2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点2　解三角形中的几何计算问题(7大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点2　解三角形中的几何计算问题(7大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共24页。
\l "_Tc209894680" 01 重点解读 PAGEREF _Tc209894680 \h 2
\l "_Tc209894681" 02 思维升华 PAGEREF _Tc209894681 \h 3
\l "_Tc209894682" 03 典型例题 PAGEREF _Tc209894682 \h 4
\l "_Tc209894683" 题型一：利用两次正弦定理消元法 PAGEREF _Tc209894683 \h 4
\l "_Tc209894684" 题型二：利用两次余弦定理建立等量关系 PAGEREF _Tc209894684 \h 5
\l "_Tc209894685" 题型三：等面积法 PAGEREF _Tc209894685 \h 6
\l "_Tc209894686" 题型四：角平分线问题 PAGEREF _Tc209894686 \h 7
\l "_Tc209894687" 题型五：中线问题 PAGEREF _Tc209894687 \h 8
\l "_Tc209894688" 题型六：高问题 PAGEREF _Tc209894688 \h 9
\l "_Tc209894689" 题型七：四心问题 PAGEREF _Tc209894689 \h 10
\l "_Tc209894690" 04 课时精练 PAGEREF _Tc209894690 \h 12
解三角形图形计算常以三角形、四边形（可拆为三角形）为背景，结合高、中线、角平分线等元素。核心用正余弦定理求边长、角度，结合面积公式计算。
解决三角形图形类问题的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
题型一：利用两次正弦定理消元法
【例题1】如图，在中，角所对的边分别为是内的一点，且满足．

(1)若，求的大小；
(2)若，求的正切值；
(3)若，求的值．
【例题2】如图，在中，，，，为内一点，且．
(1)若，求的长；
(2)若，求．
【变式1】（2025·全国·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若平分，点在线段上，且，求的长．
【变式2】（2025·高三·浙江·开学考试）在中，分别是角所对的边，且满足.
(1)求的大小；
(2)点是边上一点，且满足，求的值.
【变式3】在中，已知的平分线与边相交于点.
(1)求证：；
(2)若，，，求.
题型二：利用两次余弦定理建立等量关系
【例题3】的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若D为AB中点，，，求的周长．
【例题4】在四边形中，平分．
(1)求；
(2)当取最大值时，求．
题型三：等面积法
【例题5】（2025·高三·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，
(1)若，求的值.
(2)若的角平分线交于点.
（ⅰ）若，求的最大值；
（ⅱ）若，，求的面积.
【例题6】（2025·高三·贵州贵阳·开学考试）已知，，分别为三个内角，，的对边， ，，且的面积为．
(1)求；
(2)若在边上，且线段平分，求线段的长度．
【变式4】如图，平面四边形中，，记.
(1)用表示；
(2)求四边形面积的范围；
(3)当为何值时，.
题型四：角平分线问题
【例题7】已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.
(1)求的值；
(2)求的长；
(3)若，求的面积.
【例题8】已知的内角的对边分别为.求角的平分线长的取值范围.
【变式5】（2025·湖南湘潭·一模）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 向量，,点 M 在边BC上，AM 是角A 的平分线．
(1)求角A；
(2)求 AM 的长．
【变式6】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)若的平分线交于D，且，求的值.
题型五：中线问题
【例题9】（2025·高三·浙江·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
(1)求角A；
(2)若，边中线长为1，求的面积．
【例题10】在中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求角；
(2)若，且边的中线的长为，求的面积；
(3)若是锐角三角形，求的范围．
【变式7】在中，，是边上的中线，记，．
(1)求；
(2)若，，求．
题型六：高问题
【例题11】在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，，求边AC上的高．
【例题12】（2025·山东聊城·三模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，且边上的高为，求的周长．
【变式8】（2025·云南昆明·模拟预测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且
(1)求A；
(2)若，，求BC边上的高
题型七：四心问题
【例题13】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且．
(1)若，求的值；
(2)求的取值范围．
【例题14】（2025·浙江·三模）已知在中，角A，B，C所对的边记为a，b，c，设其外心为O.若.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积.
