2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用2.8　函数的图象(1大考点+8大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用2.8　函数的图象(1大考点+8大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共13页。
\l "_Tc200639649" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc200639649 \h 3
\l "_Tc200639650" 一、函数图像问题 PAGEREF _Tc200639650 \h 3
\l "_Tc200639651" 常用二级结论 PAGEREF _Tc200639651 \h 4
\l "_Tc200639652" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc200639652 \h 5
\l "_Tc200639653" 题型一：作函数的图象 PAGEREF _Tc200639653 \h 5
\l "_Tc200639654" 题型二：函数图象的识别 PAGEREF _Tc200639654 \h 6
\l "_Tc200639655" 题型三：利用图象研究函数的性质 PAGEREF _Tc200639655 \h 9
\l "_Tc200639656" 题型四：利用图象解不等式 PAGEREF _Tc200639656 \h 10
\l "_Tc200639657" 题型五：利用图象求参数的取值范围 PAGEREF _Tc200639657 \h 11
\l "_Tc200639658" 题型六：根据实际问题作函数图像 PAGEREF _Tc200639658 \h 12
\l "_Tc200639659" 题型七：对函数图像进行变换 PAGEREF _Tc200639659 \h 14
\l "_Tc200639660" 题型八：根据函数图像选择解析式 PAGEREF _Tc200639660 \h 16
\l "_Tc200639661" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc200639661 \h 19
\l "_Tc200639662" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc200639662 \h 20
\l "_Tc200639663" ①数形结合 PAGEREF _Tc200639663 \h 20
\l "_Tc200639664" ②转化与化归 PAGEREF _Tc200639664 \h 21
\l "_Tc200639665" ③分类讨论 PAGEREF _Tc200639665 \h 21
\l "_Tc200639666" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc200639666 \h 23
\l "_Tc200639667" 基础过关篇 PAGEREF _Tc200639667 \h 23
\l "_Tc200639668" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc200639668 \h 28
1、在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2、会画简单的函数图象.
3、会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.
一、函数图像问题
1、利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线.
2、利用图象变换法作函数的图象
平移变换：①；
注意：；
②；
翻折变换：③；④（偶函数）；
伸缩变换：⑤；⑥.
对称变换：①关于直线（即轴）对称
②关于直线（即轴）对称：
③关于原点对称
④关于直线对称
⑤关于直线对称
⑥关于点对称
常用二级结论
1、对称变换的对称是指两个函数的图象特征,而与奇偶性有关的对称,是指一个函数图象自身的特征.
2、反比例型函数：对称中心为点.该函数定义域为，值域为，，.
3、对勾函数：
4、某些含根式的函数的图象可以通过对解析式变形，变形为曲线方程来判断.
5、在区间上的图形是（向上）凹的（即切线的斜率递增）.
在区间上的图形是（向上）凸的（即切线的斜率递减）.
题型一：作函数的图象
【例1】作出下列各函数的图象．
(1)；
(2)；
(3)．
【解题总结】
函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：对于熟悉的基本函数,根据函数的特征描出图象的关键点,直接作图.
(2)转化法：含有绝对值符号的,去掉绝对值符号,转化为分段函数来画.
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.
(4)画函数的图象一定要注意定义域.
【变式1-1】分别作出下列函数的图象．
(1)；
(2)；
(3)．
【变式1-2】已知函数
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)画出函数的大致图像并求出方程的解的个数．
【变式1-3】（2025·甘肃兰州·一模）已知函数.
（1）当时，画出函数的图象：
（2）当时，恒成立，求的范围.
题型二：函数图象的识别
【例2】（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质,如奇偶性、单调性、定义域等判断.
(2)利用函数的零点、极值点等判断.
(3)利用特殊函数值判断.
【变式2-1】（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数图像的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（2025·陕西安康·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】（2025·广西河池·二模）已知函数，则以下最不可能是其图像的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-4】（2025·山西朔州·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
题型三：利用图象研究函数的性质
【例3】（多选题）（2025·湖南郴州·三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．是增函数
C．不等式的解集为
D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为
【解题总结】
利用函数图像求函数最值时，需先绘制出相关函数图像。依据题目对函数提出的条件与要求，在图像上精准定位取得最值的位置，进而通过计算得出答案。这一过程巧妙地将抽象的数学问题转化为直观的图形分析，充分体现了数形结合的数学思想。
【变式3-1】（多选题）如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动．设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，则下列说法正确的有（ ）
A．是周期函数，且最小正周期为4
B．的最大值为
C．时，的图象与轴围成的封闭图形的面积为
D．时，点经过的路程为
【变式3-2】（多选题）（2025·湖北武汉·一模）已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．
D．
【变式3-3】（多选题）下列说法中，正确的是（ ）
A．若对任意，则在I上单调递增
B．函数的递减区间是
C．函数的单调递增区间为
D．在R上是增函数
【变式3-4】（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为
D．若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为
题型四：利用图象解不等式
【例4】（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
【变式4-1】（2025·高三·山西晋城·期末）已知为定义在上的奇函数，，当时，单调递减，当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】已知函数满足：，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-3】（2025·河南商丘·三模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
题型五：利用图象求参数的取值范围
【例5】（2025·贵州毕节·二模）已知函数若方程有3个互不相等的实数根，，，则的范围为 ．
【解题总结】
首先绘制出函数的图像，细致观察参数变化时函数形态与位置关系的动态演变。通过深入分析，精准定位参数的临界状态，以此为关键节点，进一步推导并确定参数的合理取值范围，为后续研究或应用提供明确依据。
【变式5-1】（2025·吉林长春·一模）已知函数满足，且当时.若在区间内，函数有两个不同零点，则的范围为 ．
【变式5-2】（2025·辽宁·三模）已知函数，关于x的不等式只有1个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【变式5-3】（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 .
