2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点03　函数性质的综合应用(8大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点03　函数性质的综合应用(8大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共17页。
\l "_Tc200484018" 01 重点解读 PAGEREF _Tc200484018 \h 2
\l "_Tc200484019" 02 思维升华 PAGEREF _Tc200484019 \h 3
\l "_Tc200484020" 03 典型例题 PAGEREF _Tc200484020 \h 4
\l "_Tc200484021" 题型一：函数的奇偶性与单调性 PAGEREF _Tc200484021 \h 4
\l "_Tc200484022" 题型二：函数的奇偶性与周期性 PAGEREF _Tc200484022 \h 4
\l "_Tc200484023" 题型三：函数的奇偶性与对称性 PAGEREF _Tc200484023 \h 5
\l "_Tc200484024" 题型四：函数的双式性质问题 PAGEREF _Tc200484024 \h 6
\l "_Tc200484025" 题型五：函数与导数的性质 PAGEREF _Tc200484025 \h 7
\l "_Tc200484026" 题型六：抽象函数赋值模型 PAGEREF _Tc200484026 \h 7
\l "_Tc200484027" 题型七：非常规的函数对称 PAGEREF _Tc200484027 \h 8
\l "_Tc200484028" 题型八：函数性质的综合应用 PAGEREF _Tc200484028 \h 9
\l "_Tc200484029" 04 课时精练 PAGEREF _Tc200484029 \h 11
函数性质的综合运用一直是历年高考的热门考查方向，常以客观题形式呈现。解题时，需深入剖析函数所具备的性质特征，并借助函数图象这一直观工具来探究其性质。通常，高考题会将函数的多种性质相互交织、综合考查，要求考生具备灵活运用知识、全面分析问题的能力。
函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性，堪称函数的四大核心性质。在高考的命题舞台上，这四大性质常常携手登场、综合考查，给考生带来不小的挑战。
在解题过程中，我们常常需要巧妙借助函数的奇偶性、对称性和周期性这些“神奇法宝”。它们就像一把把钥匙，能帮助我们打开另一区间上函数单调性的“神秘大门”，实现不同区间的灵活转换。就好比在复杂的迷宫中，找到了一条通往正确路径的捷径。
当我们成功确定另一区间的单调性后，就如同掌握了解决问题的关键密码。接下来，便可以充分利用函数的单调性这一有力武器，去攻克与函数相关的各类问题，无论是求值、比较大小，还是求解不等式等，都能更加得心应手。
题型一：函数的奇偶性与单调性
【典例1-1】（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【变式1-1】（2025·高三·广西·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型二：函数的奇偶性与周期性
【典例2-1】（2025·山东滨州·二模）已知定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例2-2】（2025·山东·一模）已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（ ）
A．9B．10C．17D．12
【变式2-1】已知定义在上的奇函数满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】已知定义域为的偶函数满足，则（ ）
A．3B．2C．6D．10
【变式2-3】已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A．B．4C．D．6
题型三：函数的奇偶性与对称性
【典例3-1】定义在上的函数满足：，且是偶函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于直线对称
C．
D．
【典例3-2】（2025·江西景德镇·二模）定义在上的函数满足，为偶函数，，则（ ）
A．1013B．1014C．2025D．2026
【变式3-1】若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ）
A．2023B．C．4048D．
【变式3-2】已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为2B．函数的图象关于直线对称
C．函数为奇函数D．函数的图象关于点对称
【变式3-3】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
题型四：函数的双式性质问题
【典例4-1】已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（ ）
A．不为偶函数B．为奇函数
C．D．
【典例4-2】（2025·云南楚雄·模拟预测）已知函数，的定义域均为，且，，，若，且，则（ ）
A．305B．302C．300D．400
【变式4-1】已知及其导函数的定义域为，为偶函数，的图象关于点对称，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（ ）
A．B．1C．2023D．2024
【变式4-3】已知函数为上的奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．3B．C．2D．
【变式4-4】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的定义域均为，则（ ）
A．－4B．－2C．2D．4
题型五：函数与导数的性质
【典例5-1】已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则的值为（ ）
A．0B．8C．-8D．4
【典例5-2】已知周期函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，为偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．的周期为2C．D．
【变式5-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数与及其导函数和的定义域都为，且为奇函数，则下列等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2025·高三·江苏南通·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为奇函数，且，则（ ）
A．2025B．0C．-4D．4
【变式5-3】（多选题）（2025·黑龙江吉林·模拟预测）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数关于点对称
B．函数关于直线对称
C．函数的周期为4
D．
题型六：抽象函数赋值模型
【典例6-1】（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（ ）
A．B．0C．D．1
【典例6-2】（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1B．C．D．
