2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点3　解三角形中的范围与最值问题(8大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点3　解三角形中的范围与最值问题(8大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共20页。
\l "_Tc209897711" 01 重点解读 PAGEREF _Tc209897711 \h 2
\l "_Tc209897712" 02 思维升华 PAGEREF _Tc209897712 \h 3
\l "_Tc209897713" 03 典型例题 PAGEREF _Tc209897713 \h 4
\l "_Tc209897714" 题型一：利用正弦定理及三角函数有界性求解 PAGEREF _Tc209897714 \h 4
\l "_Tc209897715" 题型二：利用余弦定理及基本不等式求解 PAGEREF _Tc209897715 \h 5
\l "_Tc209897716" 题型三：换元法求解范围 PAGEREF _Tc209897716 \h 6
\l "_Tc209897717" 题型四：坐标法 PAGEREF _Tc209897717 \h 7
\l "_Tc209897718" 题型五：三角形中的平方问题 PAGEREF _Tc209897718 \h 8
\l "_Tc209897719" 题型六：等面积法 PAGEREF _Tc209897719 \h 9
\l "_Tc209897720" 题型七：常见数学史问题 PAGEREF _Tc209897720 \h 10
\l "_Tc209897721" 题型八：四心问题 PAGEREF _Tc209897721 \h 12
\l "_Tc209897722" 04 课时精练 PAGEREF _Tc209897722 \h 14
解三角形范围与最值是高考中档难点，多在解答题中后段或选填压轴，分值 5-12 分。常以边长、面积、角的三角函数值为目标，依托正余弦定理转化为函数或不等式问题。常用方法有：三角函数有界性、基本不等式、二次函数最值。近年常与几何约束（如固定边、角）结合，侧重转化思想与代数求最值能力。
在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：
（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；
（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；
（4）根据三角形解的个数求范围或最值；
（5）利用二次函数求范围或最值．
题型一：利用正弦定理及三角函数有界性求解
【例题1】在中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求角；
(2)若，且边的中线的长为，求的面积；
(3)若是锐角三角形，求的范围．
【例题2】在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求证：；
(2)若，求a边的范围；
(3)求的取值范围．
【变式1】（2025·高三·浙江丽水·期末）已知锐角内角的对边分别为.若.
(1)求；
(2)若，求的范围.
【变式2】（2025·江西南昌·三模）在锐角中，，，
(1)求角A；
(2)求的周长l的范围.
题型二：利用余弦定理及基本不等式求解
【例题3】（2025·高三·河北石家庄·期中）在中，角所对的边为且满足.
(1)求；
(2)当时，求边上中线的范围.
【例题4】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c满足，.
(1)求B；
(2)若D为线段BC上一点，且满足，，求CD的长；
(3)若为锐角三角形，求面积的范围.
【变式3】在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的范围
【变式4】（2025·高三·河北邢台·开学考试）已知在中，角所对的边分别是，且满足.
(1)求角的大小；
(2)若的外接圆半径为1，求面积的最大值.
【变式5】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，当的面积取得最大值时，求内切圆的半径．
题型三：换元法求解范围
【例题5】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)若，求证：；
(2)若，求的最大值．
【例题6】在中，角的对边分别为，已知.
(1)若，且边的中线长为，求的面积；
(2)若是锐角三角形，求的范围.
【变式6】在中，角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若周长为6，求的面积；
(3)若为锐角三角形，求的范围．
【变式7】在锐角三角形中，分别为角所对的边，.
(1)证明：.
(2)求的范围.
题型四：坐标法
【例题7】（2024·山东·二模）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是△ABC的重心，且.
(1)若，求tan∠GAC的值；
(2)求cs∠ACB的取值范围.
【例题8】在中，，，点在内部，，则的最小值为______．
【变式8】（2025·江西·模拟预测）设的面积为，内角的对边分别为为中点，已知．
(1)求；
(2)若，求的范围．
题型五：三角形中的平方问题
【例题9】（2024·高三·江苏常州·期末）已知中，，所在平面内存在点使得，则面积的最大值为 ．
【例题10】（2024·辽宁辽阳·一模）在中，内角的对边分别为，且，则的最小值为 .
【变式9】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是___________.
题型六：等面积法
【例题11】在中，，且．
(1)求角；
(2)求面积的最大值；
(3)若是边上的一点，且证明，并求的最小值.提示：函数在区间上单调递减．
【例题12】在中，角的对边分别为，且，.
(1)若，求的值；
(2)若为锐角三角形.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若是的角平分线，求的取值范围.
【变式10】（2025·高三·山东·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求；
(2)若的面积为，且∠BAC的平分线交边BC于点D，求AD的最大值．
【变式11】已知函数， ，且在区间上单调递增，记的最大值为，设.
(1)求的解析式；
(2)在中，，，其内切圆半径为r，点P满足.