【变式5-4】（2025·云南曲靖·一模）已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ．
题型六：根据实际问题作函数图像
【例6】（2025·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
【解题总结】
1、依据定义域与值域确定图像位置；
2、借助奇偶性判定图像对称特性；
3、利用周期性明晰图像循环规律；
4、通过单调性把握图像变化走向；
5、凭借特殊点排除选项错误可能。
【变式6-1】直角梯形如图，直线左边截得面积的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度与时间的函数图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-3】如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
题型七：对函数图像进行变换
【例7】（2025·安徽·三模）已知函数，，若下图是函数图象的一部分，则可能等于（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.
【变式7-1】若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（ ）

A．B．
C．D．
【变式7-2】已知函数的图象如图所示，则函数的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-3】若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】（2025·四川成都·一模）函数的图象经过变换后得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-5】若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
题型八：根据函数图像选择解析式
【例8】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
1、依据定义域与值域确定图像位置；
2、借助奇偶性判定图像对称特性；
3、利用周期性明晰图像循环规律；
4、通过单调性把握图像变化走向；
5、凭借特殊点排除选项错误可能。
【变式8-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2025·四川南充·三模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-3】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-4】已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
1．函数的图象大致为
A．B．
C．D．
2．已知函数的图象如图所示，则函数的图象为
A．B．
C．D．
①数形结合
1．某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如下图所示收支差额=车票收入-支出费用，由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议不改变车票价格，减少支出费用；建议不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则
A．①反映建议，③反映建议B．①反映建议，③反映建议
C．②反映建议，④反映建议D．④反映建议，②反映建议
2．已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是

A．B．
C．D．
②转化与化归
4．已知函数在上只有一个零点，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．设，若时均有，则 ．
6．如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．若，，则正实数的取值范围是 ．
③分类讨论
7．已知，则不等式的解集为 ．
8．已知函数，若有个零点，则实数的取值范围为 ．
9．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程关于时间的函数解析式分别为，，，，有以下结论：
当时，甲走在最前面；
当时，乙走在最前面；
当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；
如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中正确结论的序号为 ．
基础过关篇
1．（2025·山东枣庄·二模）将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．（2025·天津·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知是的极大值点，若直线与曲线至少有一个交点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2025·山西忻州·模拟预测）函数的大致图象是（ ）．
A．B．C．D．
6．（2025·安徽淮北·二模）函数的图像如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
7．如图为函数在上的大致图象，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2025·北京东城·二模）已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（ ）

A． B． C． D．
10．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
13．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
14．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
16．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
17．（多选题）（2025·广东广州·三模）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（ ）
A．B．C．D．
18．（多选题）已知函数，，，则（ ）
A．B．是偶函数
C．D．
19．（多选题）（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（ ）
A．B．C．D．
20．将函数的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则 ．
21．（2025·河南·模拟预测）已知函数，若函数至少有2个零点，则实数m的取值范围为 ．
22．已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是 .
① ②
③ ④
能力拓展篇
23．已知对任意的，不等式恒成立，则a，b的可能取值为 .（写出一组即可）
24．已知函数．若方程（其中为实数）有3个不同解，则的取值范围是 ．
25．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，若，则的取值范围是 .
