2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点13一网打尽恒(能)成立问题(18大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点13一网打尽恒(能)成立问题(18大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共11页。试卷主要包含了完全参数分离法， 部分参数分离法，不分离参数法， 特殊方法等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc201761326" 01 重点解读 PAGEREF _Tc201761326 \h 2
\l "_Tc201761327" 02 思维升华 PAGEREF _Tc201761327 \h 3
\l "_Tc201761328" 03 典型例题 PAGEREF _Tc201761328 \h 5
\l "_Tc201761329" 题型一：转化为单调性问题 PAGEREF _Tc201761329 \h 5
\l "_Tc201761330" 题型二：任意存在型 PAGEREF _Tc201761330 \h 5
\l "_Tc201761331" 题型三：指对同构法 PAGEREF _Tc201761331 \h 6
\l "_Tc201761332" 题型四：直接法(换元、虚设零点） PAGEREF _Tc201761332 \h 6
\l "_Tc201761333" 题型五：参数全分离 PAGEREF _Tc201761333 \h 7
\l "_Tc201761334" 题型六：换元后参数分离 PAGEREF _Tc201761334 \h 8
\l "_Tc201761335" 题型七：参数半分离 PAGEREF _Tc201761335 \h 9
\l "_Tc201761336" 题型八：主元变换法 PAGEREF _Tc201761336 \h 10
\l "_Tc201761337" 题型九：一阶端点效应 PAGEREF _Tc201761337 \h 11
\l "_Tc201761338" 题型十：二阶端点效应 PAGEREF _Tc201761338 \h 12
\l "_Tc201761339" 题型十一：必要性探路 PAGEREF _Tc201761339 \h 13
\l "_Tc201761340" 题型十二：朗博同构 PAGEREF _Tc201761340 \h 14
\l "_Tc201761341" 题型十三：整数恒成立问题 PAGEREF _Tc201761341 \h 15
\l "_Tc201761342" 题型十四：共零点模型 PAGEREF _Tc201761342 \h 16
\l "_Tc201761343" 题型十五：双参数问题 PAGEREF _Tc201761343 \h 17
\l "_Tc201761344" 题型十六：放缩变形、两边夹 PAGEREF _Tc201761344 \h 17
\l "_Tc201761345" 题型十七：双重最值恒成立 PAGEREF _Tc201761345 \h 18
\l "_Tc201761346" 题型十八：已知恒成立，求具体参数值 PAGEREF _Tc201761346 \h 19
\l "_Tc201761347" 04 课时精练 PAGEREF _Tc201761347 \h 21
不等式恒成立与能成立问题是高考数学的重要考点，常与函数、导数等知识结合，以压轴题形式出现。恒成立问题要求不等式在定义域内对所有变量值都成立，需通过求函数最值确定参数范围；能成立问题则只需不等式在定义域内有解，通常转化为求函数值域问题。解题时，需灵活运用参数分离、数形结合、分类讨论等方法。考生需熟练掌握函数性质、导数应用等基础知识，加强综合运用能力训练，以应对高考中不等式恒成立与能成立问题的挑战。
在处理不等式恒成立或能成立问题时，以下是一些常用的解题策略：
1、完全参数分离法
方法描述：首先，将原不等式中的参数与变量进行完全分离，使得不等式转化为形如（或 ）的形式。
应用条件：当分离后的函数结构相对简单，且易于求取其最值时，此方法尤为有效。
解题步骤：
（1）对原不等式进行变形，将参数与变量完全分离。
（2）求解函数 的最值。
（3）根据最值确定参数的取值范围。
2、 部分参数分离法
方法描述：将原不等式转化为形如（或 ）的形式，其中 是一个既包含参数 a 又包含变量 x 的函数。
应用条件：当完全参数分离法难以实施或结果复杂时，可考虑此方法。
解题步骤：
（1）对原不等式进行变形，实现部分参数分离。
（2）通过绘制函数图像或分析临界状态（如切线、端点等），确定参数 a 的取值范围。
3、不分离参数法（隐零点、端点效应）
方法描述：在某些情况下，不直接分离参数，而是利用函数的隐零点或端点效应来求解不等式。
应用条件：当参数与变量之间的关系复杂，难以直接分离时，此方法可能更为适用。
解题步骤：
（1）分析函数的性质，如单调性、极值点等。
（2）利用隐零点或端点效应，结合不等式的条件，确定参数的取值范围。
4、 特殊方法（如同构法）
方法描述：针对某些具有特殊结构的不等式，可以采用同构等特殊方法进行求解。
应用条件：当不等式具有某种特定的结构或形式时，可考虑使用此方法。
解题步骤：
（1）识别不等式的特殊结构或形式。
（2）应用同构等特殊方法，将不等式转化为更易求解的形式。
（3）求解转化后的不等式，确定参数的取值范围。
综上所述，解决不等式恒成立或能成立问题时，应根据不等式的具体形式和特点，选择合适的解题策略。
题型一：转化为单调性问题
【例1】若对，，，恒成立，则的最小值为 .
