2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点10整数解问题(5大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点10整数解问题(5大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共7页。
\l "_Tc201678079" 01 重点解读 PAGEREF _Tc201678079 \h 2
\l "_Tc201678080" 02 思维升华 PAGEREF _Tc201678080 \h 3
\l "_Tc201678081" 03 典型例题 PAGEREF _Tc201678081 \h 4
\l "_Tc201678082" 题型一：直接法 PAGEREF _Tc201678082 \h 4
\l "_Tc201678083" 题型二：分离参数法 PAGEREF _Tc201678083 \h 4
\l "_Tc201678084" 题型三：分离函数法 PAGEREF _Tc201678084 \h 5
\l "_Tc201678085" 题型四：隐零点法 PAGEREF _Tc201678085 \h 6
\l "_Tc201678086" 题型五：必要性探路法 PAGEREF _Tc201678086 \h 7
\l "_Tc201678087" 04 课时精练 PAGEREF _Tc201678087 \h 8
利用导数解决整数问题是高考数学中的一类特色题型，常出现在导数综合应用题中。这类问题通常结合函数单调性、极值以及整数取值范围进行考察。
解题时，首先通过求导分析函数的单调性和极值点，确定函数在不同区间的变化趋势。接着，根据题目条件，结合函数图像或性质，找出满足整数条件的自变量取值范围。这往往需要利用导数判断函数在关键点（如整数点）的取值情况，或通过放缩法、不等式估计等方法确定整数解的边界。
高考中，这类问题注重考查学生的逻辑思维能力和数学运算能力。备考时，应加强对导数性质的理解，熟练掌握利用导数分析函数单调性和极值的方法，同时注重整数问题的解题技巧训练，如合理放缩、利用函数单调性缩小范围等。
利用导数解决整数问题，关键在于结合函数单调性与整数取值范围进行推理，以下是具体方法总结：
（1）求导分析单调性：对目标函数求导，根据导数的正负判断函数单调性，确定函数的增减区间和极值点。
（2）确定关键点取值：计算函数在整数点或关键点（如极值点、边界点）的函数值，明确函数在这些点的取值范围。
（3）结合整数条件推理：根据题目要求的整数条件，结合函数单调性和关键点取值，推理出自变量的整数取值范围。例如，若函数在某区间单调递增，且已知某整数点的函数值，则可推断出该点附近满足条件的整数解。
（4）验证与调整：对推理出的整数解进行验证，确保其满足题目条件。必要时，通过调整参数或进一步分析函数性质，缩小或扩大整数解的范围。
题型一：直接法
【例1】（2025·湖北·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若不等式恒成立，求整数的最大值.
【变式1-1】已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】已知函数．
(1)试讨论函数的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
题型二：分离参数法
【例2】已知函数与函数的图象相交于不同的两点，若存在唯一的整数，则实数的最小值是（ ）
A．0B．C．D．1
【变式2-1】（2025·安徽淮北·二模）若关于的方程有3个不同实根，则满足条件的整数的个数是（ ）
A．24B．26C．29D．31
【变式2-2】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】已知函数，若存在唯一的整数，使得，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-4】当时，恒成立，则整数的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
题型三：分离函数法
【例3】定义在上的函数满足，（为的导函数），若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】若当时，关于x的不等式恒成立，则满足条件的a的最小整数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式3-2】已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型四：隐零点法
【例4】已知函数（）.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当a为整数时，若恒成立，求a的最小值.