26．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
27．（多选题）（2025·山东济南·模拟预测）已知函数的定义域为R，，且当时，，则（ ）
A．
B．当时，曲线与x轴围成的面积小于1
C．若函数（，且）恰有6个零点，则
D．若，且，则的最大值为2
28．（多选题）函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
29．（多选题）下列可能是函数（其中）的图象的是（ ）
A． B． C． D．
30．（多选题）（2025·山西·二模）若，则函数的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2.8 函数的图象
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc200639648" 03 课标要求 PAGEREF _Tc200639648 \h 2
\l "_Tc200639649" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc200639649 \h 3
\l "_Tc200639650" 一、函数图像问题 PAGEREF _Tc200639650 \h 3
\l "_Tc200639651" 常用二级结论 PAGEREF _Tc200639651 \h 4
\l "_Tc200639652" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc200639652 \h 5
\l "_Tc200639653" 题型一：作函数的图象 PAGEREF _Tc200639653 \h 5
\l "_Tc200639654" 题型二：函数图象的识别 PAGEREF _Tc200639654 \h 9
\l "_Tc200639655" 题型三：利用图象研究函数的性质 PAGEREF _Tc200639655 \h 12
\l "_Tc200639656" 题型四：利用图象解不等式 PAGEREF _Tc200639656 \h 16
\l "_Tc200639657" 题型五：利用图象求参数的取值范围 PAGEREF _Tc200639657 \h 19
\l "_Tc200639658" 题型六：根据实际问题作函数图像 PAGEREF _Tc200639658 \h 23
\l "_Tc200639659" 题型七：对函数图像进行变换 PAGEREF _Tc200639659 \h 26
\l "_Tc200639660" 题型八：根据函数图像选择解析式 PAGEREF _Tc200639660 \h 29
\l "_Tc200639661" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc200639661 \h 34
\l "_Tc200639662" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc200639662 \h 36
\l "_Tc200639663" ①数形结合 PAGEREF _Tc200639663 \h 36
\l "_Tc200639664" ②转化与化归 PAGEREF _Tc200639664 \h 38
\l "_Tc200639665" ③分类讨论 PAGEREF _Tc200639665 \h 40
\l "_Tc200639666" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc200639666 \h 43
\l "_Tc200639667" 基础过关篇 PAGEREF _Tc200639667 \h 43
\l "_Tc200639668" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc200639668 \h 57
1、在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2、会画简单的函数图象.
3、会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.
一、函数图像问题
1、利用描点法作函数图象的步骤：列表、描点、连线.
2、利用图象变换法作函数的图象
平移变换：①；
注意：；
②；
翻折变换：③；④（偶函数）；
伸缩变换：⑤；⑥.
对称变换：①关于直线（即轴）对称
②关于直线（即轴）对称：
③关于原点对称
④关于直线对称
⑤关于直线对称
⑥关于点对称
常用二级结论
1、对称变换的对称是指两个函数的图象特征,而与奇偶性有关的对称,是指一个函数图象自身的特征.
2、反比例型函数：对称中心为点.该函数定义域为，值域为，，.
3、对勾函数：
4、某些含根式的函数的图象可以通过对解析式变形，变形为曲线方程来判断.
5、在区间上的图形是（向上）凹的（即切线的斜率递增）.
在区间上的图形是（向上）凸的（即切线的斜率递减）.
题型一：作函数的图象
【例1】作出下列各函数的图象．
(1)；
(2)；
(3)．
【解析】（1）将函数的图象向左平移1个单位长度，
再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数的图象，
如图①所示．
（2）原函数解析式可化为，
故函数图象可由函数的图象向右平移1个单位长度，
再向上平移2个单位长度得到，如图②所示．
（3）因为，且函数为偶函数，
先用描点法作出上的图象，再根据对称性作出上的图象，
最后得函数图象如图③所示．
【解题总结】
函数图象的常见画法及注意事项
(1)直接法：对于熟悉的基本函数,根据函数的特征描出图象的关键点,直接作图.
(2)转化法：含有绝对值符号的,去掉绝对值符号,转化为分段函数来画.
(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.
(4)画函数的图象一定要注意定义域.
【变式1-1】分别作出下列函数的图象．
(1)；
(2)；
(3)．
【解析】（1）（1）设
其图象如图．
（2）当，，；
当，即时，．
所以
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出（如图）．
（3）设，则其图象可由的图象向左平移1个单位，再保留x轴上方部分不变，将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，如图．
【变式1-2】已知函数
(1)判断函数的单调性，并求出的极值；
(2)画出函数的大致图像并求出方程的解的个数．
【解析】（1）由题意可知，的定义域为，
则，
令，则，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增.
所以故;
（2）由（1）可知作出函数图像，
由图，当时，方程的解个数为个；
当或时，方程的解个数为个；
当时，方程的解个数为个.
【变式1-3】（2025·甘肃兰州·一模）已知函数.
（1）当时，画出函数的图象：
（2）当时，恒成立，求的范围.
【解析】（1）当时，函数的解析式可化为：，故函数图象如图
（2）①当时，在时显然成立；
②当时，由于，，故，，令，对称轴，开口向下，，即在时，成立；
③当时，当时，，，令，对称轴，开口向上，当时函数减，当时函数增，，，解得：；
当时，，，令，对称轴，开口向上，此时函数在为增函数，需，解得：；
综上可知，当或时，满足条件.
题型二：函数图象的识别
【例2】（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以该函数为奇函数，可排除C，D.
当时，，所以，排除B.
故选：A.
【解题总结】
识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质,如奇偶性、单调性、定义域等判断.