【变式6-1】（2025·山东·二模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【变式6-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数满足：对于任意的x，，都有成立，且，则（ ）
A．2025B．2024C．1013D．1012
【变式6-3】（多选题）（2025·广东佛山·一模）已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（ ）
A．为偶函数B．为周期函数
C．D．
【变式6-4】（多选题）（2025·山东·一模）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（ ）
A．B．为周期函数
C．是奇函数D．若，则
题型七：非常规的函数对称
【典例7-1】（2025·江西九江·一模）定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．D．
【典例7-2】（2025·高三·江西·期中）若函数定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】若函数定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则（ ）
A．56B．57C．58D．59
【变式7-2】已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（ ）
A．的周期为2B．图象关于直线对称
C．为偶函数D．为奇函数
题型八：函数性质的综合应用
【典例8-1】（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为R，，且为奇函数，记，其导函数为，则（ ）
A．8是的一个周期B．
C．D．为奇函数
【典例8-2】（多选题）已知函数和的定义域均为，函数，若均为奇函数，则下面说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式8-1】（多选题）设与其导函数的定义域均为，若的图象关于对称，在上单调递减，且，则（ ）
A．为偶函数B．的图象关于原点对称
C．D．的极小值为3
【变式8-2】（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数对任意实数a，b都有，且，则（ ）
A．B．
C．D．若x为正整数，则
【变式8-3】（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）函数和的定义域均为且不恒为零，若对任意，，则和互为“关联函数”.已知，互为“关联函数”，则以下说法正确的是（ ）
A．，中必有一个为周期函数
B．若，则的解析式可以为
C．与中至少有一个函数为奇函数
D．若，，则
1．设定义在上的函数满足，且当时，.若存在实数使得，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
2．已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·高三·山西·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·江西九江·二模）已知是定义在上周期为2的偶函数，且当时，.设，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．则（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·高三·河北沧州·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且在区间上是增函数．记，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则（ ）
A．4050B．4048C．4044D．4036
9．定义域为的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则（ ）
A．0B．50C．2499D．2509
10．定义在上的函数满足，为偶函数，函数的图象关于对称，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·四川宜宾·一模）已知函数的定义域为的图像关于对称，且为奇函数，，则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1B．2C．3D．4
12．（2025·河南鹤壁·二模）已知函数的定义域为，若为奇函数，且为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
13．（多选题）（2025·陕西咸阳·模拟预测）设函数，及其导函数，的定义域均为，已知，，且，则（ ）
A．是奇函数B．
C．点为曲线的对称中心D．
14．（多选题）（2025·河北·模拟预测）已知函数定义域为，函数是的导函数，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的一个周期为2
C．的图象关于对称D．
15．（多选题）（2025·河北秦皇岛·二模）记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．是周期函数，且其中一个周期为8D．
16．（多选题）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．B．函数的图象关于直线对称
C．D．
17．（多选题）已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的（ ）
A．B．
C．D．
18．（多选题）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A．的图象关于点（2，1）对称B．是以8为周期的周期函数
C．D．
19．（多选题）（2025·四川成都·三模）已知函数，对任意，均有，且为的导函数，则（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
20．（多选题）（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知对任意，且，则（ ）
A．B．
C．的图象关于直线对称D．
21．（多选题）（2025·贵州·三模）已知函数满足对任意的，都有，且.下列结论正确的是（ ）
A．
B．是偶函数
C．若，则
D．若，则4是的一个周期
22．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知函数、 定义域为，其中为偶函数，，且 ，，则（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
23．（多选题）（2025·安徽合肥·二模）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．，
C．的图象关于点对称D．为偶函数
24．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，则 ， ．
25．（2025·重庆·二模）已知函数 满足 ，且 ，则 .
26．（2025·浙江·二模）若定义在上的函数满足，则的最大值是 ．
27．（2025·高三·浙江·开学考试）已知定义在上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则 .
28．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，设，则 .
