2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点1　奔驰定理、四心问题与隐圆问题(6大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点1　奔驰定理、四心问题与隐圆问题(6大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共24页。试卷主要包含了已知为所在平面内一点，动点满足，设是的外心，且满足，则的值是等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc211419247" 01 重点解读 PAGEREF _Tc211419247 \h 2
\l "_Tc211419248" 02 思维升华 PAGEREF _Tc211419248 \h 3
\l "_Tc211419249" 03 典型例题 PAGEREF _Tc211419249 \h 5
\l "_Tc211419250" 题型一：奔驰定理 PAGEREF _Tc211419250 \h 5
\l "_Tc211419251" 题型二：外心问题 PAGEREF _Tc211419251 \h 5
\l "_Tc211419252" 题型三：内心问题 PAGEREF _Tc211419252 \h 6
\l "_Tc211419253" 题型四：重心问题 PAGEREF _Tc211419253 \h 6
\l "_Tc211419254" 题型五：垂心问题 PAGEREF _Tc211419254 \h 6
\l "_Tc211419255" 题型六：隐圆问题 PAGEREF _Tc211419255 \h 7
\l "_Tc211419256" 04 课时精练 PAGEREF _Tc211419256 \h 8
奔驰定理、四心与隐圆是高考向量难点，多以中档题出现。奔驰定理常结合向量关系求面积比，或联动四心性质考查；四心问题聚焦重心、垂心等的向量表示，结合数量积、模运算出题；隐圆则通过极化恒等式、平方和等条件确定轨迹，考查最值。三者均需灵活转化向量关系，关联几何性质解题。
技巧一．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点．
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为．
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故．
技巧三．三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
技巧四．隐圆问题
1、平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆
2、若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
3、若为定点，，则的轨迹为圆．
4、一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做阿氏圆．当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．
题型一：奔驰定理
【例1】已知为内一点，且存在正数使，设，的面积分别为，则等于（ ）.
A．B．C．D．
【对点训练1】设点在内部，且，则的面积与的面积之比是（ ）.
A．3B．4C．5D．6
【对点训练2】点是所在平面内的点，且有，直线分别交于点，记的面积分别为，则（ ）
A． B．
C．D．
【对点训练3】（2025·山东济南·二模）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型二：外心问题
【例2】已知在中，，若分别是的重心和外心，且，则的形状是 ．
【对点训练4】已知的外心满足，若，且，则 .
【对点训练5】中，，点为平面内一点，且，，、分别为的外心和内心，当的值最大时，的长度为 .
【对点训练6】已知为的外心，，则 ．
题型三：内心问题
【例3】在中，I为的内心，若，则 .
【对点训练7】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知边长为6的等边三角形的内心为，则 .
【对点训练8】设为的内心，，，，则 ， ．
【对点训练9】设为的内心，，，，，则 .
【对点训练10】设为的内心，，，，，则 ．
题型四：重心问题
【例4】已知是的重心，，其中内角的对边分别为，则 ．
【对点训练11】已知是的重心，，那么 ；若，，则的最小值是 .
【对点训练12】在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为 ．
题型五：垂心问题
【例5】（2025·海南·模拟预测）瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数 ； ．
【对点训练13】设是锐角三角形的垂心，若，则 .
【对点训练14】欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且，动点M在直线OP上，且，则的最大值
【对点训练15】已知H是的垂心，满足，且，则 ．
题型六：隐圆问题
【例6】已知平面向量满足，则的最小值是 ．
【对点训练16】已知向量满足，，则的最小值为 ．
【对点训练17】平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是 ．
【对点训练18】已知，，为单位向量，且，则的最小值为 ．
1．平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（ ）
A．3B．4C．D．
3．已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（ ）
A．垂心B．内心
C．重心D．外心
4．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（ ）．
A．外心B．内心C．重心D．垂心
5．已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（ ）．
A．外心B．内心C．重心D．垂心
6．（2025·河北张家口·一模）在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（ ）．
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．上述三种情况都有可能
8．已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（ ）
A．的内心B．的垂心
C．的重心D．的外心
9．设是的外心，且满足，则的值是（ ）．
A．B．C．D．
10．（2025·高三·浙江杭州·期末）在中，已知，点O是的外心，则（ ）
A．16B．C．8D．
11．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
12．设是所在平面内的一点，若，且，则点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
13．若满足，则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
14．（2025·高三·安徽·期中）在中，已知，点O是的外心，则（ ）
A．16B．8C．4D．
15．（2025·高三·辽宁·期中）设的外心为，重心为，并且满足，则当最大时，的外接圆半径为（ ）
A．B．C．D．
16．为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（ ）一定属于集合.
