2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用6.4数列的递推与通项公式(1大考点+17大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用6.4数列的递推与通项公式(1大考点+17大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共17页。
\l "_Tc211935300" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc211935300 \h 4
\l "_Tc211935301" 一、数列通项公式的常用方法 PAGEREF _Tc211935301 \h 4
\l "_Tc211935302" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc211935302 \h 6
\l "_Tc211935303" 题型一：直接观察法 PAGEREF _Tc211935303 \h 6
\l "_Tc211935304" 题型二：累加法 PAGEREF _Tc211935304 \h 7
\l "_Tc211935305" 题型三：累乘法 PAGEREF _Tc211935305 \h 8
\l "_Tc211935306" 题型四：利用与的关系之消 PAGEREF _Tc211935306 \h 9
\l "_Tc211935307" 题型五：利用与的关系之消 PAGEREF _Tc211935307 \h 10
\l "_Tc211935308" 题型六：一阶线性递推型 PAGEREF _Tc211935308 \h 11
\l "_Tc211935309" 题型七：一阶线性递推型 PAGEREF _Tc211935309 \h 12
\l "_Tc211935310" 题型八：含指数幂型递推关系式 PAGEREF _Tc211935310 \h 12
\l "_Tc211935311" 题型九：分式型递推关系式. PAGEREF _Tc211935311 \h 13
\l "_Tc211935312" 题型十：平方式递推型 PAGEREF _Tc211935312 \h 14
\l "_Tc211935313" 题型十一：二阶线性递推关系（） PAGEREF _Tc211935313 \h 14
\l "_Tc211935314" 题型十二： 隔项等差型 PAGEREF _Tc211935314 \h 15
\l "_Tc211935315" 题型十三：隔项等比型 PAGEREF _Tc211935315 \h 16
\l "_Tc211935316" 题型十四：型 PAGEREF _Tc211935316 \h 17
\l "_Tc211935317" 题型十五：利用递推关系求通项 PAGEREF _Tc211935317 \h 17
\l "_Tc211935318" 题型十六：双数列问题 PAGEREF _Tc211935318 \h 19
\l "_Tc211935319" 题型十七：斐波那契数列问题 PAGEREF _Tc211935319 \h 20
\l "_Tc211935320" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc211935320 \h 22
\l "_Tc211935321" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc211935321 \h 23
\l "_Tc211935322" ①数形结合 PAGEREF _Tc211935322 \h 23
\l "_Tc211935323" ②转化与化归 PAGEREF _Tc211935323 \h 23
\l "_Tc211935324" ③分类讨论 PAGEREF _Tc211935324 \h 23
\l "_Tc211935325" 06 （真题、模拟题） PAGEREF _Tc211935325 \h 25
\l "_Tc211935326" 基础过关篇 PAGEREF _Tc211935326 \h 25
\l "_Tc211935327" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc211935327 \h 25
1、熟记常见的递推数列类型
2、理解每种递推类型对应的推导逻辑
一、数列通项公式的常用方法
1、累加法
累加法适用于邻项差结构
利用，将问题转化为基本数列求和，
从而得到所求数列的通项．以下 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②③为三种累加后可裂项相消求和的题型：
= 1 \* GB3 ①若是关于的分式函数，；
= 2 \* GB3 ②若是关于的对数函数，；
③若是关于的无理式函数，.