培优点03 函数性质的综合应用
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc200484018" 01 重点解读 PAGEREF _Tc200484018 \h 2
\l "_Tc200484019" 02 思维升华 PAGEREF _Tc200484019 \h 3
\l "_Tc200484020" 03 典型例题 PAGEREF _Tc200484020 \h 4
\l "_Tc200484021" 题型一：函数的奇偶性与单调性 PAGEREF _Tc200484021 \h 4
\l "_Tc200484022" 题型二：函数的奇偶性与周期性 PAGEREF _Tc200484022 \h 6
\l "_Tc200484023" 题型三：函数的奇偶性与对称性 PAGEREF _Tc200484023 \h 9
\l "_Tc200484024" 题型四：函数的双式性质问题 PAGEREF _Tc200484024 \h 11
\l "_Tc200484025" 题型五：函数与导数的性质 PAGEREF _Tc200484025 \h 15
\l "_Tc200484026" 题型六：抽象函数赋值模型 PAGEREF _Tc200484026 \h 18
\l "_Tc200484027" 题型七：非常规的函数对称 PAGEREF _Tc200484027 \h 22
\l "_Tc200484028" 题型八：函数性质的综合应用 PAGEREF _Tc200484028 \h 25
\l "_Tc200484029" 04 课时精练 PAGEREF _Tc200484029 \h 30
函数性质的综合运用一直是历年高考的热门考查方向，常以客观题形式呈现。解题时，需深入剖析函数所具备的性质特征，并借助函数图象这一直观工具来探究其性质。通常，高考题会将函数的多种性质相互交织、综合考查，要求考生具备灵活运用知识、全面分析问题的能力。
函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性，堪称函数的四大核心性质。在高考的命题舞台上，这四大性质常常携手登场、综合考查，给考生带来不小的挑战。
在解题过程中，我们常常需要巧妙借助函数的奇偶性、对称性和周期性这些“神奇法宝”。它们就像一把把钥匙，能帮助我们打开另一区间上函数单调性的“神秘大门”，实现不同区间的灵活转换。就好比在复杂的迷宫中，找到了一条通往正确路径的捷径。
当我们成功确定另一区间的单调性后，就如同掌握了解决问题的关键密码。接下来，便可以充分利用函数的单调性这一有力武器，去攻克与函数相关的各类问题，无论是求值、比较大小，还是求解不等式等，都能更加得心应手。
题型一：函数的奇偶性与单调性
【典例1-1】（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，所以为奇函数.
又，
当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增.
由，所以，所以.
对任意，由，得，所以只需即可.
令，则，
令，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以，所以.
故选：D.
【典例1-2】（2025·广西河池·二模）设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【解析】由于是偶函数，根据偶函数的定义，.
因此，不等式可以转化为.
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得或.
故选：C.
【变式1-1】（2025·高三·广西·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为时，，则在上单调递增.
当时，，所以时，恒成立.
又是定义在上的奇函数，，所以是上的增函数.
不等式，对任意的恒成立，
即，，
又，所以.
令，，
令，则.
在上恒成立，所以函数在上单调递减.
在时有所以，
即实数的取值范围为．
故选：A.
【变式1-2】已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为为偶函数，所以的图象关于对称，
又对任意的，，都有，
即在上单调递增，结合对称性则在上单调递减，
所以，
即①，显然无解；
或②，解之得.
故选：C
题型二：函数的奇偶性与周期性
【典例2-1】（2025·山东滨州·二模）已知定义域为的函数为偶函数，为奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意可知，；
所以，即，
因此，即，
所以可得，即是以4为周期的周期函数，
对于A，由分析可知，即A错误；
对于B，由，可知；
显然，所以，
所以，即B正确；
对于C，易知，可得C错误；
对于D，显然，即D错误.
故选：B
【典例2-2】（2025·山东·一模）已知定义在上的奇函数满足，且，当时，，则方程在区间上的根的个数为（ ）
A．9B．10C．17D．12
【答案】C
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，
由可知，函数的图象关于直线对称，
则有，则，则，
所以，故是周期函数，周期.
又因为，所以，且有，则.
当时，是增函数，
且时，，时，，所以在上有且仅有一个零点.
函数与函数的图象如图，
由图可知，方程在区间上有10个根，去除后，还有9个根，
方程的根，即函数的图象与函数的图象的交点，有8个，
所以，方程在区间上的根的个数为.
故选：C.
【变式2-1】已知定义在上的奇函数满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为定义在上的奇函数满足，
所以，所以，即，
所以是周期为的周期函数，且，，
所以．
故选：C．
【变式2-2】已知定义域为的偶函数满足，则（ ）
A．3B．2C．6D．10
【答案】A
【解析】因为是定义域为的偶函数，所以.
已知，将换为，可得，又因为，所以.
由和可得.
令，则，那么，又因为，所以，
即，所以函数的周期是，所以.
在中，令，可得，即，解得，所以.
故选：A.
【变式2-3】已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】B
【解析】因为是定义在上的奇函数，又为偶函数，
所以，，且，
则，
即，
所以，
即是以为周期的周期函数，
由，，，
所以，
，
，
所以．
故选：B
题型三：函数的奇偶性与对称性
【典例3-1】定义在上的函数满足：，且是偶函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于直线对称
C．
D．
【答案】A
【解析】
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，
所以的图象关于点对称，故A错误；
因为是偶函数，
所以函数的图象关于轴对称，
所以函数的图象关于直线对称，故B正确；
因为，
代入中，
得到，进而，
因此，故C正确；
由可得，函数为周期函数，为函数的一个周期，
可得，，，
由可得，，
所以，
所以，故D正确．
故选：A．
【典例3-2】（2025·江西景德镇·二模）定义在上的函数满足，为偶函数，，则（ ）
A．1013B．1014C．2025D．2026
【答案】A
【解析】∵，，
则，
∴的最小周期为4．令，解得．
∵为偶函数，由函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，
∴关于直线成轴对称．∴，∴，
∴．又，∴，，
∴.
