2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点14导数中的零点问题(6大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点14导数中的零点问题(6大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了函数零点个数的判定问题；，函数零点所在范围的确定问题；，隐零点的处理问题；，分段函数零点的分析与求解问题等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc202351732" 01 重点解读 PAGEREF _Tc202351732 \h 2
\l "_Tc202351733" 02 思维升华 PAGEREF _Tc202351733 \h 3
\l "_Tc202351734" 03 典型例题 PAGEREF _Tc202351734 \h 4
\l "_Tc202351735" 题型一：利用导数研究零点个数 PAGEREF _Tc202351735 \h 4
\l "_Tc202351736" 题型二：利用函数零点个数求参数范围 PAGEREF _Tc202351736 \h 5
\l "_Tc202351737" 题型三：隐零点问题 PAGEREF _Tc202351737 \h 6
\l "_Tc202351738" 题型四：零点赋值问题 PAGEREF _Tc202351738 \h 7
\l "_Tc202351739" 题型五：零点差问题 PAGEREF _Tc202351739 \h 8
\l "_Tc202351740" 题型六：max与min的零点问题 PAGEREF _Tc202351740 \h 10
\l "_Tc202351741" 04 课时精练 PAGEREF _Tc202351741 \h 12
导数在深入探究函数的单调特性、极值以及最值等关键性质时，发挥着不可或缺的作用。而要有效运用导数解决这些问题，一个核心要素便是精准把握函数的零点。具体而言，导函数零点的出现，往往标志着原函数单调性发生变化的临界点，或是原函数取得极值的点，甚至可能是最值的所在点。因此，牢牢抓住函数的零点，就等于掌握了解决导数相关问题的关键钥匙。
零点问题，作为导数应用中的一个重要方面，主要涵盖以下四大类别：
1、函数零点个数的判定问题；
2、函数零点所在范围的确定问题；
3、隐零点（即不易直接求解的零点）的处理问题；
4、分段函数零点的分析与求解问题。
1、解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种：
(1)转化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解.
(2)转化为函数f(x)的图象与x轴交点个数的问题.
(3)将进行参变分离，转化为的形式；有时为了避免出现“断点”，可以考虑“倒数分参”.
2、解决含参数的零点问题常用的方法主要有以下三种：
(1)分离参数法：分离之后函数无参数，则可得到函数的图象，然后上下移动参数的值，观察直线与函数图象交点个数即可.
(2)隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个为容易求导的不含参函数，另一个为图象是一条直线的含参函数，观察它们图象的变化趋势，找到临界的位置，易求得参数的取值范围.
(3)直接构造法：直接研究函数f(x)，对参数进行分类讨论，判断函数单调性，利用函数零点存在定理，判断零点个数，从而求出参数的取值范围.
题型一：利用导数研究零点个数
【典例1-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数，其中.
(1)求的极值；
(2)讨论的零点的个数.
【典例1-2】（2025·山东淄博·三模）已知函数.
(1)当时，判断有无极值点，并说明理由；
(2)当时，判断函数在上的零点个数并给出证明.
【变式1-1】（2025·湖南·模拟预测）已知为奇函数.
(1)求a的值；
(2)解不等式：；
(3)证明：函数有3个零点.
【变式1-2】（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数，直线.
(1)若点是函数图象上的一点，求点到直线距离的最小值；
(2)若，讨论函数的零点的个数.
题型二：利用函数零点个数求参数范围
【典例2-1】已知函数.
(1)时，求在点处的切线方程；
(2)有3个零点，求a的取值范围.
【典例2-2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数．
(1)若，证明：函数在上单调递增；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
【变式2-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数.
（i）当时，求的最大值；
（ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围.
【变式2-2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在处有极小值.
(1)求实数的值；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
题型三：隐零点问题
【典例3-1】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若在区间上有零点，求实数的取值范围．
【典例3-2】已知函数，
(1)当时，求的极值；
(2)若在区间上存在零点求a的取值范围；
【变式3-1】（2025·江西景德镇·模拟预测）(1)证明：在上恒成立.
(2)若，证明：函数在上恰有1个零点.
(3)试讨论函数在上的零点个数.
【变式3-2】（2025·重庆·三模）已知函数，函数在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)讨论的零点个数.
【变式3-3】（2025·上海·三模）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)当时，证明：恒成立.
(3)函数图像上存在多少组关于点对称的点对？说明你的结论和理由.
题型四：零点赋值问题
【典例4-1】已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的值；
(3)当时，证明：有2个零点．
【典例4-2】（2025·北京·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为.
(1)求a，b的值；
(2)①求证：只有一个零点；
②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围.
【变式4-1】（2025·广东汕头·三模）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个零点，为的导函数.
（i）求实数的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
【变式4-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，，设，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当曲线经过点时，有且仅有一个零点；
(3)证明：对小于的实数，若关于方程恰有三个不同的实根，则.
题型五：零点差问题
【典例5-1】（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为．
(1)求的值．
(2)求在上的零点个数．
(3)证明：在上存在两个零点，且．
【典例5-2】（2025·高三·安徽蚌埠·期末）已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)若关于的方程有两个根和，求证：．
【变式5-1】（2025·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点．
(1)若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）；
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：；
(3)若，若关于的方程的两个根分别为，证明：．
【变式5-2】（2025·河南南阳·一模）已知函数.
(1)若函数在上单调递增，求的取值范围.
(2)若函数的两个零点分别是，且，证明：
①随着的增大而减小；
②.
【变式5-3】已知函数有两个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：．
题型六：max与min的零点问题
【典例6-1】（2025·高三·安徽阜阳·开学考试）已知函数，.
(1)若曲线与曲线在处的切线平行，求实数的值；
(2)定义 ，记函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围.
【典例6-2】（2025·河南·三模）已知函数，，其中．
(1)求函数的零点；
(2)．
（ⅰ）用表示m，n的最大值，证明：；
（ⅱ）是否存在实数a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】已知函数.
