2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用3.1导数的概念及其意义、导数的运算(2大考点+8大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用3.1导数的概念及其意义、导数的运算(2大考点+8大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共13页。
\l "_Tc201495658" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc201495658 \h 3
\l "_Tc201495659" 一、导数定义与几何意义 PAGEREF _Tc201495659 \h 3
\l "_Tc201495660" 二、导数的计算 PAGEREF _Tc201495660 \h 3
\l "_Tc201495661" 常用二级结论 PAGEREF _Tc201495661 \h 4
\l "_Tc201495662" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc201495662 \h 6
\l "_Tc201495663" 题型一：导数的运算 PAGEREF _Tc201495663 \h 6
\l "_Tc201495664" 题型二：求切线方程 PAGEREF _Tc201495664 \h 7
\l "_Tc201495665" 题型三：以值代参解决切线问题 PAGEREF _Tc201495665 \h 8
\l "_Tc201495666" 题型四：利用切线方法解决距离最值问题 PAGEREF _Tc201495666 \h 9
\l "_Tc201495667" 题型五：切线条数 PAGEREF _Tc201495667 \h 10
\l "_Tc201495668" 题型六：切线问题之弦长问题 PAGEREF _Tc201495668 \h 11
\l "_Tc201495669" 题型七：公切线问题 PAGEREF _Tc201495669 \h 12
\l "_Tc201495670" 题型八：切线新定义问题 PAGEREF _Tc201495670 \h 13
\l "_Tc201495671" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc201495671 \h 16
\l "_Tc201495672" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc201495672 \h 17
\l "_Tc201495673" ①数形结合 PAGEREF _Tc201495673 \h 17
\l "_Tc201495674" ②转化与化归 PAGEREF _Tc201495674 \h 17
\l "_Tc201495675" ③分类讨论 PAGEREF _Tc201495675 \h 17
\l "_Tc201495676" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc201495676 \h 19
\l "_Tc201495677" 基础过关篇 PAGEREF _Tc201495677 \h 19
\l "_Tc201495678" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc201495678 \h 21
1、了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2、通过函数图象，理解导数的几何意义.
3、能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.
一、导数定义与几何意义
1、①函数从到的平均变化率为：.
变式：.
②函数在处附近的平均变化率为：.
③平均变化率的几何意义：割线的斜率；
平均变化率的物理意义：平均速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）.
2、函数在处的瞬时变化率（导数）：.
几何意义：切线的斜率；
物理意义：瞬时速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）.
变式：①，②，③
3、导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线上的点处切线的斜率
即，因此切线方程是：.
二、导数的计算
1、基本初等函数的导数公式：①若，则，简记为为常数)
②若，则，简记为
③若，则，简记为
④若，则，简记为
⑤若，则，简记为
⑥若，则，简记为
⑦若，则，简记为
⑧若，则，简记为
2、和差积商法则：①；②；
③；④．
3、复合函数的求导法则：
复合函数的导数与函数，的导数间的关系是
常用二级结论
1、切线问题
(1)在某点的切线方程
思路：函数在点处的切线方程为：，关键
(2)过某点的切线方程
思路：设切点为，则斜率
过切点的切线方程为，又因为切线方程过点
所以然后解出的值带入切线方程即可．（有几个值，就有几条切线）
过点与在点处的区别
在点处的切线指的是为切点的切线．
过点的切线是指切线过点，点是否切点均可，切线可多条．

(3)公切线问题
若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求公切线
思路：设直线与和的切点分别为和，
写切线，，
化斜截：，
斜率相等，截距相等：
两个方程解两个未知数，解出，带入所写切线即可．
(4)切线求参
①已知切线的斜率，则由，可求出切点坐标．
②若在点处的切线过点，则．
③直线与二次函数或二次曲线相切时，用判别式法．
题型一：导数的运算
【典例1-1】（2025·江苏盐城·三模）若，则（ ）
A．0B．2C．－2D．－4
【典例1-2】已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题总结】
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
【变式1-1】（2025·高三·河北邢台·期末）向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【变式1-3】求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【变式1-4】已知函数满足,求的解析式
题型二：求切线方程
【典例2-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2025·甘肃白银·二模）已知函数在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.
【变式2-1】（2025·陕西安康·模拟预测）已知曲线与倾斜角为且横截距为a的直线l相切，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-2】（2025·河北·模拟预测）已知函数，则的图象在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】（2025·内蒙古赤峰·三模）曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．B．1C．D．
题型三：以值代参解决切线问题
9．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（ ）
A．1B．C．eD．
【典例3-1】（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【解题总结】
已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．
【典例3-2】（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ．
【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（ ）
A．0B．1C．-1D．
【变式3-2】若曲线在点处的切线斜率为3，则a的值为（ ）
A．1B．2C．1或2D．1或
【变式3-3】（2025·陕西咸阳·三模）若曲线与曲线相切，则的值是（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【变式3-4】（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【变式3-5】（2025·新疆·模拟预测）已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（ ）
A．1B．C．D．
题型四：利用切线方法解决距离最值问题
【典例4-1】（2025·安徽·三模）已知且，若定义，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【典例4-2】（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
利用导数的几何意义求最值问题
【变式4-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知点，点，则的最小值为 ．
【变式4-2】（2025·甘肃·模拟预测）已知，分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 .
【变式4-3】（2025·山西·模拟预测）已知点，，定义为的“镜像距离”，若点在曲线上，则的“镜像距离”的最小值为 .
【变式4-4】（2025·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 ．
【变式4-5】（2025·高三·山东淄博·期末）已知实数x，y满足，则的最小值为 ．
题型五：切线条数
【典例5-1】已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例5-2】（2025·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值，有多少个解对应有多少条切线．
【变式5-1】（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（ ）.