【变式9】（2025·辽宁·模拟预测）四面体满足两两垂直
(1)点在面内的正投影是的什么心？请给出证明
(2)设点为的外心，为的外接圆半径，设
①请写出与的关系（用表示）．
②求证：为定值．
【变式10】在中，角所对的边分别为，已知，且满足
(1)求角的大小
(2)的内心为，求周长的取值范围.
【变式11】（2025·江苏·模拟预测）在中，角的对边分别为，．
(1)若，求的周长；
(2)若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围．
1．（2025·高三·江苏苏州·开学考试）在中，角的对边为，，，，且.
(1)求；
(2)若的周长为，求边上的高.
2．如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，．
(1)证明：；
(2)若.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求线段长度的取值范围．
3．如图，在四边形中，，，，.
(1)当、、、四点共圆时，求；
(2)求四边形面积的最大值；
(3)求的最大值．
4．如图，在平面四边形中，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)求四边形面积S的最大值．
5．记的内角、、的对边分别为、、，已知，点在边上，且，，求.
6．（2025·河南·三模）已知是内一点，.
(1)若，求；
(2)若，求.
7．的内角的对边分别为为平分线，.
(1)求；
(2)上有点，求.
8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求的值；
(2)若，求；
(3)若，且边上的中线，求的周长.
9．在三角形中，分别是边的中点，已知．
(1)求三角形的面积；
(2)求三角形的周长．
10．在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点．
(1)若为的中点，且，求；
(2)若的面积为，且平分，求的长．
11．（2025·高三·全国·开学考试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求证：
(2)若D为BC的中点，，，求的面积.
12．（2025·高三·安徽·期中）如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，．
(1)证明：；
(2)若，求．
13．如图，四边形中，．

(1)求；
(2)为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径．
14．（2025·江西新余·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，.
(1)求；
(2)求四边形的面积.
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求；
(2)若，的面积为，求b；
(3)已知的外接圆半径为，的平分线交于点D，若，求的周长．
16．在锐角中，内角，，所对边分别为，，，．
(1)求角；
(2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，；
17．（2025·高三·河北·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值．
18．在中，内角，，所对的边分别是，，，且，.
(1)求角；
(2)若，求边AC上的角平分线BD长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.
19．在中，角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若边上的高为，求．
20．（2025·湖北·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求C；
(2)若边上的高为，求的最小值．
21．（2025·广东茂名·二模）记的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，且边上的高为，求的周长．
22．（2025·广东·一模）在△中，角的对边分别为，已知
(1)求 ;
(2)若 分别为边 上的中点，为 的重心，求 的余弦值.
23．（2025·全国·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，，为的外心.
(1)求的面积；
(2)求周长的取值范围.
24．（2025·广东肇庆·二模）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________.
(1)求.
(2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积.
25．（2025·江苏苏州·模拟预测）在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有．
(1)求的面积；
(2)设内心为，外心为O，，求外接圆半径．
注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径．
26．（2025·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若O是的内心，，且，求面积的最大值.
27．（2025·河北·模拟预测）设的外接圆半径为，内切圆半径为，定义的值为的“分离比”.
(1)若为等腰直角三角形，求的分离比；
(2)证明：；
(3)探究的最值.