(1)若是的极大值点，求的值；
(2)用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数.
注：若，当时，，当时，.
【变式6-2】（2025·浙江·二模）定义，已知函数，其中.
(1)当时，求过原点的切线方程；
(2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围.
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)证明：当时，函数只有一个零点.
2．已知函数.若在上恰有两个零点，求实数a的取值范围.
3．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数．
(1)若，讨论函数在的单调性；
(2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值．
4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数.
(1)时，求在处的切线．
(2)求函数的极值；
(3)若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
5．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有两个零点，求a的取值范围．
6．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，当时，求函数的最大值；
(3)讨论函数与函数的图象的交点个数．
7．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，存在，使得，求证：；
(3)当时，判断的零点个数，并作出证明．
8．已知函数．
(1)讨论的极值点个数；
(2)探究的零点个数.
9．（2025·广东广州·三模）已知函数.
(1)当时，求与相切，且垂直于直线的直线方程；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
10．（2025·海南·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若在区间上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
11．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数.
(1)若为上的单调函数，求k的取值范围；
(2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点.
12．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线斜率为0．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)设，若，判断函数的零点个数．
13．（2025·江西·模拟预测）已知．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)已知方程恰有3个实根，求的值．
14．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数，且不是的极值点.
(1)求a的值；
(2)判断的零点个数.
15．（2025·重庆九龙坡·三模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值;
(2)设有两个不同的零点，求的取值范围.
16．已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)记，证明：在上，当时，的图象恒在的图象上方.
17．（2025·山东·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的取值范围．
18．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，
(1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程.
(2)若关于的方程恰有两个不同的正实数根，求的取值范围.
19．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知是定义在区间上的单调递增函数，对于有如下甲、乙两个命题：
甲：是方程的根；
乙：是方程的根.
(1)求证：甲是乙的充分必要条件；
(2)设，若，方程有唯一实数根，求的值.
20．已知函数.
(1)当为何值时，轴为曲线的切线；
(2)用表示中的最大值，设函数，试讨论函数零点的个数.
21．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数．
(1)当时，求函数在上的极值；
(2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．
22．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若的导数分别为，且，求a的取值范围；
(3)用表示m，n中的最小值，设，若，判断函数的零点个数．
23．（2025·高三·黑龙江大庆·期中）已知函数
(1)若，证明：在上恒成立；
(2)若方程有两个实数根且，证明：
培优点14 导数中的零点问题
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc202351732" 01 重点解读 PAGEREF _Tc202351732 \h 2
\l "_Tc202351733" 02 思维升华 PAGEREF _Tc202351733 \h 3
\l "_Tc202351734" 03 典型例题 PAGEREF _Tc202351734 \h 4
\l "_Tc202351735" 题型一：利用导数研究零点个数 PAGEREF _Tc202351735 \h 4
\l "_Tc202351736" 题型二：利用函数零点个数求参数范围 PAGEREF _Tc202351736 \h 9
\l "_Tc202351737" 题型三：隐零点问题 PAGEREF _Tc202351737 \h 14
\l "_Tc202351738" 题型四：零点赋值问题 PAGEREF _Tc202351738 \h 19
\l "_Tc202351739" 题型五：零点差问题 PAGEREF _Tc202351739 \h 26
\l "_Tc202351740" 题型六：max与min的零点问题 PAGEREF _Tc202351740 \h 34
\l "_Tc202351741" 04 课时精练 PAGEREF _Tc202351741 \h 41
导数在深入探究函数的单调特性、极值以及最值等关键性质时，发挥着不可或缺的作用。而要有效运用导数解决这些问题，一个核心要素便是精准把握函数的零点。具体而言，导函数零点的出现，往往标志着原函数单调性发生变化的临界点，或是原函数取得极值的点，甚至可能是最值的所在点。因此，牢牢抓住函数的零点，就等于掌握了解决导数相关问题的关键钥匙。
零点问题，作为导数应用中的一个重要方面，主要涵盖以下四大类别：
1、函数零点个数的判定问题；
2、函数零点所在范围的确定问题；
3、隐零点（即不易直接求解的零点）的处理问题；
4、分段函数零点的分析与求解问题。
1、解决零点个数问题常用的方法主要有以下三种：
(1)转化为两个函数图象交点的个数问题，利用数形结合思想求解.
(2)转化为函数f(x)的图象与x轴交点个数的问题.
(3)将进行参变分离，转化为的形式；有时为了避免出现“断点”，可以考虑“倒数分参”.
2、解决含参数的零点问题常用的方法主要有以下三种：
(1)分离参数法：分离之后函数无参数，则可得到函数的图象，然后上下移动参数的值，观察直线与函数图象交点个数即可.
(2)隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个为容易求导的不含参函数，另一个为图象是一条直线的含参函数，观察它们图象的变化趋势，找到临界的位置，易求得参数的取值范围.
(3)直接构造法：直接研究函数f(x)，对参数进行分类讨论，判断函数单调性，利用函数零点存在定理，判断零点个数，从而求出参数的取值范围.
题型一：利用导数研究零点个数
【典例1-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数，其中.
(1)求的极值；
(2)讨论的零点的个数.
【解析】（1）因为，其定义域为，
且.
因为，由，所以函数在和上单调递减，
在上单调递增，所以在处取极小值，
且极小值为，无极大值.
（2）因为，所以当时，有，此时无零点；
当时，由（1）知，在处取极小值.
①当时，在处取极小值0，此时恰有一个零点；
②当时，在处取极小值，此时无零点；
③当时，在处取极小值.
下面先证明：当时，.
令，则，当时，单调递减，
时，单调递增，所以，即，等号当且仅当时成立.
所以，又当且时，.
所以在和各有一个零点，此时，共有2个零点.
综上可知，当时，无零点；当时，有一个零点；
当时，共有2个零点.
【典例1-2】（2025·山东淄博·三模）已知函数.
(1)当时，判断有无极值点，并说明理由；
(2)当时，判断函数在上的零点个数并给出证明.