A．重心B．垂心C．外心D．内心
17．已知，为三角形所在平面上的动点，且满足，则为三角形的（ ）．
A．外心B．内心C．重心D．垂心
18．已知在同一个平面上有和一点，且满足关系式：，则为的（ ）．
A．外心B．内心C．重心D．垂心
19．（2025·高三·福建泉州·期中）设是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）．
A．外心B．内心C．重心D．垂心
20．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）．
A．1B．C．D．
21．（多选题）已知点是的外心，，，，则下列正确的是（ ）
A．若，则的外接圆面积为
B．若，则
C．若，则
D．当，时，
22．（多选题）已知P为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若P为的垂心，，则
B．若P为锐角的外心，且，则
C．若P为的重心，则
D．若，则点P的轨迹经过的内心
23．（多选题）在中，、、分别是内角、、的对边，为的外心，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
24．（多选题）在中，角均不为直角，角的对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，则过的垂心
C．若，则过的重心
D．若，则过的外心
25．（多选题）（2025·高三·福建福州·开学考试）在中，，点为内一点，的延长线交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．若为的重心，则
B．若为的外心，则
C．若为的垂心，则
D．若为的内心，则
26．（多选题）（2025·高三·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：如图所示，已知是内一点，，，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，则
27．（多选题）已知是平面上的四点，任何三点不共线，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．是的垂心
B．是的垂心
C．
D．
28．设点在内部，且，则与的面积之比是 ．
29．已知的三个顶点及所在平面内一点满足，与的面积分别为，则 .
30．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 （填序号）

①是的垂心；②；
③；④
31．（2025·高三·北京·开学考试）设D为内一点，且，则与的面积比为 .
32．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点， 是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 .（填序号）
①是的外心；②；
③；④
33．若M是内一点，且满足，则与的面积之比为 ．
34．已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ．
①若动点满足，则点为的重心；
②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心；
③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心；
④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心．
35．已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的 心.（在重心、内心、外心、垂心中选择）
36．已知和是互相垂直的两个单位向量，且，则的最大值为 ．
培优点1 奔驰定理、四心问题与隐圆问题
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc211419247" 01 重点解读 PAGEREF _Tc211419247 \h 2
\l "_Tc211419248" 02 思维升华 PAGEREF _Tc211419248 \h 3
\l "_Tc211419249" 03 典型例题 PAGEREF _Tc211419249 \h 5
\l "_Tc211419250" 题型一：奔驰定理 PAGEREF _Tc211419250 \h 5
\l "_Tc211419251" 题型二：外心问题 PAGEREF _Tc211419251 \h 7
\l "_Tc211419252" 题型三：内心问题 PAGEREF _Tc211419252 \h 11
\l "_Tc211419253" 题型四：重心问题 PAGEREF _Tc211419253 \h 14
\l "_Tc211419254" 题型五：垂心问题 PAGEREF _Tc211419254 \h 17
\l "_Tc211419255" 题型六：隐圆问题 PAGEREF _Tc211419255 \h 23
\l "_Tc211419256" 04 课时精练 PAGEREF _Tc211419256 \h 27
奔驰定理、四心与隐圆是高考向量难点，多以中档题出现。奔驰定理常结合向量关系求面积比，或联动四心性质考查；四心问题聚焦重心、垂心等的向量表示，结合数量积、模运算出题；隐圆则通过极化恒等式、平方和等条件确定轨迹，考查最值。三者均需灵活转化向量关系，关联几何性质解题。
技巧一．四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点．
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为．
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故．
技巧三．三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
技巧四．隐圆问题
1、平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆
2、若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
3、若为定点，，则的轨迹为圆．
4、一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做阿氏圆．当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．
题型一：奔驰定理
【例1】已知为内一点，且存在正数使，设，的面积分别为，则等于（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，设，，，，，，，.