培优点2 解三角形中的几何计算问题
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc209894680" 01 重点解读 PAGEREF _Tc209894680 \h 2
\l "_Tc209894681" 02 思维升华 PAGEREF _Tc209894681 \h 3
\l "_Tc209894682" 03 典型例题 PAGEREF _Tc209894682 \h 4
\l "_Tc209894683" 题型一：利用两次正弦定理消元法 PAGEREF _Tc209894683 \h 4
\l "_Tc209894684" 题型二：利用两次余弦定理建立等量关系 PAGEREF _Tc209894684 \h 9
\l "_Tc209894685" 题型三：等面积法 PAGEREF _Tc209894685 \h 11
\l "_Tc209894686" 题型四：角平分线问题 PAGEREF _Tc209894686 \h 16
\l "_Tc209894687" 题型五：中线问题 PAGEREF _Tc209894687 \h 20
\l "_Tc209894688" 题型六：高问题 PAGEREF _Tc209894688 \h 22
\l "_Tc209894689" 题型七：四心问题 PAGEREF _Tc209894689 \h 24
\l "_Tc209894690" 04 课时精练 PAGEREF _Tc209894690 \h 30
解三角形图形计算常以三角形、四边形（可拆为三角形）为背景，结合高、中线、角平分线等元素。核心用正余弦定理求边长、角度，结合面积公式计算。
解决三角形图形类问题的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.
题型一：利用两次正弦定理消元法
【例题1】如图，在中，角所对的边分别为是内的一点，且满足．

(1)若，求的大小；
(2)若，求的正切值；
(3)若，求的值．
【解析】（1）因为，可得，
在中，可得.
（2）由题意，可得，则，
在中，由正弦定理，可得，
在中，由正弦定理，
可得，
所以，整理得，所以．
（3）在内，由余弦定理及三角形面积公式，可得：
，
，
．
三式相加可得： ①，
在内，由余弦定理以及三角形的面积公式，可得：
，
在和中，同理可得：，
所以，
因为，
可得②，
由①②得．
【例题2】如图，在中，，，，为内一点，且．
(1)若，求的长；
(2)若，求．
【解析】（1）在中，，
则，
所以，
在中，由余弦定理得
，
所以；
（2）设，则，
在中，因为，
所以,
在中，,
所以，即，
所以，即.
【变式1】（2025·全国·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若平分，点在线段上，且，求的长．
【解析】（1）由正弦定理得，
又，故，
即
，
所以，即，
．
又，故，所以，由正弦定理可得．
（2）因为，由（1）得．由平分，得，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
，故，
两式相除得．
设，由余弦定理，
在中，
所以①．
在中，，
所以②．
又，②①得，则，
所以．
【变式2】（2025·高三·浙江·开学考试）在中，分别是角所对的边，且满足.
(1)求的大小；
(2)点是边上一点，且满足，求的值.
【解析】（1）因为,由正弦定理可得：.所以,
由于在中，,
所以,化简得：,
由于，则不为0，则
由于，所以
（2）由于,则,
在中，由正弦定理可得：
在中，由正弦定理可得：
所以,由于满足，
所以，
由于在中，,
所以,即，
所以，所以,
由于，则，
所以则或,解得或，
当时，，所以，
当时，,不满足.
综上，.
【变式3】在中，已知的平分线与边相交于点.
(1)求证：；
(2)若，，，求.
【解析】（1）在和中，如图所示：

由正弦定理得：
，，
因为，所以，
所以，
即，
又因为为的角平分线，所以，
所以，，两式相除得，
所以得证.
（2）解法一：，所以，
平方得，由（1）可得：，，
解得，，
则，，
所以.
解法二：
由，由（1）得，所以，
因为为的角平分线, ，所以，
则，
解得，，
则，，
所以.
题型二：利用两次余弦定理建立等量关系
【例题3】的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若D为AB中点，，，求的周长．
【解析】（1）方法一：因为，可得，
由正弦定理，可得，
因为，可得，
所以，
又因为，可得，所以．
方法二：因为，可得，
由余弦定理，可得，
整理得，可得，
因为，所以．
（2）方法一：由（1）知：且，
因为，可得，
在中，利用余弦定理得，所以，
又由余弦定理得，所以，
可得，所以的周长为．
方法二：因为，所以，
由余弦定理，可得，所以，
又由余弦定理得，所以，所以，
又因为，所以，
所以的周长为．
方法三：在和中，由余弦定理可得，
所以，
又由余弦定理得，所以，所以，
又因为，所以，
所以的周长为．
【例题4】在四边形中，平分．
(1)求；
(2)当取最大值时，求．
【解析】（1）解法一 ：因为，
所以，则，
在中，由余弦定理得
因为，所以．
解法二 ：因为，所以，
在中，由正弦定理和余弦定理得，
所以，
因为，代入上式整理得，
由题意可得，
所以，
因为，所以．
（2）由（1）可得，因为平分，所以，
因为，则在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
所以，
当且仅当时，等号成立，
此时取最大值，即取最大值，
故当取最大值时，．
题型三：等面积法
【例题5】（2025·高三·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，
(1)若，求的值.
