2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用4.1　三角函数的概念、诱导公式(3大考点+7大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用4.1　三角函数的概念、诱导公式(3大考点+7大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共14页。
\l "_Tc202436988" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc202436988 \h 3
\l "_Tc202436989" 一、任意角与弧度制 PAGEREF _Tc202436989 \h 3
\l "_Tc202436990" 二、任意角的三角函数 PAGEREF _Tc202436990 \h 4
\l "_Tc202436991" 三、三角函数的诱导公式 PAGEREF _Tc202436991 \h 4
\l "_Tc202436992" 常用二级结论 PAGEREF _Tc202436992 \h 5
\l "_Tc202436993" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc202436993 \h 6
\l "_Tc202436994" 题型一：角及其表示 PAGEREF _Tc202436994 \h 6
\l "_Tc202436995" 题型二：弧度制及其应用 PAGEREF _Tc202436995 \h 7
\l "_Tc202436996" 题型三：三角函数的概念 PAGEREF _Tc202436996 \h 9
\l "_Tc202436997" 题型四：同角三角函数基本关系式 PAGEREF _Tc202436997 \h 9
\l "_Tc202436998" 题型五：诱导公式 PAGEREF _Tc202436998 \h 10
\l "_Tc202436999" 题型六：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 PAGEREF _Tc202436999 \h 11
\l "_Tc202437000" 题型七：割圆术问题 PAGEREF _Tc202437000 \h 12
\l "_Tc202437001" 04 好题赏析 PAGEREF _Tc202437001 \h 15
\l "_Tc202437002" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc202437002 \h 17
\l "_Tc202437003" ①数形结合 PAGEREF _Tc202437003 \h 17
\l "_Tc202437004" ②转化与化归 PAGEREF _Tc202437004 \h 18
\l "_Tc202437005" ③分类讨论 PAGEREF _Tc202437005 \h 18
\l "_Tc202437006" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc202437006 \h 19
\l "_Tc202437007" 基础过关篇 PAGEREF _Tc202437007 \h 19
\l "_Tc202437008" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc202437008 \h 22
1、了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
2、借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
3、理解同角三角函数的基本关系式.
4、掌握诱导公式，并会简单应用.
一、任意角与弧度制
1、各种角的集合：
2、注意角与角及的象限关系．
（1)图中序号表示角的象限，序号所在区域为角(或）的终边所在区域．
（2）由角的象限推理角及的象限，列不等式对进行赋值判断即可．
3、角度与弧度的互化公式：①，②，③
4、①弧长公式：，
②扇形面积公式：，其中．
二、任意角的三角函数
1、任意角的三角函数的定义：
(1)借助单位圆来定义
设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，
则：，，．
(2)设角终边上任意一点的坐标为，它到原点的距离为，
则：，，．
①定义域、值域：，定义域都是，值域都是；定义域是，值域为．
②三角函数的值在各个象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
③点又可表示为，在已知或的情形下使用，这将给解题带来方便．
2、单位圆中的三角函数线(有向线段)：，，(如下图)．
3、同角三角函数的基本关系式：
(1)平方关系：；
(2)商数关系：．
三、三角函数的诱导公式
1、诱导公式
2、“奇变偶不变，符号看象限”
(1)奇、偶是指中的奇偶．奇函数名改变，偶函数名不变
①正弦和余弦互相变，
②正切需先化为正弦余弦比值再进行诱导．
(2)默认为第一象限角
(3)观察整个角度所在象限，从而判断该角度所对应三角函数的正负情况．
常用二级结论
1、三角完全平方公式
①
②
③
2、齐次式转化
①一次分式齐次同除以进行弦化切．
②二次整式齐次除以1，再除以进行弦化切．
题型一：角及其表示
【典例1-1】已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是（ ）
A．或
B．或
C．
D．
【典例1-2】若角，，则符合条件的角的最大负角为（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数赋值来求得所需的角.
(2)确定(k∈N*)的终边位置的方法是先写出或的范围，然后根据k的可能取值确定或的终边所在的位置.