(2)利用函数的零点、极值点等判断.
(3)利用特殊函数值判断.
【变式2-1】（2025·辽宁·模拟预测）下面可以作为函数图像的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知，定义域为，，
所以为偶函数，图象关于轴对称，故排除B,C；
又，故D错误，A正确．
故选：A．
【变式2-2】（2025·陕西安康·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，知的定义域为，排除A，C；
，当增大时，减小，也减小，即在上单调递减，排除D.
故选：B.
【变式2-3】（2025·广西河池·二模）已知函数，则以下最不可能是其图像的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】已知函数，
当时，，则，令得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
且则选项B是函数的部分图像；
当时，，则，令得，
所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
且则选项C是函数的部分图像；
当时，，则在上单调递增，且，选项D是的部分图像，
对于A选项，显然，
，令得，所以一定有极值点，故A选项不符合.
故选：A.
【变式2-4】（2025·山西朔州·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的定义域是，关于原点对称，排除选项D，
因为，
所以是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，
当时，，
（等号条件为即，故等号不成立），
当时，，
（等号条件为即，故等号不成立），排除C，只有选项B符合题意.
故选：B.
题型三：利用图象研究函数的性质
【例3】（多选题）（2025·湖南郴州·三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．是增函数
C．不等式的解集为
D．若函数恰有两个零点，则的取值范围为
【答案】CD
【解析】的大致图象如图所示：
由图象可知：的图象不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；
在定义域内不单调，故B错误；
若，则或，即不等式的解集为，故C正确；
令，则，
原题意等价于与有2个交点，则，
所以的取值范围为，故D正确；
故选：CD.
【解题总结】
利用函数图像求函数最值时，需先绘制出相关函数图像。依据题目对函数提出的条件与要求，在图像上精准定位取得最值的位置，进而通过计算得出答案。这一过程巧妙地将抽象的数学问题转化为直观的图形分析，充分体现了数形结合的数学思想。
【变式3-1】（多选题）如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动．设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，则下列说法正确的有（ ）
A．是周期函数，且最小正周期为4
B．的最大值为
C．时，的图象与轴围成的封闭图形的面积为
D．时，点经过的路程为
【答案】ABD
【解析】假设落在轴上时开始计时，下一次落在轴上，过程中四个顶点依次落在了轴上，而相邻两个顶点距离为正方形边长，即为1，因此该函数周期为4．考查正方形向右滚动时，点运动情况：
首先以为圆心，正方形边长为半径运动个圆，
然后以为圆心，正方形对角线长为半径运动个圆，
最后以为圆心，正方形边长为半径运动个圆，最终运动轨迹如下曲线：
由图知：图像与轴围成的封闭图形的面积为，C错误，
故选:ABD
【变式3-2】（多选题）（2025·湖北武汉·一模）已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】A选项，令，则，满足为偶函数，
但的图象如下，不关于直线对称，A错误；
BD选项，为偶函数，故为奇函数，
即，即，
故，故点为曲线的对称中心，
故，则，故B，D正确；
C选项，由题意得，令，则，
由于曲线的对称中心为，结合三次函数的图象特征可知，
，则，又，故，故C正确.
故选：BCD.
【变式3-3】（多选题）下列说法中，正确的是（ ）
A．若对任意，则在I上单调递增
B．函数的递减区间是
C．函数的单调递增区间为
D．在R上是增函数
【答案】ABD
【解析】对于A，若对任意，显然，
当时，则有；当时，则有；
由函数单调性的定义可知在I上是单调递增，故A正确．
对于B，作出函数的图象，如图所示，
由图象可知：函数的递减区间是，故B正确；
对于C，函数，在上单调递增，在上单调递减；
又函数在上单调递增，
∴由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得，的单调递增区间为，故C错误；
对于D，因为，，则，
所以是R上的增函数，故D正确．
故选：ABD.
【变式3-4】（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在上单调递增
C．函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为
D．若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为
【答案】AC
【解析】由题可知，，A正确.
由，可作出的部分图象，可知在上单调递增，在上单调递减，B不正确.
由，得，根据函数的对称性可知，当时，可知，是方程的两个不同的根，且，，根据的图象可知，a的取值范围为，C正确.
当函数在上恰有4个零点时，根据的图象可知，a的取值范围为，D不正确.
故选：
题型四：利用图象解不等式
【例4】（2025·河南·三模）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，
结合题意作出的大致图象，如图所示，
由图可知，不等式的解集为.
故选：B.
【解题总结】
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
【变式4-1】（2025·高三·山西晋城·期末）已知为定义在上的奇函数，，当时，单调递减，当时，单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为为定义在上的奇函数，所以．又，所以．根据题意作出的大致图象如图所示，
等价于或由图可得．
故选：D
【变式4-2】已知函数满足：，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，可知函数的图象关于点对称．
又因为当时，，所以函数的大致图象如图．
结合图象可知，当时，要使，需，则；
当时，要使，需，此时不存在．
故不等式的解集为．
故选：D．
【变式4-3】（2025·河南商丘·三模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据奇函数的图象特征，作出在上的图象如图所示，
由，得，
等价于或
解得或，或．
故不等式解集为．
故选：C.