A．B．C．D．
【变式5-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，且的图象在处的切线与曲相切，符合情况的切线（ ）
A．有条B．有条C．有条D．有条
【变式5-3】（2025·湖北武汉·三模）已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
题型六：切线问题之弦长问题
【典例6-1】（2025·河南·三模）已知函数点，在曲线上（在第一象限），过，的切线相互平行，且分别交轴于，两点，则的最小值为 ．
【典例6-2】已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
【解题总结】
利用导数的几何意义进行转化
【变式6-1】若直线与函数和的图象分别相切于点，则（ ）
A．2B．C．D．
【变式6-2】（2025·高三·湖北·期末）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交轴于两点，则 ，的取值范围是 ．
【变式6-3】（2025·高三·江苏无锡·期末）已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为 .
【变式6-4】设函数，曲线在点和点的两条切线相互垂直，且分别交轴于两点，则 ；的取值范围是 .
【变式6-5】已知曲线在点处的切线与轴相交于点，曲线在点处的切线与轴相交于点，，则 ，当时，的取值范围是 .
题型七：公切线问题
【典例7-1】（2025·河北·模拟预测）若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是 .
【典例7-2】若直线既与曲线相切，又与曲线相切，则 .
【解题总结】
公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.
【变式7-1】已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是
【变式7-2】（2025·辽宁·二模）若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围是 ．
【变式7-3】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 .
【变式7-4】一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ．
【变式7-5】（2025·安徽黄山·二模）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，过分别作曲线与的切线，且与关于轴对称，求证:.
题型八：切线新定义问题
【典例8-1】若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为 .
【典例8-2】（多选题）（2025·吉林·三模）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作的切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，使得当很大时，很小，我们可以把的值作为的近似值．已知函数是函数的一个零点，取，则下列说法正确的是（ ）
A．切线的方程为B．
C．D．若，则
【解题总结】
数形结合处理
【变式8-1】已知曲线：，第一象限内的点和第二象限内的点都在曲线上，且直线过点．按照如下方式依次构造点（）：过点作曲线的切线与轴交于点，过点作轴的垂线与曲线相交于点，设点的横坐标为．用同样的方式构造点（），设点的坐标为，则数列的前项和为 ．
【变式8-2】（2025·四川成都·三模）牛顿法（Newtn＇smethd）是牛顿在世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：、、、，根据已有精确度，当时，给出近似解.已知函数，其中.
(1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留小数点后第二位）
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题.
（i）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小；
（ii）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：.（参考数据：，时，）
【变式8-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Isaac Newtn，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解．具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与x轴交于点，并称为r的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与x轴交于点，称为r的2次近似值．一般地，在点处作曲线的切线，记与x轴交于点，并称为r的次近似值．
(1)若函数，取作为r的初始近似值，求r的2次近似值；
(2)若函数，取作为r的初始近似值，点，数列是由，，，…，构成的，记：，．回答以下问题：
①请将的长度用n表示；
②求证：．
1．（2025年高考全国一卷数学真题）若直线是曲线的切线，则 .
2．（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
①数形结合
1．已知曲线：与曲线在第一象限交于点A，在A处两条曲线的切线倾斜角分别为，则
A．B．C．D．
2．过点有n条直线与函数的图像相切，当n取最大值时，m的取值范为
A．B．C．D．
3．已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线垂直，则实数m的取值范围是
A．B．
C．D．
②转化与化归
4．若直线与曲线相切，则的最小值为
A．B．1C．D．2
5．若过点可以作曲线的两条切线，则
A．B．C．D．
6．若是的切线，则的取值范围为
A．B．C．D．
③分类讨论
7．已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的取值范围为
A．B．C．D．
8．已知，使得命题“曲线在点处的切线与曲线没有公共点”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
9．直线是曲线和的公切线，则
A．B．0C．0或D．
基础过关篇
1．（2025·河南许昌·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于M，N两点，C在M，N两点处的切线相交于点P.则下列四个点中，可以为线段PF中点的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·湖北荆州·模拟预测）一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线形成的空隙（如图），曲线可以近似看作函数的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
4．（2025·云南·模拟预测）若存在，函数与的图象在公共点处的切线相同，则b的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
5．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ）
A．B．C．1D．e
6．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
9．（多选题）（2025·山东·三模）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．当时，
B．函数有2个零点
C．函数在点处的切线方程为
D．，都有
10．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，则（ ）
A．函数仅有一个零点
B．若函数在点处与x轴相切，则
C．
D．若为增函数，则
11．（2025·福建福州·模拟预测）已知曲线在A，B两点处的切线垂直于y轴．若直线AB的斜率为，则实数c的取值范围为 ．
12．（2025·云南昭通·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿（1643～1727）在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．如图，在横坐标为的点处作图象的切线，该切线与轴的交点的横坐标为；在横坐标为的点处作图象的切线，该切线与轴的交点的横坐标为；一直继续下去，得到，它们越来越逼近的零点．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点．用“牛顿法”求方程的近似解，可以构造函数，若，则用牛顿法得到的近似值约为 ．（结果保留两位小数）
13．（2025·广东·三模）若函数是偶函数，是奇函数，已知存在点，，使函数在、点处的切线斜率互为倒数，那么 .
14．（2025·上海杨浦·三模）若有唯一解，则的范围是
15．（2025·安徽合肥·模拟预测）曲线在处的切线与直线平行，则 ．
16．（2025·天津北辰·三模）设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 .
17．（2025·河南·模拟预测）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为 .