在平行四边形中，易知，
则，从而.
由平面向量基本定理知，
又由知，
则有，，得，，即，
所以.
故选：C.
【对点训练1】设点在内部，且，则的面积与的面积之比是（ ）.
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【解析】插入分点，则由可得，
即，所以为的中线的中点，进而知，
故选：B.
【对点训练2】点是所在平面内的点，且有，直线分别交于点，记的面积分别为，则（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【解析】
由可得，即，
设，因为三点共线，则存在实数，使得，
将代入可得
，即，
由于不共线，则，解得，
即，，
同理，设，则，
因为三点共线，所以，即，
又由三角函数的诱导公式可得，
所以
故选：D.
【对点训练3】（2025·山东济南·二模）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在线段上，且，
.
又为线段上一点，若与的面积相等，
，为的中点.
如图，建立平面直角坐标系，则，，，，，
，，
.
故选：D.
题型二：外心问题
【例2】已知在中，，若分别是的重心和外心，且，则的形状是 ．
【答案】直角三角形
【解析】如图，设为的垂心，分别是的重心和外心，
由外心性质得是外接圆的圆心，设外接圆半径为，
因为为的垂心， 所以，
因为分别是的重心和外心，
所以，则，
因为，所以，
由平面向量的加法法则可得，
则，
由垂心性质得，则，
故，由平面向量的加法法则可得，
即，则，
故，
得到，
则
由题意得，
可得，
即，
由余弦定理得，
，
代入可得，
则，即，
故，而，则，
得到，故为直角三角形．
故答案为：直角三角形
【对点训练4】已知的外心满足，若，且，则 .
【答案】或
【解析】当时，，此时，由可得，
故是以为斜边的直角三角形，则.
当时，由得.
如图，设，，则，.
由及，知三点共线.
又由知为的中点，故，
所以.
综上可知，或.
故答案为：或
【对点训练5】中，，点为平面内一点，且，，、分别为的外心和内心，当的值最大时，的长度为 .
【答案】
【解析】如图：
由，，可得，所以在的垂直平分线上.
设为的中点，可得，
所以，从而.
由正弦定理可得，
所以，
当，，
要使值最大时，则为锐角，所以，
从而为等腰直角三角形，所以.
所以、均在斜边的垂直平分线上，即为内切圆的半径，
设内切圆半径为，则，即，
解得，即.
故答案为：
【对点训练6】已知为的外心，，则 ．
【答案】6
【解析】解法1：取，如图1，为的中点．
则．
解法2：如图2，过点作，垂足分别为．
因为为的外心，所以分别是的中点．
则
．
解法3：由，得，所以，即 ①．
同理得 ②．
因为为的外心，所以，故．
①－②得，
即，即，故．
解法4：如图2，
，
又因为四点共圆，且为直径，
所以，
即，
从而．
故答案为：
题型三：内心问题
【例3】在中，I为的内心，若，则 .
【答案】
【解析】根据题意，画出图形为：
因为是的内心，所以根据内心的性质和向量关系可知，
若，则，分别为三角形三边的长度.
因为，所以，
根据勾股定理的逆定理，则.
故答案为：90°.
【对点训练7】（2025·江西景德镇·模拟预测）已知边长为6的等边三角形的内心为，则 .
【答案】-6
【解析】记的中点为，等边三角形的内心，也是三角形的重心，所以
，
则.
故答案为：-6
【对点训练8】设为的内心，，，，则 ， ．
【答案】 /0.625 /0.3125
【解析】解法1：
，
设为与的交点，如图所示，
由角平分线的性质知，，
故，
则有，解得.
解法2：
以所在直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，
则，，．
又设，则，，．
因为是内心，
所以，
又，得，即，则，
所以，从而，
解得.
故答案为：.
【对点训练9】设为的内心，，，，，则 .
【答案】
【解析】插入分点，得，
即，
又，从而有，得，
所以，
故答案为：.