= 4 \* GB3 ④若是关于的一次函数，，累加后可转化为等差数列求和；
⑤若是关于的二次函数，，累加后可分组求和；
⑥若是关于的指数函数，，累加后可转化为等比数列求和；
2、累乘法
累乘法适用于邻项商结构，
利用，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项．
3、构造法
（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．
设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
（二）形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
类型Ⅵ 对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ 倒数变换法：
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
题型一：直接观察法
【例题1】已知无穷数列的前5项分别为，3，，，11，则此数列的通项公式可能为（ ）
A．B．C．D．
【例题2】（2025·浙江绍兴·二模）已知虚数数列，则其前4n项和为（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②考虑各项的变化规律与序号的关系． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．
【变式1】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为正方形数，第三行的，，，称为五边形数.则正方形数、五边形数所构成的数列的第项分别为（ ）

A．，B．，C．，D．，
【变式2】将正整数如图排列，第行有个数，从1开始作如下运动，先从左往下碰到2，记为，再从开始从右往下碰到5，记为，接着从开始，从左往下碰到8，记为.依此类推，按左右左右往下，碰到的数分别记为，构成数列.则（ ）

A．59B．60C．61D．62
【变式3】“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数，，，，，构成数列，其前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
题型二：累加法
【例题3】（湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高三10月联考数学试卷）若对任意正实数，都有，，且有，下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【例题4】已知数列首项，，则使得成立的最大正整数n是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解题总结】
数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用叠加法求和.
【变式4】记为数列的前项积，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列满足，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【变式6】数列满足：，，则（ ）
A．B．C．D．
题型三：累乘法
【例题5】（2025·全国·模拟预测）数列递推指的是通过数列第项与前几项或者后几项的关系，计算出数列的任一项．若数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【例题6】在数列中，，则（ ）
A．B．C．2025D．5050
【解题总结】
数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式.
【变式7】数列满足，，数列的前n项和为（ ）
A．B．
C．D．
【变式8】若数列满足，则（ ）
A．2B．6C．12D．20
【变式9】在数列中，若，且对任意有，则数列的前30项和为（ ）
A．B．
C．D．
题型四：利用与的关系之消
【例题7】已知正项数列的前n项和为，，，则 ．
【例题8】设数列的前n项和为，若，则
【解题总结】
消：容易直接求的情况，可利用，消去，转化为等差或等比数列直接求出
【变式10】已知数列的前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【变式11】记为数列的前项和，已知．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【变式12】（2025·辽宁·模拟预测）已知数列，为数列的前项和，且满足，．
(1)求的通项公式：
(2)证明：．
【变式13】设为数列的前n项和，且.
(1)求；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【变式14】已知正项数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前n项和为，求.
题型五：利用与的关系之消
【例题9】记数列的前n项和为，已知，．
(1)令，证明：为等比数列；
(2)求的通项公式．
【例题10】已知正项数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)证明是等差数列，并求的通项公式；
(3)若，记数列的前项和为，求.
【解题总结】
消：难以直接求的情况，可利用，消去，得出与的递推关系式，先求出后，从而间接求出
【变式15】已知在数列中，，其前项和与满足．
(1)求证：为等差数列；
(2)求的通项公式．
【变式16】已知数列的前项和为，且满足，，求及.
【变式17】若数列的前n项和为，且满足．
(1)求证：是等差数列；
(2)求数列的通项公式
题型六：一阶线性递推型
【例题11】数列中，，，则通项 ．
【例题12】已知数列中，，，则 ．
【解题总结】
①待定系数法，令，化简整理后与原来的递推式比较系数可知，于是，故数列是以为首项，以为公比的等比数列.
②由得，（）两式相减，得，当时，数列是公比为的等比数列．
【变式18】已知数列中，，当时，，则的通项公式为 ．
【变式19】设数列满足，且，则数列的通项公式为 .
【变式20】若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为 .
【变式21】已知数列满足，求数列的通项公式.
【变式22】在数列中，，则 ．
题型七：一阶线性递推型
【例题13】已知，当时，，则的通项公式为
【例题14】已知数列满足，则 ．
【解题总结】
待定系数法，令，化简整理后与已知递推式比较系数得，解得,从而转化为是公比为的等比数列.
【变式23】已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； .
【变式24】已知在数列中，，，则通项 ．
【变式25】已知数列满足，且，，则数列的通项公式为 .
题型八：含指数幂型递推关系式
【例题15】已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．
【例题16】数列满足，则数列的通项公式为 ．
【解题总结】
待定系数法，令，化简整理得，与原递推关系式比较系数可得，解得.对于，同理可得．
【变式26】（2025·高三·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ．
【变式27】（2025·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 .
【变式28】已知数列的首项为，且满足，则 ．
题型九：分式型递推关系式.