18．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
19．（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
20．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
能力拓展篇
21．（2025·山东德州·三模）已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则 ．
22．（2025·陕西安康·模拟预测）已知为奇函数，且当时，取得极小值，过点至少能作出曲线的两条切线，且恒成立，则实数的取值范围为 ．
23．（2025·河北·模拟预测）已知P是曲线上任意一点，过点P向y轴引垂线，垂足为H，Q是曲线上任意一点，则的最小值为 ．
24．（2025·安徽·模拟预测）已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 ．
3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc201495657" 01 课标要求 PAGEREF _Tc201495657 \h 2
\l "_Tc201495658" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc201495658 \h 3
\l "_Tc201495659" 一、导数定义与几何意义 PAGEREF _Tc201495659 \h 3
\l "_Tc201495660" 二、导数的计算 PAGEREF _Tc201495660 \h 3
\l "_Tc201495661" 常用二级结论 PAGEREF _Tc201495661 \h 4
\l "_Tc201495662" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc201495662 \h 6
\l "_Tc201495663" 题型一：导数的运算 PAGEREF _Tc201495663 \h 6
\l "_Tc201495664" 题型二：求切线方程 PAGEREF _Tc201495664 \h 9
\l "_Tc201495665" 题型三：以值代参解决切线问题 PAGEREF _Tc201495665 \h 11
\l "_Tc201495666" 题型四：利用切线方法解决距离最值问题 PAGEREF _Tc201495666 \h 14
\l "_Tc201495667" 题型五：切线条数 PAGEREF _Tc201495667 \h 18
\l "_Tc201495668" 题型六：切线问题之弦长问题 PAGEREF _Tc201495668 \h 22
\l "_Tc201495669" 题型七：公切线问题 PAGEREF _Tc201495669 \h 27
\l "_Tc201495670" 题型八：切线新定义问题 PAGEREF _Tc201495670 \h 32
\l "_Tc201495671" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc201495671 \h 41
\l "_Tc201495672" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc201495672 \h 43
\l "_Tc201495673" ①数形结合 PAGEREF _Tc201495673 \h 43
\l "_Tc201495674" ②转化与化归 PAGEREF _Tc201495674 \h 46
\l "_Tc201495675" ③分类讨论 PAGEREF _Tc201495675 \h 47
\l "_Tc201495676" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc201495676 \h 50
\l "_Tc201495677" 基础过关篇 PAGEREF _Tc201495677 \h 50
\l "_Tc201495678" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc201495678 \h 64
1、了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2、通过函数图象，理解导数的几何意义.
3、能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.
一、导数定义与几何意义
1、①函数从到的平均变化率为：.
变式：.
②函数在处附近的平均变化率为：.
③平均变化率的几何意义：割线的斜率；
平均变化率的物理意义：平均速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）.
2、函数在处的瞬时变化率（导数）：.
几何意义：切线的斜率；
物理意义：瞬时速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）.
变式：①，②，③
3、导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线上的点处切线的斜率
即，因此切线方程是：.
二、导数的计算
1、基本初等函数的导数公式：①若，则，简记为为常数)
②若，则，简记为
③若，则，简记为
④若，则，简记为
⑤若，则，简记为
⑥若，则，简记为
⑦若，则，简记为
⑧若，则，简记为
2、和差积商法则：①；②；
③；④．
3、复合函数的求导法则：
复合函数的导数与函数，的导数间的关系是
常用二级结论
1、切线问题
(1)在某点的切线方程
思路：函数在点处的切线方程为：，关键
(2)过某点的切线方程
思路：设切点为，则斜率
过切点的切线方程为，又因为切线方程过点
所以然后解出的值带入切线方程即可．（有几个值，就有几条切线）
过点与在点处的区别
在点处的切线指的是为切点的切线．
过点的切线是指切线过点，点是否切点均可，切线可多条．

(3)公切线问题
若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求公切线
思路：设直线与和的切点分别为和，
写切线，，
化斜截：，
斜率相等，截距相等：
两个方程解两个未知数，解出，带入所写切线即可．
(4)切线求参
①已知切线的斜率，则由，可求出切点坐标．
②若在点处的切线过点，则．
③直线与二次函数或二次曲线相切时，用判别式法．
题型一：导数的运算
【典例1-1】（2025·江苏盐城·三模）若，则（ ）
A．0B．2C．－2D．－4
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以，
则.
故选：C.
【典例1-2】已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为3，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】根据题意，函数在区间上的平均变化率为：
，
所以 .
故选：B.
【解题总结】
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
【变式1-1】（2025·高三·河北邢台·期末）向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大，
故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求.
故选：C.
【变式1-2】求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【解析】（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）．
（5）．
【变式1-3】求下列函数的导数.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解析】（1）.
（2）
（3）
（4），
由，
.
【变式1-4】已知函数满足,求的解析式
【解析】，
令得：，故，
故，令得，
故，
故.
题型二：求切线方程
【典例2-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】求导得：，则，
又因为，所以曲线在点处的切线方程为，
则与轴相交于点，与轴相交于点，
所以与两坐标轴所围成的三角形的面积为，
故选：C.
【典例2-2】（2025·甘肃白银·二模）已知函数在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意有，
所以切线方程为，即，
故选：C.
【解题总结】
处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”.
【变式2-1】（2025·陕西安康·模拟预测）已知曲线与倾斜角为且横截距为a的直线l相切，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】倾斜角为且横截距为a的直线l为，即得，
曲线与直线l相切，
设切点为，因为，
所以且，
所以，
所以，
设，
因为，所以，
所以当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
所以，所以
所以，即得.
故选：B.
【变式2-2】（2025·河北·模拟预测）已知函数，则的图象在点处的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对求导：.
将代入中，可得切线的斜率.
已知切线过点，斜率为，根据点斜式方程，可得切线方程为.
将其化简为一般式： ，
的图象在点处的切线方程是.
故选：D.