【解析】（1）当时，无极值点，理由如下：
当时，函数，定义域为，
所以，
令，则，由得，
由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故，
所以在上单调递增，故函数无极值点．
（2）当时，函数在上的零点个数为2，证明如下：
由得，
设，则，令，得，
所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
因为，，， ，
所以，，
所以，使得，，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，，
设，则，，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以，故，即，
因为，所以，故，即.
设，则，，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以，即，
因为，所以.
由得，且.
因为，，，
所以函数在和上各有一个零点，共2个零点．
【变式1-1】（2025·湖南·模拟预测）已知为奇函数.
(1)求a的值；
(2)解不等式：；
(3)证明：函数有3个零点.
【解析】（1）由可得定义域为，
因为是奇函数，所以，
即有；
（2）由（1）得：，有，
再由复合函数单调可知：在上单调递增函数，
所以原不等式变形为，
根据单调性可得：；
即原不等式的解集为：
（3）因为是奇函数，所以也是奇函数，由，
要证函数有3个零点，只需要证明在上仅有一个零点，
则由得：，
构造，求导得，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
则在上，，
设,
当单调递增，当单调递减，所以，故
由于恒成立，则，
所以有，
由于
根据在上单调递减，且，所以在上不存在零点，
又根据在上单调递增，且，所以在区间必存在唯一零点，
故可证明在上仅有一个零点，
即函数有3个零点得证.
【变式1-2】（2025·湖北恩施·模拟预测）已知函数，直线.
(1)若点是函数图象上的一点，求点到直线距离的最小值；
(2)若，讨论函数的零点的个数.
【解析】（1）点到直线的距离为，
令，令，
令得，
当时为极大值，
当时，，
当时，，
，所以，
所以对应最小距离为；
（2）若，
定义域为，令可得，
则函数的零点的个数与的零点个数相同，
， 再令，
则，所以在单调递减，
又因为，在单调递增，在上单调递减，
则，，
当，所以当时恒成立，无零点，
当时，有1个零点，
当时，在和分别有1个零点，
即有2个零点，当时，
在有1个零点，在上，
恒成立，即只有1个零点；
综上所述，当时， 无零点，当或时，有1个零点，当时， 有2个零点.
题型二：利用函数零点个数求参数范围
【典例2-1】已知函数.
(1)时，求在点处的切线方程；
(2)有3个零点，求a的取值范围.
【解析】（1）当时，，，
则，则，且，
则切点，且切线的斜率为，
故函数在点处的切线方程为；
（2）令，，
得，
设，
则，
由解得或，其中，；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
且当时，； 当时，；
如图作出函数的图象，
要使函数有3个零点，
则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点.
结合图象可知，.
故的取值范围为.
【典例2-2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数．
(1)若，证明：函数在上单调递增；
(2)若函数有三个零点，求的取值范围．
【解析】（1）当时，，则，
要证函数在上单调递增，只要证明在上恒成立，
令，
因为，令，
解得，
由，得，此时函数单调递增，
由，得，此时函数单调递减，
所以当时，取得最小值，
因为，所以恒成立，
即在上单调递增；
（2）方法一：令，等价于，
设，
当时，没有零点；
当时，，
当时，，函数单调递增，
因为，
所以函数在上有一个零点；
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，的最小值为，
若．即在上没有零点；
若，即在上有一个零点；
若，即，
因为，当时，，
所以在上有两个零点；
综上，当时，有3个零点.
方法二：当时，恒成立，没有零点，故，
当时，单调递增，单调递减，
故在上单调递增，
且当时，，
故在上有唯一零点，
所以在上有三个零点等价于在上有两个零点，
当时，由，
即，得，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
故当时，，
且当时，，当时，，
故要使在上有两个零点，
则只要即可，解得；
综上，当时，有3个零点.
【变式2-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设函数.
（i）当时，求的最大值；
（ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围.
【解析】（1）由得 ，
当时，，在和单调递增；
当时，令，则，解得或；
令，则，解得或；
综上，当时，的单调递增区间为和；
当时，的单调递增区间为和，
递减区间为和.
（2）
则.
（i）当时，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以；
（ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，则函数恰有一个零点，
，
当时，由（i）知，，故没有零点；
当时，令，，单调递减；
令，，单调递增；
此时，，故没有零点；
当即时，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，
当趋近正无穷大时，趋近于正无穷大，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以在上单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当即时，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
此时，
又，当趋近正无穷大时，趋近负无穷，
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，的取值范围为.
【变式2-2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在处有极小值.
(1)求实数的值；
(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为
，
由已知，即，或，
当时，，
所以当时，当时，当时，
∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
时有极小值，符合题意.
当时，，
所以当时，当时，当时，
∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
时有极大值，不符合题意，故舍去.
；
（2）由已知有三个不同零点，
即的图像与直线有三个不同的交点，
由（1）知在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
故当时，有极大值，即，
当时，有极小值，即 ，
所以 ，.
题型三：隐零点问题
【典例3-1】（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若在区间上有零点，求实数的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，
即，
所以切线的斜率为．又，
所以切线方程为，即．
（2），则，
①当时，，
所以在区间上恒成立，在区间上单调递增．
所以在区间上恒成立，即在区间上无零点．
②当时，令，
则在区间上恒成立，
所以在区间上单调递增，即．
（ⅰ）时，，在区间上单调递增，
即在区间上恒成立，所以在区间上无零点．
（ⅱ）当时，，又，
所以存在，使得，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
即当时，取得最小值，因为，所以．
因为，所以当时，，
此时，在区间上恒成立，在区间上无零点．
当时，，故存在，使得，
所以实数的取值范围是．
【典例3-2】已知函数，
(1)当时，求的极值；
(2)若在区间上存在零点求a的取值范围；
【解析】（1）当时，，，，
当时，，当时，
在上单调递减，在上单调递增，
因此可得有极小值，无极大值；
（2），
当时，由于恒成立，所以在上单调递增，
又，在上无零点；
当时，由于，故，
所以在上单调递减，又，
在上无零点；
当时，，有，故在上单调递减，
，有，故在上单调递增，
所以有，
又因为当时，，
；
综上；
【变式3-1】（2025·江西景德镇·模拟预测）(1)证明：在上恒成立.