【例题17】（2025·江苏南京·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 ．
【例题18】已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．
【解题总结】
取倒数+待定系数，两边取倒数可得：，当时，可转化为题型一中结构，再待定系数构造等比数列即可.
【变式29】已知数列满足，则数列的前8项和 ．
【变式30】已知数列满足，则的通项公式为 .
【变式31】已知数列，则数列的通项公式 ．
【变式32】已知数列满足，，，则 .
题型十：平方式递推型
【例题19】（2024·高三·河北·开学考试）已知数列满足，且，则 ；令，若的前n项和为，则 ．
【例题20】已知数列满足，.
证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
【解题总结】
取对数法，当数列和的递推关系涉及到高次时，一般先对已知递推关系式进行适当的变形（同加减、同乘除）整理成类似形式，将等式两边分别取对数降次得到，数列即为等比数列.
题型十一：二阶线性递推关系（）
【例题21】（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
【例题22】已知数列中，，求．
【解题总结】
找到中间项，通过中间项与前一项和后一项的特征，寻求合理的构造方式解决问题．
【变式33】设为数列的前n项和，．
(1)求；
(2)证明：
（i）；
（ii）；
(3)求的通项公式．
【变式34】在数列中，，且对任意的，都有，求数列的通项公式；
【变式35】已知数列满足，且，.求数列的通项公式；
题型十二： 隔项等差型
【例题23】已知为数列的前n项和，，且，，其中为常数.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)是否存在，使得是等差数列？并说明理由.
【例题24】已知数列的前项和为，，其中为常数．
（1）证明：；
（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．
【解题总结】
分奇偶讨论法
【变式36】已知数列的前n项和为，，，，其中为常数．
(1)证明：；
(2)是否存在，使得为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式37】已知数列的前项和为，其中为常数．
（1）证明：；
（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．
题型十三：隔项等比型
【例题25】已知数列满足，，求此数列的通项公式．
【解题总结】
分奇偶讨论法
题型十四：型
【例题26】已知数列中，，求．
【变式38】（2025·湖南益阳·一模）已知数列中，，，若，则数列的前项和 .
【解题总结】
用待定系数法．
【变式39】已知数列满足，，则 ．
题型十五：利用递推关系求通项
【例题27】一楼梯有10级台阶，一个人每步可以走1级或2级台阶，则走完这10级台阶共有多少种不同的走法？
【例题28】（2025·河南信阳·模拟预测）3位同学做某种游戏，通过猜拳决定胜利者.3人每次猜拳都可以出“石头”“剪刀”“布”中的任意一种，其中“石头”赢“剪刀”，“剪刀”赢“布”，“布”赢“石头”.例如，当1人出“剪刀”，另外2人出“布”时，出“剪刀”的人即为胜利者；而当1人出“剪刀”，另外2人分别出“布”和“石头”时，无法决定胜利者，猜拳继续进行；当1人出“剪刀”，另外2人出“石头”时，淘汰掉出“剪刀”的人，剩余2人继续猜拳，赢的人为胜利者.
(1)记第一回猜拳时出“石头”的人数为，求的分布列与数学期望；
(2)求在第回猜拳决出胜利者的概率.
【解题总结】
通过相邻两项的关系递推．
【变式40】将一个圆环分成 个区域，用 种颜色对这些区域进行涂色，要求相邻区域颜色不同，求不同的涂色方法数
【变式41】某校杰出校友为回报母校，设立了教育基金，有A和B两种方案.方案A是在每年校庆日这天向基金账户存入100万元.当天举办仪式奖励优秀的教师和品学兼优的学生共计40万元，剩余资金用于投资，预计可实现10%的年收益.方案B是今年校庆日一次性给基金账户存入1000万元，校庆日奖励为第一年奖40万，每年增加10万，余下资金同样进行年化10%收益的投资.设表示第年校庆后基金账户上的资金数（万元）.
