2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用1.4　基本不等式(2大考点+20大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用1.4　基本不等式(2大考点+20大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共13页。
\l "_Tc199770824" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc199770824 \h 3
\l "_Tc199770825" 一、基本不等式 PAGEREF _Tc199770825 \h 3
\l "_Tc199770826" 二、利用基本不等式求最值 PAGEREF _Tc199770826 \h 3
\l "_Tc199770827" 常用二级结论 PAGEREF _Tc199770827 \h 5
\l "_Tc199770828" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc199770828 \h 6
\l "_Tc199770829" 题型一：基本不等式核心性质与变形 PAGEREF _Tc199770829 \h 6
\l "_Tc199770830" 题型二：比较大小 PAGEREF _Tc199770830 \h 7
\l "_Tc199770831" 题型三：不等式的证明技巧 PAGEREF _Tc199770831 \h 7
\l "_Tc199770832" 题型四：直接使用基本不等式 PAGEREF _Tc199770832 \h 8
\l "_Tc199770833" 题型五：拆项或添项法 PAGEREF _Tc199770833 \h 9
\l "_Tc199770834" 题型六：消元化简求解 PAGEREF _Tc199770834 \h 9
\l "_Tc199770835" 题型七：整体代换与局部代换 PAGEREF _Tc199770835 \h 10
\l "_Tc199770836" 题型八：三角函数法 PAGEREF _Tc199770836 \h 10
\l "_Tc199770837" 题型九：多次迭代法 PAGEREF _Tc199770837 \h 11
\l "_Tc199770838" 题型十：参数构造法 PAGEREF _Tc199770838 \h 11
\l "_Tc199770839" 题型十一：三元、四元元均值不等式 PAGEREF _Tc199770839 \h 12
\l "_Tc199770840" 题型十二：判别式法 PAGEREF _Tc199770840 \h 12
\l "_Tc199770841" 题型十三：双变量换元法 PAGEREF _Tc199770841 \h 12
\l "_Tc199770842" 题型十四：比值代换法 PAGEREF _Tc199770842 \h 13
\l "_Tc199770843" 题型十五：实际应用建模 PAGEREF _Tc199770843 \h 13
\l "_Tc199770844" 题型十六：跨知识点综合 PAGEREF _Tc199770844 \h 14
\l "_Tc199770845" 题型十七：特定形式的最值问题 PAGEREF _Tc199770845 \h 15
\l "_Tc199770846" 题型十八：恒(能)成立问题 PAGEREF _Tc199770846 \h 15
\l "_Tc199770847" 题型十九：常见的几何无字证明模型 PAGEREF _Tc199770847 \h 16
\l "_Tc199770848" 题型二十：构造不等式法求最值 PAGEREF _Tc199770848 \h 18
\l "_Tc199770849" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc199770849 \h 19
\l "_Tc199770850" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc199770850 \h 20
\l "_Tc199770851" ①数形结合 PAGEREF _Tc199770851 \h 20
\l "_Tc199770852" ②转化与化归 PAGEREF _Tc199770852 \h 20
\l "_Tc199770853" ③分类讨论 PAGEREF _Tc199770853 \h 21
\l "_Tc199770854" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc199770854 \h 22
\l "_Tc199770855" 基础过关篇 PAGEREF _Tc199770855 \h 22
\l "_Tc199770856" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc199770856 \h 23
1、了解基本不等式的推导过程.
2、会用基本不等式解决简单的最值问题.
3、会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.
4、理解基本不等式在实际问题中的应用.
5、掌握基本不等式在其他知识中的应用.
一、基本不等式
1、对公式及的理解．
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．
2、由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：．
3、基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形．
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有．
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．
通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，．
所以，（当且仅当时取等号“=”）．
知识点诠释：
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．
通常我们把上式写作：
如果，，，（当且仅当时取等号“=”）．
4、基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、．
易证，那么，即．
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立．
知识点诠释：
（1）在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（2）如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
二、利用基本不等式求最值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．
知识点诠释：
1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．
2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．
3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．
4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值．
5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案．
常用二级结论
常见求最值模型
模型一：ax+bx≥2ab(a>0,b>0)，当且仅当x=ba时等号成立.
模型二：x(n−mx)=mx(n−mx)m≤1m⋅（mx+n−mx2)2=n24m(m>0,n>0,00)，当且仅当x=ca时等号成立.
题型一：基本不等式核心性质与变形
【例1】（2025·河北·三模）已知x>0，那么以下关于式子x2+1x的分析判断正确的选项是（ ）
（1）x2+1x≥2x；
（2）上式当且仅当x2=1x即x=1时，等号成立；
（3）所以当x=1时，x2+1x取得最小值2
A．以上全正确B．（1）错C．（2）错D．（3）错
【解题总结】
基本不等式的常见变形
(1)ab≤a＋b22≤a2＋b22.
(2)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0,b>0)
【变式1-1】下列结论正确的是（ ）
A．当x>0且x≠1时，lnx+1lnx≥2
B．当x∈0,π2时，sinx+4sinx的最小值为4
C．当x>0时，x+1x≥2
D．当ab≠0时，ba+ab≥2
【变式1-2】下列命题中正确的是（ ）
A．当x>1时，x+1x的最小值为2B．当xb3B．ab>1C．a2+b2>2abD．2a>2b
【解题总结】
直接利用性质比较大小
【变式2-1】（2025·山东·模拟预测）已知a>0，b>0，且a+b=ab，则下列不等式成立的是（ ）
A．a+b≤4B．lg2a+lg2b>2
C．blna>1D．a+b≥3
【变式2-2】（2025·云南·一模）已知a=lg32，b=lg53，c=lg85，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a0，y>0，x+y=1，则1x+2y的最小值为 ．
【解题总结】
整体代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．
【变式7-1】已知x>0,y>0,x+y=1，则1x+xy的最小值为（ ）
A．2B．4C．1D．3
【变式7-2】已知正数m,n满足2m+n=6，则12m+1+1n+1的最小值为 ．
【变式7-3】（2025·重庆·模拟预测）若a>b>1，且a+3b=5，则1a−b+4b−1的最小值为 ．
【变式7-4】（2025·河南·三模）函数fx=lgax−1+1过定点A，若A∈x,ymx+ny=1,m>0,n>0，则1m+2n的最小值为（ ）．
A．4B．6C．8D．10
【变式7-5】已知正数m,n满足1m+3n=2，则m+3n的最小值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
题型八：三角函数法
【例8】（多选题）（2025·江苏淮安·模拟预测）若x,y∈R满足x2+4y2−2xy=1，则（ ）
A．x2+4y2≤2B．−233≤x≤233
C．x+2y≤1D．x+2y≥−2
【解题总结】
出现平方和结构（ma2+nb2）形式，引入三角函数表示a和b.
【变式8-1】（2025·河南新乡·模拟预测）已知正数x,y满足9x2−1+9y2−1=9xy，则4x2+y2的最小值为 ．
【变式8-2】已知非负实数x，y满足2x2+4xy+2y2+x2y2=9，则22(x+y)+xy的最大值为 .