【变式1-1】下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定是锐角B．若是钝角，则是第一象限角
C．大于的角一定是钝角D．若是锐角，则是第二象限角
【变式1-2】下列命题：
①第四象限的角可表示为；
②第二象限角大于第一象限角；
③将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为；
④若是第二象限角，则的终边在第一象限．
其中真命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【变式1-3】角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（ ）
A．，第一象限B．，第一象限
C．，第二象限D．，第二象限
【变式1-4】（2025·福建福州·模拟预测）已知函数，设的始边是轴的非负半轴，且，若关于的方程在内有解，则的终边不可能位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
题型二：弧度制及其应用
【典例2-1】在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上从出发沿顺时针方向做匀速圆周运动，每秒1 rad，则经过3秒，M的位置为（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-2】若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．3D．
【解题总结】
应用弧度制解决问题的思路
(1)求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题.
(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【变式2-1】（2025·重庆·模拟预测）高为2的圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2025·广西南宁·模拟预测）某烘焙店制作了一个圆柱形状的蛋糕，顾客要求均分成24块，店家计划将蛋糕按左图方式切割．先将蛋糕均分成8块，再按照右图将每个角蛋糕近似的均分成三块，从弧的中点B出发，左右对称各切1刀，已知右图中，则的长度约为（ ）
（其中，计算结果小数点请保留到）
A．B．C．D．
【变式2-4】体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（ ）

A．B．C．D．
题型三：三角函数的概念
【典例3-1】（2025·云南·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点是角终边上的一点，则（ ）
A．B．1C．D．
【解题总结】
设角终边上任意一点的坐标为，它到原点的距离为，
则：，，．
【变式3-1】已知角终边上一点，若，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．±1D．
【变式3-2】设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2025·贵州黔南·模拟预测）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
题型四：同角三角函数基本关系式
【典例4-1】若，，则 .
【典例4-2】若，则 ， ．
【解题总结】
齐次式转化
①一次分式齐次同除以进行弦化切．
②二次整式齐次除以1，再除以进行弦化切．
【变式4-1】已知，则 ．
【变式4-2】（2025·四川南充·一模）已知，则 ．
【变式4-3】已知，则 ； ．
题型五：诱导公式
【典例5-1】已知，则 ．
【典例5-2】（2025·上海徐汇·三模）已知，且，则 .
【解题总结】
诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
【变式5-1】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若，则 ．
【变式5-2】（2025·北京大兴·三模）已知函数，若对任意都成立，则满足条件的一个实数的值是 .
【变式5-3】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为 .
【变式5-4】（2025·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，满足，则 .
【变式5-5】（2025·山东泰安·三模）数列的通项公式为，则 .
题型六：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
【典例6-1】（多选题）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【典例6-2】（多选题）已知角满足，则（ ）
A．0B．C．D．
【解题总结】
(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.
【变式6-1】（多选题）在数学史上，为了三角计算的简便及计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作．下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．函数的最大值为
【变式6-2】（多选题）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】（多选题）已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-4】（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
题型七：割圆术问题
【典例7-1】（2025·安徽宣城·二模）刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n很大时，用圆内接正边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当取时，可得的近似值为（ ）
A．B．C．D．
【典例7-2】（2025·高三·山东聊城·期中）刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当很大时，用圆内接正边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当取3.1416时可得的近似值为（ ）
A．0.00873B．0.01745C．0.02618D．0.03491
【解题总结】
割圆术是魏晋时期数学家刘徽首创的方法，用于计算圆周率。其核心思想是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率。
【变式7-1】如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即.运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A．时，
B．时，
C．时，
D．时，
【变式7-2】圆周率、自然对数的底数e是数学中最为神奇的两个常数.人类研究的历史悠久并创造了辉煌的成就.为了得到精确度更高的圆周率，一代代数学家付出过许多艰苦的努力.中国古代数学家刘徽曾用“割圆术”计算圆周率，得到．以正n边形的周长近似表示其外接圆周长时，可得的近似值.与n的关系为：，则为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似的表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正边形，使用刘徽割圆术，得到的近似值为（ ）
A．B．C．D．
【变式7-4】在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（ ）
A．B．C．D．
1．有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用．这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形．勒洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得勒洛三角形如图所示，若勒洛三角形的周长为，则其面积是
A．B．C．D．
2．角的终边在直线上，则的值是
A．B．C．D．
3．已知扇形的周长为100 cm，则该扇形的面积S的最大值为
A．B．C．D．
①数形结合
1．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形各边均与圆相切的正6n边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是
A．B．
C．D．
2．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于
A．1B．C．D．
②转化与化归
4．已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．已知动点A从出发，沿单位圆顺时针运动，经过后落在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则
A．B．C．D．
③分类讨论
7．若是第三象限角，则的值为
A．0B．2C．D．2或
8．以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则
A．B．C．D．
9．已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
基础过关篇
1．（2025年高考天津卷数学真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4．（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
6．（2025年高考北京卷数学真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ．
7．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若，则 ．
8．（2025·湖南邵阳·三模）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·山东济宁·二模）已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ）
A．B．1C．D．2
10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良"“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台，下列说法错误的是（ ）

A．高为B．体积为
C．表面积为14πD．轴截面面积为
11．（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（ ）
A．-2B．C．D．2
12．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
13．（2025·广西柳州·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．2D．
14．（2025·河南许昌·三模）已知向量与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
15．（2025·甘肃白银·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
16．（多选题）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
17．（多选题）已知，，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
18．（多选题）（2025·云南大理·模拟预测）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．
C．D．
19．已知，则的值等于 ．
20．已知，，则 ．
21．（2025·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为（转/分），被动轮的半径为，则被动轮周上一点每转过的弧长是 ．
22．（2025·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，写出一个符合题意的 .