(1)对于A、B两种方案，分别写出，及与的递推关系；
(2)按两种方案基金连续运作10年后，求基金账户上资金数额.（精确到万，参考数据：，）
【变式42】（2025·高三·黑龙江·期中）某次生日会上，餐桌上有一个披萨饼，小华同学准备用刀切的方式分给在座的小伙伴，由此思考一个数学问题：假设披萨近似可看成平面上的一个圆，第条切痕看作直线，设切下，最多能切出的块数为（不考虑大小），如图易知，．
(1)试写出，，作出对应简图；
(2)这是一个平面几何问题，利用“降维”思想，联想到一条线段被切下最多能分成段，由此求出数列的通项公式；
(3)若将披萨换成一个蛋糕（近似看成空间中的一个圆柱体），同样用刀切方式分蛋糕，可以从上下底面和侧面各方向切入，每次切面都看作一个平面．若切下，最多能切出的块数为，求出的通项公式，并指出这时最少需要切几下能分成15块（不考虑大小）．（已知）
题型十六：双数列问题
【例题29】已知数列，满足：，，，，.
（1）证明：数列为等差数列，数列为等比数列；
（2）记数列的前n项和为，求及使得的n的取值范围.
【例题30】已知数列、满足，，，，且，.
(1)求证：是等比数列；
(2)若是递增数列，求实数的取值范围.
【解题总结】
消元法．
题型十七：斐波那契数列问题
【例题31】（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：，，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列．并将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．
C．D．
【例题32】（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.若记此数列为，有，，前n项和为，则下列对“斐波那契数列”的描述正确的是（ ）
A．B．该数列的前2025项中能被3整除的有506项
C．D．
【解题总结】
定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列．
递推公式：；
通项公式：．（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例）．
【变式43】（多选题）（2025·高三·江苏镇江·开学考试）1202年，斐波那契从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有（ ）
A．B．为奇数
C．D．
【变式44】（多选题）自然界中存在很多美到极致的螺旋，如田螺的螺旋、星系的螺旋，我们把这些螺旋称为“斐波那契螺旋”.它按如图所示的规律形成连续不断的弧线，借助正方形的边长形成数列“1，1，2，3，5，8，……”，即从数列第三项开始，每项都等于前面两项之和.设该数列为，则（），记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
【变式45】（多选题）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多.斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”，在数学上斐波那契数列以的递推方法定义，已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式46】（多选题）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，现将中的各项除以2所得的余数按原来的顺序排列，构成的数列记为，数列的前项和为，数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．D．
1．已知整数数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
2．在数列中，，b258e31db5b6e69586cf5c8b93f1e164N，则该数列通项公式为
A．B．C．D．
3．在数列中，，，则
A．B．C．D．
①数形结合
1．在宋代《营造法式》一书中，记载着我国古代一项兼具屋面排水与檐下采光，且美观好看的建筑技术——举折，其使屋面呈一条凹形优美的曲线，近似物理学中的最速曲线．如图，“举”是屋架BC的高度h，点是屋宽AB的五等分点，连接AC，在处下“折”安置第一榑，连接，在处下“折”安置第一榑，依次类推，每次下“折”高度是前一次下“折”高度的一半，则第四榑的高度为
A．B．C．D．
2．已知数列满足d7c0ad5437415017ec59c35c3fefca08，若，则
A．3B．8C．6D．10
3．记为数列的前n项和，若，且的值为1，2，3的可能性相同，则是奇数的概率为
A．B．C．D．
②转化与化归
4．已知函数，数列满足，，，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．所有项恒大于等于
B．若，则是单调递增数列
C．若是常数列，则
D．若，则是单调递增数列
③分类讨论
6．数列的前n项和为，的前n项和为，，则数列（ ）
A．有最大项也有最小项B．无最大项也无最小项
C．有最小项但无最大项D．有最大项但无最小项
7．数列的前n项和为，满足，，则可能的不同取值的个数为（ ）
A．45B．46C．90D．91
8．在数列中，，且d4bb861e6778f342633af81bd1e529cb，若，则的值可能为
A．8B．2C．2或8D．1或8
基础过关篇
1．（多选题）数列的通项公式可以是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知数列的前项和为，且满足，则 .