【变式8-3】已知x,y∈R+，满足2x+y=1，则x+x2+y2的最小值为（ ）
A．45B．25C．1D．1+23
题型九：多次迭代法
【例9】（2025·天津红桥·一模）已知a>0,b>0，则1a+a4b2+b的最小值为（ ）
A．42B．22C．4D．2
【解题总结】
在利用不等式多次求解最值问题的过程中，需格外留意的是，每一次运用不等式取到最值时所依赖的等号成立条件是否相互契合、保持一致。
【变式9-1】（2025·江苏盐城·三模）已知a∈R,b∈R+，则e2a+b−lna+b2的最小值为 ．
【变式9-2】已知x,y∈0,+∞，则(x−y)2+2y+1−x+4x的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式9-3】（2025·四川德阳·模拟预测）已知x>−1，y>0，z>0，2x+3y+z=2，则1x+1+1y+3z的最小值为（ ）
A．72+6B．7+62C．5+62D．52+6
题型十：参数构造法
【例10】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知m>0,n>0，且m+n=1，则33m+2n+2+3n1+3n的最小值是 .
【解题总结】
出现ax2+by2+cz2mxz+nxy+tyz结构形式，通常用待定系数法.
【变式10-1】（2025·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为（ ）
A．12B．14C．22D．32
【变式10-2】（2025·高三·辽宁沈阳·开学考试）若a>0，b>0，3a+5b=1，则11a+13b2a2+6ab+4b2的最小值为（ ）
A．16B．18C．20D．22
【变式10-3】已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则ab+bc+2ca的最大值为 .
题型十一：三元、四元元均值不等式
【例11】已知a>0,b>0，则1a+ab2+2b的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解题总结】
a1+a2+a3++an≥，a1,a2,a3,,an为正数.
【变式11-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若a>0，b>0，求ba2+1b+a 的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．4
【变式11-2】函数y=316x2+3x(x>0)的最小值是（ ）．
A．3332B．94C．1D．不存在
【变式11-3】已知a>0,b>0，则4+ba2+25bab的最小值为 ．
题型十二：判别式法
【例12】（2025·浙江·二模）设a,b∈R，λ>0，若a2+λb2=4，且a+b的最大值是5，则λ= .
【解题总结】
利用一元二次方程有实数根时Δ≥0.
【变式12-1】若x,y∈R，4x2+y2+xy=1，则当x= 时，x+y取得最大值，该最大值为 .
【变式12-2】设x、y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是 ．
【变式12-3】若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x的最大值是 .
题型十三：双变量换元法
【例13】（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数a，b满足a+b=1，则a2a+1+b2b+2的最小值是 ．
【解题总结】
若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
【变式13-1】设a,b为正实数，且a+b=3，则a2a+2+b2b+1的最小值为 .
【变式13-2】已知a>0,b>0,a+b=2，则P=3a2+b1+b+3b2+a1+a的最小值为 .
【变式13-3】（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数a，b，c满足2a+b+3c=8，则a+b+2cb+c+1a+c的最小值为（ ）
A．22B．3+224C．32−1D．5+224
题型十四：比值代换法
【例14】已知a>b>0，则a2+b2ab−b2的最小值为 .
【解题总结】
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．
【变式14-1】设正实数x，y，z满足x2−3xy+4y2−z=0，则当xyz取得最大值时，2x+1y−2z的最大值为（ ）
A．0B．3C．94D．1
【变式14-2】（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知a>0，b>0，a+b=1，则b+1a+a+1b的最小值为 .
【变式14-3】已知正数x,y满足83x2+2xy+3xy+2y2=1，则xy的最小值是 ．
题型十五：实际应用建模
【例15】（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足v2=4H1−Hv2的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ）
A．0.2米B．0.25米C．0.45米D．0.7米
【解题总结】
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
【变式15-1】（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为v（单位：米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）满足v2=4H1−Hv2，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A．0.25米B．0.5米C．0.75米D．1米
【变式15-2】（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200gB．大于200gC．小于200gD．以上都有可能
【变式15-3】（2025·河北·模拟预测）高相同的圆柱与圆台的体积分别为V1，V2，且圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，则V1与V2的关系为（ ）
A．V1>V2B．V10，过原点O的直线（不与x轴重合）与圆A:x2+y−a2=a2交于点P与直线y=2a交于点Q．过点P作x轴的平行线，过点Q作x轴的垂线，这两条直线交于点Mx,y，称y为x的箕舌线函数，记作y=fx，给出下列四个结论：
①函数y=fx的图象关于y轴对称；
②若x1fx2；
③设函数ℎx=xfx，则ℎx的最大值为2a2；
④设函数gx=fx+x2，则gx的最小值为2a．
其中所有正确结论的序号是 ．
【变式16-3】《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵ABC−A1B1C1中，A1B=32，AB=AC，则堑堵ABC−A1B1C1体积的最大值为 .
题型十七：特定形式的最值问题
【例17】（多选题）（2025·河南·三模）已知正数x，y满足2x+y=1，则（ ）
A．xy≤116B．1x+2y≥8
C．2x+y≤2D．x2+y2≥15
【解题总结】
利用基本不等式变形求解
【变式17-1】（多选题）（2025·河北·二模）已知x>0，y>0，x+2y=2，则下列说法正确的是（ ）
A．xy的最大值为12B．4x+xy的最小值为4
C．x2+4y2的最大值为2D．x2+y2的最小值为45
【变式17-2】（多选题）（2025·湖南郴州·三模）设正实数x,y满足8x+y=x3y+xy3，则（ ）
A．x+y≥4B．x2y2≥16
C．x32+y32≥42D．xyx+y≤16
【变式17-3】（多选题）（2025·辽宁·三模）已知a>0,b>0，则下列结论正确的是（ ）
A．若a+b=1，则a2+4b2≥54
B．若a+b=1，则a+b的最大值为2
C．若a+b=2，则a2a+1+b2b+1的最小值为1
D．若a+b=2，则1a2+1+1b2+1的最大值为1+22
题型十八：恒(能)成立问题
【例18】当x>1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,2]B．[2,+∞)C．[3,+∞)D．(−∞,3]
【解题总结】
∃x∈M，使得f(x)⩾a ，等价于f(x)max⩾a ，∃x∈M，使得f(x)⩽a ，等价于 f(x)min⩽a
【变式18-1】（2025·高三·浙江宁波·期末）设实数x，y满足x>32，y>3，不等式k2x−3y−3≤8x3+y3−12x2−3y2恒成立，则实数k的最大值为（ ）
A．12B．24C．23D．43
【变式18-2】（2025·广东湛江·二模）当x，y∈0,+∞时，4x4+17x2y+4y2x4+2x2y+y20， 若不等式4x+9y−t≥0恒成立， 则实数t的最大值为 （ ）
A．9B．12C．16D．25
题型十九：常见的几何无字证明模型
【例19】在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形ABCD中，AB//CD，且CD=a，AB=b，EF和GH为平行于底的两条割线，其中EF为中位线，GH过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（ ）
A．a+b2≥aba>0,b>0
B．21a+1b≤a+b2a>0,b>0
C．a+b2≤a2+b22a>0,b>0
D．a2+b2≥2aba>0,b>0
【解题总结】
利用几何法转化
【变式19-1】三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）
A．如果a>b,b>c，那么a>c
B．如果a>b>0，那么a2>b2
C．如果a>b,c>0，那么ac>bc
D．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立
【变式19-2】数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD=a，BD=b，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．a+b2≥aba>0,b>0B．2aba+b≤aba>0,b>0
C．a+b2≤a2+b22a>0,b>0D．a2+b2≥2aba>0,b>0
【变式19-3】《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列推理正确的是（ ）
A．由图1和图2面积相等得d=2aba+bB．由AE≥AF可得a2+b22>a+b2
C．由AD≥AE可得a2+b22≥21a+1bD．由AD≥AF可得a2+b2>2ab
题型二十：构造不等式法求最值
【例20】（2025·安徽·模拟预测）已知正实数m,n满足2m3+2n3+6mn=27，则m+n的取值范围为 .