【对点训练10】设为的内心，，，，，则 ．
【答案】/
【解析】如图：因为，所以为直角三角形.
设内切圆半径为．
则.
设内切圆与边，的切点分别为.
则.
又，
所以.
故答案为：
题型四：重心问题
【例4】已知是的重心，，其中内角的对边分别为，则 ．
【答案】/
【解析】解法1：因为为的重心，所以，
从而，将其代入已知条件中，
可得．
又因为与不共线，
所以，
即，所以，即．
解法2：（以，为基底）
因为，
，
，
所以可化为，
即．
因为与不共线，
所以解得
所以，即．
故答案为：或
【对点训练11】已知是的重心，，那么 ；若，，则的最小值是 .
【答案】
【解析】设的中点为，是的重心，根据重心的性质可知
，又，，、，即.
，，，，
又，，
根据均值不等式，得，当且仅当时，等号成立，
，
那么，即的最小值是.
故答案为：，.
【对点训练12】在中，O是的外心，G是的重心，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，取的中点D，如图，
因为O是的外心，所以，
又G是的重心，所以为的中点，则，
则
，
又，所以，即，
则，
当且仅当，即时取等号，此时，
则的最小值为.
故答案为：.
题型五：垂心问题
【例5】（2025·海南·模拟预测）瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数 ； ．
【答案】 3 或
【解析】如图1，设中点为，，垂足为，
则，.
根据重心的性质可知，
所以有，
整理可得，
所以，，；
由已知在中，，，且，
根据正弦定理可得，
.
又，所以有或.
当时，，则.
且由余弦定理可知，
，
代入可得，，
整理可得，
解得（舍去），
所以.
如图1，，，，.
建立直角坐标系，
则，，，.
不妨设，
则，.
因为，
所以，，
即有，
解得，所以.
又，，，
所以.
所以，，
所以，.
又由欧拉定理可知，，
所以，；
当时，，则.
且由余弦定理可知，
，
代入可得，，
整理可得，
解得（舍去），
所以.
如图1，，，，.
建立直角坐标系，
则，，，.
不妨设，
则，.
因为，
所以，，
即有，
解得，所以.
又，，，
所以.
所以，，
所以，.
又由欧拉定理可知，，
所以，.
故答案为：3；或.
【对点训练13】设是锐角三角形的垂心，若，则 .
【答案】
【解析】如图所示，取的中点，取的中点，连接，则.
因为，所以，所以.
所以三点共线，且.
连接，则，且.
所以.
如图2：在线段上取，使得：.连接，
取的中点，取的中点，连接，
则.
因为，所以，所以.
所以三点共线，且.
因为为的中点，所以，且，所以
所以.
综上所述.
设则.
因为锐角中，，
所以，
所以，解得：,所以.
所以解得：.
如图2，四边形中，，所以.
故答案为：.
【对点训练14】欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且，动点M在直线OP上，且，则的最大值
【答案】
【解析】设为重心，则由欧拉线定理可知在上，
连接交于点，
所以为的中线，所以，
点在直线上，设，
所以，
所以，所以，
所以，当时取最大值.
故答案为：.
【对点训练15】已知H是的垂心，满足，且，则 ．
【答案】
【解析】由，得，
化简得，再左右点乘及垂心向量公式得
，故.
故答案为：.
题型六：隐圆问题
【例6】已知平面向量满足，则的最小值是 ．
【答案】1
【解析】已知且，
由点积公式，所以夹角.
设，因为，，设，
则 ，解得 ，不妨取，
设，则，；
由，得
化简得，
即向量对应的点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆；
则，需在圆上求的最小值,
因为圆心横坐标为，半径1，故的最小值为；
因此的最小值为，即为最小值.
故答案为：1.
【对点训练16】已知向量满足，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】解法1：设，，，则（如图）.
由得，，．
由得，
所以点在以为直径的圆上，圆的半径为．
即圆上的动点到点距离的最小值，
为，
当且仅当三点共线时取到最小值．
解法2：建立平面直角坐标系，设，，，
由得，
整理可得，
表示点在以为圆心，为半径的圆上，
，表示点到点的距离，
所以的最小值为．
解法3：由，得，
即，
由，得，，
设，
则，
得，所以，
解得，所以的最小值为．
故答案为：
【对点训练17】平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】由题意，，
，
设向量与向量的夹角为，则，
，，
则，即，，解得，
，
令，则，
设，
则，
，
的最小值为，即的最小值是.
