
【变式24】（2025·安徽·一模）将数列{3n+1}与{9n-1}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则（ ）
A．319B．320C．321D．322
【答案】B
【解析】由题意知，数列是首项为，公比为9的等比数列，所以，则
.
故选：B
【变式25】已知数列满足：且，数列与的公共项从小到大排列成数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵对任意，
所以令 可得 ，则.
∴对任意 ，都有 又 ，，
∴数列 是首项、公比均为2的等比数列，则 .
设 .
下面证明数列 是等比数列
证明： ．
假设 ，则 ，
不是数列 中的项；
而 是数列 中的第项．
从而
所以 是首项为8，公比为4的等比数列．所以

故选：B
题型七：插项问题
【例题13】（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行构造，第1次得到数列1，2，3；第2次得到数列1，，2，，3；…依次构造，记第次得到的数列的所有项之和为，则（ ）
A．510B．514C．1022D．1026
【答案】B
【解析】设第次构造后得的数列为1，，3，则，
则第次构造后得到的数列为1，，，，，…，，，3，
于是，，
显然，而，
因此数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
则，即，
所以.
故选：B
【例题14】（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（ ）
A．30B．4944C．9876D．14748
【答案】B
【解析】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列，
所以数列的前项和为，
数列的通项公式为，所以数列为等比数列，
所以数列的前项和为，
所以
，
，
当时，.
故选：B.
【解题总结】
插项问题则是在数列的特定位置插入新的项，以改变数列的原始结构。这类问题通常要求分析插入项对数列性质的影响，如数列的单调性、最值等。在实际应用中，插项问题可用于数列的扩展、数列模型的修正等方面。
【变式26】已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，则（ ）
A．当时，数列单调递减B．当时，数列单调递增
C．当时，数列单调递减D．当时，数列单调递增
【答案】D
【解析】对于A，数列是各项为正数的等比数列，则公比为，
由题意，得，，
时，，有，，数列单调递增，A选项错误；
对于B，时，，，若数列单调递增，
则，即，由，需要，故B选项错误；
对于C，时，，解得，时，，
由，若数列单调递减，则，
即，而不能满足（）恒成立，C选项错误；
对于D，时，，解得或，
由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确.
故选：D.
【变式27】已知等差数列满足，若在与之间插入个得到数列，为数列的前n项和，则（ ）
A．15B．C．D．62
【答案】C
【解析】易得为1，，，2，，，，，3，…，
又，，
则的前50项中，有，，，，，且有个，
故．
故选：C.
【变式28】已知等比数列的前项和为，．在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，的值为（ ）
A．240B．360C．480D．560
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，
依题意，，
则，即，所以，
所以，则，则，
所以，所以，
，所以.
故选：A
【变式29】已知等比数列的前n项和为，且，其中．若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个公差为d的等差数列，则d＝（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】B
【解析】因为，当时，，
两式相减，得，即，故公比为2，
所以，而当时，得，
所以等比数列的通项公式为，，
所以，，公差为．
故选：B
题型八：范围与最值问题
【例题15】（多选题）（2025·高三·山东青岛·开学考试）记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．
C．是中的最小项D．是中的最小项
【答案】BCD
【解析】设等比数列的公比为，由可得，因，故得，
又由可得，代入解得.
对于A，因 ，而，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，当为奇数时，，当为偶数时，，
此时由知数列的偶数项为递增数列，故是中的最小项，故C正确；
对于D，，要求的最小项，因的符号性质，需使为偶数，
此时有，因，则，
即，故的偶数项为递增数列，即是中的最小项，故D正确.
故选：BCD.
【例题16】（多选题）（2025·高三·江西赣州·开学考试）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
【答案】ABC
【解析】根据题意，等比数列的公比为，
若，则，
又由，必有，则数列各项均为正值，
若，即，必有，，则必有，
依次分析选项：
对于A，数列各项均为正值，则，必有，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C：根据，所以是数列中的最大项，故C正确，D错误；
故选：ABC.