(2)若的角平分线交于点.
（ⅰ）若，求的最大值；
（ⅱ）若，，求的面积.
【解析】（1）由余弦定理得：
所以的值；
（2）
（ⅰ）∵
∴ ，而，
当时，取“=”
∴ ，即AD的最大值为
（ⅱ）由三角形角平分线定理有，
∴ ，设
在中，由正弦定理有
∴
化简得：，解得：或（舍去）
∴ ，∴，
所以
【例题6】（2025·高三·贵州贵阳·开学考试）已知，，分别为三个内角，，的对边， ，，且的面积为．
(1)求；
(2)若在边上，且线段平分，求线段的长度．
【解析】（1）由已知，且三角形面积，
可知，
又，
则；
（2）
由已知，
结合诱导公式及二倍角公式可得，
又，，即，
所以，即，
所以，
则由正弦定理，
可得，，
所以，
即，，，
又线段平分，
所以,
又，
即，
则，
解得.
【变式4】如图，平面四边形中，，记.
(1)用表示；
(2)求四边形面积的范围；
(3)当为何值时，.
【解析】（1）因为，
由正弦定理，有，
即，又，故，
又因为，所以四点共圆，
则，
由于，所以根据正弦定理，
有，即；
（2）解法一：，
因为，所以，
因同弧所对的圆周角相等，，
，
由于，所以，
故；
解法二：，
因为是直径，所以，
又因为，所以，
，
由于，所以，
则；
（3）法一：，
，
，
，
因为，所以，
又因为，所以，
从而，即时，；
法二：，
因为，
所以；根据相交弦定理，，
两式相除，得，即，
在中，，即，此时.
题型四：角平分线问题
【例题7】已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.
(1)求的值；
(2)求的长；
(3)若，求的面积.
【解析】（1）因为，对角线为钝角的平分线，
所以，
解得或（舍），
所以；
（2）由题意，在中，由余弦定理可得
，
即，
整理可得，解得或（舍去），
因为，所以，
又因为，
所以，
所以，
解得；
（3）方法一：在中，由正弦定理可得，
即，所以，
因为为钝角，所以，
因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理可得
，
解得，
因为
，
所以；
方法二：在中，由，
可得，所以，
所以，所以，
又由于，从而，即，
所以，
，
所以.
【例题8】已知的内角的对边分别为.求角的平分线长的取值范围.
【解析】因为，，以的中点为坐标原点，以为轴建立直角坐标系，
如图所示，设，因为，所以.

由，即，
所以，
两边同时平方并化简，得，
所以点的运动轨迹为圆，且不与轴相交.
如图，点在圆上，为圆与轴的交点，连接，
则点.

设角的平分线为，
在中，由角平分线定理可得，
所以，又，
所以点与点重合，故角平分线.
【变式5】（2025·湖南湘潭·一模）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 向量，,点 M 在边BC上，AM 是角A 的平分线．
(1)求角A；
(2)求 AM 的长．
【解析】（1）因为，所以，
故，
由正弦定理可得,
由于，所以,
结合,则，
（2）由于AM 是角A 的平分线，，
由余弦定理可得，解得，
又,
解得
【变式6】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)若的平分线交于D，且，求的值.
【解析】（1）由，得,
即，则,
则，即，
由于，故，
，故；
（2）由的平分线交于D，可得,
即，
即，则，
结合，得.