【变式2-3】（2025·内蒙古赤峰·三模）曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】设函数，则，则，
所以曲线在点处的切线方程为，直线在坐标轴上的截距为.
故曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为.
故选 ：A
题型三：以值代参解决切线问题
9．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（ ）
A．1B．C．eD．
【答案】A
【解析】，，
设切点坐标为，则，
消去k，得，所以.
故选：A
【典例3-1】（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【解析】设直线与曲线的切点为，
对求导，得，直线的斜率为1，
导数的几何意义知，在切点处，即．
又切点既在直线上又在曲线上，
且，即．
将代入，得：，即．
故选：A
【解题总结】
已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．
【典例3-2】（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】，
设直线与曲线相切于点，则且，
解得，所以，从而得，所以，
设，，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
【变式3-1】（2025·河南·模拟预测）已知曲线的一条切线的方程为，则实数（ ）
A．0B．1C．-1D．
【答案】B
【解析】与的图象相切，设切点为，
则，故，
由，即，将代入上式，得，故.
故选：B.
【变式3-2】若曲线在点处的切线斜率为3，则a的值为（ ）
A．1B．2C．1或2D．1或
【答案】D
【解析】，当时，，解得：或.
故选：D
【变式3-3】（2025·陕西咸阳·三模）若曲线与曲线相切，则的值是（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】当时，；
当时，.
因为的定义域为，
所以两曲线的切点在上.
对求导得.
因为两曲线相切，所以在切点处它们的斜率相等，即.
解方程，解得.
把代入得，所以切点坐标为.
把切点代入得，即.
因为，所以.
故选：B.
【变式3-4】（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】设直线与曲线的切点为.
对求导，根据，可得.
因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知，
在切点处，即.
又因为切点既在直线上又在曲线上，
所以且，即.
将代入可得：，即.
将代入可得：
，
所以当，时，取得最小值为.
故选：A
【变式3-5】（2025·新疆·模拟预测）已知函数图象过点且在该点处的切线的斜率为1，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意有，，
又，即，
，，.
故选：D.
题型四：利用切线方法解决距离最值问题
【典例4-1】（2025·安徽·三模）已知且，若定义，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解析】
设，，，垂直于直线，为垂足，为抛物线的焦点，
易得曲线过点的切线为，与之垂直的直线方程为，恰好通过点，
所以.
故选：D.
【典例4-2】（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，
因，则，
故曲线和直线无交点，
，则，令，解得，
则曲线上的点到直线的距离，
则的最小值为.
故选：A
【解题总结】
利用导数的几何意义求最值问题
【变式4-1】（2025·辽宁·模拟预测）已知点，点，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】易知点在函数上,
设,化简得,即
则点在以为圆心,半径为1的圆周上,
如图所示,可知两点间的最小值,即为点到圆心得最小值减去半径即可.
设圆心为,可知,
设函数,求导得
易知为单调增函数,且,
所以当时，,在单调递减, 当时，,在单调递增,
在上有最小值,最小值,
所以的最小值为.
故答案为: .
【变式4-2】（2025·甘肃·模拟预测）已知，分别为曲线和直线上的点，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】由题意得的最小值为曲线上点到直线距离的最小值，
此时点就是曲线与直线相切的切点，
对求导有，由可得，即，
故.
故答案为：.
【变式4-3】（2025·山西·模拟预测）已知点，，定义为的“镜像距离”，若点在曲线上，则的“镜像距离”的最小值为 .
【答案】
【解析】设，，
易知函数的反函数为，
由点在曲线上可知点在函数上，
所以相当于上的点到曲线上点的距离，
又与的图象关于对称，所以的“镜像距离”的最小值为点到的距离的最小值的2倍.
由，得，令，解得，
又点到直线的距离，
所以的“镜像距离”的最小值为.
故答案为：
【变式4-4】（2025·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意得，即圆心在上，半径为，
故的最小值等于的最小值减去半径，
设，由于与关于对称，
的最小值等于到直线的距离的最小值的2倍，
由，可得，令，解得，
故在点处的切线与平行，此时到的距离最小，
最小值为，
故的最小值为，
则的最小值等于.
故答案为：
【变式4-5】（2025·高三·山东淄博·期末）已知实数x，y满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意得，，
即求曲线上一点到距离最小值，
又因为在直线上，
所以当切线与直线平行时，距离取得最小值，
令，解得或（舍去），
当时，点到直线距离为，
即所求曲线上一点到距离最小值为.
故答案为：
题型五：切线条数
【典例5-1】已知函数若过点存在条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设切点坐标为.
由题意得，
所以函数的图像在点处的切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，
则，由题意可知，这个方程有三个不等实根.
设，则，
由得，由得或.
所以函数在和上单调递减，
在上单调递增，又当趋近于正无穷时，趋近于；
当趋近于负无穷，趋近于正无穷，且，
所以的大致图象如图，
所以要使直线与函数的图象有三个交点，
则.
故选：C
【典例5-2】（2025·山东潍坊·三模）过点有条直线与函数的图像相切，当取最大值时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，，故当时，，单调递减，且；当时，，单调递增，结合图象易得，过点至多有3条直线与函数的图像相切，故.
此时，设切点坐标为，则切线斜率，所以切线方程为，将代入得，存在三条切线即函数有三个不同的根，又，易得在上，，单调递增；在和上，，单调递减，画出图象可得当，即时符合题意
故选：B
【解题总结】
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值，有多少个解对应有多少条切线．
【变式5-1】（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
设切点为，则切线方程，
而过，将代入方程得到，
令，，
令，，此时单调递减，
令，，此时单调递增，
故有极小值，有极大值，
则得到，故A正确.
故选：A.