(2)若，证明：函数在上恰有1个零点.
(3)试讨论函数在上的零点个数.
【解析】（1）证明：令函数，，则，
所以在上单调递增，
则，即在上恒成立.
（2）证明：因为，所以在上单调递增.
由（1）得在上恒成立，故在上恒成立，
所以，
因为，故取，取，
则，
而，所以在上有1个零点，
即在上恰有1个零点.
（3）令，即，等价于.
记，.
在上的零点个数即在上的零点个数.
是的1个零点.
因为，
所以是奇函数，则在和上的零点个数相同.
，因为在上为减函数，
故在上单调递增.
当时，，故在上单调递增.
因为，所以在上恒成立，即在上没有零点，
所以在上只有1个零点.
当时，由（2）可得在上恰有1个零点，记该零点为.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
而，故，取，则，
，
结合在上的单调性可得在上有1个零点，
即在上有1个零点，所以在上有3个零点.
综上，当时，在上只有1个零点；
当时，在上有3个零点.
【变式3-2】（2025·重庆·三模）已知函数，函数在点处的切线方程为.
(1)求的值；
(2)讨论的零点个数.
【解析】（1）求导得到，
根据函数在点处的切线方程为，得到.
把代入得，
因为，所以，即.
又，解得.
（2）由第（1）问知，.
令，求导得.
当，，在递减；
当，，在递增.
，，所以存在唯一使，即.
当，，在递减；
当，，在递增，所以.
，又，，
根据零点存在定理，在和各有一个零点，共2个零点.
【变式3-3】（2025·上海·三模）已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)当时，证明：恒成立.
(3)函数图像上存在多少组关于点对称的点对？说明你的结论和理由.
【解析】（1）由题设，可得，
时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减，
故函数有唯一的极值点，当时取得极大值.
（2）当时，，
令，，则，
令，则，
当时，，于是在上严格递增，
所以，于是在上严格递增，
故，即，
所以，原不等式成立.
（3）存在唯一的点对关于对称，证明如下：
假设存在，设，，，
于是，，即，
设，则，
显然，即存在，其中，
令，则，即在上单调递减，
于是时，，在上单调递增；
时，，在上单调递减.
且，，，
于是，存在唯一的使得，即存在唯一的点对、满足题意.
题型四：零点赋值问题
【典例4-1】已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的值；
(3)当时，证明：有2个零点．
【解析】（1）当时，，则，
所以，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）函数的定义域为，且，
① 当时，易得，在上单调递减，
又，所以当时，，不符合题意；
② 当时，由，得时，即在上单调递增；
由，得时，即在上单调递减，
所以，
因为，则其等价于，即．
令，则，
所以当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，因恒成立，故．
（3）．
令，得，
令，则与有相同的零点，
且．
令，则，
因为当时，，所以在区间上单调递增，
又，，所以，使得，
所以当时，，即；
当时，，即，
所以在单调递减，在单调递增，
所以的最小值为．
由，得，即，
令，，则，则在单调递增．
因为，所以，则，
所以，从而，，
所以的最小值．
因为，所以当趋近于0时，趋近于；
当趋近于时，趋近于，且，
所以有2个零点，故有2个零点．
【典例4-2】（2025·北京·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为.
(1)求a，b的值；
(2)①求证：只有一个零点；
②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围.
【解析】（1）由题意知，，
所以曲线在处的切线的斜率为，
又曲线在处的切线方程为，
所以，解得；
（2）①：由（1）知，，
令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
且当时，，当时，，
所以函数在上存在唯一，使得，
即函数在上存在唯一零点.
②：由①知，切线的斜率为，又，
所以，
令，得，
设，则，
令或，或，
所以函数在和上单调递减，在和上单调递增，
当时，，即，由①知，故不符合题意；
当时，由，得
，
即，符合题意，
故实数的取值范围为.
【变式4-1】（2025·广东汕头·三模）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若有两个零点，为的导函数.
（i）求实数的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
【解析】（1）当时，，函数的定义域为，
，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上所述，函数在上单调递减，在单调递增.
（2）（i）函数的定义域为，，
①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴当时，取得最小值，最小值为.
因为函数有两个零点，且时，，时，，所以.
设，易知函数在单调递增.
因为，所以的解集为.
综上所述，实数的取值范围是.
（ii）因为，由，结合（i）知，
要证，即证，即，
当时，因为，，不等式恒成立；
当时，由得.
即证.
即证.
即证.
设，，由，
所以在单调递增.
所以，故原不等式成立.
所以.
【变式4-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，，设，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当曲线经过点时，有且仅有一个零点；
(3)证明：对小于的实数，若关于方程恰有三个不同的实根，则.
【解析】（1）时，则，故，，
点处的切线方程为；
（2）因曲线经过点，则，
令，.
令；，
则在上单调递减，在上单调递增，则，
由，可得，此时，，
令，，则在上单调递增，
注意到，结合在上递增，
所以；，故在单调递减，在上单调递增，则，
即曲线经过点时，有且仅有一个零点1；
（3），其中，，，
令且，，则，则在上单调递增.
注意到，，则，使，
结合在上递增，则，.
所以在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为.
注意到，则，
令且，则，
所以在上单调递减，故.
注意到，，则，使；
令且，在上单调递增，则，
即，，，；
令且，.
所以；，
则在上单调递增，在上单调递减，则，
所以，，
综上，，
又，.
则，使，则、大致图象如下，
方程恰有三个不同的实数根，则直线与图象有3个交点，
由图，得时满足题意.
对小于的实数，存在实数使关于方程恰有三个不同的实数根，
注意到，则时满足题意，
令且，则，
则在上递增，则，得证.