【解题总结】
利用21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0,b>0)求解.
【变式20-1】（2025·山东·二模）若实数x，y，z满足x+y+z=0，且x>y>z，则yx2+z2的取值范围为（ ）
A．−55,55B．−22,22C．−12,12D．−1,1
【变式20-2】（2025·山东·模拟预测）已知3x⋅9y=3xy>1，则x+2y的最小值是（ ）
A．22B．4C．42D．8
【变式20-3】已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0，n>0，则1m+9n的最小值为( )
A．3B．8C．92D．9
3．如图，在△ABC中，BD=23BC，E为线段AD上的动点，且CE=xCA+yCB，则2x+6y的最小值为( )
A．8B．12C．32D．16
②转化与化归
4．若正数x，y满足x2−xy+2=0，则x+y的最小值是（ ）
A．22B．23C．4D．6
5．非零实数a，b，c满足bca，acb，abc成等差数列，则a2+2c2b2的最小值为( )
A．22B．32+2C．3D．3+22
6．已知正实数a，b，满足(a−1)3+(b−1)3⩾2−a−b，则a2+b2的最小值为( )
A．2B．1C．12D．4
③分类讨论
7．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，当Sn+9an取最小值时，n= ．
8．以max A表示数集A中最大的数．已知a>0，b>0，c>0，则M=max1c+ba,1ac+b,ab+c的最小值为 ．
9．设m>1，n>3，且3m+n=mn−24，则lg3m−1⋅lg3n−3的最大值为 ．
基础过关篇
1．（2024年北京高考数学真题）已知x1,y1，x2,y2是函数y=2x的图象上两个不同的点，则（ ）
A．lg2y1+y22x1+x22
C．lg2y1+y22x1+x2
2．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足x2+y2−xy=1，则（ ）
A．x+y≤1B．x+y≥−2
C．x2+y2≤2D．x2+y2≥1
3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知a , b∈R，且a−3b+6=0，则2a+18b的最小值为 .
4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））若a,b∈R，ab>0，则a4+4b4+1ab的最小值为 .
5．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知x>0,y>0，则“lg2x+lg2y≥0”是“lg2x+y≥1”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2025·湖北·模拟预测）已知实数a，b满足1a−21b−3=6，则ab的最大值为（ ）
A．125B．124C．112D．14
7．（2025·山东济宁·二模）若圆x2+y2−2ax−2y−1=0关于直线x+by−2=0对称，其中a>0，b>0，则1a+4a+1b的最小值为（ ）
A．2B．52C．4D．2+25
8．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量a=x,1,b=3,−y,c=1,1，若a,b在c上的投影向量相等，则x2+y2的最小值为（ ）
A．2B．1C．12D．−1
9．（2025·山东临沂·二模）已知an为正项等差数列，若4a3−a7=8，则a1a3的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
10．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知直线y=ax+b(a>0，b>0)过函数fx=x+1x−1图象的对称中心，则4a+bab的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
11．（2025·云南昆明·模拟预测）已知x>0，y>0，且x+y−xy+8=0，则xy的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
12．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）若02a+bD．a⋅sinb>b⋅sina
13．（多选题）（2025·福建三明·三模）以下结论正确的是（ ）
A．若a2+b2=1，则a+b的最大值为2
B．若a+1b+1=4，则a+b≥2
C．若a>0，b>0，则a2+b2+1ab的最小值为22
D．若θ∈0,π，则1sin2θ+1cs2θ+1≥2
14．（多选题）（2025·河北张家口·三模）已知a，b∈R，且ab=3，若a∈0,6，则（ ）
A．b∈0,12B．a+b的最小值为23
C．2a+14b的最小值为63D．a−2b的取值范围为−∞,5
15．已知a，b为正数，且满足a3+b3=2，则1a+1b的最小值为 ．
16．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则1MF1+1MF2的最小值为 .
能力拓展篇
17．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角α，β满足α+β=π4，则1sinαcsβ+1csαsinβ的最小值为（ ）
A．2B．22C．42D．23
18．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数fx为R上的单调递增函数，且当a>b>0时，fa−1=−fb−1，则1a+1b+1的最小值为 .
19．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正实数a,b满足1a+1b=m，若a+1bb+1a的最小值为4，则实数m的取值范围是 ．
20．（2025·辽宁沈阳·一模）若正实数x，y满足1x+1y=1，设z=12x2+y2−20lnx+lny﹐则z的最小值为 ．
21．已知函数fx=2024x−2024−x，若a>0，b>0且fa−1+fb−1=f0，则2a+2+3b+1的最小值为 ．
22．已知a>0，b>0，且a+b=c，若a+b+ca+c+a2b+2c的最小值为3，则c= .
1.4 基本不等式
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc199770823" 01 课标要求 PAGEREF _Tc199770823 \h 2
\l "_Tc199770824" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc199770824 \h 3
\l "_Tc199770825" 一、基本不等式 PAGEREF _Tc199770825 \h 3
\l "_Tc199770826" 二、利用基本不等式求最值 PAGEREF _Tc199770826 \h 3
\l "_Tc199770827" 常用二级结论 PAGEREF _Tc199770827 \h 5
\l "_Tc199770828" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc199770828 \h 6
\l "_Tc199770829" 题型一：基本不等式核心性质与变形 PAGEREF _Tc199770829 \h 6
\l "_Tc199770830" 题型二：比较大小 PAGEREF _Tc199770830 \h 8
\l "_Tc199770831" 题型三：不等式的证明技巧 PAGEREF _Tc199770831 \h 10
\l "_Tc199770832" 题型四：直接使用基本不等式 PAGEREF _Tc199770832 \h 12
\l "_Tc199770833" 题型五：拆项或添项法 PAGEREF _Tc199770833 \h 14
\l "_Tc199770834" 题型六：消元化简求解 PAGEREF _Tc199770834 \h 15
\l "_Tc199770835" 题型七：整体代换与局部代换 PAGEREF _Tc199770835 \h 17
\l "_Tc199770836" 题型八：三角函数法 PAGEREF _Tc199770836 \h 19
\l "_Tc199770837" 题型九：多次迭代法 PAGEREF _Tc199770837 \h 21
\l "_Tc199770838" 题型十：参数构造法 PAGEREF _Tc199770838 \h 23
\l "_Tc199770839" 题型十一：三元、四元元均值不等式 PAGEREF _Tc199770839 \h 25
\l "_Tc199770840" 题型十二：判别式法 PAGEREF _Tc199770840 \h 26
\l "_Tc199770841" 题型十三：双变量换元法 PAGEREF _Tc199770841 \h 27
\l "_Tc199770842" 题型十四：比值代换法 PAGEREF _Tc199770842 \h 29
\l "_Tc199770843" 题型十五：实际应用建模 PAGEREF _Tc199770843 \h 31
\l "_Tc199770844" 题型十六：跨知识点综合 PAGEREF _Tc199770844 \h 32
\l "_Tc199770845" 题型十七：特定形式的最值问题 PAGEREF _Tc199770845 \h 35
\l "_Tc199770846" 题型十八：恒(能)成立问题 PAGEREF _Tc199770846 \h 38
\l "_Tc199770847" 题型十九：常见的几何无字证明模型 PAGEREF _Tc199770847 \h 39
\l "_Tc199770848" 题型二十：构造不等式法求最值 PAGEREF _Tc199770848 \h 42
\l "_Tc199770849" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc199770849 \h 45
\l "_Tc199770850" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc199770850 \h 47
\l "_Tc199770851" ①数形结合 PAGEREF _Tc199770851 \h 47
\l "_Tc199770852" ②转化与化归 PAGEREF _Tc199770852 \h 49
\l "_Tc199770853" ③分类讨论 PAGEREF _Tc199770853 \h 50
\l "_Tc199770854" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc199770854 \h 52
\l "_Tc199770855" 基础过关篇 PAGEREF _Tc199770855 \h 52
\l "_Tc199770856" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc199770856 \h 57
1、了解基本不等式的推导过程.