【变式5-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，且的图象在处的切线与曲相切，符合情况的切线（ ）
A．有条B．有条C．有条D．有条
【答案】A
【解析】函数的导数为，
故曲线在 处的切线l的斜率为 ,切点为，
可得切线的方程为 .
假设l与曲线相切,设切点为 ，，
即有 ，
消去a得 ,设 ，
则 ,令 ，则 ，令 ，则 ，
所以在 上单调递减,在 上单调递增，则，
当 ，
所以在有唯一零点 ,则 ，
而 时,,与矛盾，所以符合情况的切线不存在，
故选：A.
【变式5-3】（2025·湖北武汉·三模）已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
【答案】B
【解析】函数，对其求导得.
设切点为，则切线斜率为
又，
所以切线方程为，
化简得.
将切线方程和曲线方程联立得：
整理得，
因式分解得，
解得或，
因为切线与曲线有且只有一个公共点，
所以，解得，
此时切线方程为，对应唯一一条满足条件的直线，
故选：B.
题型六：切线问题之弦长问题
【典例6-1】（2025·河南·三模）已知函数点，在曲线上（在第一象限），过，的切线相互平行，且分别交轴于，两点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】易知，设，则，
设切线斜率为，则，所以，
设，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以的最小值为，所以的最小值为．
故答案为：
【典例6-2】已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意，，则，
所以点和点，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案为：
【解题总结】
利用导数的几何意义进行转化
【变式6-1】若直线与函数和的图象分别相切于点，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，
因为，，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即，
函数的图象在点处的切线方程为，即，
因为直线是两函数图象的公切线，所以，
由①可得，代入②得，
因为，所以，所以，，
所以.
故选：C．
【变式6-2】（2025·高三·湖北·期末）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交轴于两点，则 ，的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，，故，
所以函数的图象在点处的切线斜率为，
切线方程为，
所以，
当时，，，
所以函数的图象在点处的切线斜率为，
切线方程为
所以，
因为函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，、
所以，即，
所以，
，
，
所以，
由于，所以，
所以，
因为，所以，所以
所以的取值范围是
故答案为：；.
【变式6-3】（2025·高三·江苏无锡·期末）已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】当时，，，则，
当时，，，则，
因为函数的图象在点和点处的两条切线相互平行，
则，即，则，
，，
所以，，
令，其中，则，
当时，，此时函数在上单调递减，
当时，，此时函数在上单调递增，
所以，，因此，的取值范围是.
故答案为：.
【变式6-4】设函数，曲线在点和点的两条切线相互垂直，且分别交轴于两点，则 ；的取值范围是 .
【答案】 2
【解析】当时，；当时，，
依题意可知，且，
切线分别是，
，
故，
由两切线垂直知，
；
由两点间的距离公式得，，
.
故答案为：；
【变式6-5】已知曲线在点处的切线与轴相交于点，曲线在点处的切线与轴相交于点，，则 ，当时，的取值范围是 .
【答案】
【解析】空1：由，，则，，
又，即，故，
所以，
空2：令，则，，
所以，，
令得：，，
由上结论及函数图象知，在与上两曲线所成图形有轴对称关系，
只需研究，此时的范围即可，
令，则，即在上递增，
所以，即.
故答案为：；.
题型七：公切线问题
【典例7-1】（2025·河北·模拟预测）若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】设公切线分别切，于点.
则有以下关系式：①，②
由①得：代入②式变形得：，又.
令，原命题化为：有两解.
，令，
则，为上的减函数.
又注意到，则在区间上，，在区间上递增，
结合，，则此时值域为；
在区间上，，在区间上递减，
结合，则此时值域为.
则当时，存在，使.
故的取值范围是.
故答案为：.
【典例7-2】若直线既与曲线相切，又与曲线相切，则 .
【答案】/
【解析】设与和的切点分别为，
由导数的几何意义可得，得，
再由切点也在各自的曲线上，可得，联立上述式子解得，
从而得出.
故答案为：
【解题总结】
公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解.
【变式7-1】已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是
【答案】
【解析】由题意可知在上分别存在两个点，使得在处的切线与在处的切线为同一条直线，
因为，由同一条切线的斜率相等可得，
由同一条切线的截距相等，可得，
即，
将斜率相等的表达式代入可得，
即方程在上有解，
令，则，
令，得，当时，；当时，，
且当时，；当时，，
所以存在极大值同时也是最大值，所以的值域为，
若方程在上有解，则，
又，所以.
故答案为：.
【变式7-2】（2025·辽宁·二模）若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意知，，
设公切线分别与曲线，相切于点，，则，，
所以公切线方程为，，
即，，所以，，
所以，
令，，，
所以，由，得,由，得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，且时，，时，，
所以．
故答案为：.
【变式7-3】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则 .
【答案】/
【解析】曲线在点处的切线与曲线相切于点，
，
∴曲线在点处的切线斜率，
曲线在点处的切线斜率，
∴曲线在点处的切线方程为，
或，
，即，
，易知，，
.
故答案为：.
【变式7-4】一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ．
【答案】-2
【解析】因为，，所以，，
则在点处的切线方程为，即；
在点处的切线方程为：，即，
由已知，由得，故，
故，解得，
所以，因此．
故答案为：．
【变式7-5】（2025·安徽黄山·二模）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，过分别作曲线与的切线，且与关于轴对称，求证:.
【解析】(1) 求出，分五种情讨论，分别令得增区间，得减区间；（2）根据导数的几何意义可求出两切线的斜率分别为，根据切点处两函数纵坐标相等可得关于的两个等式，由其中一个等式求得的范围，再根据另一个等式利用导数求得的范围.
试题解析：由已知得，所以.