题型五：零点差问题
【典例5-1】（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为．
(1)求的值．
(2)求在上的零点个数．
(3)证明：在上存在两个零点，且．
【解析】（1），定义域为．
．由题可得，，解得．
（2）由（1）可得，．
当时，，，故，在时无零点；
当时，，，故，在时无零点．
当时，，所以在上单调递增．
而，．
故由零点存在性定理知，在上存在唯一零点．
当时，，，故，在时无零点；
综上：在上的零点个数为1．
（3）．令，．
令，则．
当时，，，，所以．所以在上单调递增．
，，所以由零点存在性定理，存在唯一，使得．
当变化时，，的变化如下表：
又，，．
所以由零点存在性定理，分别在，上各恰有一个零点，即在上存在两个零点．
不妨设．则当时，；当时，．
而，．
所以．故．
【典例5-2】（2025·高三·安徽蚌埠·期末）已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的极值；
(3)若关于的方程有两个根和，求证：．
【解析】（1）因为，所以，则，
又，
故在处的切线方程为，即．
（2）函数的定义域为，又，
令，解得；令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值．
（3）由（2）不妨令，，，
构造，，
则，令，解得；令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，，
由，则，
所以，当且仅当时等号成立，
构造，，
，令，得；令，得，
在上单调递增，在上单调递减，，
由，则，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，又等号不同时成立，
所以．
【变式5-1】（2025·重庆·模拟预测）牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点．
(1)若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）；
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：；
(3)若，若关于的方程的两个根分别为，证明：．
【解析】（1），
当时，，在点处的切线方程为，与轴的交点横坐标为，
所以，，在点处的切线方程为，与轴的交点为，
所以方程的二次近似值为．
（2）由题可知，，，，
所以在处的切线为，即；
设，
则，显然单调递减，令，解得，
所以当时，，则在单调递增，
当时，，则在单调递减，
所以，
所以，即．
（3）由，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，也是的最大值点，即，
又时，，时，，
所以当方程有两个根时，必满足；
曲线过点和点的割线方程为，
下面证明，
设，
则，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递增，；
在上单调递减，，
所以当时，，即（当且仅当或时取等号），
由于，所以，解得；①
下面证明当时，，
设，因为，
所以当时，（当且仅当时取等号），
由于所以，解得，②
①②，得．
【变式5-2】（2025·河南南阳·一模）已知函数.
(1)若函数在上单调递增，求的取值范围.
(2)若函数的两个零点分别是，且，证明：
①随着的增大而减小；
②.
【解析】（1）若函数在上单调递增，易知，
令，，令，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故原命题等价于求，且，故，解得，
即的取值范围为.
（2）①引理：对，必有成立，令，
故，令，，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，故成立，
设，则，即，
可得的最小值为
而，当时，，
且由引理知，故，
由零点存在性定理得有两个零点，
结合可得，
故当时，两个根一定会存在，设是关于的函数，记为，
我们同样可以定义为：对，存在唯一的，使得，
且这个就是关于的方程中的较大根，此时已有，
此时发现是上的函数，则证明在上单调递减即可，
由于，
首先，我们有，，所以，，
其次，我们实际上有，（因为要么，要么），
所以，若，则，，
然后考虑，显然我们有，
若，则，所以另一根一定小于，从而，
若，由于是关于的较大根，故，
即，解得，但是对任意的时，
关于的方程的较小根都不超过，
要么，解得，要么，
所以是较大根，从而，这表明与关于对称，
所以我们只需要证明在上单调递减，
这里是的较大根，且，
由于，故对，设，
则，，
从而由是较大根，知，，
也意味着位于单调递增区间，
设，由于当时，
，
所以，
而，方程的较小根一定不超过，
这表明的较大根一定成立，所以，
这就证明了在上单调递减，从而一定在上单调递减，
故随着的增大而减小得证.
②由①知有两个零点，且，
由于，
由引理又有，
而根据单调性得，当或时，必有，
所以，
可得
即，原不等式得证.
【变式5-3】已知函数有两个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)求证：；
(3)求证：．
【解析】（1），
又因为函数单调递增，且，
所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当，即时，
，
，
所以在和上各有一个零点，
当时，的最小值为，且，
所以在内至多只有一个零点，
综上，实数的取值范围是；
（2）设，，
，
，
当时，，
，
所以，
所以在上单调递增，
当时，，
即当时，，
又因为函数有两个零点，
由（1）知，，，
所以，
（3）设，
，
，当时，
因为，
令，，
设，，
令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以,
所以恒成立，显然，
令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即，
设的零点为，，
易知，
所以，
设，
设，，
令，解得：，令，解得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以恒成立，即，
设的零点为，，
易知，，
所以，
所以，
所以
题型六：max与min的零点问题
【典例6-1】（2025·高三·安徽阜阳·开学考试）已知函数，.
(1)若曲线与曲线在处的切线平行，求实数的值；
(2)定义 ，记函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，所以.
因为，所以，
解得.
（2）令，解得，易知在R上单调递增.
当时，，由，得，
此时函数有三个零点，符合题意.
当时，.由，得或，
则在，上单调递增，在上单调递减，
因为，若函数有三个零点，则，
解得.
当时，.由，得或，
(ⅰ)当，即时，则在，上单调递减，在上单调递增，
因为，，此时函数没有零点，不符合题意；
(ⅱ)当，即时，因为在上单调递减，且，此时函数无零点，不符合题意；
(ⅲ)当，即时，在，上单调递减，在上单调递增.
①若，则函数至多有两个零点，不符合题意；
②若，则，
此时，
此时函数有三个零点，符合题意；
③若，得，，
记，因为，，单调递增；
所以，此时函数有四个零点，不符合题意.
综上所述，满足条件的实数a的取值范围是.
【典例6-2】（2025·河南·三模）已知函数，，其中．
(1)求函数的零点；
(2)．
（ⅰ）用表示m，n的最大值，证明：；
（ⅱ）是否存在实数a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）函数的定义域为R，
则，
当时，，则，
当时，，则，
所以函数在上为减函数．
又因为，故函数有且只有一个零点0.