【解题总结】
等比数列的范围与最值问题是数列研究中的重要内容。在处理这类问题时，首先需要明确等比数列的定义和性质，包括通项公式、前n项和公式等。对于范围问题，通常通过不等式求解，利用等比数列的性质确定数列项的取值范围。对于最值问题，则需分析数列的单调性，结合数列项的性质，求出数列的最大项或最小项。
【变式30】（多选题）设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列选项中成立的是（ ）
A．B．
C．D．与均为的最大值
【答案】ABD
【解析】AB选项，由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，
又，，，，B正确；
又，故，即，A正确；
C选项，由得，所以，
而，，因此，C错误；
D选项，由上知，
先增后减，与均为的最大值，D正确．
故选：ABD
【变式31】（多选题）设等比数列的公比为，其前项和为前项积为并满足条件，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
【答案】AB
【解析】由可得，
由可知，，
当时，则，不成立，
故，且，故，A正确；
，故B正确；
是数列中的最大值，C，D错误.
故选：AB
【变式32】（多选题）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大项D．
【答案】AB
【解析】，或，，，同号，
且，，即数列前项大于，从第项开始小于1，
对于A，，且易知，故，A正确，
对于B，易知，故，，B正确，
对于C，由题意知是递减数列，且，，故是数列中的最大项，故C错误，
对于D，，故D错误，
故选:AB
【变式33】（多选题）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．是数列中的最小值
【答案】AB
【解析】当时，则，不合乎题意；
当时，对任意的，，且有，
可得，可得，此时，
与题干不符，不合乎题意；故，故A正确；
对任意的，，且有，可得，
此时，数列为单调递减数列，则，
结合可得，
结合数列的单调性可得，，
故，，
∴，故B正确；
因为，数列为单调递减数列，
所以是数列中的最大值，故CD错误.
故选：AB.
【变式34】（多选题）（2025·高三·江西·期中）在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（ ）
A．为单调递增数列B．
C．为的最大项D．无最大项
【答案】BC
【解析】由，因此.
又因为则.
当时，，则，，则，与题意矛盾.
因此.则为单调递减数列，故选项A错误.
而，故，选项B正确.
又因为为单调递减数列，则，
由可知，，，
所以当时，，则.
当时，，则.
因此的最大项为，则选项C正确，选项D错误.
故答案为：BC.
题型九：等差数列与等比数列的综合应用
【例题17】已知数列满足，， 其中为的前n项和，等比数列满足：，且，，成等差数列．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设，的前项和为，若恒成立，求实数的最大值．
【解析】（1）由，则，
故数列为等差数列，设其公差为，
则有，解得，则，
设等比数列公比为，
则有，即，则，
解得或（舍去），故；
（2）由（1）可知，，
则，
则，
由恒成立，即恒成立，
即恒成立，
由单调递增，故当时，，
故，即，所以的最大值为．
【例题18】已知数列的前项和为，，当时，；是等差数列，.
(1)求，的通项公式；
(2)记，求.
【解析】（1）由时， ①，则当时，可得，将代入，解得，
当时，②，由①-②，可得，即，
因，故数列为等比数列，其首项为，公比为，
故数列的通项公式为，
设等差数列的公差为，由，解得，
故数列的通项公式为.
（2）由和，，
可得③，
则④，
由③-④，可得
，
故得.
【解题总结】
（1）等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列．
（2）等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列．
【变式35】设是等差数列，是等比数列，且．
(1)求与的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)求．
【解析】（1）设公差为d，公比为，则，
由可得（舍去），
所以．
（2）由（1）知，
则．
（3）因为
，
所以，
，
设，
所以①，
则②，
①减②得
，
所以，
所以．
【变式36】已知数列的项数有限，且满足以下两个条件：①，②.称该数列为阶好数列.
(1)若为等比数列，写出阶好数列的各项(不必说明理由).
(2)若为等差数列，且为阶好数列，求该数列的通项(，用、表示).
(3)记阶好数列的前项和为，若存在()满足，则数列能否为阶好数列?请说明理由.
【解析】（1）设等比数列的公比为，因为，故，
否则，这与为等比数列矛盾.
故，而，故，
故，而，故，即或，
故4阶好数列的各项为：或.
（2）设等差数列的公差为，
由，得，即，
因，则，从而，.
若，则为常数列且常数为0，这与矛盾.
当时，因，，则有，
所以，解得.
由得，则.
所以.
当时，同理可得，即.
由得，则，
所以.
综上，，其中.
（3）因为，故.
故，
结合绝对值不等式取等的条件可得.
故，
当时，
，
所以，
所以与不能同时成立，
所以数列不能为阶好数列.