(1). ① 若，当或时，；当时，，所以的单调递增区间为；
单调递减区间为. ②若，当时，；当时，，所以的单调递增区间为；单调递减区间为. ③ 若，当或时，；当时，，所以的单调递增区间为；单调递减区间为.④若，故的单调递减区间为.⑤若，当或时，；当时，，所以的单调递增区间为；单调递减区间为.
当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.
当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.当时，的单调递增区间为；单调递减区间为.
当时，的单调递减区间为；当时，单调递增区间为 ；
单调递减区间为,；
(2),设的方程为，切点为，则，所以.由题意知，所以的方程为，设与的切点为，则.
又,即，令，在定义域上，，所以上，是单调递增函数，又，所以，即，令，则，所以，故
.
题型八：切线新定义问题
【典例8-1】若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为 .
【答案】
【解析】
由题意和的公共定义域为，结合大致图象可知，在上，.
设直线，直线与在上的图象切于点，与在上的图象切于点，
，，则，
则，且，联立解得，，
所以公切线的斜率，结合图象可知，“隔离直线”的斜率的取值范围为.
故答案为：.
【典例8-2】（多选题）（2025·吉林·三模）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作的切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，使得当很大时，很小，我们可以把的值作为的近似值．已知函数是函数的一个零点，取，则下列说法正确的是（ ）
A．切线的方程为B．
C．D．若，则
【答案】ACD
【解析】，，，所以切线的方程为，故A正确；
令，得，，，所以，令，有，故B错误；
在横坐标为的点处的切线斜率为，
所以在横坐标为的点处的切线方程为，令，则，故C正确；
因为在上恒成立，所以在上单调递增．
，则．
由零点存在性定理可知，在上存在唯一零点，且．
，则．
．
要证，只需证，
只需证，即证，
，
成立．
，故D正确．
故选：ACD.
【解题总结】
数形结合处理
【变式8-1】已知曲线：，第一象限内的点和第二象限内的点都在曲线上，且直线过点．按照如下方式依次构造点（）：过点作曲线的切线与轴交于点，过点作轴的垂线与曲线相交于点，设点的横坐标为．用同样的方式构造点（），设点的坐标为，则数列的前项和为 ．
【答案】
【解析】因为第一象限内的点和第二象限内的点都在曲线上，且直线过点，
设直线方程为，联立方程消去得，
所以，
由求导可得，
由题意可得点在曲线上，则，
过点的切线方程为，代入整理得，
令解得，根据题意可得，即，
所以数列是公比为的等比数列，同理可得也是公比为的等比数列，
所以，，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以数列的前项和，
故答案为：
【变式8-2】（2025·四川成都·三模）牛顿法（Newtn＇smethd）是牛顿在世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：、、、，根据已有精确度，当时，给出近似解.已知函数，其中.
(1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留小数点后第二位）
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题.
（i）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小；
（ii）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：.（参考数据：，时，）
【解析】（1）当时，令，
则，
曲线在处的切线为，
令，得，则.
，，
曲线在处的切线为，
令，得，则.
故用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为.
（2）（i）设点的坐标为，则，
，则
曲线在点处的切线方程为，即，
令，即，则.
因为在上单调递增，
所以在上单调递增.
又因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意的正实数都有，
即当时，都有.
（ii）证明：因为在上单调递增，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是在的极小值点，也是在的最小值点，
即.
又，所以当方程有两个根时，
必满足，且，
曲线过点和点的割线方程为.
下面证明：.
设，
则，令，得，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，，
在上单调递增，，
所以当时，，即.
因为，所以，解得①.
曲线过点和点的割线方程为.
下面证明：.
设，
则，即在上单调递增，
，.
因为，
所以，即，
所以，即.
由零点存在性定理可知，存在，使得，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，，
在上单调递增，，
所以当时，，即.
因为，所以，解得②.
由②①，得，
即证得.
【变式8-3】（2025·安徽合肥·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Isaac Newtn，1643—1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法：用“作切线”的方法求方程的近似解．具体步骤如下：设r是函数的一个零点，任意选取作为r的初始近似值，在点处作曲线的切线，设与x轴交于点，并称为r的1次近似值；在点处作曲线的切线，设与x轴交于点，称为r的2次近似值．一般地，在点处作曲线的切线，记与x轴交于点，并称为r的次近似值．
(1)若函数，取作为r的初始近似值，求r的2次近似值；
(2)若函数，取作为r的初始近似值，点，数列是由，，，…，构成的，记：，．回答以下问题：
①请将的长度用n表示；
②求证：．
【解析】（1）由得，，又，得，
在处的切线的方程为：，令，得到，
所以，得到，所以，
在处的切线的方程为：，
令，得到，故r的2次近似值为；
（2）①由，得，
，，，得，，
同理：在点处的切线斜率为，
，将代入得，
所以或，若，则，，…，重合，与题设矛盾，故舍去，
，故数列是首项为，公比为的等比数列，得到，
由抛物线的定义：，故；
②由题意得：，
由①知：，，，
得，
而，时，，
得，故，
所以，将代入，
得
，故命题得证．
1．（2025年高考全国一卷数学真题）若直线是曲线的切线，则 .
【答案】
【解析】法一：对于，其导数为，
因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，
令，即，解得，
将代入切线方程，可得，
所以切点坐标为，
因为切点在曲线上，
所以，即，解得.
故答案为：.
法二：对于，其导数为，
假设与的切点为，
则，解得.
故答案为：.
2．（2022年新高考全国II卷数学真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
【答案】
【解析】[方法一]：化为分段函数，分段求
分和两种情况，当时设切点为，求出函数
导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
因为是偶函数，图象为：
所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可.
