2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用3.2　导数与函数的单调性(1大考点+8大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用3.2　导数与函数的单调性(1大考点+8大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共12页。
\l "_Tc201592393" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc201592393 \h 3
\l "_Tc201592394" 一、导数研究单调性 PAGEREF _Tc201592394 \h 3
\l "_Tc201592395" 常用二级结论 PAGEREF _Tc201592395 \h 3
\l "_Tc201592396" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc201592396 \h 5
\l "_Tc201592397" 题型一：不含参函数的单调性 PAGEREF _Tc201592397 \h 5
\l "_Tc201592398" 题型二：含参数的函数的单调性—— 一次型 PAGEREF _Tc201592398 \h 5
\l "_Tc201592399" 题型三：含参数的函数的单调性—— 含指对一次型 PAGEREF _Tc201592399 \h 6
\l "_Tc201592400" 题型四：含参数的函数的单调性—— 可因式分解二次型 PAGEREF _Tc201592400 \h 8
\l "_Tc201592401" 题型五：含参数的函数的单调性—— 不可因式分解二次型 PAGEREF _Tc201592401 \h 9
\l "_Tc201592402" 题型六：含参数的函数的单调性——含指对二次型 PAGEREF _Tc201592402 \h 10
\l "_Tc201592403" 题型七：利用单调性比较大小或解不等式 PAGEREF _Tc201592403 \h 12
\l "_Tc201592404" 题型八：根据函数单调性求参数 PAGEREF _Tc201592404 \h 12
\l "_Tc201592405" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc201592405 \h 15
\l "_Tc201592406" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc201592406 \h 16
\l "_Tc201592407" ①数形结合 PAGEREF _Tc201592407 \h 16
\l "_Tc201592408" ②转化与化归 PAGEREF _Tc201592408 \h 16
\l "_Tc201592409" ③分类讨论 PAGEREF _Tc201592409 \h 16
\l "_Tc201592410" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc201592410 \h 18
\l "_Tc201592411" 基础过关篇 PAGEREF _Tc201592411 \h 18
\l "_Tc201592412" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc201592412 \h 19
1、结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
3、会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用.
一、导数研究单调性
1、函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
在某个区间内，①如果，那么函数在这个区间内单调递增
②如果，那么函数在这个区间内单调递减
③如果，那么函数在这个区间内为常数函数
2、求单调区间的方法：
①通过解不等式或(等号可要可不要)；
②求，并可适当整理，尽量将整理成，，…，之积商的形式，借助数轴分段确定单调性，或直接观察解析式得出单调性．
注意：⑴写单调区间时，正确表示方法是：多个单调区间之间用逗号隔开，绝对不能用符号“”．
⑵若在某个区间上单调递增，则；若在某个区间上单调递减，则；
⑶设，，且，那么
①在是增函数恒成立
②在是减函数恒成立
常用二级结论
1、含参数单调性讨论
第一步：求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)
第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)
第三步：恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)
第四步：然后再求有效根
第五步：根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)
第六步：导数图像定区间
2、函数在区间内单调递增(或递减)，可得(或)在该区间恒成立，而不是(或)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验.
3、若函数在内存在单调递增区间，则当时，有解；若函数f(x)在(a,b)内存在单调递减区间，则当时，有解.
题型一：不含参函数的单调性
【典例1-1】（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】已知函数.证明：在定义域内单调递增.
【解题总结】
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开.
【变式1-1】函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．，D．
【变式1-2】（2025·高三·山西运城·开学考试）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2025·四川达州·一模）曲线在点处的切线平分圆，则函数的增区间为（ ）
A．B．C．D．
题型二：含参数的函数的单调性—— 一次型
【典例2-1】已知，函数，当时，讨论函数的单调性.
【典例2-2】已知函数，讨论的单调性.
【变式2-1】已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)设函数，讨论在区间上的单调性.
【变式2-2】已知函数．
(1)若，求的极小值；
(2)讨论导函数的单调性．
【变式2-3】（2025·浙江绍兴·三模）已知函数，．
(1)若在处的切线方程为，求实数m的值；
(2)讨论的单调性.
题型三：含参数的函数的单调性—— 含指对一次型
【典例3-1】已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，讨论函数的单调性.
【典例3-2】已知函数．讨论的单调区间.
【变式3-1】 已知函数.
(1)若在处的切线斜率为，求切线方程.
(2)求的单调区间.
【变式3-2】设函数，．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
【变式3-3】已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间．
题型四：含参数的函数的单调性—— 可因式分解二次型
【典例4-1】已知函数，其中.
(1)若函数的极小值为4，且在处取到极大值，求函数的解析式；
(2)讨论函数的单调性.
【典例4-2】已知函数，．
(1)若在处的切线方程与直线垂直，求a的值并求函数在区间的最值；
(2)若，试讨论的单调性．
【变式4-1】已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，讨论函数的单调性.