故答案为：.
【对点训练18】已知，，为单位向量，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为，，为单位向量，有，得，
由，得，
得，所以，
又，所以，
而，
则
当且仅当与方向相反时“＝”成立
所以的最小值为．
故答案为：.
1．平面向量中有一个非常优美的结论：已知O为内的一点，，，的面积分别为，，，则．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔驰定理”．已知O为的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，，
所以，
因为O为的内心，设，由题意，
则，
同理可得
所以根据“奔驰定理”有，
所以，
即，
所以，
．
故选：A．
2．已知是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】B
【解析】在上取点，使得，在上取点，使得，
在上取点，使得，在上取点，使得，
连接、，则、，因为，
所以与交于点，
又，，
所以，
所以.
故选：B
3．已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（ ）
A．垂心B．内心
C．重心D．外心
【答案】A
【解析】，，
，，，
是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心.
故选：A.
4．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（ ）．
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】因为，
，
，
所以点在的角平分线上.
同理可得：点在的角平分线上.
所以点为的内心.
故选：B
5．已知为所在平面内一点，动点满足：，其中，则动点的轨迹一定通过的（ ）．
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】D
【解析】，，
由正弦定理得，则
令，
因为，
所以
所以，
等式两边点乘得，
所以点的轨迹一定过的垂心，
故选：D．
6．（2025·河北张家口·一模）在平面直角坐标系中，，，，点分别是的外心和垂心，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于关于原点对称，故在轴上，
，则中点为，易知,
因此直线的垂直平分线方程为，
令，则，故,
边上的高所在的直线方程为，故，
故，
，
故，且，
由可得，
由于，因此，解得，
故，解得，
故选：A
7．已知在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是（ ）．
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．上述三种情况都有可能
【答案】C
【解析】作的边上的中线，
因为为的外心，所以．
因为为的重心，所以．
过点作于点，过点作于点．
由及，由于为在方向上的投影向量，
由数量积的几何意义，得．
由及，得．而，
所以点重合，故．
故选：C．
8．已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足，，则点的轨迹一定经过（ ）
A．的内心B．的垂心
C．的重心D．的外心
【答案】C
【解析】设的中点为，
则，
∵，
∴，
而，
∴三点共线，
所以点的轨迹一定经过的重心，
故选：C.
9．设是的外心，且满足，则的值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为为的外心，所以，
由题意知，
移项并两边平方得，得，所以，
又，所以，于是．
故选：A．
10．（2025·高三·浙江杭州·期末）在中，已知，点O是的外心，则（ ）
A．16B．C．8D．
【答案】C
【解析】如图，过点O作于D，可知，
则，
故选：C
11．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
【答案】B
【解析】由
，
则，即，
故，即点的轨迹经过的垂心.
故选：B
12．设是所在平面内的一点，若，且，则点是的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】A
【解析】
如图，取中点D，
.
，
，
，
，
，
点P在中垂线上.
，又，
所以
为的外心.
故选：A.
13．若满足，则O为的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】延长交于，延长交于，延长交于，
，
又因为，所以，
而共线，则存在实数，使得，
所以.
因为不共线，所以，，
所以，所以是的平分线，同理都是的内角平分线，
所以为的内心.
故选：B.
14．（2025·高三·安徽·期中）在中，已知，点O是的外心，则（ ）
A．16B．8C．4D．
【答案】B
【解析】如图，过点O作于D，可知，
则
故选:
15．（2025·高三·辽宁·期中）设的外心为，重心为，并且满足，则当最大时，的外接圆半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设外接圆半径为，
则根据重心向量公式有，
则
，
令，此时，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
故当最大时，的外接圆半径为.
故选；D
16．为平面内一定点，该平面内一动点满足，则的（ ）一定属于集合.
A．重心B．垂心C．外心D．内心
【答案】A
【解析】
中，根据正弦定理，
，即.