题型五：中线问题
【例题9】（2025·高三·浙江·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
(1)求角A；
(2)若，边中线长为1，求的面积．
【解析】（1）由可知，，
也即，，
又因为，
所以，．
（2）由，
两边平方得
又，
所以，解得，所以．

【例题10】在中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求角；
(2)若，且边的中线的长为，求的面积；
(3)若是锐角三角形，求的范围．
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，
所以，
得到，即，
又，，所以，
又因为，可得.
（2）因为，且，
所以由，可得，解得，
由题意，
两边平方，可得，
因为，所以，解得或（舍），
则的面积为.
（3）因为
，
由题知，，解得，
因为，
所以，可得，
可得，
所以．
【变式7】在中，，是边上的中线，记，．
(1)求；
(2)若，，求．
【解析】（1）设，
，，
，．
，，
；
（2）由（1）得，，
，
，
，解得或（舍），
故．，．
又，
所以．
题型六：高问题
【例题11】在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，，求边AC上的高．
【解析】（1）因为，
由正弦定理，可得：，
又因为在中，，
所以，
化简，得：，
因为，所以，
所以，，
即．
（2）因为，所以，
由正弦定理，可得，
由（1）可知：，所以，，
即，
又因为在中，，
所以．
【例题12】（2025·山东聊城·三模）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，且边上的高为，求的周长．
【解析】（1）因为，
由正弦定理，可得，
又因为，可得，所以，
即，
因为，可得，所以，
又因为，所以.
（2）由边上的高为，可得，
又由且，可得的面积为，
所以，解得，即，
在中，由余弦定理得，
可得，整理得，
解得或（舍去），此时，
所以的周长为.
【变式8】（2025·云南昆明·模拟预测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且
(1)求A；
(2)若，，求BC边上的高
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理得，，，
所以，，
因为，所以，所以，；
（2）由余弦定理得可得，所以，
因为的面积，
所以，所以
题型七：四心问题
【例题13】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是的重心，且．
(1)若，求的值；
(2)求的取值范围．
【解析】（1）延长CG交AB于点D，由G是的重心，得D为线段AB的中点，且，
由，得，则，，
又，则是正三角形，，在中，记，
由正弦定理，即，
则，即，
所以，即.
（2）由（1）知，在中，，
在中，，
于是，整理得，
在中，，当且仅当时取等号，
又，所以的取值范围为.
【例题14】（2025·浙江·三模）已知在中，角A，B，C所对的边记为a，b，c，设其外心为O.若.
(1)求角A的大小；
(2)若，求的面积.
【解析】（1），，
由正弦定理得，，由于A，B，，
因此（舍去）或，
即，
又，故.
（2）因为O是的外心，所以（R为外接圆半径），
，
.
所以.
【变式9】（2025·辽宁·模拟预测）四面体满足两两垂直
(1)点在面内的正投影是的什么心？请给出证明
(2)设点为的外心，为的外接圆半径，设
①请写出与的关系（用表示）．
②求证：为定值．
【解析】（1）连接
平面，
平面，又平面，
，
由题意平面又平面
，
平面，
平面又平面
，
同理：，点为三角形ABC的垂心；
（2）①由正弦定理，
②如图：以点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
设，因为点O在平面ABC上，
而点
由题意
即
三个式子相加得：，
.
【变式10】在中，角所对的边分别为，已知，且满足
(1)求角的大小
(2)的内心为，求周长的取值范围.
【解析】（1）由，
根据正弦定理，得，
由，则，
即,
而，故，
又，
所以
（2）由（1）可得，
即，
设的内心为，即，
故.
设，则，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以的周长为
因为，
所以，
所以，
所以，
故的周长取值范围为.
【变式11】（2025·江苏·模拟预测）在中，角的对边分别为，．
(1)若，求的周长；
(2)若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围．
【解析】（1），，由余弦定理得，，
，解得，或（舍去）
，
的周长为.
（2）由余弦定理得，，整理得，，
，
，即，
由正弦定理得，，，
，，
，
令，，，
函数在上单调递增，，即的取值范围是.
1．（2025·高三·江苏苏州·开学考试）在中，角的对边为，，，，且.
