2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用6.1　数列的概念(3大考点+6大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用6.1　数列的概念(3大考点+6大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共6页。
\l "_Tc211631893" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc211631893 \h 3
\l "_Tc211631894" 一、数列及其有关概念 PAGEREF _Tc211631894 \h 3
\l "_Tc211631895" 二、数列的分类 PAGEREF _Tc211631895 \h 3
\l "_Tc211631896" 三、数列的两种常用的表示方法 PAGEREF _Tc211631896 \h 3
\l "_Tc211631897" 常用二级结论 PAGEREF _Tc211631897 \h 3
\l "_Tc211631898" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc211631898 \h 5
\l "_Tc211631899" 题型一：数列的递推公式问题 PAGEREF _Tc211631899 \h 5
\l "_Tc211631900" 题型二：数列的单调性 PAGEREF _Tc211631900 \h 6
\l "_Tc211631901" 题型三：最值问题 PAGEREF _Tc211631901 \h 7
\l "_Tc211631902" 题型四：数列的周期性 PAGEREF _Tc211631902 \h 9
\l "_Tc211631903" 题型五：恒成立问题 PAGEREF _Tc211631903 \h 10
\l "_Tc211631904" 题型六：数列的规律问题 PAGEREF _Tc211631904 \h 11
\l "_Tc211631905" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc211631905 \h 12
\l "_Tc211631906" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc211631906 \h 13
\l "_Tc211631907" ①数形结合 PAGEREF _Tc211631907 \h 13
\l "_Tc211631908" ②转化与化归 PAGEREF _Tc211631908 \h 14
\l "_Tc211631909" ③分类讨论 PAGEREF _Tc211631909 \h 14
\l "_Tc211631910" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc211631910 \h 16
\l "_Tc211631911" 基础过关篇 PAGEREF _Tc211631911 \h 16
\l "_Tc211631912" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc211631912 \h 18
1、了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2、了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.
一、数列及其有关概念
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
二、数列的分类
三、数列的两种常用的表示方法
1、如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
2、通项公式：数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
3、递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示.
常用二级结论
1、已知与的关系式，记为，它可由阶差公式直接求出通项，但要注意验证与两种情况能否统一，具体分三步进行：
(1)时，由，求的值；
(2)时，由，求得的表达式；
(3)检验的值是否满足（2）中的表达式．
①若满足，则合写；
②若不满足，则写成分段函数的形式：．
题型一：数列的递推公式问题
【例题1】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【例题2】如图所示，在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移动到另一根针上：①每次只能移动一根金属片；②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将个金属片从1号针移动到3号针最少需要移动的次数记为，则（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
列举法
【变式1】（2025·黑龙江·模拟预测）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房，，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则被除的余数为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数.他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，则下列是数列的项的是（ ）
A．36B．50C．70D．91
【变式3】数列的第n项与第项的关系是（ ）
A．B．C．D．
【变式4】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式5】数列，，，，…的递推公式可以是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：数列的单调性
【例题3】设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（ ）
A．B．C．D．
【例题4】已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
解决数列的单调性问题的3种方法