23．（2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为 .
24．（2025·甘肃白银·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 .
能力拓展篇
25．（2025·吉林长春·模拟预测）已知点在圆上运动，若过点可以作曲线的切线，则点的轨迹长度是（ ）
A．B．C．D．
26．（2025·湖南岳阳·模拟预测）曲线的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
27．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为 ．
角的集合
角度制
弧度制
①与角终边相同的角的集合(含角)
②终边在轴的非负半轴上的角的集合
③终边在轴上的角的集合
④终边在坐标轴上的角的集合
⑤终边在第一(二三四)象限的角的集合
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
4.1 三角函数的概念、诱导公式
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc202436987" 01 课标要求 PAGEREF _Tc202436987 \h 3
\l "_Tc202436988" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc202436988 \h 4
\l "_Tc202436989" 一、任意角与弧度制 PAGEREF _Tc202436989 \h 4
\l "_Tc202436990" 二、任意角的三角函数 PAGEREF _Tc202436990 \h 5
\l "_Tc202436991" 三、三角函数的诱导公式 PAGEREF _Tc202436991 \h 5
\l "_Tc202436992" 常用二级结论 PAGEREF _Tc202436992 \h 6
\l "_Tc202436993" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc202436993 \h 7
\l "_Tc202436994" 题型一：角及其表示 PAGEREF _Tc202436994 \h 7
\l "_Tc202436995" 题型二：弧度制及其应用 PAGEREF _Tc202436995 \h 10
\l "_Tc202436996" 题型三：三角函数的概念 PAGEREF _Tc202436996 \h 13
\l "_Tc202436997" 题型四：同角三角函数基本关系式 PAGEREF _Tc202436997 \h 15
\l "_Tc202436998" 题型五：诱导公式 PAGEREF _Tc202436998 \h 17
\l "_Tc202436999" 题型六：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 PAGEREF _Tc202436999 \h 19
\l "_Tc202437000" 题型七：割圆术问题 PAGEREF _Tc202437000 \h 23
\l "_Tc202437001" 04 好题赏析 PAGEREF _Tc202437001 \h 28
\l "_Tc202437002" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc202437002 \h 31
\l "_Tc202437003" ①数形结合 PAGEREF _Tc202437003 \h 31
\l "_Tc202437004" ②转化与化归 PAGEREF _Tc202437004 \h 33
\l "_Tc202437005" ③分类讨论 PAGEREF _Tc202437005 \h 35
\l "_Tc202437006" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc202437006 \h 37
\l "_Tc202437007" 基础过关篇 PAGEREF _Tc202437007 \h 37
\l "_Tc202437008" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc202437008 \h 46
1、了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
2、借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
3、理解同角三角函数的基本关系式.
4、掌握诱导公式，并会简单应用.