2、会用基本不等式解决简单的最值问题.
3、会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.
4、理解基本不等式在实际问题中的应用.
5、掌握基本不等式在其他知识中的应用.
一、基本不等式
1、对公式及的理解．
（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；
（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”．
2、由公式和可以引申出常用的常用结论
①（同号）；
②（异号）；
③或
知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：．
3、基本不等式的证明
方法一：几何面积法
如图，在正方形中有四个全等的直角三角形．
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有．
得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．
通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）
方法二：代数法
∵，
当时，；
当时，．
所以，（当且仅当时取等号“=”）．
知识点诠释：
特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：
如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）．
通常我们把上式写作：
如果，，，（当且仅当时取等号“=”）．
4、基本不等式的几何意义
如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、．
易证，那么，即．
这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立．
知识点诠释：
（1）在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
（2）如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
二、利用基本不等式求最值
在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等．
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．
知识点诠释：
1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数．
2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解．
3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值．
4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③各项能取得相等的值．
5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
③在定义域内，求出函数的最大或最小值；
④写出正确答案．
常用二级结论
常见求最值模型
模型一：ax+bx≥2ab(a>0,b>0)，当且仅当x=ba时等号成立.
模型二：x(n−mx)=mx(n−mx)m≤1m⋅（mx+n−mx2)2=n24m(m>0,n>0,00)，当且仅当x=ca时等号成立.
模型四：mx+nx−b=m(x−b)+nx−b+mb≥2mn+mb(m>0,n>0)，当且仅当x−b=nm时等号成立.
题型一：基本不等式核心性质与变形
【例1】（2025·河北·三模）已知x>0，那么以下关于式子x2+1x的分析判断正确的选项是（ ）
（1）x2+1x≥2x；
（2）上式当且仅当x2=1x即x=1时，等号成立；
（3）所以当x=1时，x2+1x取得最小值2
A．以上全正确B．（1）错C．（2）错D．（3）错
【答案】D
【解析】根据条件，由基本不等式可知，（1）（2）均正确，
对于（3），由基本不等式知，求最小值，则需满足“一正二定三相等”的原则，
求和的最小值，需要乘积为定值，而x2·1x不为定值，所以（3）错，
故选：D.
【解题总结】
基本不等式的常见变形
(1)ab≤a＋b22≤a2＋b22.
(2)21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0,b>0)
【变式1-1】下列结论正确的是（ ）
A．当x>0且x≠1时，lnx+1lnx≥2
B．当x∈0,π2时，sinx+4sinx的最小值为4
C．当x>0时，x+1x≥2
D．当ab≠0时，ba+ab≥2
【答案】C
【解析】对A，当x=1e时，lnx+1lnx=−2，故A错误；
对B，当sinx>0时，sinx+4sinx≥2sinx×4sinx=4，当且仅当sinx=4sinx，即sinx=2时取等号，但当x∈0,π2时，00时，x+1x≥2x×1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时取等号，故C正确；
对D，当a=1,b=−1时ba+ab=−2，故D错误.
故选：C
【变式1-2】下列命题中正确的是（ ）
A．当x>1时，x+1x的最小值为2B．当x2，故A错误；
选项B，当x0，x+1x=−−x+1−x≤−2−x⋅1−x=−2，当且仅当x=−1时等号成立，故B正确；
选项C，01时，x+1x≥2x⋅1x=2，等号成立的条件是x=1x，即x=1时等号成立，故x+2x>2，故D错误.
故选：B
【变式1-3】下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ）
A．x+1x≥2x>0B．x+2x≥22x≠0
C．−4x−x16≥1xb，则下列不等式中，不恒成立的是（ ）
A．a3>b3B．ab>1C．a2+b2>2abD．2a>2b
【答案】B
【解析】A选项，幂函数y=x3在R上单调递增，
由于a>b，所以a3>b3，A选项不等式恒成立.
B选项，当a=−1,b=−2时，a>b，但ab=12b，根据基本不等式可知a2+b2>2ab，B选项不等式恒成立.
D选项，指数函数y=2x在上单调递增，
由于a>b，所以2a>2b，D选项不等式恒成立.
故选：B
【解题总结】
直接利用性质比较大小
【变式2-1】（2025·山东·模拟预测）已知a>0，b>0，且a+b=ab，则下列不等式成立的是（ ）
A．a+b≤4B．lg2a+lg2b>2
C．blna>1D．a+b≥3
【答案】C
【解析】因为a+b=ab，所以1a+1b=1，
对于A项：a+b=a+b1a+1b=2+ba+ab≥2+2=4，
当且仅当a=b=2时取得等号，从而在a=3，b=32时a+b>4，故A错误；
对于B项：因为ab=a+b≥2ab，所以ab≥4，
lg2a+lg2b=lg2ab≥lg24=2，当a=b=2时取得等号，此时lg2a+lg2b=2，故B错误；
对于C项：因为ab=a+b，所以b=aa−1>0，所以a>1，
于是blna>1等价于aa−1lna>1，等价于lna>a−1a，
构造函数fx=lnx+1x−1x>1，f'x=1x−1x2=x−1x2>0，
所以fx在1,+∞上单调递增；
所以fx>f1=0恒成立，所以不等式blna>1成立，故C正确；
对于D项：根据B选项的分析，a+b=ab≥4，
则a+b2=a+b+2ab≥4+24=8，即a+b≥22，
当a=b=2时取得等号，此时a+b=220，2x+3y+z=2，则1x+1+1y+3z的最小值为（ ）
A．72+6B．7+62C．5+62D．52+6
【答案】A
【解析】因为2x+3y+z=2，所以2x+1+3y+z=4，
所以41x+1+1y+3z=2x+1+3y+z1x+1+1y+3z
所以41x+1+1y+3z=2+2x+1y+6x+1z+3yx+1+3+9yz+zx+1+zy+3，
又2x+1y+3yx+1≥26，当且仅当x+1=62y时等号成立，
6x+1z+zx+1≥26，当且仅当x+1=66z时等号成立，
9yz+zy≥29=6，当且仅当z=3y时等号成立，
所以41x+1+1y+3z=14+46，当且仅当x=26−75，y=12−2615，z=12−265时等号成立，
所以1x+1+1y+3z的最小值为72+6，
故选：A.
题型十：参数构造法
【例10】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知m>0,n>0，且m+n=1，则33m+2n+2+3n1+3n的最小值是 .