【变式4-1】设函数．
(1)求的单调区间；
(2)若，t为整数，且当时，不等式恒成立，求t的最大值．
【变式4-2】已知函数．
(1)判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
(2)若函数在上的最大值在区间内，求整数m的值．
【变式4-3】（2025·安徽安庆·二模）对任意，使得不等式成立的最大整数为（ ）
A．B．C．D．
题型五：必要性探路法
【例5】已知函数（其中e为自然对数的底数）．若对定义域内的一切实数，都有，求整数的最小值．（参考数据：）
【变式5-1】已知函数，对，不等式恒成立，求整数的最大值．
【变式5-2】对一切的恒成立，试求出整数的最大值．
1．若不等式（其中）的解集中恰有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知是函数的导函数，且对任意实数都有，，若不等式（其中）的解集中恰有三个整数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若当时，关于x的不等式恒成立，则满足条件的a的最小整数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，若的解集为，且中恰有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数存在零点，则整数的最小值是（ ）
A．B．C．0D．1
7．（2025·江苏南京·模拟预测）已知对任意实数都有，，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设函数 ，若 的整数有且仅有两个，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知函数，若存在唯一的整数，使，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）设函数，若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，若关于x的不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是 ．
12．已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是 ．
13．已知函数，设，若只有一个零点，则实数的取值范围是 ；若不等式的解集中有且只有四个整数，则实数的取值范围是 ．
14．不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数a的取值范围是 ．
15．已知函数 有两个零点a、b，且存在唯一的整数，则实数m的取值范围是 .
16．已知定义域为R的函数，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是 ．
17．已知函数，的图象在处的切线为．
(1)求函数的解析式；
(2)设，比较与大小关系，并说明理由；
(3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值．
18．已知函数，若在处取得极值-6.
(1)求的值；
(2)若都为整数，当时关于的方程有两个不同的解，求实数的范围.
19．已知函数在和处取得极值.
(1)求；
(2)，求整数的最大值.
20．（2025·高三·河南·开学考试）已知函数（）在处取得极值．
(1)求的单调区间；
(2)若恒成立，求整数的最小值．参考数据：，．
21．（2025·高三·重庆·开学考试）已知函数在时取得极值，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在实数，使得成立，求整数的最小值．
22．是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
23．（2025·福建·三模）函数，其中为整数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的最大值.
24．已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)若，为整数，且当时，，求的最大值．
培优点10 整数解问题
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc201678079" 01 重点解读 PAGEREF _Tc201678079 \h 2
\l "_Tc201678080" 02 思维升华 PAGEREF _Tc201678080 \h 3
\l "_Tc201678081" 03 典型例题 PAGEREF _Tc201678081 \h 4
\l "_Tc201678082" 题型一：直接法 PAGEREF _Tc201678082 \h 4
\l "_Tc201678083" 题型二：分离参数法 PAGEREF _Tc201678083 \h 6
\l "_Tc201678084" 题型三：分离函数法 PAGEREF _Tc201678084 \h 10
\l "_Tc201678085" 题型四：隐零点法 PAGEREF _Tc201678085 \h 14
\l "_Tc201678086" 题型五：必要性探路法 PAGEREF _Tc201678086 \h 17
\l "_Tc201678087" 04 课时精练 PAGEREF _Tc201678087 \h 20
利用导数解决整数问题是高考数学中的一类特色题型，常出现在导数综合应用题中。这类问题通常结合函数单调性、极值以及整数取值范围进行考察。
解题时，首先通过求导分析函数的单调性和极值点，确定函数在不同区间的变化趋势。接着，根据题目条件，结合函数图像或性质，找出满足整数条件的自变量取值范围。这往往需要利用导数判断函数在关键点（如整数点）的取值情况，或通过放缩法、不等式估计等方法确定整数解的边界。
高考中，这类问题注重考查学生的逻辑思维能力和数学运算能力。备考时，应加强对导数性质的理解，熟练掌握利用导数分析函数单调性和极值的方法，同时注重整数问题的解题技巧训练，如合理放缩、利用函数单调性缩小范围等。
利用导数解决整数问题，关键在于结合函数单调性与整数取值范围进行推理，以下是具体方法总结：
（1）求导分析单调性：对目标函数求导，根据导数的正负判断函数单调性，确定函数的增减区间和极值点。
（2）确定关键点取值：计算函数在整数点或关键点（如极值点、边界点）的函数值，明确函数在这些点的取值范围。
（3）结合整数条件推理：根据题目要求的整数条件，结合函数单调性和关键点取值，推理出自变量的整数取值范围。例如，若函数在某区间单调递增，且已知某整数点的函数值，则可推断出该点附近满足条件的整数解。
（4）验证与调整：对推理出的整数解进行验证，确保其满足题目条件。必要时，通过调整参数或进一步分析函数性质，缩小或扩大整数解的范围。
题型一：直接法
【例1】（2025·湖北·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若不等式恒成立，求整数的最大值.