一、任意角与弧度制
1、各种角的集合：
2、注意角与角及的象限关系．
（1)图中序号表示角的象限，序号所在区域为角(或）的终边所在区域．
（2）由角的象限推理角及的象限，列不等式对进行赋值判断即可．
3、角度与弧度的互化公式：①，②，③
4、①弧长公式：，
②扇形面积公式：，其中．
二、任意角的三角函数
1、任意角的三角函数的定义：
(1)借助单位圆来定义
设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，
则：，，．
(2)设角终边上任意一点的坐标为，它到原点的距离为，
则：，，．
①定义域、值域：，定义域都是，值域都是；定义域是，值域为．
②三角函数的值在各个象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
③点又可表示为，在已知或的情形下使用，这将给解题带来方便．
2、单位圆中的三角函数线(有向线段)：，，(如下图)．
3、同角三角函数的基本关系式：
(1)平方关系：；
(2)商数关系：．
三、三角函数的诱导公式
1、诱导公式
2、“奇变偶不变，符号看象限”
(1)奇、偶是指中的奇偶．奇函数名改变，偶函数名不变
①正弦和余弦互相变，
②正切需先化为正弦余弦比值再进行诱导．
(2)默认为第一象限角
(3)观察整个角度所在象限，从而判断该角度所对应三角函数的正负情况．
常用二级结论
1、三角完全平方公式
①
②
③
2、齐次式转化
①一次分式齐次同除以进行弦化切．
②二次整式齐次除以1，再除以进行弦化切．
题型一：角及其表示
【典例1-1】已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是（ ）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】D
【解析】终边在角的终边所在直线上的角的集合为，终边在角的终边所在直线上的角的集合为，因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围是．
【典例1-2】若角，，则符合条件的角的最大负角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得.
又，所以角符合条件的最大负角为.
故选：B.
【解题总结】
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数赋值来求得所需的角.
(2)确定(k∈N*)的终边位置的方法是先写出或的范围，然后根据k的可能取值确定或的终边所在的位置.
【变式1-1】下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定是锐角B．若是钝角，则是第一象限角
C．大于的角一定是钝角D．若是锐角，则是第二象限角
【答案】B
【解析】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误；
对于选项B：若是钝角，则，
可得，所以是第一象限角，故B正确；
对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误；
对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误；
故选：B.
【变式1-2】下列命题：
①第四象限的角可表示为；
②第二象限角大于第一象限角；
③将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为；
④若是第二象限角，则的终边在第一象限．
其中真命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】对于①，第四象限的角可表示为，故①错误，
对于②，大小为的角在第二象限，大小为的角在第一象限，但，故②错误，
对于③，将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角为，故③正确，
对于④，大小为的角在第二象限，但的终边在第三象限；故④错误，
所以真命题的个数为1，
故选：B.
【变式1-3】角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（ ）
A．，第一象限B．，第一象限
C．，第二象限D．，第二象限
【答案】D
【解析】因为，且，
因为为第二象限角，故为第二象限角，
故选：D.
【变式1-4】（2025·福建福州·模拟预测）已知函数，设的始边是轴的非负半轴，且，若关于的方程在内有解，则的终边不可能位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】由，，
，
或，
当，时，得，，
又，所以这样的不存在，
当时，得，
，，
，又，
时，，此时在第一象限；
当时，，此时在第二象限；
当时，，此时在第四象限；
所以的终边可能位于第一、二、四象限.
故选：C.
题型二：弧度制及其应用
【典例2-1】在平面直角坐标系中，动点M在单位圆上从出发沿顺时针方向做匀速圆周运动，每秒1 rad，则经过3秒，M的位置为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，得M的位置为，即为.
故选：B
【典例2-2】若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】如图，等边三角形是半径为的圆的内接三角形，
则线段所对的圆心角，
作,垂足为，
直角中，,
所以，
所以，
所以长度等于圆内接正三角形的边长的圆弧所对圆心角的弧度数为，
故选：D.
【解题总结】
应用弧度制解决问题的思路
(1)求扇形面积最大值的问题时，常转化为利用二次函数或基本不等式求最值问题.
(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【变式2-1】（2025·重庆·模拟预测）高为2的圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，高为，体积为，侧面展开图扇形的圆心角为，
则根据题意可知，，
所以，即，解得，，
所以圆锥的体积为.
故选：B.
【变式2-2】（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示的“月牙形”阴影部分的边缘是两条不同曲线构成，其中一个是的外接圆的圆弧，另一个是以AB为直径的圆的一部分圆弧，已知，，则该月牙形即阴影部分面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图所示，根据已知和图形知，
设以为外接圆的圆心为，直径由正弦定理得，即，
在圆中，根据圆心角和圆周角的关系，可知，
由扇形面积公式可得，
易知以直径的半圆的半径为，即，于是，
故选：A.