设，，
所以，
，
，
设D为中点，则，故，
所以共线，
点的轨迹为射线（不含端点）.
的重心一定属于集合.
故选：A.
17．已知，为三角形所在平面上的动点，且满足，则为三角形的（ ）．
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】D
【解析】由，所以，
则，同理可证，
所以为三角形的垂心.
故选：D.
18．已知在同一个平面上有和一点，且满足关系式：，则为的（ ）．
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】D
【解析】由，
，所以.
同理由可得：.
所以为的垂心.
故选：D
19．（2025·高三·福建泉州·期中）设是平面上一定点，是平面上不共线的三点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的（ ）．
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】D
【解析】，
则，即，
故，即点的轨迹经过的垂心.
故选：D
20．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）．
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，设，，，．
由得，即，
所以点在以为圆心，1为半径的圆上，
过点作的垂线，垂足为，又，,则
所以的最小值为．
故选：C．
21．（多选题）已知点是的外心，，，，则下列正确的是（ ）
A．若，则的外接圆面积为
B．若，则
C．若，则
D．当，时，
【答案】BD
【解析】因为点O是的外心，所以，，
对A，若，则，
由余弦定理可得：，所以，
所以的外接圆的半径为，
所以该外接圆的面积为，故A错误；
对B，因为，，
由，
所以，
即，
所以或，
当时，则，点是的外心，所以是斜边，但是矛盾；
所以，
根据余弦定理可得，，故B正确；
对C，当时，根据余弦定理可得，
，
由，
所以，
即，
解得，，则，故C错误；
对D，当，时，由选项B的分析知，
，
所以，故D正确.
故选：BD.
22．（多选题）已知P为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ）
A．若P为的垂心，，则
B．若P为锐角的外心，且，则
C．若P为的重心，则
D．若，则点P的轨迹经过的内心
【答案】AB
【解析】对于A选项，因为，又因为为的垂心，所以，
所以，故A正确；
对于B选项，因为且，
所以，整理得：，即，
如图所示，设为中点，则，所以三点共线，
又因为为锐角的外心，则，所以垂直平分，故，故B正确；
对于C选项，如图所示，设中点为，则，由重心的性质可知，故C错误；
对于D选项，因为
，
如图所示，设中点为，则，所以，
所以，
所以，即，
所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，故D错误．
故选：ABC.
23．（多选题）在中，、、分别是内角、、的对边，为的外心，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由已知，由已知可得，
所以，，即，所以，故A错误；
因为，即，可得，
所以，故B正确；
同理，可得，
所以，故C正确；
所以，
所以，
由外心的性质有，
所以，
所以，即，
由正弦定理有：，故D错误.
故选：BC.
24．（多选题）在中，角均不为直角，角的对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，则过的垂心
C．若，则过的重心
D．若，则过的外心
【答案】AB
【解析】对于A，根据余弦定理，，则，故A正确；
对于B，，
，即，则过的垂心，故B正确；
对于C，假设过的重心，则与边上的中线共线，可设，
，
，
则，即，
由正弦定理可得，即时，过的重心，故此式不一定成立，
所以不一定过的重心，故C错误；
对于D，，
其中表示角的平分线所在向量，所以过的内心，故D错误.
故选：AB.
25．（多选题）（2025·高三·福建福州·开学考试）在中，，点为内一点，的延长线交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．若为的重心，则
B．若为的外心，则
C．若为的垂心，则
D．若为的内心，则
【答案】BCD
【解析】对于A，由为的重心，得，
则，A错误；
对于B，由余弦定理得，而为的外心，
由正弦定理得，B正确；
对于C，由为的垂心，则为边上的高，由面积相等可得，
则，C正确；
对于D，当为的内心时，为的角平分线，故，
由，可得，解得，D正确.