【变式1-1】已知函数 对于 恒有 则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】任意实数，当时，恒有成立，则的范围为 .
【变式1-3】（2025·江苏盐城·模拟预测）已知函数，其中为实常数.对于函数图象上对任意不同两点，，设直线的斜率为，若恒成立，的取值范围为 .
【变式1-4】已知函数，若，且，有恒成立，则实数的取值范围是 .
题型二：任意存在型
【例2】已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数m的取值范围为 .
【变式2-1】已知若存在，使得成立，则的最大值为 .
【变式2-2】设函数，函数，若对于，使成立，则实数的取值范围是 .
【变式2-3】已知函数，，对于任意的，存在，使得成立，则的最大值为 ．
题型三：指对同构法
【例3】（2025·江西新余·模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】已知对任意的正数，不等式 恒成立，则正数的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【变式3-2】对任意，不等式恒成立，则正数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-4】（2025·甘肃金昌·三模）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）.
A．B． C．D．
题型四：直接法(换元、虚设零点）
【例4】已知函数，若函数恒成立，求实数a的取值范围．
【变式4-1】已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值是 ．
【变式4-2】（2025·湖北·模拟预测）已知函数
(1)求在处的切线方程；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式4-3】已知函数．
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【变式4-4】已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若时，，求的取值范围.
题型五：参数全分离
【例5】已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，直接写出的单调区间；
(3)当时，，，求的取值范围.
【变式5-1】已知函数在处取得极值，其图象在点处的切线与直线平行．
(1)求的值；
(2)若对任意，都有恒成立，求的取值范围．
【变式5-2】已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若时，都有成立，求实数的取值范围．
【变式5-3】（2025·云南·模拟预测）已知函数．
(1)求的解析式；
(2)若在内有两个零点，求m的取值范围；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合．
【变式5-4】已知函数，,若对于任意的,恒成立，则实数的最小值为 .
题型六：换元后参数分离
【例6】函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，解方程；
(3)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【变式6-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：；
(3)若，求的取值范围．
【变式6-2】（2025·山东烟台·三模）若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【变式6-3】已知函数 .
( 1 )若 ,求 的单调区间和极值点；
(2)若 ,且当 时, 恒成立,求实数 的取值范围.
题型七：参数半分离
【例7】若不等式 恒成立,求实数 的取值范围.
【变式7-1】已知函数，其中．
(1)求在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值；
(3)若关于x的不等式在上有解，求实数a的取值范围．
【变式7-2】（2025·河南·模拟预测）若，，且，则实数的取值范围是 ．
题型八：主元变换法
【例8】函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若存在唯一的极值点，求实数a的取值范围；
(3)若存在，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
【变式8-1】已知函数（），若对于任意的，不等式在上恒成立，则的取值范围 ．
【变式8-2】已知不等式 对任意的 恒成立,求 的取值范围.
【变式8-3】已知函数 ,对任意 和任意 , 恒成立,求实数 的取值范围.
题型九：一阶端点效应
【例9】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，．
(1)若在其定义域上单调，求的取值范围；
(2)若．
（ⅰ）证明：；
（ii）若，求的取值范围．
【变式9-1】已知函数
(1)当时，求在处的切线方程
(2)求函数的单调区间和极值
(3)当时，若不等式恒成立，求实数m的取值范围
【变式9-2】（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数，其中.
(1)证明：当时，；
(2)若时，有极小值，求实数的取值范围；
(3)对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【变式9-3】（2025·江苏扬州·三模）已知函数.
(1)若，且，求a的最小值；
(2)证明：曲线是中心对称图形；
(3)若当且仅当，求b的取值范围.
【变式9-4】（2025·北京海淀·三模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围．
题型十：二阶端点效应
【例10】（2025·湖北·三模）已知函数（为自然对数的底数）.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【变式10-1】（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，，．
(1)证明：在区间恒成立；
(2)若的最小值为0，求的值；
(3)若在区间内恒成立，求的取值范围．
【变式10-2】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数．
(1)当时，曲线与关于点中心对称，求函数的解析式；
(2)讨论在上的单调性；
(3)若关于x的不等式在上恒成立，求实数λ的取值范围．
【变式10-3】已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)若时，，求的取值范围．
题型十一：必要性探路
【例11】已知函数 ,若 恒成立,求实数 的取值范围.