题型五：利用图象求参数的取值范围
【例5】（2025·贵州毕节·二模）已知函数若方程有3个互不相等的实数根，，，则的范围为 ．
【答案】
【解析】由题可得，又因方程有3个互不相等的实数根，则.
由，可得，，则.
则问题等价于当方程在时有唯一实根时，实根的范围.
即求直线与函数有唯一交点时，横坐标的范围.
如下图可知，当时满足题意，则.
故答案为：.
【解题总结】
首先绘制出函数的图像，细致观察参数变化时函数形态与位置关系的动态演变。通过深入分析，精准定位参数的临界状态，以此为关键节点，进一步推导并确定参数的合理取值范围，为后续研究或应用提供明确依据。
【变式5-1】（2025·吉林长春·一模）已知函数满足，且当时.若在区间内，函数有两个不同零点，则的范围为 ．
【答案】
【解析】因为，
∴，又当时，
当 时，，，
故函数，
因为函数有两个不同零点，
所以函数 与函数的图象有两个不同的交点，
作函数 与 的图象，
当直线过点 时， ，即，
设直线与相切与点，
由，可知，
所以，
解得，，
所以当时，函数 与函数的图象有两个不同的交点，
即函数有两个不同零点，实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式5-2】（2025·辽宁·三模）已知函数，关于x的不等式只有1个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由，
令，解得：，令，解得：，
的递增区间为，递减区间为，故的最大值是；
时，时，，
故在时，，在时，，函数的图象如下：
①时，不等式化为，无整数解，不合题意；
②时，由不等式得，无整数解；
③时，由不等式，得或，
而时，没有整数解，进而的解集整数解只有一个，
且在递增，在递减，
而，这一个正整数只能为3，
所以，即；
综上，a的取值范围是．
故答案为：.
【变式5-3】（2025·河南·模拟预测）已知函数存在，使得，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】作出函数的图象，设，依题意，，
且，，解得，，
故，因函数在上单调递减，故，
即的取值范围是.
故答案为：.
【变式5-4】（2025·云南曲靖·一模）已知，函数，若，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为，则定义域为，
所以的图象是取与图象位于下方的部分，
作出的图象如下所示（实线部分）：
当时，显然在上单调递减，且；
因为，使得关于的不等式成立，
所以，令，解得，
结合图象可得的解集为或，
即实数的取值范围是.
故答案为：
题型六：根据实际问题作函数图像
【例6】（2025·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两个半圆）上匀速跑步，他从点处出发，沿箭头方向经过点、、返回到点，共用时秒，他的同桌小陈在固定点位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为（单位：秒），他与同桌小陈间的距离为（单位：米），若，则的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题图知，小李从点到点的过程中，的值先增后减，
从点到点的过程中，的值先减后增，
从点到点的过程中，的值先增后减，从点到点的过程中，的值先减后增，
所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即的值）的增减性为：增、减、增、减、增，D选项合乎题意，
故选：D.
【解题总结】
1、依据定义域与值域确定图像位置；
2、借助奇偶性判定图像对称特性；
3、利用周期性明晰图像循环规律；
4、通过单调性把握图像变化走向；
5、凭借特殊点排除选项错误可能。
【变式6-1】直角梯形如图，直线左边截得面积的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】直线的方程为，
当，.
当时，.
所以，
对应的图象为C选项.
故选：C
【变式6-2】青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度与时间的函数图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由图可知该青花瓷上､下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合选项所给图像，只有先慢后快的趋势的C选项符合.
故选：C
【变式6-3】如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．
在区间（0，）上，P在边AC上，|PB|＞|PA|，则f（x）＞0，排除C；
在区间（，π）上，P在边BC上，|PB|＜|PA|，则f（x）＜0，排除B，
又由当x1+x2＝π时，有f（x1）＝﹣f（x2），f（x）的图象关于点（，0）对称，排除D，
故选：A
题型七：对函数图像进行变换
【例7】（2025·安徽·三模）已知函数，，若下图是函数图象的一部分，则可能等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由图可知，，所以不合题意，排除C；
定义域内没有，不合题意，排除D；
当时，，故B错误；
故选:A.
【解题总结】
（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.
【变式7-1】若函数的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由的定义域为知，中，不符合图2，故排除B，D；
对于C，当时，，不满足图2，故C错误；
将函数的图关于轴对称，得到的图，向右平移1个单位得到的图，
最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数的图可能为图2.
故选:A.