【变式2-3】（2025·广西南宁·模拟预测）某烘焙店制作了一个圆柱形状的蛋糕，顾客要求均分成24块，店家计划将蛋糕按左图方式切割．先将蛋糕均分成8块，再按照右图将每个角蛋糕近似的均分成三块，从弧的中点B出发，左右对称各切1刀，已知右图中，则的长度约为（ ）
（其中，计算结果小数点请保留到）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，
即
故选：B.
【变式2-4】体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由扇形弧长公式可得，
即，
又，
所以
，
所以当时，最大为，
故选：C.
题型三：三角函数的概念
【典例3-1】（2025·云南·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意知角的终边经过点，则，
故,
故选：D
【典例3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点是角终边上的一点，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，，
则.
故选：D.
【解题总结】
设角终边上任意一点的坐标为，它到原点的距离为，
则：，，．
【变式3-1】已知角终边上一点，若，则实数的值为（ ）
A．1B．2C．±1D．
【答案】A
【解析】依题意，，解得.
故选：A
【变式3-2】设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，且，
解得，则，
故选：D.
【变式3-3】（2025·贵州黔南·模拟预测）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为角的终边经过点，则，
所以.
故选：B.
题型四：同角三角函数基本关系式
【典例4-1】若，，则 .
【答案】
【解析】由题意，，①
所以，即，
则．
因为，且，所以，，
所以，②
由①②变形得，
所以．
故答案为：.
【典例4-2】若，则 ， ．
【答案】 / /0.3
【解析】；
.
故答案为：；.
【解题总结】
齐次式转化
①一次分式齐次同除以进行弦化切．
②二次整式齐次除以1，再除以进行弦化切．
【变式4-1】已知，则 ．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
【变式4-2】（2025·四川南充·一模）已知，则 ．
【答案】/0.3
【解析】，．
故答案为：.
【变式4-3】已知，则 ； ．
【答案】 /
【解析】因为，则，
所以；
．
故答案为：；
题型五：诱导公式
【典例5-1】已知，则 ．
【答案】1
【解析】原式.
故答案为：.
【典例5-2】（2025·上海徐汇·三模）已知，且，则 .
【答案】/
【解析】由，，
则，
故.
故答案为：
【解题总结】
诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
【变式5-1】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若，则 ．
【答案】/0.6
【解析】当时，
.
故答案为：
【变式5-2】（2025·北京大兴·三模）已知函数，若对任意都成立，则满足条件的一个实数的值是 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为，即，
所以，即.
故答案为：（答案不唯一）
【变式5-3】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】
，
令得，
化简得，
由题意得，使得，
即在有解，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
【变式5-4】（2025·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，满足，则 .
【答案】
【解析】因为，所以.
令，则的定义域为，且，所以为奇函数.又因为，所以在上单调递增.
令，则，故，即，则，
故.
故答案为：.
【变式5-5】（2025·山东泰安·三模）数列的通项公式为，则 .
【答案】
【解析】由，可得，
所以是以8为周期的数列，且2025=8×253+1，，
所以.
故答案为：.
题型六：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
【典例6-1】（多选题）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【解析】，故A错误，B正确；
若，则，故C正确；
若，两边取平方，整理得：，即，
即，故D正确；
故选：BCD.
【典例6-2】（多选题）已知角满足，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】ACD
【解析】由，得，
所以，则，
化简整理得，
所以，或，
当时，，
所以当时，，
当时，，
当时，，
故选：ACD
【解题总结】
(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.
【变式6-1】（多选题）在数学史上，为了三角计算的简便及计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作．下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．函数的最大值为
【答案】ABC
【解析】对A：，故A正确；
对B：，故B正确；
对C：由，
所以，故C正确；
对D：因为.
当时，取得最大值4.故D错误.
故选：ABC
【变式6-2】（多选题）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】由，，
得，，则，故A正确；
，，，
则，
当时，联立，
解得，，则；
当时，联立，
解得，，则，故B、C错误；
由，两边平方可得，，
则，，故D正确.
故选：AD.
【变式6-3】（多选题）已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】，两边同时平方可得，
即，解得，A选项正确；
，
为锐角，于是，则，B选项正确；
由，可得，，则，
注意到，则，故C错误，D正确.
故选：ABD
【变式6-4】（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】由题意，
从而.
故选：AD.