【答案】135
【解析】设m+n+k=λ3m+2n+μ1+3n，由对应系数相等得1=3λ1=2λ+3μk=μ，
解得λ=13k=μ=19
所以m+n+19=133m+2n+191+3n，整理得1=3103m+2n+1101+3n，
即1=1109m+6n+1+3n，
所以33m+2n+2+3n1+3n=33m+2n+11+3n+1
=1109m+6n+1+3n33m+2n+11+3n+1
=2+11031+3n3m+2n+9m+6n1+3n≥2+110⋅231+3n3m+2n⋅9m+6n1+3n=135，
当且仅当31+3n3m+2n=9m+6n1+3n，即m=n=12时等号成立，
所以33m+2n+2+3n1+3n的最小值是135.
故答案为：135.
【解题总结】
出现ax2+by2+cz2mxz+nxy+tyz结构形式，通常用待定系数法.
【变式10-1】（2025·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则ab+bca2+2b2+c2的最大值为（ ）
A．12B．14C．22D．32
【答案】A
【解析】因为a，b均为正实数，
则ab+bca2+2b2+c2=a+ca2+c2b+2b≤a+c2a2+c2b×2b=a+c22a2+c2
=12a2+2ac+c22a2+c2=1212+aca2+c2≤1212+ac2a2×c2=12，
当且仅当a2+c2b=2b，且a=c，即a=b=c时取等号，
则ab+bca2+2b2+c2的最大值为12．
故选：A．
【变式10-2】（2025·高三·辽宁沈阳·开学考试）若a>0，b>0，3a+5b=1，则11a+13b2a2+6ab+4b2的最小值为（ ）
A．16B．18C．20D．22
【答案】A
【解析】a>0，b>0，3a+5b=1，则(a+b)+(2a+4b)=1，
11a+13b2a2+6ab+4b2=9a+b+2a+4ba+b2a+4b=a+b+2a+4b92a+4b+1a+b
=10+9(a+b)2a+4b+2a+4ba+b≥10+29=16，
当且仅当9(a+b)2a+4b=2a+4ba+b，即a=b=18时取等号，
所以所求最小值为16.
故选：A．
【变式10-3】已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则ab+bc+2ca的最大值为 .
【答案】3+12
【解析】设00，则1a+ab2+2b的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】方法一：a>0,b>0，
故1a+ab2+2b=1a+ab2+1b+1b≥441a⋅ab2⋅1b⋅1b=4，
当且仅当1a=ab2=1b，即a=b=1时，等号成立，
方法二：1a+ab2≥21a⋅ab2=2b，
故1a+ab2+2b≥2b+2b≥22b⋅2b=4，
当且仅当1a=ab2，且2b=2b时，即a=b=1时，等号成立．
故1a+ab2+2b的最小值为4；
故选：D
【解题总结】
a1+a2+a3++an≥，a1,a2,a3,,an为正数.
【变式11-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若a>0，b>0，求ba2+1b+a 的最小值为（ ）
A．2B．2C．22D．4
【答案】C
【解析】∵a>0，b>0，
∴ba2+1b+a=ba2+1b+a2+a2
≥44ba2⋅1b⋅a2⋅a2=4414=412=22,
当且仅当ba2=1b=a2即a=b=2时等号成立，
∴ba2+1b+a 的最小值为22．
故选：C．
【变式11-2】函数y=316x2+3x(x>0)的最小值是（ ）．
A．3332B．94C．1D．不存在
【答案】B
【解析】x>0，y=316x2+32x+32x≥333x216⋅32x⋅32x=94，
当316x2=32x，x=2时等号成立.
故选：B
【变式11-3】已知a>0,b>0，则4+ba2+25bab的最小值为 ．
【答案】45
【解析】因为a>0,b>0，
所以4+ba2+25bab=4ab+25ba+a=4ab+25ba+12a+12a≥444ab⋅25ba⋅12a⋅12a=45，
当且仅当4ab=25ba=12a，即a=25,b=25时，等号成立，
故4+ba2+25bab的最小值为45.
故答案为：45
题型十二：判别式法
【例12】（2025·浙江·二模）设a,b∈R，λ>0，若a2+λb2=4，且a+b的最大值是5，则λ= .
【答案】4
【解析】令a+b=d，由{a+b=da2+λb2=4 消去a得：d−b2+λb2=4，即λ+1b2−2db+d2−4=0，
而b∈R，λ>0，则Δ=2d2−4λ+1d2−4≥0，d2≤4λ+1λ，−2λ+1λ≤d≤2λ+1λ，
依题意2λ+1λ=5，解得λ=4.
故答案为：4
【解题总结】
利用一元二次方程有实数根时Δ≥0.
【变式12-1】若x,y∈R，4x2+y2+xy=1，则当x= 时，x+y取得最大值，该最大值为 .
【答案】 1530/13015 41515/41515
【解析】令x+y=t，则y=t−x，
则4x2+y2+xy=4x2+t−x2+xt−x=4x2−tx+t2=1，
即4x2−tx+t2−1=0，
由Δ=t2−16t2−1≥0，解得：−41515≤t≤41515，
故x+y≤41515，
故{x+y=415154x2+y2+xy=1 ，解得：x=1530，y=71530，
所以当且仅当x=1530，y=71530时，等号成立，
故答案为：1530，41515
【变式12-2】设x、y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是 ．
【答案】2105/2510
【解析】方法一：令2x+y=t，则y=t−2x，代入4x2+y2+xy=1，整理得6x2−3tx+t2−1=0，其Δ=9t2−24t2−1=−15t2+24≥0，
解得−2105≤t≤2105，当t=2105时，{x=1010y=105 .
故2x+y的最大值是2105．
方法二：由1=4x2+y2+xy=2x+y2−3xy=2x+y2−322x⋅y
≥2x+y2−322x+y22，即2x+y2≤85，
当{x=1010y=105 时，2x+y=2105.
故2x+y的最大值是2105．
故答案为：2105
【变式12-3】若实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x的最大值是 .
【答案】233/233
【解析】将条件变形为y2+xy+x2−1=0，Δ=x2−4x2−1≥0，解得−233≤x≤233，
故xmax=233.
故答案为：233
题型十三：双变量换元法
【例13】（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数a，b满足a+b=1，则a2a+1+b2b+2的最小值是 ．
【答案】14/0.25
【解析】方法一
设a+1=s，b+2=t，则s+t=a+b+3=4，
∵a2a+1+b2b+2=s−12s+t−22t=s−2+1s+t−4+4t=s+t+1s+4t−6=1s+4t−2，
∴1s+4t=141s+4ts+t=14ts+4st+5≥94，
当且仅当s=43，t=83，即a=13，b=23时取等号，
∴a2a+1+b2b+2≥94−2=14．
方法二∵a+b=1，∴a+1+b+2=4，
∴a2a+1+b2b+2=14a2a+1+b2b+2a+1+b+2=14a2+a2b+2a+1+b2a+1b+2+b2
≥14a2+2ab+b2=14a+b2=14，
当且仅当a=13，b=23时取等号，∴a2a+1+b2b+2≥14．
故答案为：14
【解题总结】
若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．
【变式13-1】设a,b为正实数，且a+b=3，则a2a+2+b2b+1的最小值为 .
【答案】32
【解析】∵ a+b=3,令a+2=m，b+1=n，
∴m+n=a+b+3=6，
∴a=m−2，b=n−1，
∴a2a+2+b2b+1=m−22m+n−12n=m+4m+n+1n−6
又∵m+n=a+b+3=6
∴a2a+2+b2b+1=4m+1n=16m+n4m+1n=164nm+mn+5≥164+5=32；
当且仅当4nm=mn时，即m=2n时a2a+2+b2b+1取得最小值，
∴a2a+2+b2b+1的最小值为32.