故选：BCD
26．（多选题）（2025·高三·江西新余·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：如图所示，已知是内一点，，，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，则
【答案】ABD
【解析】对于A，取中点，连接，
因为，
则，
所以，，
所以三点共线，且，
设分别是的中点，
同理可得，，
所以为的重心，故A正确；
对于B，因为为的内心，
设内切圆的半径为，
则有，
所以，
即，故B正确；
对于C，因为为的外心，
设的外接圆半径为，
又因为，
则有，，，
所以，
，
，
所以，故C错误；
对于D，延长交于，延长交于，延长交于，如图所示：
因为为的垂心，，
则，
又因为，
则，
设，
因为，
同理可得，
则，
所以，
所以，
所以在中，，
所以在中，；
所以在中，，
所以在中，；
所以
，
所以，故D正确.
故选：ABD.
27．（多选题）已知是平面上的四点，任何三点不共线，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．是的垂心
B．是的垂心
C．
D．
【答案】ABC
【解析】由，
可得：，，
即，
由，可得，
即，即，
所以是的垂心，是的垂心，AB正确；
且也是的垂心，
所以，
所以，也即，
由，可得，即可得：，
所以
而选项D反映了“是的重心”的由条件无法判断，故错误．
故选：ABC．
28．设点在内部，且，则与的面积之比是 ．
【答案】3
【解析】如图：
由，
得，
从而（为的中点，为的中点），
即，
所以为中位线的三等分点.
故．
即.
故答案为：3
29．已知的三个顶点及所在平面内一点满足，与的面积分别为，则 .
【答案】
【解析】在中插入分点，得，即，进而可知.
故答案为：.
30．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 （填序号）

①是的垂心；②；
③；④
【答案】①③④
【解析】因为，所以，
所以，所以，
同理可得，，，所以为的垂心，故①正确；
因为，，所以，，
所以，
又，
所以，又，
所以，故②不正确；
由②知，，
延长交于点，
所以
，
同理可得，
所以，
所以，故③正确；
由，，
则
，
同理，
所以，
又，
则，故④正确.
故答案为：①③④.
31．（2025·高三·北京·开学考试）设D为内一点，且，则与的面积比为 .
【答案】
【解析】由题得，
所以，
所以即，
如图所示，以为邻边作平行四边形，连接交于点，
则，
所以即，又和高相等，
所以.
故答案为：.
32．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点， 是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 .（填序号）
①是的外心；②；
③；④
【答案】②③④
【解析】对①，因为
同理,故为的垂心，故①错误；
对②，因为，所以，
又因为，所以,
又因为，所以，故②正确；
对③，延长交于点， 如图，
则,
同理可得,所以，故③正确；
对④，
,
同理可得,所以,
又因为，所以，故④正确，
故答案为：②③④
33．若M是内一点，且满足，则与的面积之比为 ．
【答案】/
【解析】设为的中点，连接，则
，
因为，所以，
所以为的中点，
所以，
所以,
故答案为：
34．已知点均在所在平面内，以下所有正确说法的序号是 ．
①若动点满足，则点为的重心；
②若动点满足，则动点的轨迹一定经过的内心；
③若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心；
④若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心．
【答案】①②③④
【解析】对于①，因为动点满足，所以，则点是的重心，①正确．
对于②，，所以，
所以点在的平分线所在直线上，所以动点的轨迹一定经过的内心，②正确．
对于③，，所以，
过点作，垂足为，如下图：
则，所以，
则点在边上的中线所在直线上，因此动点的轨迹一定经过的重心，③正确．
对于④，，所以，
所以，
所以，所以动点的轨迹一定经过的垂心，④正确．
故所有正确说法的序号是①②③④．
故答案为：①②③④.
35．已知所在平面内的动点M满足，且实数x，y形成的向量与向量共线，则动点M的轨迹必经过的 心.（在重心、内心、外心、垂心中选择）
【答案】重心
【解析】与向量共线，故，即，
则变形为，
即，
所以，
取的中点，则，
所以动点M的轨迹必经过的重心.
故答案为：重心
36．已知和是互相垂直的两个单位向量，且，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】几何法：如图，设，连接，，
则，
依题意，是等腰直角三角形，且，由，
得向量的终点在以为直径的圆上运动，而点在此圆上，所以的最大值为.
代数法：由和是互相垂直的两个单位向量，得，，
由，得，即，
则或（当且仅当与同向时取等号），
所以的最大值为.
故答案为：