【变式37】已知正项数列中，．
(1)证明：是等比数列，并求其通项公式；
(2)记等差数列的前项和为，再从①；②；③中任选两个作为已知，使得，并求数列的前项和．
【解析】（1），，
又为正项数列，故，则，
又，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
故．
（2）选择条件①②：
设数列的公差为，
，，
则，，
此时，故，
故，
，
得，
，
整理得．
选择条件②③：
由，得，
两式相减得，
整理得，即，数列为常数列，
，，故，
此时，则，
，
，
两式相减得，
整理得．
选择条件①③不满足题意，原因如下：
由，得，
两式相减得，整理得，
即，故数列为常数列．
，，则，此时，不满足题意．
【变式38】（2025·辽宁大连·一模）已知首项相同的等差数列的公差与等比数列的公比大小相等，且，
(1)求数列和的通项公式;
(2)令，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，
由题意可知，
根据题意可得，解得或，
且，等比数列单调递增，，所以
等差数列的通项公式为，
等比数列的通项公式为.
（2）由（1）可知，当，
则①，
②，
②①得
题型十：奇偶问题
【例题19】已知数列的通项，求其前项和．
【解析】当时，
，
当时，
．
所以.
【例题20】（2025·广东汕头·一模）已知数列满足：（m为正整数），．
(1)设数列的前n项和为，当时，求；
(2)若，求m所有可能的取值集合M．
【解析】（1）当时，，所以，，…，，，
而，
所以，；
（2）依题设的递推关系逆推可得：
故．
【解题总结】
求解等比数列的前项和，要准确地记住求和公式，并合理选取公式，尤其是要注意其项数的值；对于奇偶项通项不统一问题要注意分类讨论．主要是从为奇数、偶数进行分类．
【变式39】已知等差数列和正项等比数列，的前项和为，且，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)若，求数列的前项和.
【解析】（1）设的公差为，的公比为，
由，可得：，
解得，故，
由，可得：，
又，故，解得，故.
（2）易知，
，①
②
由
，
故.
（3）因数列为等差数列，故数列也是等差数列，故
，
又数列为等比数列，故数列也是等比数列，故
，
故数列的前项和为.
【变式40】已知为等差数列的前n项和，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由，可得，
解得，所以，
即数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
即
所以
.
【变式41】已知等差数列满足，的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由可得，解得，
故，
（2），
故，
由于，
，
其中分别为前项中奇数项的和以及偶数项的和，
故
【变式42】已知数列满足．
(1)设，写出；
(2)证明数列为等比数列；
(3)求数列的前项和．
【解析】（1）已知，因为，所以.
当时，，即.
当时，.
先求，因为为偶数，.
再求，因为为奇数，，即.
当时，.
先求，因为为偶数，.
再求，因为为奇数，，即.
（2）由可得.
所以.
则. 又.
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
（3）由（2）可知，则.
.
因为，.
所以.
即.
由等比数列求和公式可得.
所以.
【变式43】（2025·天津和平·二模）已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，.
(1)求和的通项公式；
(2)若，求
【解析】（1）设数列的公比为，依题意，，
由是递减数列，解得，因此；
数列，，当时，，
而满足上式，因此，
所以的通项公式为， 的通项公式为.
（2）当n是奇数时，，则，，
两式相减得：，
因此；
当n是偶数时，，
则，
所以.
【变式44】已知数列满足，，公差不为的等差数列满足，，成等比数列，
(1)证明：数列是等比数列．
(2)求和的通项公式．
(3)在与之间从的第一项起依次插入中的项，构成新数列：，，，，，，，，，，….求中前项的和．
【解析】（1）数列中，，
则，而，
所以数列是等比数列，其首项为，公比为.
（2）由（1）知，，，
所以数列的通项公式为；
设等差数列的公差为，
由成等比数列，得，
即，则有，
又，即，于是，
所以数列的通项公式为.
（3）依题意，数列中，前有数列中的前项，有数列中的前项，
因此数列中，前共有项，当时，，
当时，，因此数列的前项中有数列中的前项，有数列中的前项，
所以
.