题型七：割圆术问题
【典例7-1】（2025·安徽宣城·二模）刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n很大时，用圆内接正边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当取时，可得的近似值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将一个单位圆分成个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为
由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长，
因为这个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，
所以，
所以．
故选：D．
【典例7-2】（2025·高三·山东聊城·期中）刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当很大时，用圆内接正边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当取3.1416时可得的近似值为（ ）
A．0.00873B．0.01745C．0.02618D．0.03491
【答案】B
【解析】根据，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解.因为，
所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为，
所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，
即，
所以，
故选：B
【解题总结】
割圆术是魏晋时期数学家刘徽首创的方法，用于计算圆周率。其核心思想是通过不断倍增圆内接正多边形的边数，使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率。
【变式7-1】如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即.运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A．时，
B．时，
C．时，
D．时，
【答案】A
【解析】设圆的内接正十二边形被分成个如图所示的等腰三角形，其顶角为，即，
作于点，则为的中点，且，
因为，在中，，即，
所以，，则，
所以，正十二边形的周长为，
所以，.
故选：A.
【变式7-2】圆周率、自然对数的底数e是数学中最为神奇的两个常数.人类研究的历史悠久并创造了辉煌的成就.为了得到精确度更高的圆周率，一代代数学家付出过许多艰苦的努力.中国古代数学家刘徽曾用“割圆术”计算圆周率，得到．以正n边形的周长近似表示其外接圆周长时，可得的近似值.与n的关系为：，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将一个单位圆平均分成个扇形，
则每个扇形的圆心角度数均为
可得每个圆心角所对的弦长为
由于正n边形的周长近似表示其外接圆周长
所以，则
故选：C
【变式7-3】公元3世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似的表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正边形，使用刘徽割圆术，得到的近似值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆内接正边形的边长为，圆的半径为，
如图所示，连接，取中点，连，令，
易知，，得到，
由题意知，周长（近似）为，所以，
得到，
故选：A.
【变式7-4】在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在单位圆中作内接正三十六边形，则每个等腰三角形的顶角为，底边约为，
由题意得，
故选：C
1．有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用．这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形．勒洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得勒洛三角形如图所示，若勒洛三角形的周长为，则其面积是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解法1：由已知得：，所以，
弓形AB的面积为，所求面积为故选
解法由已知得：，所以，扇形ACB的面积为，所求面积为故选
2．角的终边在直线上，则的值是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解法一： 当角的终边位于第一象限时，取直线上位于第一象限的一个点的坐标，如，则，同理，当角的终边位于第三象限时，取直线上一个点的坐标为，则，故选
解法二：角的终边在直线上，，即 ①， 又 ②，解①②构成的方程组，得，经检验，符合题意，故选
3．已知扇形的周长为100 cm，则该扇形的面积S的最大值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解法一，设扇形半径为r，弧长为l，
则周长为，面积为，
因为，
所以当时，；
解法二，设扇形半径为r，弧长为l，
则周长为，面积为，
则，当且仅当，即时等号成立．
故本题选
①数形结合
1．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形各边均与圆相切的正6n边形的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图，设单位圆的内接正6n边形的边长为a，单位圆的外切正6n边形的边长为b，
可得，
，
则，
即，
故选：
2．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆心为O，由题意可得，
要求阴影区域的面积的最大值，即为直线时，
即有，Q到线段AB的距离为，
，
扇形AOB的面积为，
的面积为
，
，
即有阴影区域的面积的最大值为
故选
3．《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意可设半径长，
可得，，
由同角三角函数值之间的基本关系可得，
解得；
即可得，，；
所以
故选：
②转化与化归
4．已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【解析】已知是互不相同的锐角，
由基本不等式有，当时等号成立，
同理，当时等号成立，
，当时等号成立，
故，
故不可能均大于
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2个，
故选：
5．已知动点A从出发，沿单位圆顺时针运动，经过后落在角的终边上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
故选：
6．已知，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】已知，
整理得，所以，
故
，
故选：
③分类讨论
7．若是第三象限角，则的值为
A．0B．2C．D．2或
【答案】A
【解析】是第三象限角，，，，，
①当k为偶数时，为第二象限角，，，，
②当k为奇数时，为第四象限角，，，，
故选
8．以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为角的终边落在直线上，
当角的终边在第一象限时，终边过点，
此时，，，，
当角的终边在第三象限时，终边过点，
此时，，，，
故选：
9．已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】角的终边与单位圆的交点，
，
解得：，
当时，，，
此时；
当时，，，
故选
基础过关篇
1．（2025年高考天津卷数学真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由，则“”是“”的充分条件；
又当时，，可知，
故“”不是“”的必要条件，
综上可知，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
4．（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
6．（2025年高考北京卷数学真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ．
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【解析】因为，，
所以的终边关于轴对称，且不与轴重合，
故且，
即，
故取可满足题设要求；
故答案为：；（答案不唯一）
7．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）若，则 ．
【答案】
【解析】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
8．（2025·湖南邵阳·三模）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设圆锥母线长为，可得底面圆的周长为，
由题意可得，解得，
所以圆锥的侧面展开图的圆心角为.