【变式7-2】已知函数的图象如图所示，则函数的图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】法一，因为，
所以函数的图象是先将函数的图象关于y轴对称，
得到的图象，再向右平移一个单位长度得到的.
故选：D.
法二，由图象知函数的定义域为，
由，得，所以函数的定义域为，故排除A，C；
又当时，，排除B.
故选：D.
【变式7-3】若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知图象上的点变换成点，
意味着函数的图象向右平移一个单位且向下平移2个单位，
此时对应的函数解析式为，
若，则时，且单调递减，时，且单调递增，
对比选项可知D选项符合题意.
故选：D.
【变式7-4】（2025·四川成都·一模）函数的图象经过变换后得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知可得，代入可得，则，
即，因此，.
故选：B.
【变式7-5】若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数是奇函数，
所以函数的图象关于原点对称，
又函数的图象是的图象向左平移1个单位，
向上平移2个单位得到的，
所以函数图象对称中心的是，
故选：B
题型八：根据函数图像选择解析式
【例8】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由图象可知的图象关于轴对称，即为偶函数，
选项中函数的定义域都是，
对于A项，，为偶函数，
对于B项，，为奇函数，
对于C项，，为偶函数，
对于D项，，为偶函数，
排除B项；
由图可知，对于A项，，不符合题意；
对于C项，，符合题意；
对于D项， ，不符合题意．
故选：C．
【解题总结】
1、依据定义域与值域确定图像位置；
2、借助奇偶性判定图像对称特性；
3、利用周期性明晰图像循环规律；
4、通过单调性把握图像变化走向；
5、凭借特殊点排除选项错误可能。
【变式8-1】（2025·河南·模拟预测）已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为的图象关于轴对称，所以为偶函数，排除B，
又，排除A，当时，，排除D.
故选：C．
【变式8-2】（2025·四川南充·三模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数，
对于A ：定义域为，定义域关于原点对称，，
所以为偶函数，不符合题意，故A错误；
对于C：定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以为偶函数，不符合题意，故C错误；
对于D：定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以为奇函数，
当时，，，所以恒成立，不符合题意，故D错误；
故利用排除法可知选项B符合题意.
故选：B
【变式8-3】我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数的定义域为，函数的定义域为，
函数与的定义域均为.
由图知的定义域为，排除选项A、D，
对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C.
故选：B.
【变式8-4】已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A,，其定义域为，有，
则函数为奇函数，不符合题意，故A错误；
对于B，，其定义域为，
有，则函数为奇函数，不符合题意，故B错误；
对于C，，在区间上，，不符合题意，故C错误.
对于D，，则为偶函数，
且在区间上，，符合题意，故D正确.
故选：D.
1．函数的图象大致为
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解法一 当时，，故B，不正确．当时，，且单调递增，所以单调递减，故 A不正确，故选C．
解法二 函数的定义域为，且．，所以当或时，，函数在和上均单调递增；当或时，，函数在和上均单调递减．故选C．
解法三 记，则，排除，；当时，，排除选C．
2．已知函数的图象如图所示，则函数的图象为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】方法一：由的图象可知，定义域为，
则的定义域也为，关于坐标原点对称．
因为 ，
所以为偶函数，其图象关于轴对称，排除与．
又，所以排除．
故选B．
方法二：将的图象先沿着轴作对称，可得的图象，即为项的图象；
再将在轴左侧图象删去，将轴右侧图象对称到左侧，即为的图象，即为项的图象，即为所求．
故选B．
①数形结合
1．某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如下图所示收支差额=车票收入-支出费用，由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议不改变车票价格，减少支出费用；建议不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则
A．①反映建议，③反映建议B．①反映建议，③反映建议
C．②反映建议，④反映建议D．④反映建议，②反映建议
【答案】B 对于建议，因为不改变车票价格，减少支出费用，
故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相同，且纵截距变大，故①反映建议；
对于建议，因为不改变支出费用，提高车票价格，
故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③反映建议
故选：
2．已知函数，，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，
因为为偶函数，为奇函数，
函数为非奇非偶函数，故选项A错误；
函数为非奇非偶函数，故选项B错误；
函数为奇函数，
对恒成立，
则函数在上单调递增，故选项C错误．
故选
3．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是

A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，，
易知a与必有1个大于1，1个小于1，
则与在各自定义域内单调性相反，排除A；
由可排除C，
故选：
②转化与化归
4．已知函数在上只有一个零点，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】分别作出函数与函数的大致图象．
分两种情形：
当时，，如图，当时，与的图象有一个交点，符合题意
当时，，如图，当时，要使得与的图象只有一个交点，
只需，即，解得，
综上，正实数的取值范围为：
故选．
5．设，若时均有，则 ．
【答案】
【解析】①时，当时，不等式为不恒成立，所以不符合题意；
②时，构造函数，，它们都过定点
对于函数，令，得，故；
时，均有
过点，即，如图所示
解得：或舍去
故答案为
6．如图所示，函数的图象由两条射线和三条线段组成．若，，则正实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得且，
若，
则，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
③分类讨论
7．已知，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】令，
当时，，解得
当时，，解得，
则或，即
作出函数的图象如下：
在R上递增，且，
所以不等式的解集为，
故答案为
8．已知函数，若有个零点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】函数恰有个不同的零点，
有个解，即与有个交点，
当时，，则，
令，则，
当，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
且，
当时，，则，
令，则，
当，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
且，
画出函数的图象如图所示：
故若有个根，则，
故答案为．
9．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程关于时间的函数解析式分别为，，，，有以下结论：
当时，甲走在最前面；
当时，乙走在最前面；
当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；
如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．
其中正确结论的序号为 ．
【答案】③④
【解析】甲、乙、丙、丁的路程关于时间的函数解析式分别为，，，
它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当时，，，所以①不正确．
当时，，，所以②不正确．
根据四种函数的变化特点，如图所示，对数型函数的增长速度是先快后慢，
又当时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，均为1，从而可知．
当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面，所以③正确．
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以④正确．
故答案为③④．
基础过关篇
1．（2025·山东枣庄·二模）将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】由题意可得，
因为，
所以，
所以，
即，且.