①数形结合
1．已知曲线：与曲线在第一象限交于点A，在A处两条曲线的切线倾斜角分别为，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
设，
，
解得或舍去，则，
设曲线在点A处的切线斜率为，曲线在点A处的切线斜率为，
由，得，
圆：，，
则，即，
故，
设，，则，
所以，
即，
因为，
所以，即．
故选：
2．过点有n条直线与函数的图像相切，当n取最大值时，m的取值范为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设切点为，
因为，
所以切线斜率，切线方程为，
又切线过点，
所以
由于有n条直线与函数的图像相切，
所以有n个不相等的实根，
令，则，
令得或，
当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当x趋近于时，趋近于0，，，
当x趋近于时，趋近于，
所以函数的图像大致如图，
由图象可知，直线与的图象最多有3个交点，即n取最大值3，
m的取值范围为
3．已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线垂直，则实数m的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
令，整理得，由题意得此方程有两个不同的解；
设，则函数的图象与直线有两个交点；
易知，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，其图象如下图所示：
又当时，，当时，，
当x趋近于时，趋近于0，所以，解得，
即实数m的取值范围是
故选：
②转化与化归
4．若直线与曲线相切，则的最小值为
A．B．1C．D．2
【答案】A
【解析】
设切点的坐标为，
由，得，
则，即，
则，
则，
则
当时，的最小值为
故选
5．若过点可以作曲线的两条切线，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
设切点为根据两点之间斜率和导数的几何意义，
易知，整理得：有两解，
令，
，易知最大值为
即，
解得，
又因为当x趋近正无穷时，
当x趋近负无穷时，趋近，则
综上，
故选
6．若是的切线，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
因为，所以，设切点为，则，
，可得，，
令，求导可得，
当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以当处取得最小值，且为，
即，
故选：
③分类讨论
7．已知函数在点处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
函数的导数为，
可得在点处的切线的斜率为，
则切线的方程为，即，
由切线与曲线只有一个公共点，
可得当时，由，解得，成立；
当时，可得，即有两个相等的实数根，
即，解得或9，
综上，可得
故选：
8．已知，使得命题“曲线在点处的切线与曲线没有公共点”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
因为，
所以，
则曲线在点处的切线斜率，
由点斜式得切线方程为，即，
联立，得，
因为切线与曲线没有公共点，
所以方程没有实数解，
当时，方程有唯一解，不满足题意，
当时，，可得
综上所述，，
由，符合题意．
故选
9．直线是曲线和的公切线，则
A．B．0C．0或D．
【答案】C
【解析】
对于，求导得，设切点为，
则在该点处的斜率为，
则切线方程为，即，
对于，求导得，设切点为，
则在该点处的斜率为，
则切线方程为，即，
因为是公切线，
所以，即，
所以，即，所以，
即或，解得或，
当时，此时，，所以；
当时，此时，，所以，
所以或，
故选：
基础过关篇
1．（2025·河南许昌·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于M，N两点，C在M，N两点处的切线相交于点P.则下列四个点中，可以为线段PF中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】不妨设，，，
由可得，则，
于是在点处的切线方程为，
又，化简方程得，
同理得C在点N处的切线方程为，
又两切线交于点，故得，
即点，都在直线上，也即直线MN的方程为，
因为点在直线MN上，代入得，得，故线段PF的中点为，
故选项中可以为线段PF中点是.
故选：A
2．（2025·湖北荆州·模拟预测）一个小孩玩滚珠子游戏，试图将大小不一的圆珠通过由曲线形成的空隙（如图），曲线可以近似看作函数的图象，要使圆珠通过空隙，则圆珠直径的取值范围应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数与的图象关于直线对称，
设与直线平行，且相切的直线方程为，切点为，
设与直线平行，且相切的直线方程为，切点为，
由解得，可得，
由解得，可得，
则，
则圆珠直径的取值范围应为.
故选：A.
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（ ）
A．-2B．2C．-1D．1
【答案】D
【解析】设直线与相切于，
则直线：，
直线与相切于，
则直线：，
因为曲线与有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同，
故，
则.
令，，
则在单调递增，且，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，于是有，
即.
故选：D.
4．（2025·云南·模拟预测）若存在，函数与的图象在公共点处的切线相同，则b的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【解析】由题意有：设切点为，
所以，所以，解得，，
令，所以，
令有，由有，有，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，故b的最大值为1.
故选：A.
5．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（ ）
A．B．C．1D．e
【答案】B
【解析】解法一：令，，则，
设直线与的切点为，
则切线方程为，即，
又因为，所以，解得，，所以切线方程为，
令，则，
设直线与的切点为，所以 ①，
又因为切点在直线上，所以，即 ②，
由①和②可得，所以，解得．
解法二：设切点分别为，，
．∴，．
同理．∴，∴，∴．
故选：B．
6．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，，
故两切线方程为，，
即，，
与存在公切线，所以有解，消去后得：，
令，，
易得在上单调递增，且时，；时，，
故在区间上递减，在上递增．
所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为．
故选：B．
7．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
则，
即该切线方程为，即，
令，则，令，则，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故选：A.
8．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
9．（多选题）（2025·山东·三模）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A．当时，
B．函数有2个零点
C．函数在点处的切线方程为
D．，都有
【答案】ACD
【解析】对于A，当时，则，,因为是定义在R上的奇函数,所以，故A对.
对于B，时，令,解得，由是定义在R上的奇函数，所以时，又；故函数有3个零点，故B不对.
对于C，对求导得，
所以，故所求切线为，即，所以C对.
对于D，当时，，，
当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，
且当时，，时，所以
由是定义在R上的奇函数，故当时，，因此对，都有，故D对.
故选：ACD.