故选：A．
【变式3-1】若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ）
A．2023B．C．4048D．
【答案】C
【解析】由是偶函数知，的图象关于直线对称，①,
又的图象关于中心对称，所以②,
则③,
由①②③可得，,故函数的周期为4，
则，，，则，
则．
故选：C
【变式3-2】已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为2B．函数的图象关于直线对称
C．函数为奇函数D．函数的图象关于点对称
【答案】D
【解析】对于A，由，得，
则，函数的周期为4，
取，则，
为偶函数，
而最小正周期为，故A错误；
对于B， 由为偶函数，得，
故，
所以函数的图象关于直线对称且关于点对称，B错误；
对于C，由选项B知，，则函数为偶函数，C错误；
对于D，由，，得，
则，函数的图象关于点对称，D正确.
故选：D
【变式3-3】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，因为函数为奇函数，所以，
即， 所以的图象关于点成中心对称，所以.
又因为为偶函数，所以，
即，所以的图象关于直线对称，所以.
故选：D.
题型四：函数的双式性质问题
【典例4-1】已知函数的定义域均为为奇函数，且，则（ ）
A．不为偶函数B．为奇函数
C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，与联立可得，
即的图象关于直线对称，
又为奇函数，则，
所以，即，
所以，所以是周期为4的周期函数，
因为，所以也是周期为4的周期函数，
因为，，所以，
即，从而为偶函数，故A错误．
又为奇函数，则，即，
所以，
故，故C错误．
由，得，则不可能为奇函数，故B错误．
可求，
所以，故D正确．
故选D．
【典例4-2】（2025·云南楚雄·模拟预测）已知函数，的定义域均为，且，，，若，且，则（ ）
A．305B．302C．300D．400
【答案】A
【解析】函数的定义域均为，由，得，
又，则，
于是，即，
由，得，又，
则，即，因此，
即，，
则函数是周期函数，周期为4，由，得，，
由，，得，于是，
所以.
故选：A
【变式4-1】已知及其导函数的定义域为，为偶函数，的图象关于点对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由为偶函数，得，则．
两边取导数，得①．
由的图象关于点对称，得②．
①②，得，所以，
则数列中所有奇数项是公差为2的等差数列，所有偶数项是公差为2的等差数列．
在中，令，得．
在中，令，得．
在中，令，得，
所以，
所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列，所以，
则．
故选：D．
【变式4-2】（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（ ）
A．B．1C．2023D．2024
【答案】A
【解析】因为为偶函数，所以①，
因为，所以，
结合①有②，
因为为奇函数，所以，所以，
结合②有，所以，所以，
所以的周期为8．因为，所以，
同理，由，得，
所以，，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，所以，
所以的周期为8，所以，
由，得，
由，得，所以，
所以．
故选：A.
【变式4-3】已知函数为上的奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A．3B．C．2D．
【答案】B
【解析】因为为上的奇函数，则，
为偶函数，故有，
则，于是，
故，所以，
所以的周期为8，
则，故B正确；
故选：B.
【变式4-4】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数的定义域均为，则（ ）
A．－4B．－2C．2D．4
【答案】C
【解析】在中，令，结合，得．
由，得，
结合，两式相减，
得，所以，
所以，即，
所以12是函数的一个周期，所以．
故选：C．
题型五：函数与导数的性质
【典例5-1】已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则的值为（ ）
A．0B．8C．-8D．4
【答案】C
【解析】为偶函数，为偶函数，关于对称，
关于中心对称，且为偶函数，关于对称，
且，，
的一个周期为4，且，，
，
故选：C.
【典例5-2】已知周期函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，为偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．的周期为2C．D．
【答案】D
【解析】对于A，由函数为奇函数，得，则，，A错误；
对于BC，由求导得，即，
而，则，的图象关于直线对称，
且，由为偶函数，得，的图象关于直线对称，
因此，的周期为4，取，满足的周期为4，
且，且
，，
显然2不是的周期，BC错误；
对于D，设的周期为，即，求导得，即，
因此函数与具有相同的周期，由选项B知的周期也为4，，D正确.
故选：D
【变式5-1】（2025·全国·模拟预测）已知函数与及其导函数和的定义域都为，且为奇函数，则下列等式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对两边求导，得，
又由，得，
所以，可得．
由为奇函数，得，则，
令得：，
则由上面两式可得：，即是以4为周期的周期函数，
则．
故选：C．
【变式5-2】（2025·高三·江苏南通·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若，均为奇函数，且，则（ ）
A．2025B．0C．-4D．4
【答案】C
【解析】因为为奇函数，所以，
即，所以
所以关于对称，同时，
又为奇函数，则，所以关于对称，
即，所以常数，
令可得：，
所以，
则关于对称，结合，所以，
所以，又，
所以，
所以 ，也即，
所以
所以是周期为4的函数，
，， ，，，，
故选：C.