(1)求；
(2)若的周长为，求边上的高.
【解析】（1）因为，所以，
又因为， 所以，
所以，
得，
得，又因为，所以．
（2）在中，过点作，
所以，
设，则在中，，
则在中，，
所以的周长为
所以，
记边上的高为，
所以．
2．如图，在平面四边形中，，若是上一点，．记，．
(1)证明：；
(2)若.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求线段长度的取值范围．
【解析】（1）证明：∵，∴，
在中，，可得，
∴，即.
（2）（Ⅰ）在中，由正弦定理得，
可得，∴，
∵，∴，
可得，即，
解得或（舍去），
∵，∴.
（Ⅱ）在中，由正弦定理得，
即，
由余弦定理得，
∵，，∴，∴，
在中，由余弦定理得
，
∵，∴，∴，
∴，解得.
3．如图，在四边形中，，，，.
(1)当、、、四点共圆时，求；
(2)求四边形面积的最大值；
(3)求的最大值．
【解析】（1）当、、、四点共圆时，，，
所以，
由余弦定理得，
故.
（2）设，其中，
由余弦定理得，
故，
因为，则为钝角，且，
在中，由正弦定理得，
故，
因为为钝角，则为锐角，
故，
所以
，
故，
故.
其中为锐角，且，
因为，则，故当时，
四边形的面积取最大值.
（3）因为为钝角，则为锐角，故，
设，
，
设，则，
在中，由余弦定理可得
，
即，
在中，由正弦定理得，代入数据化简得，
在中，，即，
代入数据并化简得，
结合可得，
所以，则，
由可得，
由、和可得
，其中为锐角，且，
因为，则，故当时，取最大值，
且的最大值为.
4．如图，在平面四边形中，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值；
(3)求四边形面积S的最大值．
【解析】（1）因为，若，
则，
在中，由余弦定理可得.
（2）由，得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理可得，
，即，
解得.
（3）由题，，
，
由（2），
两式平方相加得，
所以，
当时，此时，取得最大值为，
所以四边形面积S的最大值为.
5．记的内角、、的对边分别为、、，已知，点在边上，且，，求.
【解析】因为中，，则为锐角，
所以，
因为，，所以，
所以，
设，则，
在和中，由正弦定理得，，
因为，上面两个等式相除可得，
得，即，
所以.
6．（2025·河南·三模）已知是内一点，.
(1)若，求；
(2)若，求.
【解析】（1）如图所示，

在中，，所以.
所以.
在中，由正弦定理得，即，解得.
（2）如图所示，

当时，.
设，则.
在中，由正弦定理得.
在中，由正弦定理得.
因为，所以，即，
整理得，即，解得，即.
7．的内角的对边分别为为平分线，.
(1)求；
(2)上有点，求.
【解析】（1）
设，
，
，，
，
（2）由（1）知：，
中，，
，故得：，
设中，
，
，
中，，，
，
两式相除得：，
，
，，
，
为锐角，故.
8．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求的值；
(2)若，求；
(3)若，且边上的中线，求的周长.
【解析】（1）由正弦定理得，
则，
由余弦定理得，
整理得，
即，则，
故.
（2）若，由正弦定理可知，
又由（1）知
则，.
则，
又，即.
（3）因为边上的中线为，所以，
即.
若，即,则，
又，，，得，
解得，则，
又，所以的周长为.
9．在三角形中，分别是边的中点，已知．
(1)求三角形的面积；
(2)求三角形的周长．
【解析】（1）如图，因分别是边的中点，
则设.
注意到，
则.
则由余弦定理：
.
解得.则在三角形中，.
由余弦定理可得，
从而.
则三角形的面积为：；
（2）由（1）易得三角形的周长为
10．在中，角的对边分别为，已知，，为边上一点．
(1)若为的中点，且，求；
(2)若的面积为，且平分，求的长．
【解析】（1）在中，，因为为的中点，
所以，
两边平方得，
则，解得
（2）因为平分，
所以，
又，
即
所以，
解得，
11．（2025·高三·全国·开学考试）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求证：
(2)若D为BC的中点，，，求的面积.