（2）（ⅰ）函数的定义域为，
当时，，
当时，，
所以.
（ⅱ）由（1）知，当时，，
又，
所以当时，恒成立，
因为当时，恒成立，
所以等价于当时，恒成立，
又，
若，当时，由，
所以在上递增，所以此时恒成立.
若，当时，由，解得为，
在上递减，此时，不符合题意．
综上可知，存在实数a满足题意，a的取值范围是.
【变式6-1】已知函数.
(1)若是的极大值点，求的值；
(2)用表示中的最大值，设函数，试讨论零点的个数.
注：若，当时，，当时，.
【解析】（1）由函数，可得，
因为是的极大值点，则，解得，
当时，可得，
当时，，令，则，
所以在上单调递减，则，即，
此时在上单调递增；
当时，令，可得，则，
故即单调递减，
又因为，所以当时，单调递减，
所以，当时，是的极大值点，符合题意.
（2）（I）由函数，
当时，，，此时无零点；
（II）当时，可得，
①若，即时，，
此时不是的零点；
②若，即时，，
此时是的零点；
（III）当时，，零点个数等于零点个数，
显然是的一个零点；
当时，可转化为，
令，则，
由（1）知，，
所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，当时，，
可得，函数的图象所示：
①当或或时，有1个零点；
②当或时，有2个零点；
③当时，无零点.
综合（I）（II）（III）得：
当或时，有2个零点；
当或或时，有3个零点；
当或时，有4个零点.
【变式6-2】（2025·浙江·二模）定义，已知函数，其中.
(1)当时，求过原点的切线方程；
(2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意知定义域，当时，
，
令，
，
在单调递增，单调递减，且，
令，则在单调递增，而，
又，，而，
所以当时，，当时，，
所以当时，，当时，，
所以，
所以在和单调递增，在单调递减.
（ⅰ）当时，，设切点，
则此切线方程为，
又此切线过原点，
所以，解得，
即此时切线方程是 ；
（ⅱ）当时，，所以，
设切点为，此时切线方程，
又此切线过原点，所以，解得，
所以此时切线方程，
综上所述，所求切线方程是：或；
（2）（ⅰ）当时，
由（1）知，在和单调递增，单调递减，
且，， ，
此时有两个零点；
（ⅱ）当时，
当时，，
由（1）知：在递增，递减，且，
所以时，，而，
所以在只有一个零点，没有零点；
（ⅲ）当时，
，此时得，
由（1）知，当时，只有一个零点，
要保证只有一个零点，只需要当时，没有零点，
，得；
（ⅳ）当时，当时，，
此时只有一个零点，
综上，只有一个零点时，或 .
1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)证明：当时，函数只有一个零点.
【解析】（1）当时，，则，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）.
若，即时，，则在上单调递减；
若，即时，令，得；令，得，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
综上所述：时，函数在上单调递减；
时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
（3）证明：由题知函数，
则.
若，则，所以在上单调递增，
此时，所以只有一个零点为0；
若，令，得或；令，得，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
此时函数的极大值为，极小值为.
不妨令，则，
显然时，，此时单调递增，时，，此时单调递减，
易知，
所以，
又，
所以只有一个零点，且零点在区间内；
若，令，得或，令，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
此时极大值为，极小值为.
不妨令，则，
此时单调递减，又，
，
所以函数只有一个零点，且零点在区间内.
综上所述，当时，函数只有一个零点.
2．已知函数.若在上恰有两个零点，求实数a的取值范围.
【解析】由题意，函数在上恰有两个零点，
可得，
令，则，
当时，由，即，得或.
当时，，递增；
当时，，递减；
当时，，递增；
，，，，
因为在上恰有两个零点，
所以直线与曲线（）恰有两个交点，
所以实数a的取值范围为.
3．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数．
(1)若，讨论函数在的单调性；
(2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值．
【解析】（1）由条件，
则，
由，所以，
令，则，得或，
令，则，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
（2）由，则，
令，则，
所以当时，单调递增，
又，所以，
，
所以在上单调递增，，
由题意，，解得，
所以a的最小值为1．
4．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数.
(1)时，求在处的切线．
(2)求函数的极值；
(3)若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围．
【解析】（1）由题设，则，
所以，，则，可得；
（2）的定义域为，则，
当时，恒成立，
此时在上单调递增，无极大值和极小值，
当时，，
由得：，由得：，
此时在单调递增，在单调递减，
所以的极大值为，无极小值．
（3）由（2）可知，当时，在单调递增，
所以在单调递增，不可能有两个零点，
当时，的极大值为，
因为，所以是的一个零点，
若函数在区间上恰有两个零点，则，
即，可得：，
所以的取值范围为．
5．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有两个零点，求a的取值范围．
【解析】（1）若，，，
则；，
故所求的切线方程为，即．
（2）由题意函数的定义域为，
，
①当时，恒成立，在上单调递增，
函数在定义域内最多一个零点，不符合题意；
②当时，令，则；
令，则；令，则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，
若，则，此时最多一个零点，不符合题意；
若，则，
又时，；时，，
由零点存在性定理和函数的单调性可知，在上存在唯一的零点，
在上也存在唯一的零点，符合题意，
综上．
6．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，当时，求函数的最大值；
(3)讨论函数与函数的图象的交点个数．
【解析】（1）若，则，
所以，则，
又，
所以曲线在点处的切线方程是，
即．
（2），
函数的定义域为
．
当时，，
令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为．
（3）联立得得，
得，
结合（2）可知．
则“函数与函数的图象的交点个数”等价于“函数的零点个数”．
当时，无零点．
当时，的最大值为．
若，即，则无零点．
若，即，则只有一个零点．
若，即，则，又，
令，则且，
由，得；由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故有最大值，无最小值．
故，所以，由（2）知在上单调递增，所以在上有唯一零点．
令，
则，且，
由，得；由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故有最小值，无最大值．
所以，
于是和，
所以，
又在上单调递减，
故在上有唯一零点．
当时，由上得，于是，而，
所以，即无零点．
综上，当或时，无零点；当时，只有一个零点；当时，有两个零点，
即当或时，函数与函数的图象无交点；
当时，函数与函数的图象有1个交点；
当时，函数与函数的图象有2个交点．
7．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，存在，使得，求证：；
(3)当时，判断的零点个数，并作出证明．
【解析】（1）当时，，定义域为，
对函数求导得，则曲线在处的切线斜率为.