【变式4-2】（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数.
(1)已知在取得极值，求a的值，
(2)当时，讨论的单调性；
【变式4-3】已知函数，其导函数为．
(1)设．
①求的值；
②求在上的最大值．
(2)讨论的单调性．
【变式4-4】已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)讨论函数的单调性．
【变式4-5】已知函数，其中．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
题型五：含参数的函数的单调性—— 不可因式分解二次型
【典例5-1】（2025·高三·山西晋城·期末）设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，讨论的单调性．
【典例5-2】已知函数．
(1)当时，求的解集；
(2)当时，求的单调区间．
【变式5-1】已知函数．讨论的单调性.
【变式5-2】（2025·贵州黔东南·三模）设函数．
(1)若，试求函数的极值；
(2)设，讨论的单调性．
题型六：含参数的函数的单调性——含指对二次型
【典例6-1】已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)讨论的单调性.
【典例6-2】（2025·福建福州·模拟预测）已知函数，且.
(1)求曲线的对称中心；
(2)证明：曲线在对称中心处的切线不过坐标原点；
(3)讨论的单调性.
参考数据：当时，.
【变式6-1】（2025·湖北武汉·三模）已知函数.
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.
【变式6-2】已知函数．
(1)若，求在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
【变式6-3】已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间
【变式6-4】已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)讨论的单调性．
题型七：利用单调性比较大小或解不等式
【典例7-1】（2025·高三·江苏·期末）已知实数x，y满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【典例7-2】（2025·湖北武汉·三模）已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-1】定义在上的函数为奇函数，其导数为，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型八：根据函数单调性求参数
【典例8-1】（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（ ）
A．B．C．D．
【典例8-2】已知函数，若对任意两个不相等的实数，都有，则实数的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．2
【解题总结】
1、函数在区间内单调递增(或递减)，可得(或)在该区间恒成立，而不是(或)恒成立，“＝”不能少.必要时还需对“＝”进行检验.
2、若函数在内存在单调递增区间，则当时，有解；若函数f(x)在(a,b)内存在单调递减区间，则当时，有解.
【变式8-1】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2025·高三·山西·开学考试）函数（其中，且）是其定义域上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-4】（2025·高三·云南保山·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-5】（2025·河北·模拟预测）已知，，两个函数图象至少有一个在区间上不单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-6】（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-7】若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-8】已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-9】函数的单调递减区间是，则（ ）
A．6B．3C．2D．0
1．已知，则
A．B．C．D．
2．（2022年新高考全国I卷数学真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
①数形结合
1．已知函数，，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．若为R上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
②转化与化归
4．已知，x，，且，则下列关系式恒成立的为
A．B．C．D．
5．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
6．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是
A．B．C．D．
③分类讨论
7．已知函数在R上单调递增，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．D．e
8．若函数是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数在上不单调，则a的取值范围是
A．B．C．D．
基础过关篇
1．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
3．（2025·上海黄浦·三模）若、，则“”成立是“”成立的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
4．（2025·四川眉山·模拟预测）函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上时单调递增函数的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·四川泸州·模拟预测）若实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）．
A．B．C．D．
9．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知、，且，则（ ）
A．B．
C．D．无法确定、的大小
10．（2025·江西萍乡·三模）记，为实数，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11．（多选题）（2025·湖北恩施·模拟预测）下列不等关系中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（多选题）（2025·海南·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．点是函数图象的对称中心B．是函数的极小值点
C．当时，D．当时，
13．（多选题）（2025·湖南长沙·三模）已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．函数的图象关于轴对称B．函数的最小值为2，无最大值
C．函数在上单调递增D．不等式的解集为
14．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数既有极大值又有极小值，且在区间上单调，则的取值范围是 .
15．（2025·山西·模拟预测）若函数在区间单调递增，则的取值范围是 .
16．（2025·江苏苏州·三模）若在上不单调，则实数的取值范围是 ．
17．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点只有一条直线与函数的图象相切，则的取值范围为 .
18．（2025·江苏·一模）若在上单调递减，则实数的取值范围为 ．
19．（2025·青海西宁·模拟预测）已知x，y为正实数，，则的取值范围是 ．
能力拓展篇
20．已知，则的大小关系为 .
21．在平面直角坐标系中，将函数的图像绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图像，则称函数为“函数”.若函数为“函数”，则实数的取值范围是 .
22．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数为增函数，求的值；
23．在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．
(1)判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由；
(2)已知函数是“旋转函数”，求的最大值；
(3)若函数是“旋转函数”，求的取值范围．
24．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是一个函数的图象，即函数的图象与直线至多有1个交点，则称函数具有“α旋转不变性”.
(1)证明：函数，具有“旋转不变性”；
(2)若函数具有“旋转不变性”，求m的取值范围.
25．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．