故答案为：32
【变式13-2】已知a>0,b>0,a+b=2，则P=3a2+b1+b+3b2+a1+a的最小值为 .
【答案】4
【解析】令a=1+t,b=1−t,−10，
a+b+2cb+c+1a+c=a+c+b+cb+c+1a+c=a+cb+c+1a+c+1=mn+1m+1
=8−n2n+1m+1=4n+1m+12，
4n+1m=184n+1m2m+n=188mn+4+2+nm≥186+28mn⋅nm=3+224，
当且仅当8mn=nm，即m=42−4，n=16−82时，等号成立，
故a+b+2cb+c+1a+c=4n+1m+12≥3+224+12=5+224.
故选：D
题型十四：比值代换法
【例14】已知a>b>0，则a2+b2ab−b2的最小值为 .
【答案】22+2
【解析】a2+b2ab−b2=a2b2+1ab−1，令ab=tt>1，所以t−1>0，
则a2+b2ab−b2=t2+1t−1=t−12+2tt−1=t−12+2t−1+2t−1=t−1+2t−1+2≥2t−1⋅2t−1+2=22+2，
当且仅当t−1=2t−1，即t=2+1，ab=2+1时取等号.
所以a2+b2ab−b2的最小值为22+2.
故答案为：22+2.
【解题总结】
齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．
【变式14-1】设正实数x，y，z满足x2−3xy+4y2−z=0，则当xyz取得最大值时，2x+1y−2z的最大值为（ ）
A．0B．3C．94D．1
【答案】D
【解析】由正实数x，y，z满足x2−3xy+4y2−z=0，
∴z=x2−3xy+4y2．
∴xyz=xyx2−3xy+4y2=1xy+4yx−3⩽12xy·4yx−3=1，
当且仅当x=2y>0时取等号，此时z=2y2．
∴2x+1y−2z=22y+1y−22y2=−(1y−1)2+1⩽1，当且仅当y=1时取等号，
即2x+1y−2z的最大值是1．
故选：D
【变式14-2】（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知a>0，b>0，a+b=1，则b+1a+a+1b的最小值为 .
【答案】6
【解析】由a+b=1，得b+a+ba+a+a+bb=2+2ba+ab≥2+2×2=6，
当且仅当a=b=12时等号成立，故b+1a+a+1b的最小值为6.
故答案为：6
【变式14-3】已知正数x,y满足83x2+2xy+3xy+2y2=1，则xy的最小值是 ．
【答案】52
【解析】根据题意，由83x2+2xy+3xy+2y2=1可得8(xy+2y2)+3(3x2+2xy)(3x2+2xy)(xy+2y2)=1，
即16y2+9x2+14xy=3x3y+8x2y2+4xy3=xy(4y2+3x2+8xy)
所以16y2+9x2+14xy4y2+3x2+8xy=xy=16y2x2+9+14yx4y2x2+3+8yx；
又因为x,y均是正数，令yx=t∈0,+∞，则xy=f(t)=16t2+14t+94t2+8t+3
所以， f(t)=16t2+14t+94t2+8t+3=4−18t+34t2+8t+3=4−14t2+8t+318t+3
令g(t)=4t2+8t+318t+3，
则g(t)=29t+1127+16918t+3=29t+16+16918t+3+1027≥229t+16×16918t+3+1027=1827
当且仅当29t+16=16918t+3，即t=12时，等号成立；
所以f(t)=4−14t2+8t+318t+3≥4−11827=4518=52
所以f(t)的最小值为f(t)min=52;
即当t=yx=12,x=2y=5时，即x=5,y=52时，等号成立.
故答案为：52
题型十五：实际应用建模
【例15】（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足v2=4H1−Hv2的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ）
A．0.2米B．0.25米C．0.45米D．0.7米
【答案】B
【解析】由v2=4H1−Hv2可知v2−Hv4=4H，故H=v2v4+4≤v224v4=14，
当且仅当v2=2时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.
故选：B.
【解题总结】
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
【变式15-1】（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为v（单位：米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）满足v2=4H1−Hv2，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A．0.25米B．0.5米C．0.75米D．1米
【答案】A
【解析】由v2=4H1−Hv2可知v2−Hv4=4H，且v>0，
故H=v2v4+4≤v224v4=14，
当且仅当v2=2即v=2时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.
故选：A.
【变式15-2】（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200gB．大于200gC．小于200gD．以上都有可能
【答案】B
【解析】设天平左臂长为m，右臂长为n，m,n>0且m≠n，左盘放的药品为x1克，右盘放的药品为x2克，
则100m=nx2mx1=100n，解得x1=100nm,x2=100mn，
x=x1+x2=100nm+100mn≥2100nm⋅100mn=200，
当且仅当m=n时，取到等号，而m≠n，所以x>200.
故选：B
【变式15-3】（2025·河北·模拟预测）高相同的圆柱与圆台的体积分别为V1，V2，且圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，则V1与V2的关系为（ ）
A．V1>V2B．V10，过原点O的直线（不与x轴重合）与圆A:x2+y−a2=a2交于点P与直线y=2a交于点Q．过点P作x轴的平行线，过点Q作x轴的垂线，这两条直线交于点Mx,y，称y为x的箕舌线函数，记作y=fx，给出下列四个结论：
①函数y=fx的图象关于y轴对称；
②若x1fx2；
③设函数ℎx=xfx，则ℎx的最大值为2a2；
④设函数gx=fx+x2，则gx的最小值为2a．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③
【解析】圆x2+y−a2=a2的圆心0,a在y轴上，设圆A与y的另一个交点为B，
设Qx0,2a，当点Q不与点B重合时，直线OQ的方程为y=2ax0x，
联立{y=2ax0xx2+y2−2ay=0y≠0 ，解得y=8a3x02+4a2，所以P点纵坐标为yP=8a3x02+4a2，此时点Mx0,8a3x02+4a2，
当点Q与点B重合时，点M的纵坐标也满足y=8a3x2+4a2，所以fx=8a3x2+4a2，
对任意的x∈R，x2+4a2>0，所以fx=8a3x2+4a2的定义域为R，
对于命题①，因为f−x=8a3−x2+4a2=8a3x2+4a2=fx，所以fx是偶函数，故①正确；
对于命题②，因为f'x=−16a3xx2+4a22，当x0Δ=4b2−12ac≤0，∴b>a>0，b2≤3ac，∴c≥b23a>0，
∴a+b+cb−a≥a+b+b23ab−a=1+ba+13⋅ba2ba−1，
令t=ba>1，设gt=13t2+t+1t−1t>1，
则gt=13t2+t+1t−1=13⋅t2+3t+3t−1=13⋅t−12+5t−1+7t−1=13⋅t−1+7t−1+5，
∵t>1，∴t−1>0，∴t−1+7t−1≥27（当且仅当t−1=7t−1，即t=1+7时取等号），
∴gt≥27+53，即a+b+cb−a的最小值为27+53.
故选：D.