【变式6】已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式7】（2025·高三·湖南长沙·开学考试）数列的通项为，且为单调递增数列，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式8】已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式9】已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式10】已知为无穷数列，若是递增数列，是递减数列，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
题型三：最值问题
【例题5】（2025·河北唐山·模拟预测）数列的前项和为，的前项和为，则数列（ ）
A．有最大项也有最小项B．无最大项也无最小项
C．有最小项但无最大项D．有最大项但无最小项
【例题6】（2025·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，前项积为，若，则使取得最大值时的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【解题总结】
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）将数列视为函数当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求出数列的最大（小）项．
（2）通过通项公式研究数列的单调性，利用确定最大项，利用确定最小项．
（3）比较法：若有或时，则，则数列是递增数列，所以数列的最小项为；若有或时，则，则数列是递减数列，所以数列的最大项为．
【变式11】已知数列满足，则（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
【变式12】已知数列的首项为，若的前n项积，则（ ）
A．数列有最大项，无最小项B．数列无最大项，有最小项
C．数列有最大项，有最小项D．数列无最大项，无最小项
【变式13】（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式14】（2025·上海·三模）已知数列的通项公式为，，则关于数列的最值叙述正确的是（）
A．既有最大项也有最小项B．只有最大项没有最小项
C．没有最大项只有最小项D．没有最大项也没有最小项
题型四：数列的周期性
【例题7】（2025·高三·山东潍坊·期末）已知数列中，且，则（ ）
A．B．2C．D．
【例题8】已知数列中，，，则（ ）
A．5B．C．D．
【解题总结】
特殊值法、列举法找规律
【变式15】（2025·高三·四川绵阳·开学考试）已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【变式16】已知数列满足：，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式17】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．已知数列满足则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【变式18】在数列中，若，则 （ ）
A．B．C．D．
题型五：恒成立问题
【例题9】已知是各项均为正实数的数列的前项和，，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例题10】（2025·高三·湖北武汉·开学考试）已知数列的前n项和为，且，，若对任意的，等式恒成立，则 ．
【解题总结】
分离参数，转化为最值问题．
【变式19】（2025·高三·重庆沙坪坝·开学考试）对数列，，对于任意的，都有，若对于任意的恒成立，则的最大值为 ．
【变式20】（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知各项均不为0的数列的前项和为，且，．
（1）的通项公式为 ．
（2）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为 ．
【变式21】已知数列的首项，且，则的通项公式为 ；若不等式（）恒成立，则的最小值为 ．
【变式22】已知数列满足，，令，数列的前n项和为，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ．
题型六：数列的规律问题
【例题11】（2025·高三·贵州贵阳·开学考试）将各位数字之和为9的全体正整数按从小到大的顺序排成一个数列，即，则 ；若，则 ．
【例题12】数列的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，，，，，，，则 ．
【解题总结】
列举法
【变式23】大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，则数列的前2024项和是 ．
【变式24】将正奇数按下表排成5列：
那么，2005应在第 行 列．
【变式25】某种规律排列的一列数： 那么第50个数是 .
【变式26】如图，200道处于关闭状态的门从左到右依次贴有“”的标签号，某人从第一道门出发，从左向右行进，每路过一道关闭的门就从1开始依次报一个数，报到奇数时把门打开.数完一轮后回到起点，再重复此过程，则最后一道关闭的门标签号为 .

1．已知是数列的前n项和，且满足，，则
A．B．C．D．
2．在数列中，，b258e31db5b6e69586cf5c8b93f1e164N，则该数列通项公式为
A．B．C．D．
①数形结合
1．在宋代《营造法式》一书中，记载着我国古代一项兼具屋面排水与檐下采光，且美观好看的建筑技术——举折，其使屋面呈一条凹形优美的曲线，近似物理学中的最速曲线．如图，“举”是屋架BC的高度h，点是屋宽AB的五等分点，连接AC，在处下“折”安置第一榑，连接，在处下“折”安置第一榑，依次类推，每次下“折”高度是前一次下“折”高度的一半，则第四榑的高度为
A．B．C．D．
2．已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于正整数n，甲：；乙：为单调递增数列，则
A．甲正确，乙正确B．甲正确，乙错误C．甲错误，乙正确D．甲错误，乙错误
3．函数对任意，由得到的数列均是单调递增数列，则下列图象对应的函数符合上述条件的是
A．B．
C．D．
②转化与化归
4．记为数列的前n项和，若，且的值为1，2，3的可能性相同，则是奇数的概率为
A．B．C．D．
5．已知函数，数列满足，，，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知数列的通项公式为，前n项的和为，则取到最小值时n的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
③分类讨论