1．已知正项等比数列中，，为的前n项和，，则
A．7B．9C．15D．20
【答案】C
【解析】解：方法一：设等比数列的公比为q，则，
当时，，故舍去；
当时，，
，即，
即，，
故
故选
方法二：，，，可得，
可知，又为正项等比数列，，
故
2．定义在的增函数满足：，且，已知数列的前n项和为，则使得成立的n的最大值是
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【解析】解：法一：构造抽象函数模型，
，可令，
又，则，，
，，
，
，，
，
答案选
法二：赋值，
，，
由，
令，，
，
令，，，
，
，，，，
以下同法一．
3．设首项为1，公比为的等比数列的前n项和为，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：由题意可得，
；
或直接用公式：
故选
①数形结合
1．作边长为3的正三角形的内切圆，再作这个圆的内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆，如此下去，则前n个内切圆的面积之和为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：设第n个正三角形的内切圆半径为，第 n个正三角形的边长为，
可知正三角形内切圆半径是正三角形边长的，
又半径为的圆内接三角形的边长满足，
即，
所以，，
即从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，
每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
设前n个内切圆的面积和为，则，
故选
2．已知数列是公比为且的等比数列，点在圆上，且满足，若是圆的切线，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【解析】解：如图：
设点，，分别为圆，，的圆心，
不妨设，，，
由题意知，根据勾股定理，，
所以，
因为点在圆上，
故可设点，
代入化简得，
即，易知，故
故选：
3．已知等差数列公差不为0，正项等比数列，，，则以下命题中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：由题意可知：点在一次函数图象上，点在指数型函数图象上，
两图象交点横坐标为2和10，
两图象只有同增或同减时才有两个交点，如下示意图：
由上图可知：，，，
故选：
②转化与化归
4．已知等比数列的公比为q且，记，则“且”是“为严格增数列”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解：由题设且，要为严格增数列，只需在上恒成立，
当时，不论取何值，总存在，不满足要求；
当时，若，则，不满足要求；
若，总存在，不满足要求；
当时，若，则，不满足要求；
若，如，，显然，即，不满足要求；
若，则在上恒成立，满足．
所以为严格增数列有且
综上，“且”是“为严格增数列”的必要不充分条件．
故选：
5．已知数列是等比数列，，，令，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：设等比数列的公比为，
因为，，可得，解得，
则，解得，所以
又由当时，，
所以数列表示首项为8，以为公比的等比数列，
所以
故选：
6．已知数列是公比不等于的等比数列，若数列，，的前2023项的和分别为m，，20，则实数m的值
A．只有1个B．有2个C．无法确定D．不存在
【答案】B
【解析】解：是公比不等于的等比数列，设的公比为q，
则数列，都是公比不为1的等比数列，前者公比为，后者公比为
则，，，
观察可知：，即，所以或
故选：
③分类讨论
7．已知等比数列中，，，则（ ）
A．16B．16或C．32D．32或
【答案】B
【解析】解：由等比数列通项公式，已知，，则：
，代入得，解得，即或，
当时，；
当时，，
因此，或
故选：
8．已知等比数列的前3项和为168，，则
A．14B．12C．6D．3
【答案】D
【解析】解：设等比数列的公比为，
若，则，与题意矛盾，
所以，
则，解得，
所以
故选：
9．已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A．1B．2C．4D．9
【答案】C
【解析】解：设等比数列的公比为q，
因为，，成等差数列，
则，
若，则，则，显然不可能；
若，则，解得，
则
故选：
基础过关篇
1．（2025年高考北京卷数学真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
因为成等比数列，且，
所以，即，解得或（舍去），
所以.
故选：C.
2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．15D．40
【答案】C
【解析】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
3．（2023年天津高考数学真题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．16B．32C．54D．162
【答案】C
【解析】当时，，所以，即，
当时，，
所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
则.
故选：C.
4．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120B．85C．D．
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
方法二：设等比数列的公比为，
因为，，所以，否则，
从而，成等比数列，
所以有，，解得：或，
当时，，即为，
易知，，即；
当时，，
与矛盾，舍去．
故选：C．
5．（多选题）（2025年高考全国二卷数学真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确；
对B，则，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，，
则，故D正确；
故选：AD.
6．（2025年高考全国一卷数学真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 .
【答案】
【解析】法一：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
当时，，即，则，显然不成立，舍去；
当时，则，
两式相除得，即，
则，所以，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：.
法二：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
所以，
，
所以，则，所以，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
法三：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
因为，
又，
所以，所以，
所以该等比数列公比为.
故答案为：.
7．（2024年北京高考数学真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确.
对于②，取则均为等比数列，
但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误.
对于③，设，，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；
若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
当有偶数解，此方程即为，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，
否则，因单调性相反，
方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即
否则，因单调性相反，
方程至多一个奇数解，
因为，不可能同时成立，
故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，
取 ，则,故③正确.