1．已知x,y为正数，求x2x+y+yx+2y的最大值（ ）
A．23B．1C．34D．58
【答案】A
【解析】法一：令yx=t，则x2x+y+yx+2y=12+yx+yx1+2yx=12+t+t1+2t(t>0)
12+t+t1+2t=t2+4t+12t2+5t+2=12+32t2t2+5t+2=12+322t+1t+5≤12+3241+5=23
当且仅当t=1，即x=y时取等号．
法二：令2x+y=mx+2y=n，则x=2m−n3y=2n−m3，
∴原式=2m−n3m+2n−m3n=43−13nm+mn≤43−13×21=23，当且仅当m=n时，即x=y时取等号．
法三：x2x+y+yx+2y=x(x+2y)+y(2x+y)(2x+y)(x+2y)=x2+y2+4xy2x2+2y2+5xy=12+32⋅xy2x2+2y2+5xy
=12+32⋅12xy+yx+5≤12+32×141+5=23，当且仅当x=y时取等号．
法四：x2x+y+yx+2y=x2x+y−1+yx+2y−1+2
=−x−y2x+y+−x−yx+2y+2=−(x+y)12x+y+1x+2y+2
=−(2x+y)+(x+2y)3⋅12x+y+1x+2y+2
=−132+x+2y2x+y+2x+yx+2y+2≤−13(2+2)+2=23
当且仅当2x+y=x+2y时，即x=y时取等号．
故选：A．
2．已知实数a，b，c满足a+b+c=1．
(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0≤a≤25；
(2)若a，b，c∈0,+∞，求证：a21−a+b21−b+c21−c≥12．
【解析】（1）因为a+b+c=1，所以b+c=1−a．
因为2a2+b2+c2=12，
所以12−2a2=b2+c2≥b+c22=1−a22，当且仅当b=c时等号成立，
整理得5a2−2a≤0，所以0≤a≤25．
（2）解法一： 因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，
所以1−a>0，1−b>0，1−c>0，所以a21−a+1−a4≥2a21−a⋅1−a4=a，
同理可得b21−b+1−b4≥b，c21−c+1−c4≥c，
以上三式相加得a21−a+b21−b+c21−c≥54a+b+c−34=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．
解法二：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，
所以1−a>0，1−b>0，1−c>0，且121−a+1−b+1−c=1，
所以a21−a+b21−b+c21−c=121−a+1−b+1−ca21−a+b21−b+c21−c
≥121−a⋅a1−a+1−b⋅b1−b+1−c⋅c1−c2=12a+b+c2=12，
当且仅当a=b=c=13时等号成立．
①数形结合
1．如图，在一个圆心为O，半径为R的半圆形钢板上截取一块矩形材料，使矩形的一边落在半圆的直径上，则这个矩形的面积最大时，∠AOD的大小是( )
A．π6B．π4C．π3D．5π12
【答案】B
【解析】
设|OD|=x(00，则1m+9n的最小值为( )
A．3B．8C．92D．9
【答案】B
【解析】如图，
因为点O是BC的中点，所以AO=12(AB+AC)=m2AM+n2AN，
因为M,O,N三点共线，所以m2+n2=1，
所以1m+9n=(1m+9n)(m2+n2)=5+n2m+9m2n，
因为m>0，n>0，所以n2m+9m2n⩾2n2m⋅9m2n=3，
当且仅当n2m=9m2n，即m=12,n=32时取等号，此时1m+9n取得最小值8.
故选：B.
3．如图，在△ABC中，BD=23BC，E为线段AD上的动点，且CE=xCA+yCB，则2x+6y的最小值为( )
A．8B．12C．32D．16
【答案】C
【解析】
因为BD=23BC，
所以CD=13CB，
因为CE=xCA+yCB，
所以CE=xCA+3yCD，
因为A,D,E三点共线，
所以x+3y=1，x>0,y>0，
所以2x+6y=(2x+6y)⋅(x+3y)=20+6yx+6xy
⩾20+26yx×6xy=20+12=32，
当且仅当6yx=6xy，即x=y=14时取等号，
所以2x+6y的最小值是32.
故选：C.
②转化与化归
4．若正数x，y满足x2−xy+2=0，则x+y的最小值是（ ）
A．22B．23C．4D．6
【答案】C
【解析】
由x2−xy+2=0可得y=x+2x，∴x+y=x+x+2x=2(x+1x)⩾4x⋅1x=4，
当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3>0符合题意．
所以x+y的最小值为4.
故选C.
5．非零实数a，b，c满足bca，acb，abc成等差数列，则a2+2c2b2的最小值为( )
A．22B．32+2C．3D．3+22
【答案】B
【解析】bca，acb，abc成等差数列，则有2acb=bca+abc，则有b2=2acca+ac=2a2c2c2+a2，则a2+2c2b2=a2+2c2a2+c22a2c2=a22c2+c2a2+32
⩾2a22c2⋅c2a2+32=32+2，当且仅当a2=2c2时取等号．
故选B.
6．已知正实数a，b，满足(a−1)3+(b−1)3⩾2−a−b，则a2+b2的最小值为( )
A．2B．1C．12D．4
【答案】A
【解析】
(a−1)3+(b−1)3⩾2−a−b
⇔(a−1)3+(b−1)3⩾(1−a)+(1−b)
⇔(a−1)3+(a−1)⩾(1−b)3+(1−b)
设f(x)=x3+x，
则f(x)为奇函数，在R上单调递增，
所以f(a−1)⩾f(1−b)，
故a−1⩾1−b，即a+b⩾2，
已知a、b为正实数，
由基本不等式可得a2+b2⩾(a+b)22⩾222=2.
当且仅当a=b=1时等号成立．
所以a2+b2的最小值为2.
故选;A
③分类讨论
7．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，当Sn+9an取最小值时，n= ．
【答案】3
【解析】
因为数列{an}的前n项和Sn=n2+n，
当n=1时，a1=S1=2，
当n⩾2时，an=Sn−Sn−1=2n，
(n=1时也成立)，
∴an=2n，
∴Sn+92n=n2+n+92n=12(n+9n)+12⩾72，
当且仅当n=9n，即n=3时取等号，
故当Sn+9an取最小值时，n=3.
故答案为：3.
8．以max A表示数集A中最大的数．已知a>0，b>0，c>0，则M=max1c+ba,1ac+b,ab+c的最小值为 ．
【答案】2
【解析】
由题意知M⩾1c+ba>0，M⩾1ac+b>0，M⩾ab+c>0，
M2⩾(1c+ba)(ab+c)=2+bca+abc⩾2+2bca⋅abc=4，当且仅当a2=bc时等号成立，
所以M⩾2；
M2⩾(1ac+b)(ab+c)=a+1a+1bc+bc⩾2a⋅1a+21bc⋅bc=4，当且仅当a=1，bc=1时等号成立，
所以M⩾2.
综上，M的最小值为2.
故答案为2.
9．设m>1，n>3，且3m+n=mn−24，则lg3m−1⋅lg3n−3的最大值为 ．
【答案】94
【解析】因为m>1，n>3，3m+n=mn−24，
所以(m−1)(n−3)=27，
所以lg3(m−1)+lg3(n−3)=lg3[(m−1)(n−3)]=lg327=3.
当m−1>1，n−3>1时，lg3(m−1)>0，lg3(n−3)>0，
所以lg3(m−1)⋅lg3(n−3)⩽[lg3(m−1)+lg3(n−3)2]2=94，①
当且仅当lg3(m−1)=lg3(n−3)，即m=33+1，n=33+3时等号成立；
当m−1>1，00，且x+y−xy+8=0，则xy的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】C
【解析】由题意可知xy=x+y+8≥2xy+8，当x=y=4时等号成立，
即xy−2xy−8≥0，
令xy=t(t>0)，则t2−2t−8≥0.
解得t≥4或t≤−2(舍).