而，得到曲线在处的切线方程为，即.
（2）当时，，.
因为存在，使得.
所以，
化简得：，，可求得，.
将代入得：，化简得.
进一步化简得：，令，，
令，则，
令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，即得证，
因为，所以令，故.
（3）因为，所以.
对函数求导得：.
令，解得，
当时，，则函数在上单调递增；
当时，，则函数在上单调递减；
所以函数在处取极小值为.
令，，对求导：.
在上恒成立，在上单调递增，.
当时，；当时，.
所以有两个零点.
8．已知函数．
(1)讨论的极值点个数；
(2)探究的零点个数.
【解析】（1）定义域为，，
①当时，，当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，有1个极值点．
②当时，令，得或，
（ⅰ）当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点；
（ⅱ）当时，，，所以在上单调递增，无极值点；
（ⅲ）当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调增，有2个极值点．
综上，当时，有1个极值点；当时，无极值点；当或时，有2个极值点．
（2）由题知，．
当时，由，得，
则的零点个数即直线与曲线的交点个数．
令，
则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增．
因为，当，且时，，当时，，
又时，，且当时，，当时，．
所以的大致图象如图所示．
由图象可知，当时，与曲线有2个交点；当时，与曲线有1个交点．
所以，当时，有2个零点；当时，有1个零点．
9．（2025·广东广州·三模）已知函数.
(1)当时，求与相切，且垂直于直线的直线方程；
(2)若有两个零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，求导可得，
因为直线的斜率为，所以切线斜率为3，
令，解得，此时切点为，
所以切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
①当时，，函数在单调递减，此时最多一个零点，舍去；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.
因为当时，；时，
所以要函数有两个零点，当且仅当.
设，知函数在单调递增.
因为，则的解集为.
综上所述，的取值范围是.
10．（2025·海南·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若在区间上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．
【解析】（1）当时，，定义域为，
则，
由可得，由可得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值为，无极大值.
（2）由可得，
设，则函数在区间上单调递增，且，，
当时，当时，，，即函数在区间上单调递增，
则，即函数在区间上没有零点；
当时，即当时，当时，，，即函数在区间上单调递减，
则，即函数在区间上没有零点；
当时，，，则存在，使得，
当时，，，函数在上单调递减，
当时，，，函数在上单调递增，
因为，要使得函数有零点，需满足，解得，
综上所述， 实数的取值范围是.
11．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数.
(1)若为上的单调函数，求k的取值范围；
(2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点.
【解析】（1），
因为为上的单调函数，
所以对任意，有；或对任意，有，
即恒成立，或恒成立，
所以的取值范围是.
（2），且，
所以是奇函数，
所以只需证明：存在无数个取值使得在上恰有一个零点.
，令，
由（1）知，时，在上是减函数.
所以，在上是减函数.
，故存在.
当变化时，的变化情况如下表：
故时，.
故存在唯一的.
于是时，在上存在唯一的零点.
于是存在无数个取值使得恰有三个不同的零点.
12．（2025·安徽·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线斜率为0．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)设，若，判断函数的零点个数．
【解析】（1）依题意，，
因为曲线在处的切线斜率为0，
所以，即．
所以，
故函数在上单调递增．
（2）由（1）得，所以
故，设，
则，设，则，
当时，，所以单调递减，
因为，所以当时，从而函数即单调递减，
又，
从而存在唯一，使得，
且当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
而，
故存在唯一，使得．
因为是奇函数，且，
所以函数有3个零点．
13．（2025·江西·模拟预测）已知．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)已知方程恰有3个实根，求的值．
【解析】（1）当时，求导得，
构造，求导得，
则当时，，所以在时单调递增；
则当时，，所以在时单调递减；
即，则，
所以当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）同理，由（1）得，
所以当时，有
则当时，，
当时，，
则在上单调递减，在上单调递增．
此时方程最多只有两根，不满足题意；
则讨论的情形：
由，存在三个零点，分别为和1，
其中的零点由数形结合可得：
可知，
由此可得：当时，，则，
所以在区间上单调递减；
当时，，则，
所以在区间上单调递增；
当时，，则，
所以在区间上单调递减；
当时，，则，
所以在区间上单调递增；
此时依次有2个极小值点和一个极大值点1，
因为，所以
则，
，
所以有，即两个极小值相等，
所以方程有3个实根，必然，
即．
14．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数，且不是的极值点.
(1)求a的值；
(2)判断的零点个数.
【解析】（1），
因为不是的极值点，
所以方程还有其它正根（变号零点），
则必须大于0，
若曲线在只有一个公共点，
则相切，不符合题意，
所以此时必须有两个正根，且为其中一个，
即
所以；
（2）由（1）可得：，
设，
则方程的两根为，其中，
当时，，所以，即，在单调递减，
当时，，所以，即，在单调递增，
当时，，所以，即，在单调递增，
所以
因为即，
所以
，
且时，，
时，
所以在上各有一个零点，
所以在上有且仅有2个零点.
15．（2025·重庆九龙坡·三模）已知函数.
(1)当时，求函数的极值;
(2)设有两个不同的零点，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，
，
由得：，由得：或，
当时，单调递增，当和时，单调递减，
的极小值为的极大值为．
（2），
令，则，
记，则，
当时，，当时，，
在单调递增，在单调递减，
且，
又当时恒成立，
要使有两个零点，则与图象有两个交点，
，解得：．
16．已知函数.
(1)讨论的零点个数；
(2)记，证明：在上，当时，的图象恒在的图象上方.