①求r的最大值；
②当r取得最大值时，求长的取值范围.
题型七：常见数学史问题
【例题13】（2025·高三·黑龙江·开学考试）在中，对应的边分别为，.
(1)求角的大小；
(2)奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式：
，
其中，当且仅当时等号成立，在（1）的条件下，若.
①求的最小值；
②若是内一点，过点作的垂线，垂足分别为，设的面积为，求的最小值.
【例题14】（2025·湖北·三模）内一点O，满足，则点O称为三角形的布洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如，请你和他一起解决如下问题：
(1)若a，b，c分别是A，B，C的对边，，证明：；
(2)在（1）的条件下，若的周长为4，试把表示为a的函数，并求的取值范围．
【变式12】已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径.
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，求边长的最大值；
(3)若的面积为，且，求面积的取值范围.
【变式13】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，求a；
(3)拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”如图，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A'，B'，C'，若，求△A'B'C'的面积的最大值．
题型八：四心问题
【例题15】为锐角三角形，内角的对边分别为.已知为的外心，为上一点，且，.
(1)求角；
(2)若，求面积的取值范围；
(3)若，求的取值范围.
【例题16】已知内角的对边为，点是的内心，若．
(1)求角；
(2)延长交于点，若，求的周长；
(3)求的取值范围．
【变式14】记的内角所对的边分别为，向量，且.
(1)求角A；
(2)若，点为的内心，求面积的最大值.
【变式15】在中，，，分别是角，，的对边，已知，点是的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点．
(1)求角的大小；
(2)若，求的值；
(3)若的面积，点是的重心，求的最小值．
1．在中，若边上的高为，求的范围.
2．记△的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，求的范围.
3．在中，角所对的边分别为，.
(1)求角；
(2)若，求的范围.
4．在中，内角所对的边分别是且．
(1)求角A；
(2)若，求周长的范围．
5．（2025·四川德阳·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的面积范围.
6．（2025·广东广州·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，．
(1)求角A的大小；
(2)求周长的范围．
7．（2025·高三·安徽·开学考试）已知的内角满足，且的面积大小为4.
(1)求边长的最大值；
(2)当边长取到最大值时，求的周长.
8．（2025·高三·河北·开学考试）在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角；
(2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值．
9．（2025·高三·山东烟台·开学考试）满足：
(1)求角的大小；
(2)为的中点，且，求的最大值
(3)若为外一点，，求四边形面积的最大值
10．（2025·高三·江苏南通·开学考试）在锐角三角形中，记分别为内角的对边，．
(1)求的值；
(2)求角的最大值．
11．已知的内角的对边分别为，的面积为，已知.
(1)求；
(2)若，求的面积的最大值.
12．在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．）
在锐角中，的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且选条件：_____________．
(1)求角A的大小；
(2)若E为BC中点，且，，求AC的值；
(3)如图所示，作（A、D位于直线BC异侧），使得四边形满足，，求AC的最大值．
13．在中，角，，的对边分别是，，，向量，，且.
(1)若，，求面积的最大值；
(2)若，求的取值范围.
14．如图，平面上有四点，其中为定点，，为动点，满足，设与的面积分别为．
(1)若，求角的值；
(2)求的最大值．
15．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，．
(1)若，求；
(2)霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．
16．已知，，，设的内角所对的边分别为，，，且．
(1)若，，为角A的平分线，且交于点，求的长；
(2)若的面积为，为的中点，求长的最小值；
(3)若，求周长的取值范围．
17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，
(1)求证：是等腰三角形；
(2)己知的面积为18，点D满足，求线段AD的最小值．
18．在中，，，分别是角，，的对边，若，.
(1)求角的大小；
(2)若且，点，是边上的两个动点，且.
（i）设，用表示；
（ii）设的面积为，求的最小值.
19．在中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积，求面积的最小值.
20．在等腰直角三角形中，斜边，点，均在线段上（不含端点），且.
(1)若，求的长；
(2)求的面积的最小值.
21．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面的问题：
(1)若是边长为的等边三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和；
(2)的内角所对的边分别为，且，点为的费马点.
（i）若，求的值；
（ii）求的最小值.
22．“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角，，所对的边分别为，，，，，点是的费马点．
(1)求；
(2)若，求的面积；
(3)求周长的取值范围．
23．在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
(1)求角．
(2)为边上一点，且．
①若，求当取最小值时的值；
②若为角平分线，求的取值范围．
24．已知的内角，，的对边为，，，且.
(1)求；
(2)若的面积为；
①为的中点，求底边上中线长的最小值；
②求内角的角平分线长的最大值.
25．已知函数的最小正周期为.
(1)求的解析式；
(2)在中，O为的外心，角A所对边的长为a，若的外接圆半径为1，且，求面积的最大值.
26．在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若.
(1)求；
(2)若为_______，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值.
（从条件①内心，，②垂心，③重心，，任选一个作答）