【变式5-3】（多选题）（2025·黑龙江吉林·模拟预测）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数关于点对称
B．函数关于直线对称
C．函数的周期为4
D．
【答案】AC
【解析】对于A，因为为奇函数，所以，
所以函数关于点对称，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，
又，所以，
所以，即，
所以函数的图象关于点对称，故B错，
对于C，因为，所以，所以，为常数，
因为，所以，所以，
取，可得.所以，
由，得，
所以，即，
所以，所以函数是周期函数，且周期为，
又，即，
所以函数也是以周期得周期函数，故C正确；
对于D，因为，，
所以，即，
所以，则，
所以，
，无法确定该值，故D错误.
故选：AC.
题型六：抽象函数赋值模型
【典例6-1】（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】A
【解析】令，则，所以；
令，则，
所以的图象关于直线对称；
令，则，
因为不恒成立，所以恒成立，所以为奇函数，
所以，所以，
所以是周期为8的周期函数，令，则，
解得，又为奇函数，所以，
所以.
故选：A.
【典例6-2】（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【解析】由，用代换，可得，
联立方程组，可得，即，
又由函数为偶函数，且，可得与同号，
所以，可得函数是周期为的函数，
因为，与同号，则，
令，可得，所以，
则.
故选：C.
【变式6-1】（2025·山东·二模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【解析】令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
令，则，可得，
可得是以4为周期的周期函数，
则.
故选：D.
【变式6-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数满足：对于任意的x，，都有成立，且，则（ ）
A．2025B．2024C．1013D．1012
【答案】C
【解析】令时，因为，
所以.
令，
则，所以.
令，则，
所以，则，所以4为的一个周期.
又，
所以由周期性可知，即．
当i为偶数时，为偶数，所以；
当i为奇数时，设，
则
，
故被4除的余数为1，所以，
所以．
故选：C．
【变式6-3】（多选题）（2025·广东佛山·一模）已知定义域为的函数满足，且，为的导函数，则（ ）
A．为偶函数B．为周期函数
C．D．
【答案】ABD
【解析】令，代入可得：
，即，所以，
令，则，即，
令得，
以替换，则，
以替换，则，所以函数是周期为的周期函数.
令，则，即，
所以是偶函数，A选项正确.
因为是周期为的周期函数，对两边求导得：
，即.
替换，则.
以替换，则，
所以是周期为的周期函数，B选项正确.
由的周期为，且，，，.
，C选项错误.
因为的周期为，，所以.
又，两边求导得，即，
所以.
而，令，
可得，即，.
对两边求导得，令，得.
对两边对求导，
得，
即
令，
可得，所以，则，D选项正确.
故选：ABD
【变式6-4】（多选题）（2025·山东·一模）已知定义在R上且不恒为0的函数，对任意的，都有，则（ ）
A．B．为周期函数
C．是奇函数D．若，则
【答案】AC
【解析】令，则，而，
所以，A对；
令，则，令，则，
令，则，故，故是奇函数，C对；
由
，
由，则，故，
所以，
所以，
所以，D错.
假设为的最小正周期，
由，则，故，
显然，对于，，，不能恒成立，
即不能恒成立，与前提矛盾，B错.
故选：AC
题型七：非常规的函数对称
【典例7-1】（2025·江西九江·一模）定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．D．
【答案】C
【解析】令，得，即，故函数的图象关于对称．
又的图象关于直线对称，故，的图象关于直线对称．
，是以4为周期的周期函数．
对于A，的图象是将的图象向左平移2个单位，故的图象关于轴对称，是偶函数，故A错误；
对于B，的图象是将的图象向左平移1个单位，故的图象关于原点对称，是奇函数，故B错误；
对于C，由，得；由，得，
，故C正确；
对于D，依题意，得，，，故D错误．
故选：C．
【典例7-2】（2025·高三·江西·期中）若函数定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由偶函数，知的图象关于直线对称，
因图象关于点成中心对称，则①，且，
所以
，
所以是周期为的周期函数.
令代入①，可得，而，
所以，
综上，.
故选：C
【变式7-1】若函数定义域为，且偶函数，关于点成中心对称，则（ ）
A．56B．57C．58D．59
【答案】B
【解析】的图象向左平移个单位得到的图象，在将横坐标缩小为原来的一半，
得到的图象，由于偶函数，图象关于直线对称，
所以的图象关于直线对称.
由于的图象向右平移个单位得到的图象，
由于关于点成中心对称，所以的图象关于点成中心对称.
则，
，所以是周期为的周期函数.
，所以，
，则，
所以.
故选：B
【变式7-2】已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由函数为偶函数，可得，即，
可得函数关于对称，则，
又由是奇函数，可得，
所以函数关于点对称，则，且，
所以，即，即函数的周期是4，
则，
由，可得，
所以，则，
即，所以，
即导函数关于点对称，且，
又由，可得，即导函数的周期是4，
则，所以．
故选：D．
【变式7-3】（2025·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（ ）
A．的周期为2B．图象关于直线对称
C．为偶函数D．为奇函数
【答案】D
【解析】为奇函数，得，
即，则为奇函数，故C错误；
且图象关于点中心对称，故B错误；
可知，函数周期为4，故A错误；
，又图象关于点中心对称，知，
所以，得关于点对称，
则关于点对称，所以为奇函数，故D正确.