【变式11-1】（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知函数有两个极值点，满足.
(1)求的取值范围；
(2)判断并证明函数的对称性；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
【变式11-2】（2025·江西·三模）已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的取值范围.
【变式11-3】（2025·安徽合肥·三模）已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若关于x的不等式恒成立，求m的取值构成的集合．
题型十二：朗博同构
【例12】（2025·广东·模拟预测）已知函数．
（1）求的极值；
（2）当时，，求实数的取值范围．
【变式12-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知函数，．
（1）若过点作曲线的切线有且仅有一条，求实数t的值；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
【变式12-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数，，若恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十三：整数恒成立问题
【例13】已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，在上恒成立，求整数的最大值．
【变式13-1】已知函数.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)试讨论函数的单调性；
(3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值.
【变式13-2】已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若时
（Ⅰ）函数存在两个极值点，，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，均有恒成立，求整数的最小值.
【变式13-3】已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当为整数时，若恒成立，求的最小值．
【变式13-4】若，恒有，则正整数的最大值为 ．（参考数据：）
题型十四：共零点模型
【例14】设函数，若恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【变式14-1】已知函数，，，则（ ）
A．B．C．4D．16
【变式14-2】设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．3
【变式14-3】函数，若恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型十五：双参数问题
【例15】已知不等式对任意的实数t恒成立，则的最大值为 ．
【变式15-1】设函数，若恒成立，则的最小值为 ．
【变式15-2】已知，若不等式对任意实数恒成立，则的最大值为 .
【变式15-3】已知函数（，），，若对，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型十六：放缩变形、两边夹
【例16】已知．
(1)讨论函数在的单调性；
(2)当时，若恒成立，求b的取值范围．
【变式16-1】（2025·湖北·模拟预测）已知a，b为实数，若对任意，都有恒成立，则的最小值为 ．
【变式16-2】若不等式恒成立，则的取值范围为 ．
【变式16-3】设，若不等式成立，则 ．
【变式16-4】已知实数，满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型十七：双重最值恒成立
【例17】（2025·河南·三模）已知函数，，其中．
(1)求函数的零点；
(2)．
（ⅰ）用表示m，n的最大值，证明：；
（ⅱ）是否存在实数a，使得，恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【变式17-1】（2025·高三·北京·开学考试）已知函数，，其中．
(1)当时，求曲线在点处切线的方程；
(2)求函数的零点；
(3)用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
【变式17-2】（2025·高三·湖南长沙·期中）已知函数 ，设 表示 的最大值，记 .
(1)讨论 在 上的单调性；
(2)当 时， ，求 的取值范围.
【变式17-3】（2025·贵州铜仁·三模）已知函数，．用表示的最大值，记．若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型十八：已知恒成立，求具体参数值
【例18】（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在处取得极小值.
(1)求的值；
(2)证明：；
(3)若，求的值.
【变式18-1】（2025·高三·云南·期中）已知函数
(1)求曲线过点的切线方程；
(2)若
（i） 当 时，求的极值;
（ii） 若恒成立，求实数.
【变式18-2】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知函数.
(1)当时，证明：恒成立；
(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【变式18-3】已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，恒成立，求的值；
1．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江西·二模）已知，若在上恒成立，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·河北廊坊·模拟预测）当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·湖北·二模）已知，函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·辽宁·一模）设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C． D．1
6．设函数，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·安徽六安·模拟预测）设函数，若，则的取值范围是 ．
8．若关于的不等式且在上恒成立，则实数的取值范围为 .
9．已知恒成立，则正数的取值范围为 .
10．，，恒成立，则最小值为 ．
11．（2025·河南信阳·模拟预测）若函数的最小值为1，则实数的取值范围为 .
12．已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
13．（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知函数，若，且，恒有，则正实数的取值范围为 ．
14．关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为 ．
15．已知，若关于x的不等式对一切正实数x恒成立，则当取最小值时，实数的值为 .
16．已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是 ．
17．（2025·高三·河北邢台·期末）已知不等式对任意的实数恒成立，则的最大值为 ．
18．已知对于任意，不等式都成立（是自然对数的底数），则的最小值是 .
19．（2025·全国·模拟预测）已知，为正实数，若对任意的，都有成立，则的最大值是 ．
20．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数，.
(1)讨论函数的极值点情况；
(2)设，若对任意，，有恒成立，求实数的取值范围.
21．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若对任意，都有成立，求整数的最大值.
22．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，求的极值；
(3)当时，，求的取值范围.