对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故答案为：①③④.
8．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
【答案】 23 57.5/
【解析】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则，
故，.
故答案为：.
9．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【解析】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以.
故答案为：48；384.
10．（2023年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知等比数列的前项和为，且，，求 ；
【答案】189
【解析】由题意得，
故答案为：189.
11．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【解析】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
12．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知为等比数列，，，则 .
【答案】
【解析】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
13．（2025年高考全国一卷数学真题）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
【解析】（1）由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，即，
∴是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，首项为3，公差为1，
∴，即，
在中，
，
∴，
当且时，
∴，
∴
∴
.
14．（2023年天津高考数学真题）已知是等差数列，．
(1)求的通项公式和．
(2)设是等比数列，且对任意的，当时，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及前项和．
【解析】（1）由题意可得，解得，
则数列的通项公式为，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当时，，
取，则，即，
当时，，
取，此时，
据此可得，
综上可得：.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，
则数列的公比满足，
当时，，所以，
所以，即，
当时，，所以，
所以数列的通项公式为，
其前项和为：.
能力拓展篇
1．如图，等边三角形的边长为4，取各边的中点，，，作第2个等边三角形，然后再取各边的中点，，，作第3个等边三角形，依此方法一直继续下去，记为第1个三角形，为第2个三角形，为第3个三角形，，依此类推，则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设的面积为，后续各三角形的面积依次为，，，，
则，，，，可见，
即是首项为，公比为的等比数列，则，
于是，，，
故.
故选：D.
2．设，，若4是与的等比中项，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】A
【解析】因为4是与的等比中项，所以，
所以，且，.
所以，当且仅当时取等号.
故选：A
3．在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】设等比数列的公比为，，
因为，是方程的两个实数根，
所以，且，所以，，
又数列为等比数列，所以，由等比数列性质可得，
所以.
故选：D.
4．已知的内角A、B、C成等差数列，且A、B、C所对的边分别为a、b、c，则以下结论正确的是（ ）
①；
②若a、b、c成等比数列，则为等边三角形；
③若，则为直角三角形；
④若，则为钝角三角形.
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
【答案】C
【解析】对于①，因为内角A、B、C成等差数列，所以，
且，即可得，可得，即①正确，
对于②，若a、b、c成等比数列，可知，
由①可知，因此，
可得，结合可得，即②正确；
对于③，若，结合①中可知，因此；
因此满足，可知为直角三角形，即③正确；
对于④，由①可知，所以，
整理可得，即，
因此同号，
当时，均为锐角，
当时，均为钝角，显然不合题意，
因此不可能为钝角三角形，即④错误.
因此正确的序号为：①②③.
故选：C
5．债券是金融市场中一种常见的投资产品，“债券现值”是其最重要的属性、一种常用的债券现值计算公式为，其中PV为债券现值，表示债券的期限（单位：年），为第年的利息，为年后的债券面值，为贴现率.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，其中，，
所以时，，
，
所以，
解得，
同理时，，
所以，
故选：D
6．记首项为1的数列的前项和为，且是以为公比的等比数列．若对于任意正整数，均有，则整数的最大值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得是以1为首项、为公比的等比数列，
故，则，
当时，
，
当时，，代入上式，
所以，
当时，；
当时，，
此时
由，
所以，
即当时，为递增数列，
又，故，
故为的最小项，
又对于任意正整数均成立，
即成立，又为整数，故的最大值为，
故选：B．
7．（多选题）（2025·广西·模拟预测）已知数列的前项和为，，且，则（ ）．
A．不是等比数列B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为数列的前项和为，，且，
当时，，
当时，由得，
上述两个等式作差得，可得，但，
所以数列从第二项开始成公比为的等比数列，
故当时，，所以，
对于A选项，数列不是等比数列，A对；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D对.
故选：ACD.
8．（多选题）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．取得最小值时当且仅当D．数列是等比数列
【答案】AD
【解析】设等差数列的公差为，则，解得，，
所以，，
当或时，有最小值，最小值为，故A正确，B，C错误；
因为，所以数列是公比为4的等比数列，故D正确.
故选：AD.
9．（多选题）已知数列是等比数列，以下结论正确的是（ ）
A．是等比数列
B．若，，则
C．若，则数列是递增数列
D．若数列的前项和，则
【答案】ACD
【解析】令等比数列的公比为，则，
，且，则是等比数列，故A正确；
由，，得，即，所以，故B错误；
由知，则，即，，所以数列是递增数列，故C正确；
显然，则，而，因此，，，故D正确.