因为，当且仅当时，取到最小值.
故选：B
2．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数，关于的方程的根的个数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【解析】由得，解得或，
画出的大致图象如图所示，由图可知，此时方程有10个交点．（图中只显示了6个交点，当或时，和与图象还有4个交点，）
故选：D.
3．（2025·天津·一模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由图象可知的图象关于原点对称，所以为奇函数，且，
对于A, ，故不符合，A错误，
对于B, ，则为奇函数，且满足，故B正确，
对于C, ，则为偶函数，不符合，C错误，
对于D, ，为偶函数，不符合，D错误，
故选：B
4．已知是的极大值点，若直线与曲线至少有一个交点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，对其求导得.
因为是的极大值点，所以，解得，
所以，
结合二次函数的图像可知，是的极大值点，
当时，，它表示一段圆弧.
直线可化为，它恒过定点.
由图像可以看出，当直线经过点时，斜率最大，因为，
所以此时.
当该直线顺时针从点绕到的过程中，该直线与曲线有一个交点，
该情况下的取值范围为.
当时，曲线方程为.图像如图所示：
由图像可以看出，当直线与曲线相切时，
由，化简得：，
由结合图形解得.
通过图像可以看出，当直线顺时针旋转过程中，交点至少有1个，合题意，此时.
综上，当或时，即直线至少有一个交点.
故选：C.
5．（2025·山西忻州·模拟预测）函数的大致图象是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的定义域为，排除选项D；
，
故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A；
当时，；
当时，，排除选项C；
综上所得，选项B符合题意．
故选：B．
6．（2025·安徽淮北·二模）函数的图像如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】观察图象知，，函数有3个零点，设3个零点为，
于是，当时，，
而此时，因此，
又，
函数有两个极值点，且，即有两个不等实根，
，因此，
所以.
故选：B.
7．如图为函数在上的大致图象，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由图像可知函数为奇函数，
选项A，，故为偶函数，其图象关于轴对称，A错误；
选项D，，故为偶函数，其图象关于轴对称，D错误；
选项B，因为，所以B错误.
对于C：，奇函数，且，符合，
故选：C.
8．（2025·北京东城·二模）已知下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A选项：如图，不符，
对于B选项：如图，符合，
对于C选项：如图，不符，
对于D选项：如图，不符，
故选：B.
9．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意可知在梯形中，；
当时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为；
当时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，
其面积为；
当时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积，
即；
所以可得；
根据函数类型对比图象可得A正确.
故选：A
10．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数的部分图象，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由图可知，函数图象关于轴对称，因此为偶函数，
对于B，的定义域为，且，奇函数；
对于D，的定义域为，，奇函数；
因此排除选项B，D这两个奇函数；
由图象知，若取一个很小的正数，比如，
对于A：，函数值为正数，因此排除A.
对于C: 的定义域为，
，，综上只有C符合，
故选：C.
11．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故选：B.
12．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
13．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，CD选项错误；
又当时，，B选项错误.
故选：A.
14．（2022·全国乙卷·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
15．（2022·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
16．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB；
又当时，此时，
由图可知当时，，故C不符合，D符合.
故选：D
17．（多选题）（2025·广东广州·三模）函数的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数的图象的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】令，得，
，令，得，
若，，则，且时，恒成立，
时，，递减，，，递减，
，，递增，故D正确；
若，，则，且时，恒成立，
时，，递增，时，，递减，
时，，递减，故B正确；
若，，则，且时，恒成立，
时，，递减，时，，递增，
时，，递增，故C错误；
若，，，且时，恒成立，
时，，递增，，，递增，
，，递减，故A错误；
综上，A,C错误，B,D正确．
故选：BD．
18．（多选题）已知函数，，，则（ ）
A．B．是偶函数
C．D．
【答案】CD
【解析】当，，则，
，
所以是以4为周期的函数，
又时，，作出的图象如图所示，
对于A，，故A错误；
对于B，由图象可得是奇函数，故B错误；
对于C，由图象可得关于直线对称，所以，故C正确；
对于D，由C选项可得，又，则，故D正确.