【解析】（1）因为，即，
整理可得，
由正弦定理得，解得，或舍去，
所以
（2）由（1）得
如图，过点B，C分别作AD的垂线，垂足分别为E，
由，，可得，
又因为D为BC的中点，可得≌，则，，
设，则在中，由勾股定理得，
即，解得，可得，
所以
12．（2025·高三·安徽·期中）如图，在平面四边形中，与的交点为E，平分，，．
(1)证明：；
(2)若，求．
【解析】（1）如图，
由题意知，则，
由余弦定理得，
即，整理得，
因为，所以．
（2）因为，所以，
因为，所以，所以．
又因为，，所以四边形是等腰梯形，所以．
设，则，解得．
．
在中，由正弦定理可得，
又因为，所以．
13．如图，四边形中，．

(1)求；
(2)为边上一点，且的面积为，求的外接圆半径．
【解析】（1）因为，所以，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
两式作差得：，解得，
因为，所以．
（2）因为
由（1）知，可得，且，
则所以，
在中，可得，所以，
在中，可得，
在中，可得，
可得,所以，则，
所以，解得，
设的外接圆半径为，
由正弦定理得，解得，
所以的外接圆半径为．
14．（2025·江西新余·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，.
(1)求；
(2)求四边形的面积.
【解析】（1）由，又，得到，
又，
又，，且，
所以，，
得到.
（2）延长交于，设，，
在中，由正弦定理得到，由（1）知，，
所以①，由余弦定理得到②，
由①②解得或，
当时，，此时，
又，所以，不合题意，故，，
在中，由，，得到，，
所以，又，
故.
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求；
(2)若，的面积为，求b；
(3)已知的外接圆半径为，的平分线交于点D，若，求的周长．
【解析】（1）由正弦定理，得，
，，，，
，，，
，又，．
（2）由（1）知，，，则．
．
由正弦定理得，，
，．
（3）由（1）知，，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
即．
平分，．
，．
，
，
化简得：，
代入，得，
，，
，的周长为．
16．在锐角中，内角，，所对边分别为，，，．
(1)求角；
(2)设是角的平分线，与边交于，若，，求，；
【解析】（1）法一：在锐角中，，
由余弦定理得，化简得，
可得，又，得．
法二：在锐角中，，由正弦定理得，
即，
可得，
又，，得，又，得．
（2）在中，由正弦定理有，
在中，由正弦定理有，
因为是角的平分线，故，
又，故，
所以，
设，，
在中，由余弦定理，有，
解得，所以（负值舍去），
所以，．
17．（2025·高三·河北·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值．
【解析】（1）在中，，
代入整理得，
又因为，，所以，
所以，解得，
因为，所以，解得.
（2）因为是中点，所以，
两边平方得，
所以，即，
又由均值不等式可得，
当且仅当时等号成立，所以，
所以，即面积的最大值为.
18．在中，内角，，所对的边分别是，，，且，.
(1)求角；
(2)若，求边AC上的角平分线BD长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围.
【解析】（1）由可得，
因为，
所以，
由，得，又，则.
（2）如图：
由余弦定理，，因为，，
所以，又，所以.
由，得，
整理得：.
（3）因为是边上的中线，则，
两边取平方，，
由（2）已得，代入可得，
由正弦定理，，
则，
所以
，
因为为锐角三角形，则有，解得，
则，
由正弦函数的图象性质，可得，
故得，从而，
故边上的中线的取值范围为.
19．在中，角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)若边上的高为，求．
【解析】（1）由得，，
因为，则，三角形中内角的范围为，故；
（2）由（1）知，则，由余弦定理得，
因为，所以，边上的高为，
由等面积法得，解得，所以，
从而，
由正弦定理得，解得，
故.