故选：D.
9．（2025·山东济宁·二模）已知圆锥的体积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【解析】设母线长为，底面半径为，圆锥的高为，则有，
又，所以，
故选：B.
10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良"“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台，下列说法错误的是（ ）

A．高为B．体积为
C．表面积为14πD．轴截面面积为
【答案】B
【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
依题意，，解得，
又圆台的母线长，则圆台的高为，故A正确；
圆台的体积为，故B错误；
圆台的表面积为，故C正确；
圆台的轴截面面积为，故D正确.
故选：B.
11．（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（ ）
A．-2B．C．D．2
【答案】B
【解析】由题意可得，，
则，解得（舍去）.
故选：B
12．（2025·河北·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
故，
又且，故，
，故.
故选：A.
13．（2025·广西柳州·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
所以，则.
故选：D.
14．（2025·河南许昌·三模）已知向量与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题，
，
，
所以．
故选：C．
15．（2025·甘肃白银·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，解得，
于是，
故选：A．
16．（多选题）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】由，则，
即，
因为，所以，则，
所以，
则，故D正确；
由，解得，，故AC错误；
则，故B正确.
故选：BD.
17．（多选题）已知，，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由，则，化简得，故A正确；
对于B，由，，则，即，
，，故B正确；
对于C，由，解得，所以，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD.
18．（多选题）（2025·云南大理·模拟预测）已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】由角的终边经过点，得点到原点的距离，
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选：AC
19．已知，则的值等于 ．
【答案】
【解析】 ，，
即．把两边平方，得，
即，，即．
联立，解得
．
故答案为：
20．已知，，则 ．
【答案】
【解析】由，可得，
所以，所以，
又，所以，所以，所以，
又，
所以.
21．（2025·山西·三模）如图所示，被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合，被动轮随主动轮的旋转而旋转．主动轮有20齿，被动轮有48齿，主动轮的转速为（转/分），被动轮的半径为，则被动轮周上一点每转过的弧长是 ．
【答案】
【解析】由题意知，主动轮的转速为，则被动轮转过的角度大小为，
所以弧长为
故答案为：
22．（2025·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为，写出一个符合题意的 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意，，则或
故答案为：（答案不唯一）.
23．（2025·上海普陀·二模）若一个圆锥的高为，侧面积为，则该圆锥侧面展开图中扇形的中心角的大小为 .
【答案】
【解析】设底面半径为，母线长为l
由，得，
又，由勾股定理，
所以，解得，
底面圆周长，扇形中心角，
故答案为：
24．（2025·甘肃白银·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 .
【答案】
【解析】由正切函数的定义可知，
再利用诱导公式知.
故答案为：
能力拓展篇
25．（2025·吉林长春·模拟预测）已知点在圆上运动，若过点可以作曲线的切线，则点的轨迹长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，则，且，故，
所以在处的切线方程为，
，，则在处的切线方程为，
，，则在处的切线方程为，
当的切点横坐标从，切线由变为，
此时两切线与圆的交点左边从，右边从，
同理的切点横坐标从，切线由变为，
此时两切线与圆的交点左边从，右边从，
所以的轨迹为劣弧，其中，故，
所以轨迹对应圆心角为，由弧长公式得.
故选：C
26．（2025·湖南岳阳·模拟预测）曲线的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由可得或，
即或，
所以，曲线由一族同心圆与
直线以及两族等轴双曲线、构成.
故选：D.
27．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点顺时针旋转到点，则点的横坐标为 ．
【答案】
【解析】设坐标原点为，设角终边为射线，则角的终边即为射线．
由题意可知，，，．
故．
所以点的横坐标为．
故答案为：
角的集合
角度制
弧度制
①与角终边相同的角的集合(含角)
②终边在轴的非负半轴上的角的集合
③终边在轴上的角的集合
④终边在坐标轴上的角的集合
⑤终边在第一(二三四)象限的角的集合
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限