7．数列的前n项和为，的前n项和为，，则数列（ ）
A．有最大项也有最小项B．无最大项也无最小项
C．有最小项但无最大项D．有最大项但无最小项
8．已知数列满足，，若是单调递增数列，则a的取值范围是
A．B．C．D．
9．已知数列的通项公式为，前n项和为，则取得最小时n的值为
A．6B．7C．8D．9
基础过关篇
1．记为数列的前项积，且，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·高三·上海·开学考试）设为数列的前项和，“是递增数列”是“是递增数列”的（ ）．
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
3．设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2025·高三·北京·开学考试）为等差数列的前项和，则“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项:第一次取1;第二次取2个连续的偶数2，4;第三次取3个连续的奇数5，7，9;第四次取4个连续的偶数10，12，14，16;第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25.按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19，…，则这个数列中的第2025个数是（ ）
A．3980B．3982
C．3984D．3986
6．下列命题：①“”是“存在，使得成立”的充分条件；②“”是“存在，使得成立”的必要条件；③“”是“不等式对一切恒成立”的充要条件.其中为真命题的序号是（ ）
A．③B．②③C．①②D．①③
7．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（ ）
A．672B．673C．1346D．1347
8．设数列满足：，，那么等于（ ）
A．B．2C．D．
9．将个连续自然数按规律排成下表：
根据规律，从2008到2010的箭头方向依次为（ ）
A．B．C．D．
10．（多选题）（2025·陕西宝鸡·二模）近年来，宝鸡市教育局致力于构建“学好上、上好学、学得好”的“宝鸡好教育”品牌体系．在关注学生身体健康的同时，也高度重视学生的心理健康，为此特别推出了“和风计划”．某校积极响应“和风计划”，为了缓解学生的学习压力，面向1630名高三学生开展了团建活动．如果将所有参加活动的学生依次按照1，2，3，4，5，6，7，…编上号，并按图所示的顺序排队，我们将2，3，5，7，10，…位置称为“拐角”，因为指向它的箭头与离开它时的箭头方向发生了改变，那么下面说法正确的有（ ）

A．站在第20拐角的学生是111号B．站在第23拐角的学生是137号
C．第133号同学站在拐角位置D．站在拐角位置的同学共有79名
11．已知数列中，，，，则 ．
12．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列，，，则 .
13．（2025·全国·模拟预测）已知数列满足：，数列是递增数列，则实数的取值范围为 ．
14．数列中，，且满足，则实数的取值范围是 ．
能力拓展篇
1．某校的教学楼每层楼有13级台阶，一名教师从一楼到二楼，每次可以选择跨1级、2级、3级台阶，但固定最后一步不能跨3级台阶（避免台阶过高摔倒），那么该教师一共有（ ）种不同的走法．
A．1049B．1144C．1431D．1705
2．已知数列满足，下面结论成立的是（ ）
A．若存在，使得，则
B．若，则数列单调递增，且存在常数，使得恒成立
C．若，则存在，当时，有
D．若，则对于任意，有
3．设周期数列的前项和为，若，则的取值不可以为（ ）
A．B．0C．1D．2
4．数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：有如下运算和结论：
①；
②数列是等比数列；
③数列的前项和为；
④若存在正整数，使，，则．
其中正确的结论是（ ）
A．①②B．①③④C．③④D．②③④
5．已知数列满足若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它是由正整数的倒数组成的，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，，则第7行第4个数（从左往右数）为（ ）




A．B．C．D．
7．（多选题）（2025·江苏泰州·模拟预测）已知数列的各项均为正数，且满足（是常数，），则下列四个结论中正确的是（ ）
A．若且，则数列是等比数列
B．若，则数列是递增数列
C．若数列是常数列，则
D．若数列是周期数列，则最小正周期可能为2
8．（多选题）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．；B．1225既是三角形数，又是正方形数；
C．；D．总存在，使得成立；
9．（多选题）（2025·贵州毕节·模拟预测）已知数列为递增数列，前7项分别为，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的方差大于的方差
D．的极差小于的极差
10．（多选题）（2025·陕西西安·一模）数列满足前两项都是1，之后每项都等于它前面两项之和，这就是著名的斐波那契数列，若的前n项和为，下列关于斐波那契数列说法正确的是（ ）
A．
B．若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列，则的前2024项之和为2697
C．前2024项中奇数共有1350个
D．
11．在数列中，，，且任意连续三项的和均为7，则 ；记数列的前项和为，则使得成立的最大整数 .
12．已知数列的通项公式为，则 .
13．（2025·河北·模拟预测）已知数列 满足 若 ，表示的前n项和，则 .
14．1202年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列，则数列的前2025项的和为 .
15．已知数列满足，，则取最小值时 ．
16．对于给定的数列和正整数，若函数中的系数为正数，则称为正比例近似函数．已知数列满足，若为正比例近似函数，则的取值范围为 ．
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
作差比较法
根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列
作商比较法
根据与1的大小关系进行判断
数形结合法
结合相应函数的图象直观判断
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
1
3
5
7
第2行
15
13
11
9
第3行
17
19
21
23