20．（2025·湖北·三模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求C；
(2)若边上的高为，求的最小值．
【解析】（1）在中，由正弦定理，可得，
又因为，所以，
所以，即，
因为，，所以，
故，于是；
（2）由（1）得，根据余弦定理以及基本不等式，
得，
当且仅当时等号成立，
又因为，且，
所以，所以，即，
故的最小值为2.
21．（2025·广东茂名·二模）记的内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，且边上的高为，求的周长．
【解析】（1），
又，
所以
又，所以，解得或，
所以或．
（2）若，，
由余弦定理得，，
所以，所以的周长为；
若，为直角三角形，斜边上的高为，
由斜边中线长为斜边一半，则斜边上的中线为1，则该三角形不存在，
故的周长为6．
22．（2025·广东·一模）在△中，角的对边分别为，已知
(1)求 ;
(2)若 分别为边 上的中点，为 的重心，求 的余弦值.
【解析】（1）因为，
所以，
即
由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，因为
（2）设 ，
依题意可得
所以
所以.
23．（2025·全国·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知，，为的外心.
(1)求的面积；
(2)求周长的取值范围.
【解析】（1）在中，，由余弦定理得，
又，所以，
又为的外心，
则由正弦定理得，所以，
又，
所以.
（2）方法一：
由（1）及正弦定理得，
则，，
记的周长为，则.
又，则，
则，
因为，所以，
所以，所以.
方法二：
由，，得，
因为，所以，
即，所以，当且仅当时，等号成立.
因为，所以，所以，
即周长的取值范围为.
24．（2025·广东肇庆·二模）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________.
(1)求.
(2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积.
【解析】（1）选择条件①：.
由正弦定理得，
所以.
由余弦定理，得.
因为，所以.
选择条件②：因为，所以，即.
由正弦定理得，即.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以.因为，所以.
（2）连接，
因为点是内心，所以.
因为，所以，
所以，所以.
由余弦定理得，即，解得，
所以.
25．（2025·江苏苏州·模拟预测）在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有．
(1)求的面积；
(2)设内心为，外心为O，，求外接圆半径．
注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径．
【解析】（1）可知，即，解得．
（2）可知内接圆的半径．
连接IB、OB，设，则．
不妨设外接圆半径为R，则．
由角度关系，，
因此代入有
，
整理：．
右式
由于，因此，解得．
26．（2025·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求A；
(2)若O是的内心，，且，求面积的最大值.
【解析】（1）因为，所以，
由正弦定理得，
所以，因为，所以，
因为，所以或
（2）因为，且，所以由余弦定理得，所以A为锐角，由（1）知.
因为是的内心，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，
所以面积的最大值为.
27．（2025·河北·模拟预测）设的外接圆半径为，内切圆半径为，定义的值为的“分离比”.
(1)若为等腰直角三角形，求的分离比；
(2)证明：；
(3)探究的最值.
【解析】（1）设的两条直角边为，斜边为2，所以外接圆半径为1.
内切圆半径满足，所以.
所以.
（2）证明：的面积
则
所以.
由正弦定理，
所以.
因此，.
（3）先探究的最小值：注意到，
先证明对于任意的正数，，，均有.
因为，
所以得证，当且仅当时取等.
所以，
下考虑的取值范围.
因为，
所以.
当且仅当取等.
对于，
又（i）
（ii），
当且仅当取等.
由（i）式与（ii）的平方相乘，有，
所以，所以，
故，当且仅当取等.
再探究的最大值，当足够小时，的取值足够小，
而，所以的取值将足够大，也即没有最大值.
综上，有最小值2，没有最大值.
【法二】设的外接圆圆心为，内切圆圆心为，过点作垂直于点.
连接并延长交圆于点，连接并延长交圆于点，
因为为的内心，所以为的平分线，
得，则.
所以和相似，得
又，，得.
连接，则，又，
所以，
即，所以.得.
作直线与圆交于，两点，由相交弦定理得
得.即【上面过程为欧拉公式证明】所以.
再探究的最大值，当足够小时，的取值足够小，
而取值可取到足够大，即没有最大值.
综上，有最小值2，没有最大值.