【解析】（1）令，得，
即的零点个数可看作直线与曲线的交点个数问题；
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故，当时，，当时，，
当时，，当时，.
所以当时，直线与曲线有2个交点；
当或时，直线与曲线有1个交点；
当时，直线与曲线无交点.
故时，函数的零点个数是2；
或时，函数的零点个数是1；
时，函数的零点个数是0.
（2）令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以成立，所以，
要证的图象恒在的图象上方，
即证在上恒成立，
又，只需证，
故只需证，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增.
故，
所以当时，，所以恒成立，
所以的图象恒在的图象上方.
17．（2025·山东·二模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，，
若恒成立，时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减；
若，令或；
当时，
时，时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增；
当时，，
当，，，
当，，，，
所以恒成立，在上单调递增；
当时，时，时，
时，
所以在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，
若，在上单调递增，在上单调递减；
若，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增.；
（2）若，当恒成立，
当时，单调递增，不可能有两个零点；
若，因为在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增；
所以的极小值，故不可能有两个零点；
若在上单调递增，在上单调递减；
因为有两个零点，则必有，即；
此时，当时，；当时，；
故有两个零点，符合题意，
综上．
18．（2025·甘肃白银·二模）已知函数，
(1)当时，若直线过原点且与曲线相切，求的方程.
(2)若关于的方程恰有两个不同的正实数根，求的取值范围.
【解析】（1）当时，，设直线的方程为，
曲线与直线相切于点，
因为，所以①，
又点既在曲线上，又在直线上，
所以②，由①②得，所以，
所以，故的方程为.
（2）由得：，
恰有2个正实数根恰有两个正实数根，
令，则与有两个不同交点，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，又，
当从0的右侧无限趋近于0时，趋近于；
当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于，则的图象如图所示，
当时，与有两个不同交点，实数的取值范围为.
19．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知是定义在区间上的单调递增函数，对于有如下甲、乙两个命题：
甲：是方程的根；
乙：是方程的根.
(1)求证：甲是乙的充分必要条件；
(2)设，若，方程有唯一实数根，求的值.
【解析】（1）①充分性：若是方程的根，则，
所以，即是的根，充分性成立；
②必要性：若是方程的根，则.
如果，那么，由函数在定义域内单调递增，得，矛盾.
如果，那么，由函数在定义域内单调递增，得，矛盾.
所以是方程的根，
综上，甲是乙的充分必要条件.
（2）因为，所以，
函数在上单调递增，
由（1）知“是方程的根”与“是的根”等价，
故只需求：当时有唯一的，满足的值.
令，则.
因为为上的单调递减函数，又，当趋向于无穷大时，趋近于，
故存在唯一的使，并得.
此时在上单调递增，在上单调递减，
故.
要方程在内有唯一实数根，即要，解得.
所以，.
20．已知函数.
(1)当为何值时，轴为曲线的切线；
(2)用表示中的最大值，设函数，试讨论函数零点的个数.
【解析】（1）设曲线与轴相切于点，则，
即，解得.
（2）当时，在无零点.
当时，若，则，
故是的零点；
若，则，
故不是的零点.
当时，，所以只需考虑在的零点个数.
（i）若或，则在无零点，
故在单调，而，
所以当时，在有一个零点；
当时，在无零点.
（ii）若，则在单调递增，在单调递减，
故当时，取的最大值，最大值为.
①若，即在无零点.
②若，即，则在有唯一零点；
③若，即，由于，
所以当时，在有两个零点；
当时，在有一个零点.
综上，当或时，有一个零点；
当或时，有两个零点；
当时，有三个零点.
21．（2025·湖北黄冈·三模）已知函数．
(1)当时，求函数在上的极值；
(2)用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．
【解析】（1）当时，，
由，得或，则和随的变化如下表所示：
∴在上有2个极大值：在上有1个极小值．
（2）由，知．
（ⅰ）当时，，
∴，故在上无零点．
（ⅱ）当时，．
故当时，即时，是的零点；
当时，即时，不是的零点．
（ⅲ）当时，．故在的零点就是在的零点，
．
①当时，，故时，在是减函数，
结合，可知，在有一个零点，
故在上有1个零点．
②当时，，故时，在是增函数，
结合可知，在无零点，故在上无零点．
③当时，，使得时，在是增函数；
时，在是减函数；
由知，．
当，即时，在上无零点，故在上无零点．
当，即时，在上有1个零点，故在上有1个零点．
综上所述，时，有2个零点；时，有1个零点；时，无零点
22．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若的导数分别为，且，求a的取值范围；
(3)用表示m，n中的最小值，设，若，判断函数的零点个数．
【解析】（1），令得，或（不合题意舍去），
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值．
（2）由（1）得，时，，
对求导得，，
时，恒成立，
所以时，恒成立，设，
，令，得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，
所以，即a的取值范围是．
（3）因为，设，则，
①若，令，解得，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以，
所以时，没有零点；
②若，由（1）知，
当时，，在上单调递增，
又，所以时，，
当时，，所以在上单调递增，且，
存在唯一，使得，则，
当时，，即在单调递增，
所以，
当时，在上单调递减，且，
所以存在唯一，使得，
综上所述，时，无零点，当时有2个零点．
23．（2025·高三·黑龙江大庆·期中）已知函数
(1)若，证明：在上恒成立；
(2)若方程有两个实数根且，证明：
【解析】（1）因为，，令
所以，
下证，
令，
则，
当时,，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上恒成立
（2）证明：先证右半部分不等式： ；
因为，，
所以；
可求曲线在和处的切线分别为和；
设直线与直线，函数的图象和直线交点的横坐标分别为
则
则；
因此.
再证左半部分不等式：.
设取曲线上两点，
用割线，来限制，
设直线与直线的交点的横坐标分别为，
则，且，
所以.
综上可得成立
0
极小值
0
2
+
0
0
极大值
0
+
0
-
0
+
0
-
极大
极小
极大