故选：ACD.
10．（多选题）（2025·高三·安徽·开学考试）已知定义域为的函数f（x）＝的所有单调增区间，从左往右排列可以表示为，，令，且数列的前n项和为，则（ ）
A．B．是递增数列C．D．
【答案】BCD
【解析】，令＞0，得＞0，
所以，即，
所以当x＞时，f（x）的单调增区间为，
其中，故，，
所以，所以是递增数列，故A错误，B正确；
令，求导可得，
当时，，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，故C，D均正确.
故选：BCD．
11．（多选题）（2025·高三·河南·开学考试）若正数满足成等差数列，成等比数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若均为整数，则一定为整数
D．若均为整数，则一定为整数
【答案】ABC
【解析】对于A，由题意，正数成等比数列，则有，即，故A正确；
对于B，由题意，正数成等差数列，所以，若，则，
又，即，故B正确；
对于C，由，可得，若均为整数，则也一定是整数，即一定为整数，故C正确；
对于D，由上可知，，
若均为整数，则一定是整数，但不一定是整数，所以不一定为整数，故D错误.
故选：ABC.
12．设为首项大于0，公差不为0的等差数列，为的前项和，且，，成等比数列，则使得不等式成立时对应的最小整数的值为 .
【答案】5
【解析】设等差数列公差为，则，
则，，
由题，
化简得，
由于公差不为0，故，
则，
由，，
可得：
可得，
解得：或，
所以整数的最小值为5.
故答案为：5
13．设为首项大于0，公差不为0的等差数列，为的前项和，且成等比数列，则使得不等式成立时对应 ．
【答案】5
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
因为成等比数列，所以，即，
化简得，由得，
所以，所以，
又，所以，所以或（舍去），
所以最小整数的值为5.
故答案为：5
14．（2025·广西·模拟预测）欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数，欧拉函数表示小于或等于的正整数中与互质的数的个数．例如（1，3，5，7与8互质）．
(1)求，，的值；
(2)已知数列满足，求的前项和．
【解析】（1）因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以;
因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以;
所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，
所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即.
（2）由（1）可知，
两式相减得
.
15．已知函数，设曲线在点，处的切线与轴的交点为，其中．
(1)写出，并求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．
【解析】（1）由已知，则，，
曲线在点，处的切线方程为，
又因切线与x轴的交点为，则，即，
因为，所以，，，得，所以，
故数列为等比数列，首项为1，公比为，所以；
（2）由（1）知，则
所以，
两式相减，得，
所以，因为，则.
16．（2025·高三·江苏苏州·开学考试）已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且.
(1)求，；
(2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值.
【解析】（1）由，
当时，，
当时，，满足上式，所以.
由，正项等比数列的首项为1，
当公比时，，，不满足；
当公比，且时，，解得，此时.
综上所述，.
（2）由，，则，
即对任意的恒成立，
当时，，
当时，设数列在第项取得最小值，
则，解得，
而，则，此时取得最小值，
由于，即，
则实数的最大值为.
17．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，其中．
(1)写出，，并求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
【解析】（1）由已知，
则曲线在点处的切线方程为，
即．
令，得．
因为，代入上式，依次解得，．
因为，所以，得．所以．
解法一：故数列为等比数列，首项为1，公比为．
所以．
解法二：当时，．
当时，因为，所以上式亦成立.
所以．
（2）解法一：．
，
，
两式相减可得：
所以．
因为，所以.
解法二：．
令，则．
所以
．
因为，所以．
18．（2025·高三·湖北恩施·开学考试）如图，正方形ABCD的边长为，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，其边长记为；然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，其边长记为；依此方法一直继续下去，则记第个正方形的边长为.已知，.

(1)求，；
(2)记第n个正方形区域未被第个正方形区域覆盖的面积为，求使得成立的n的最小值.
【解析】（1）由题意，，即，
所以为等比数列，公比为，，所以.
所以，，.
（2）由题意，，
，
，
设，则为单调递减数列，
且，
又，所以.
的最小值是5.
定义法
若（为非零常数，或（为非零常数且，），则是等比数列
中项公式法
若数列中，且，则是等比数列
通项公式法
若数列的通项公式可写成（均为非零常数，），则是等比数列
前项和公式法
若数列的前项和（为非零常数，），则是等比数列