3．已知数列的前项和，则的通项公式 .
4．若数列满足，则数列的通项公式 .
5．已知数列的前n项和，则 .
6．已知数列满足，，则 ．
7．如图数表满足：（1）第行首尾两数均为；（2）表中递推关系类似杨辉三角，下一行除首尾两数外，每一个数都是肩上两数之和．记第行第2个数为，根据数表中上下两行数据关系，可以得到递推关系 ，并可解得通项 ．

8．记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
9．设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
10．记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
11．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
12．已知数列的前项和为，解决下列问题.
(1)若通项公式为，求其前项和；
(2)若前项和，求其通项公式；
13．已知，，求数列的通项．
14．在数列中，，，求数列的通项公式.
15．记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式．
16．记为数列的前项和．已知．证明：是等比数列．
17．已知在数列中，且，求通项公式．
18．已知，，求数列的通项．
19．已知在数列中，，前项和为，若，求数列的通项．
20．在下列条件下，求数列的通项公式：
(1)若，，求；
(2)若，，求；
(3)若，，求；
(4)若，，求；
(5)若，，求；
(6)若，，求；
(7)若，，求；
(8)若，，求；
(9)若，，求；
(10)若，，求；
(11)若，，求；
(12)若，，求；
(13)若，，求；
(14)若，，求；
(15)若，，求．
能力拓展篇
1．（2025·上海金山·三模）对于数列，若存在常数，对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．给出下列两个结论：
①若数列和均具有性质，则数列也具有性质
②若数列和均具有性质，则数列也具有性质．
则下列判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题D．①为假命题，②为假命题
2．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高三上·北京·开学考试）已知无穷等比数列的前n项和为，则“”是“既无最大值也无最小值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（2025·江西新余·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．已知，则且
B．命题“”是真命题
C．是的充分条件，则
D．若等比数列的通项公式为，则其前项和
5．（2025·全国·模拟预测）某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1所示．通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度为60°），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半，于是该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，．若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径（，单位：cm）至少为（ ）
A．7B．8C．9D．10
6．（多选题）（25-26高三上·湖南·开学考试）已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．是等比数列
7．（多选题）（2025·广东·模拟预测）记为数列的前项和，若，则（ ）
A．的最小值为
B．的最大值为
C．存在数列，使得
D．存在数列，使得
8．（多选题）（25-26高三上·云南保山·开学考试）已知等比数列中，，，为数列的前项和．下列说法正确的是（ ）
A．或B．或
C．若，则D．若，则
9．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A．B．数列是等差数列
C．D．
10．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知数列的首项，且满足，则（ ）
A．为等差数列B．
C．数列为递增数列D．数列的前项和为
11．（多选题）（2025·全国·模拟预测）甲、乙两人拿两颗质地均匀的正方体骰子做抛掷游戏．规则如下：由一人同时掷两颗骰子，观察两颗骰子向上的点数之和，若两颗骰子的点数之和为两位数（即为10，11，12），则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是两位数（即为2，3，4，5，6，7，8，9），就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第次由甲掷的概率为，则（ ）
A．B．
C．D．
12．（2025·广东广州·模拟预测）已知数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)给定正整数m，设函数，求．
13．（2025·云南昆明·一模）已知数列满足，．
(1)若，，成等差数列，求k；
(2)求．
14．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知．
(1)求的通项公式；
(2)令，为的前项之积，求证：．
15．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”.
(1)证明：数列是“方特数列”；
(2)若数列是“方特数列”，求的取值范围；
(3)证明：当时，数列是“方特数列”.
16．（2025·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且.
(1)若，且，求的通项及前项和；
(2)若，，则能否为等比数列?若能，求；若不能，说明理由.
17．（2025·河北邯郸·一模）已知等比数列的前项和为，若成等差数列.
(1)求等比数列的公比；
(2)若，求数列的前项和.
18．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知正项数列满足．
(1)若是等比数列，求的通项公式；
(2)若，求数列的前2n项的和．