故选：D.
题型八：函数性质的综合应用
【典例8-1】（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为R，，且为奇函数，记，其导函数为，则（ ）
A．8是的一个周期B．
C．D．为奇函数
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，所以，
又，即，则，可得关于点对称，
又的定义域为R，则；
又为奇函数，则，所以，
即，所以关于直线对称，
因为，所以，所以，
则，则8是的一个周期，故A正确；
对于B，由上述得，所以，
则关于点对称，且的定义域为R，则，
令，得，故B正确；
对于C，因为，所以，
则的周期也为8，则，
又的周期为8，则，所以，故C错误；
对于D，由上述知，则为奇函数，故D正确．
故选：ABD．
【典例8-2】（多选题）已知函数和的定义域均为，函数，若均为奇函数，则下面说法一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于，因为为奇函数，所以，即，所以的图象关于点中心对称，则，故A正确；
对于，因为为奇函数，所以，所以的图象关于点对称，，即，即，
所以，所以的图象关于直线对称，但是不能确定的值，故B不正确；
结合的图象关于点对称，所以，周期，
所以，故D正确；
由，所以，所以，即，
令0，则，所以的图象关于直线对称，又的图象关于点对称，
所以的图象关于直线对称，所以，故C正确.
故选：ACD
【变式8-1】（多选题）设与其导函数的定义域均为，若的图象关于对称，在上单调递减，且，则（ ）
A．为偶函数B．的图象关于原点对称
C．D．的极小值为3
【答案】AB
【解析】因为的图象关于对称，所以，
即，则为偶函数，故A正确；
由得，，两边取导数得，，
即，所以，则是奇函数，
所以图象关于点原点对称，故B正确；
由上可知，，又由得，
所以，则，
所以有，即函数是一个周期函数且周期为8；
又由，令得，，
则，故C错误；
由在上单调递减，又的图象关于点对称可知，
在上单调递减，所以在上单调递减，
又的图象关于对称，所以在上单调递增，
由周期性可知，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，即，故D错误，
故选：AB.
【变式8-2】（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数对任意实数a，b都有，且，则（ ）
A．B．
C．D．若x为正整数，则
【答案】ABD
【解析】令，得，
因为，所以，故A对；
令得，
令得，故B对；
由得，
所以函数是周期为8的函数，
又，
所以，
所以，
所以，
又，函数是周期为8的函数，
如，则，故C错；
若x为正整数，则，
所以，故D对；
故选：ABD
【变式8-3】（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）函数和的定义域均为且不恒为零，若对任意，，则和互为“关联函数”.已知，互为“关联函数”，则以下说法正确的是（ ）
A．，中必有一个为周期函数
B．若，则的解析式可以为
C．与中至少有一个函数为奇函数
D．若，，则
【答案】BCD
【解析】对于A项，令，，
则，，，
满足，
但，均不是周期函数，故A错误.
对于B项，若，，
则，
所以与是“关联函数”，B正确.
对于C项，令，则，得，
令，则，
因为不恒为零，所以，
令，得，
将，代入，得，
所以为奇函数，故C正确.
对于D项，由为奇函数，得，，
令，，则，
得，
分别令和，
得，，
两式相加得，所以，
即，
所以是以4为一个周期的周期函数，故，
所以，D正确.
故选：BCD.
1．设定义在上的函数满足，且当时，.若存在实数使得，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】由，令，
则，为偶函数，
由当时，知在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
由得，
由是偶函数及单调性知，
所以，所以.
故选：A.
2．已知函数，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，，
为奇函数，且知在上单调递增．
，
原不等式可转化为，
，解得．
故选：D．
3．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为R，，
函数是偶函数，求导得，令，
求导得，函数在上递增，
当时，，函数在上单调递增，
不等式，
则，令函数，求导得，
当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，
当时，，令函数，求导得，
函数在上递增，当时，，成立，
当时，，不成立，
所以不等式的解集为.
故选：C
4．（2025·高三·山西·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，
由在上单调递增，可知，在上单调递增，
又奇函数，
所以由，可得，
∴，，
∴在上有解，设，，
易知时，，时，，
∴在单调递增，在单调递减，即，
∴，
故选：A
5．（2025·江西九江·二模）已知是定义在上周期为2的偶函数，且当时，.设，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，
且在[0，1]上单调递减，因为，所以，
故选:B.
6．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】为奇函数，故，
又为偶函数，故，
中，令代替得，
结合得，
即，又，
故，的一个周期为4，
所以，
又时，．
故.