10．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数，则（ ）
A．函数仅有一个零点
B．若函数在点处与x轴相切，则
C．
D．若为增函数，则
【答案】BCD
【解析】由题意得的定义域为，．
函数在点处与x轴相切，则，得，故B正确；
当时，，，
函数在上单调递增，则，
则，即，故C正确；
若为增函数，则在上恒成立，
则在上恒成立，在上恒成立，
即（当且仅当时取等），解得，故D正确；
令，则，解得或，
若，，，易知均大于0，则在上有两个零点，
不妨设，则，易知在和上单调递增，在上单调递减，
又时，时，，此时函数有三个零点，故A错误．
故选：BCD
11．（2025·福建福州·模拟预测）已知曲线在A，B两点处的切线垂直于y轴．若直线AB的斜率为，则实数c的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由函数，可得，
令，可得，设,
则，可得，
故
，
化简得：，
所以，解得，所以实数的取值范围为.
故答案为：
12．（2025·云南昭通·模拟预测）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿（1643～1727）在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．如图，在横坐标为的点处作图象的切线，该切线与轴的交点的横坐标为；在横坐标为的点处作图象的切线，该切线与轴的交点的横坐标为；一直继续下去，得到，它们越来越逼近的零点．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点．用“牛顿法”求方程的近似解，可以构造函数，若，则用牛顿法得到的近似值约为 ．（结果保留两位小数）
【答案】
【解析】由，，，，
所以在处的切线方程为：．
令，得，
可得，，
所以在处的切线方程为：，
令，得.
故答案为:．
13．（2025·广东·三模）若函数是偶函数，是奇函数，已知存在点，，使函数在、点处的切线斜率互为倒数，那么 .
【答案】
【解析】函数是偶函数，
可得，
即有
，①
是奇函数，
可得，
，
即为，②
由①②可得，，
，使得函数在点，处的切线斜率互为倒数，
可得，
可得，
即为，
即为，即有，
可得，，.
故答案为：.
14．（2025·上海杨浦·三模）若有唯一解，则的范围是
【答案】1
【解析】因为有唯一解，
所以的图象上只有一个点在直线上或者在直线下方，
直线过定点，
画出的图象上与直线的图象如图，
由图可知，当直线与曲线相交时，曲线上有无数个点在直线下方，不等式有无数个解；
当直线与曲线相离时，曲线上没有点在直线上或直线下方，不等式解集为空集；
当直线与曲线相切时，曲线上只有一点在直线上，不等式有唯一解，
设切点坐标为，因为，
所以，
故答案为：1.
15．（2025·安徽合肥·模拟预测）曲线在处的切线与直线平行，则 ．
【答案】1
【解析】函数的定义域为，由已知，故，
函数的导函数，所以，
因为函数在处的切线与直线平行，
所以，所以，经验证，此时满足题意．
故答案为：1
16．（2025·天津北辰·三模）设函数，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】存在唯一使
的整数解唯一，
令，则有有解，而绝对值不等式知，
当且仅当同号时等号成立，故此时异号，，图象如下所示：
①当时，，即有唯一整数解，
（i）若，知过定点，，
令与相切，切点为，其中，，
易得，即，解得，
时， 无解.
时，若使有唯一解，而，故该解只能为或，
若解为，则有，即，解得，如图2所示，
若解为，有，即，无解，故舍去.
（ii）若，知整数解为，此时有，即，解得，
②当时，，即有唯一整数解，由图（1）中①知该整数解为，
此时有，即，解得，即.
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
17．（2025·河南·模拟预测）已知对于，过点可作曲线的3条不同的切线，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】设切点坐标为，则，即，
整理得，令，
依题意，函数有3个不同的零点，求导得
，当时，，在上单调递减，值域为；
当时，，在是单调递增，值域为；
当时，在上单调递减，值域为，
由函数有3个零点，得，即，
解得，又，则，
所以的取值范围为.
故答案为：
18．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
【答案】
【解析】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
故答案为：
19．（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
20．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
【解析】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
（2），则在点处的切线方程为，整理得，
设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：
则的值域为，故的取值范围为.
能力拓展篇
21．（2025·山东德州·三模）已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则 ．
【答案】
【解析】因为和互为反函数，其图象关于直线对称，
且反比例函数的图象也关于直线对称，
可知点关于直线对称，
设，则，
设，则，
由题意可得：，解得或(舍去)，
可得，代入可得，所以．
故答案为：．
22．（2025·陕西安康·模拟预测）已知为奇函数，且当时，取得极小值，过点至少能作出曲线的两条切线，且恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为为奇函数，
所以，解得，
所以，.
因为当时，取得极小值，
所以，即，
即，即，解得，
此时，
经验证可得在处取得极小值，符合题意，
所以.
设过点的切线与切于点，
因为，
所以切线方程为，即,
所以，即.
由题意可得方程至少有两个不等的实数根.
设，
则.
令，得或；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增,
且时，；时，.
要方程至少有两个不等的实数根，
则，且等号不同时成立.
由，可得，
故，
所以恒成立.
因为恒成立，所以恒成立.
由，可得，所以恒成立.
设，
所以.
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以.
又时，，
所以，所以，
故实数的取值范围为.
故答案为:.
23．（2025·河北·模拟预测）已知P是曲线上任意一点，过点P向y轴引垂线，垂足为H，Q是曲线上任意一点，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】如图，
设抛物线的焦点为F，则，由抛物线的定义知，
所以，当且仅当三点共线时，等号成立，
设，则，令，
则，由复合函数单调性知，在上单调递增，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
，所以的最小值为.
故答案为：
24．（2025·安徽·模拟预测）已知点不在函数的图象上，且过点有三条直线与的图象相切，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】点不在函数的图象上，则，即，
设过点的直线与的图象相切于，
则切线的斜率，整理可得，
则问题可转化为有三个零点，
且，令，可得或，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
即当时，有极大值，当时，有极小值，
要使有三个零点，
则，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
0
1
0
0
0