即xy≥4，xy≥16.
当且仅当x=y=4时，等号成立．
故选：C.
12．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）若02a+bD．a⋅sinb>b⋅sina
【答案】BC
【解析】对A：因为00，所以a2+b2+1ab≥2ab+1ab≥22，
当且仅当{a=b2ab=1ab ，即a2=b2=22时等号成立，故C正确；
对于D，1sin2θ+1cs2θ+1=121sin2θ+1cs2θ+1sin2θ+cs2θ+1
=121+cs2θ+1sin2θ+sin2θcs2θ+1+1≥122+2=2，
当且仅当cs2θ+1sin2θ=sin2θcs2θ+1，即csθ=0，sinθ=1，即θ=π2时等号成立，故D正确.
故选：ACD
14．（多选题）（2025·河北张家口·三模）已知a，b∈R，且ab=3，若a∈0,6，则（ ）
A．b∈0,12B．a+b的最小值为23
C．2a+14b的最小值为63D．a−2b的取值范围为−∞,5
【答案】BCD
【解析】A.由条件可知，b=3a，a∈0,6，则b∈12,+∞，故A错误；
B.由题意可知，a>0,b>0，则a+b≥2ab=23，当a=b=3时等号成立，
则a+b的最小值为23，故B正确；
C. 2a+14b≥22a⋅14b=63，当2a=14b，即a=8b=26时等号成立，
则2a+14b的最小值为63，故C正确；
D.a−2b=a−6a，
当a∈0,6，y=a,y=−6a均单调递增，且a→0时，y=−6a→−∞，
则y=a−6a在区间0,6上单调递增，
∴当a=6时取得最大值5，且a→0时，y=a−6a→−∞，
所以a−2b的取值范围为−∞,5，故D正确.
故选：BCD.
15．已知a，b为正数，且满足a3+b3=2，则1a+1b的最小值为 ．
【答案】2
【解析】由基本不等式可得a3+1+1≥33a3⋅1⋅1=3a，b3+1+1≥33b3⋅1⋅1=3b，
所以a3+b3+4≥3a+b，又因为a3+b3=2，
所以有2+4≥3a+b，解得a+b≤2，当a=b=1时取等号，
又ab≤a+b2，则1a+1b=a+bab≥2abab=2ab≥2a+b2=4a+b≥2，
当且仅当a=b=1时等号成立，故1a+1b的最小值为2.
故答案为：2.
16．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则1MF1+1MF2的最小值为 .
【答案】23
【解析】所以1MF1+1MF2=16×1MF1+1MF2MF1+MF2=162+MF2MF1+MF1MF2≥23，
当且仅当MF1=MF2=3时，取等号，
所以1MF1+1MF2的最小值为23.
故答案为：23.
能力拓展篇
17．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角α，β满足α+β=π4，则1sinαcsβ+1csαsinβ的最小值为（ ）
A．2B．22C．42D．23
【答案】C
【解析】由α+β=π4，可得sinα+β=sinπ4，即sinαcsβ+csαsinβ=22，
所以2sinαcsβ+csαsinβ=1，
则1sinαcsβ+1csαsinβ
=1sinαcsβ+1csαsinβ×2sinαcsβ+csαsinβ
=21+csαsinβsinαcsβ+sinαcsβcsαsinβ+1
≥22+2csαsinβsinαcsβ⋅sinαcsβcsαsinβ=42，
当且仅当csαsinβsinαcsβ=sinαcsβcsαsinβ时，即tanαtanβ=tanβtanα，即tanα=tanβ时，
也就是α=β=π8时，等号成立.
故选：C
18．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数fx为R上的单调递增函数，且当a>b>0时，fa−1=−fb−1，则1a+1b+1的最小值为 .
【答案】43
【解析】已知fx是奇函数，则f−x=−fx.
因为fa−1=−fb−1，所以fa−1=f1−b.
又因为fx在R上单调递增，所以a−1=1−b，即a+b=2.
由a+b=2可得a+b+1=3.
则1a+1b+1=13a+b+11a+1b+1.
将13a+b+11a+1b+1展开可得：
131+ab+1+b+1a+1=132+ab+1+b+1a.
因为a>b>0，所以a>0，b+1>0.
根据基本不等式，则ab+1+b+1a≥2ab+1×b+1a=2，当且仅当ab+1=b+1a时等号成立.
所以132+ab+1+b+1a≥132+2=43.
故答案为： 43.
19．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正实数a,b满足1a+1b=m，若a+1bb+1a的最小值为4，则实数m的取值范围是 ．
【答案】2,+∞
【解析】因为a,b为正实数，所以a+1bb+1a=ab+1ab+2≥2ab⋅1ab+2=4，
因此a+1bb+1a的最小值为4，故存在ab=1ab，即ab=1时使得等号成立，
此时b=1a，又因为1a+1b=m，所以a+1a=m在0,+∞上有解，
所以由基本不等式可知a+1a≥2,a=1时等号成立，
所以m≥2，故实数m的取值范围是2,+∞．
故答案为：2,+∞.
20．（2025·辽宁沈阳·一模）若正实数x，y满足1x+1y=1，设z=12x2+y2−20lnx+lny﹐则z的最小值为 ．
【答案】152−20ln5
【解析】因为x，y为正实数，且1x+1y=1，
所以x+y=xy，且x+y=1x+1yx+y=2+yx+xy≥2+2yx⋅xy=4（当且仅当x=y=2时取“=”）.
又因为z=12x2+y2−20lnx+lny=x+y22−xy−20lnxy=x+y22−x+y−20lnx+y.
设函数fx=12x2−x−20lnx（x≥4）.问题转化为求函数fx的最小值.
因为f'x=x−1−20x=x2−x−20x，
由f'x>0⇒x2−x−20>0⇒x+4x−5>0，又x≥4，所以x>5；
由f'x0且fa−1+fb−1=f0，则2a+2+3b+1的最小值为 ．
【答案】265+1
【解析】由fx=2024x−2024−x，定义域为R，f0=0，
则f−x=2024−x−2024x=−fx，
所以函数fx为奇函数，
因为函数y=2024x,y=−2024−x在R上单调递增，
所以函数fx在R上单调递增，
由fa−1+fb−1=f0=0，则fa−1=−fb−1=f1−b，
所以a−1=1−b，即a+b=2，则a+2+b+1=5，
又a>0，b>0，则a+2>2，b+1>1，
所以2a+2+3b+1=152a+2+3b+1a+2+b+1=152b+1a+2+3a+2b+1+5
≥1522b+1a+2⋅3a+2b+1+5=265+1，
当且仅当2b+1a+2=3a+2b+1，即a=56−12，b=14−56时等号成立，
所以2a+2+3b+1的最小值为265+1.
故答案为：265+1.
22．已知a>0，b>0，且a+b=c，若a+b+ca+c+a2b+2c的最小值为3，则c= .
【答案】8
【解析】因为a+b=c，则a+b+ca+c+a2b+2c=14ca+b+3cba+c+a2b+2c+1，
又因为a+b+3cba+c+a2b+2c=a+c+b+2cba+c+a2b+2c
=a2+b+bb+2ca+c+a2a+cb+2c≥a2+b+2a2b=a+b2=c2，
当且仅当bb+2ca+c=a2a+cb+2c，即a=3b2时，等号成立.
即a+b+ca+c+a2b+2c≥c4+1，由题意可知：c4+1=3，解得c=8.
故答案为：8.