故选：D
7．（2025·高三·河北沧州·期中）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，且在区间上是增函数．记，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，函数的定义域为，为偶函数，
即，
又为奇函数，则，即，
所以，则，
即函数周期为，
在区间上是增函数，则在区间上是增函数，
又为奇函数，则，所以，
而，，
，
所以.
故选：D
8．（2025·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则（ ）
A．4050B．4048C．4044D．4036
【答案】A
【解析】由为奇函数，所以，
即，所以函数关于点中心对称，
由为偶函数，则，即，
即，所以函数关于对称，
所以，即，可得，
所以，所以函数为周期为4的函数，
由，所以，则，
所以，且，即，
又，所以，
所以，
所以.
故选：A.
9．定义域为的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则（ ）
A．0B．50C．2499D．2509
【答案】C
【解析】因为的图象关于点对称，所以，
则，即，
则的图象关于点对称．又的图象关于直线对称，
所以，
故，
故，
所以是以4为周期的函数．
因为，，，，
所以．
故选：C
10．定义在上的函数满足，为偶函数，函数的图象关于对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为关于对称，有，
令，则，的图象关于对称.
由为偶函数，得，则的图象于对称，
因为，
所以，
即，则的图象关于对称.
所以，又，
所以，所以，
所以，所以为的一个周期，
因为图象关于对称，所以，
故，
所以由，得.
故选：C.
11．（2025·四川宜宾·一模）已知函数的定义域为的图像关于对称，且为奇函数，，则下列说法正确的个数为（ ）
①；②；③；④.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】因为为奇函数，所以，则，
所以对称中心为，
又因为的图像关于对称，则，
所以，则，
所以的周期，
①，所以①正确；
②因为，，对称中心为，
所以，所以，所以②正确；
③因为，所以，
因为，所以，
则，所以，所以③错误；
④因为且周期，
所以，则的周期为，
因为，，，，
所以，
所以，所以④正确.
故选：C.
12．（2025·河南鹤壁·二模）已知函数的定义域为，若为奇函数，且为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为为奇函数，，
令，则，即：①；
令，得到；
因为为偶函数，，
②；结合①②得到：，
，，
所以，所以函数的周期为8，
.
故选：A.
13．（多选题）（2025·陕西咸阳·模拟预测）设函数，及其导函数，的定义域均为，已知，，且，则（ ）
A．是奇函数B．
C．点为曲线的对称中心D．
【答案】ACD
【解析】A.在中，令，得，所以，故是奇函数，A正确；
B.由定义域为，且为奇函数，知，
在中，令，得，B错误；
C.因为，所以，故，
又因为，所以，即，
所以点为曲线的对称中心，C正确；
D. 因为是奇函数，所以，故，即是偶函数，
由得，，故，即的周期为4，
因为，所以，即，
在中，令，得，
所以，D正确.
故选：ACD.
14．（多选题）（2025·河北·模拟预测）已知函数定义域为，函数是的导函数，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的一个周期为2
C．的图象关于对称D．
【答案】ACD
【解析】，关于对称，，故A正确；
对求导可得，
即，关于对称，
又，关于对称，
的一个周期为4，关于对称，故B错误，故C正确；
将代入，可得，
将代入，可得，
，，
，故D正确.
故选：ACD．
15．（多选题）（2025·河北秦皇岛·二模）记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．是周期函数，且其中一个周期为8D．
【答案】BC
【解析】由题意，函数与的定义域均为.
由求导可得，即，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
由求导可得，
，
，则（为常数），
令，则有，所以，即，
所以，即函数的图象关于直线对称.
又由可得，
则有，
，
，即，
所以函数的图象关于点对称.
所以函数是周期函数，周期.证明如下：
由可得，
由上述结论可知，所以.
则，即，
又由可得，所以.
所以是周期函数，且其中一个周期为8，故C正确；
对于A，因为，，
若，则，与矛盾.
故A错误；
对于D，由求导可得，
则有，因为，所以
则（是常数），令，可得，
所以，即函数的图象关于直线对称.
所以，函数也是周期函数，周期.
，令，可得，
根据对称性可知，，
所以.
所以，不确定是否为0，故D错误.
故选：BC.