故选：CD.
19．（多选题）（2025·湖南娄底·模拟预测）下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，函数的图象向右平移1个单位长度可得到函数的图象，故A正确；
对于B，函数的图象向上平移2个单位长度可得到函数的图象，故B正确；
对于C，函数的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数的图象，故C错误；
对于D，函数，其图象向左平移个单位长度可得到函数的图象，故D正确．
故选：ABD
20．将函数的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数的图象，则 ．
【答案】
【解析】将函数的图象向下平移1个单位长度，
可得函数的图象，
再向右平移1个单位长度，可得函数的图象，
所以．
故答案为：
21．（2025·河南·模拟预测）已知函数，若函数至少有2个零点，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】作出的大致图象如图所示，
由的零点，即为
观察可知．
当时，令，可得，当时，令，可得，所以，故．
故答案为：．
22．已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是 .
① ②
③ ④
【答案】①③
【解析】对于①，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，
值域不变，①正确；
对于②，由，得，
即的值域为，②错误；
对于③，函数与函数的图象关于轴对称，
则函数的值域与函数的值域相同，为，③正确；
对于④，由，得，
即的值域为，④错误.
故答案为：①③.
能力拓展篇
23．已知对任意的，不等式恒成立，则a，b的可能取值为 .（写出一组即可）
【答案】或或
【解析】当时，由，可得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，此时不存在；
当时，由对任意的恒成立，
作出的大致图象，如图所示：
由题意可知，又是整数，
所以或或.
故答案为：或或
24．已知函数．若方程（其中为实数）有3个不同解，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令，解得或，
则，
其图象如图所示：
直线过定点，
且定点在抛物线弧与轴围成区域的内部，
解法一：因此方程，即在内有2个不同解．
令，
利用二次函数图象分析法，其充要条件为
，解得，
当时，有且只有2个不同解，
故不满足条件，所以的取值范围为；
解法二：直线过点，抛物线弧的两个端点为和，
要使方程有3个不同解，必须有，
而，且当时，有且只有2个不同解，故．
所以的取值范围为；
故答案为：．
25．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数，若，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据题意画出图象，得到，
，则，
即，则，则，则.
故答案为：.
26．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【解析】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，
显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，
当时，，当且接近于处，，
此时，，
当时，且接近于处，的距离最小，
此时；故③正确；
对于④，取，则的图像如下，
因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
27．（多选题）（2025·山东济南·模拟预测）已知函数的定义域为R，，且当时，，则（ ）
A．
B．当时，曲线与x轴围成的面积小于1
C．若函数（，且）恰有6个零点，则
D．若，且，则的最大值为2
【答案】AC
【解析】由，则，所以函数的周期为，
对于A，，故A正确；
对于B，由，即，则，
由，则，
由，则函数在上的图象与在上的图象相同，如下图：
由图易知左侧曲线关于轴对称，向右平移个单位，向左平移个单位，可与右侧曲线重合，
则当时，曲线与轴围成的图形的面积为，故B错误；
对于C，当时，由题意可作图如下：
由图可知，解得，
当时，只有一个解，不符合题意，故C正确；
对于D，由题意可知，整理可得，
当且仅当，等号成立，可得不等式，解得，
由，解得，符合题意，故D错误.
故选：AC.
28．（多选题）函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】函数的定义域为，
由图可知，则，
由图可知，所以，
由，得，
由图可知，得，所以，
综上，．
故选：AB.
29．（多选题）下列可能是函数（其中）的图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】A选项中的图象关于y轴对称，是常函数但是不能是常函数，A选项错误；
B选项中的图象关于原点对称，可得函数的定义域为，可得，函数满足题意，B选项正确；
C选项中的图象，由定义域得，由图象在y轴截距为正得，当时，符合条件，C选项正确；
D选项中的图象，由定义域得，由图象在y轴截距为零得，当时，符合条件，D选项正确；
故选：BCD
30．（多选题）（2025·山西·二模）若，则函数的函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】①当时，，其图象为指数函数的一部分；
②当为正的奇数时，定义域为，，
可知当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
函数在处取得极小值，此时是负数；
4个选项中没有与以上两种情况对应的图象.
③当为正的偶数时，定义域为，，
可知当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且时，，则，且，故B选项正确；
④当为负的奇数时，定义域为，，
可知当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且时，，则，
时，，则，故C选项正确；
⑤当为负的偶数时，定义域为，，
可知当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且时，，则，故D选项正确.
故选：BCD