16．（多选题）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．B．函数的图象关于直线对称
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，因为为奇函数，所以，
取可得，A正确．
对于B，因为，所以，
所以．又，
故，所以函数的图象关于点对称，B错误．
对于D，因为，所以，
所以为常数．因为，
所以，
所以，取可得，所以．
又，所以，所以，
所以，故函数为周期为4的函数．
因为，所以，
所以，
所以，D正确．
对于C，因为，所以
，所以，
故函数为周期为4的函数，，
所以函数为周期为4的函数，
又，
所以，
所以，C正确．
故选：ACD
17．（多选题）已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】由是偶函数，则，两边求导得，
所以是奇函数，故，
由，得，
所以，代入，
得，
即，又因为是奇函数，
所以，，即，
所以是周期函数，且周期为4，，故A正确；
对选项B，在中，令得，，
在中，令得，，故，故B正确；
对于C：，令，得，
因为是周期函数，且周期为，，
所以，
因为，所以，故C错误；
对于D：由得，
，
由A选项知，令得，故，
因为是周期函数与奇函数，且周期为，
所以，即，
因为，所以
所以，故D错误．
故选：AB
18．（多选题）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）
A．的图象关于点（2，1）对称B．是以8为周期的周期函数
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，根据题意由可得；
又为奇函数，联立，两式相加可得，
因此的图象关于点对称，即A正确；
对于B，由，，又为偶函数，所以，
可得，即，
所以，即是以8为周期的周期函数，可知B正确；
对于C，易知，，即C不正确；
对于D：由可得，又，所以；
所以，即D正确；
故选：ABD．
19．（多选题）（2025·四川成都·三模）已知函数，对任意，均有，且为的导函数，则（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
【答案】ABD
【解析】令，得，解得，故A正确；
令，得，所以，即为奇函数，故B正确；
令，得.
因为，所以，
所以，
所以的周期是4，所以，
所以，故C错误；
对两边求导，得，所以的周期为4.
对两边求导，，所以.对于中关于求导，
可得，
令，可得，
令，可得.又因为，
所以，所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
20．（多选题）（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知对任意，且，则（ ）
A．B．
C．的图象关于直线对称D．
【答案】AC
【解析】由题意得任意，，且，
令，则，则．
令，则，故A正确．
令，则，所以的图象关于直线对称，故C正确．
令，则，结合C选项，得，所以有，则为奇函数．
又因为的图象关于直线对称，所以是以2为周期的函数，所以，故B错误．
令，则，，故D错误．
故选：AC．
21．（多选题）（2025·贵州·三模）已知函数满足对任意的，都有，且.下列结论正确的是（ ）
A．
B．是偶函数
C．若，则
D．若，则4是的一个周期
【答案】ABD
【解析】令，则，
因为，所以，故A正确；
令，则恒成立，
所以函数为偶函数，故B正确；
，令，则，故C错误；
，令，则，
所以，
则为周期函数且为其一个周期，故D正确.
故选：ABD.
22．（多选题）（2025·重庆·模拟预测）已知函数、 定义域为，其中为偶函数，，且 ，，则（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
【答案】AC
【解析】因为为偶函数，则，即函数的图象关于直线对称，
因为，则函数的图象关于点对称，
因为，则，所以，，
则，即，
所以，，
所以，函数的图象关于点对称，C对；
因为函数的图象关于直线对称，则，
由可得，则，
故，所以，函数是以为周期的周期函数，
因为，则，
且，所以，，A对；
因为，故函数是周期为的周期函数，
若函数为奇函数，且，则，
从而有，则，
又因为的图象关于直线对称，则，这与矛盾，
故函数不是奇函数，B错；
因为，且，则，
则，且，
所以，，D错.
故选：AC.
23．（多选题）（2025·安徽合肥·二模）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．，
C．的图象关于点对称D．为偶函数
【答案】ACD
【解析】A选项，中，令得，
又，故，解得，
中，令得，故，A正确；
D选项，中，令得
，即，，
中，令得
，即，
因为，所以，故，
故的一个周期为1，
故，所以，故为偶函数，D正确；
B选项，中，令得
，
由于，，故，
由于的一个周期为1，故，
所以，解得，
中，令得
，
又，故，，
所以，故，
故不存在，，B错误；
由上可知，，故的图象关于点对称，C正确.
故选：ACD
24．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，则 ， ．
【答案】 0
【解析】令，，得，∵，∴．
令，得，
∴（*），
，
∴，
∴，
∴是一个周期为6的周期函数，
由（*），可得，
，
，
，
∴，
故答案为：0；
25．（2025·重庆·二模）已知函数 满足 ，且 ，则 .
【答案】-10
【解析】由，得，
两式相加得，则，
所以函数的周期为，
设，则，，
，又，则，即，
所以，，，，
所以，
，
故答案为：-10
26．（2025·浙江·二模）若定义在上的函数满足，则的最大值是 ．
【答案】/
【解析】由，，得，所以，
平方得①，
②，
②-①得，
所以，即
又，则
，
所以
所以，即，
故2为函数的一个周期，因此.
考虑到，
设，
则，
故最大值为.
故答案为：.
27．（2025·高三·浙江·开学考试）已知定义在上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则 .
【答案】1
【解析】因为函数是偶函数，
所以，
因为函数是奇函数，
所以，即，
取可得，
令可得，
令可得，，
所以，
，
所以，
所以函数为周期函数，是该函数的一个周期，
所以.
故答案为：.
28．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，设，则 .
【答案】0
【解析】由题知，是奇函数且是周期为4的周期函数，
又当时，
则
，
故.
故答案为：0