【解析】（1）函数的定义域为，
则曲线在点处的切线为，
即.
（2）因为，
时，由，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）依题知，恒成立，即恒成立，
设，
则，
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则恒成立，
整理得.
设，则恒成立，所以在上单调递增，又，且
故整数的最大值为.
【变式1-1】已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由函数，可得，其中，
若时，，则在上单调递增，且，
所以有无数个整数解，不符合题意，
若时，当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
所以，综上可得，实数的取值范围为.
故选：B.
【变式1-2】已知函数．
(1)试讨论函数的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求整数的最大值．
【解析】（1）由，求导得，，
当时，，则在上单调递减，
当时，令，则，
当，，则在上单调递减，
当，，则在上单调递增，
故时，在上单调递减，
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由，不等式恒成立，
转化为，
构造函数，
求导
若时，则，所以在单调递减，
由于对于成立，
当时，则，
故，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，但是，不满足题意.
故整数的最大值为.
题型二：分离参数法
【例2】已知函数与函数的图象相交于不同的两点，若存在唯一的整数，则实数的最小值是（ ）
A．0B．C．D．1
【答案】B
【解析】由，可得，
设，可得，
令，即，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
故当时，函数取得极大值，且
又由时，；
当时，，故；
作出函数大致图像，如图所示：
由，
因为存在唯一的整数，使得与的图象有两个交点，
由图可知：，即.
故选：B.
【变式2-1】（2025·安徽淮北·二模）若关于的方程有3个不同实根，则满足条件的整数的个数是（ ）
A．24B．26C．29D．31
【答案】B
【解析】由，得，
则关于的方程有3个不同实根，
即为函数的图象有个不同的交点，
令，则，
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
当趋向负无穷时，趋向负无穷，当趋向正无穷时，趋向正无穷，
作出函数的大致图象，如图所示，
由图可得，所以，
所以满足条件的整数的个数是个.
故选：B.
【变式2-2】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有（是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以 即 ，
设，
令，可得，
所以 ，则 ，
令 可得 在 上递增，令 可得 在 上递减，
所以在 处取得极大值 ，作函数的图象如图所示：
又因为，
而不等式的解集中恰有三个整数，等价于不等式的解集中恰有三个整数，
由图象知：当时，不等式不等式的解集中恰有三个整数，
所以实数的取值范围是，
故选：C.
【变式2-3】已知函数，若存在唯一的整数，使得，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
令函数，
则．
令函数，显然在上单调递减．
因为，
所以当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减．
又，，
当趋近于时，趋近于负无穷，当趋近于时，趋近于，
所以当存在唯一的整数，使得时，a的取值范围是．
故选：C
【变式2-4】当时，恒成立，则整数的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】B
【解析】由题意得，在上恒成立，
设，所以，
因为，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，，
所以整数，则整数的最小值为5．
故选：B．
题型三：分离函数法
【例3】定义在上的函数满足，（为的导函数），若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
即（为常数），
又，所以，即.
，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
又，当时，，当时，，
且当时，，当时，，
所以作出的大致图象如图所示.
令，易知的图象恒过点，
在同一平面直角坐标系中作出的图象，易知，数形结合可知，
若存在唯一的整数，使得，则
即，得，
故选：B.
【变式3-1】若当时，关于x的不等式恒成立，则满足条件的a的最小整数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】当时，，
所以在上恒成立，
等价于在上恒成立，
等价于即在上恒成立，
令，则，
所以当时，当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
因为，所以，所以即，
令，则，
则在上恒成立，
所以函数即在上单调递增，所以，
函数在上单调递增，所以，所以，
所以原不等式等价于即在上恒成立，
所以，所以满足条件的a的最小整数为1.
故选：A
【变式3-2】已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，，当时，且，
作出的函数图象如图所示：
由仅有一个整数解，
得只有一个整数解，
设，由图象可知：
当时，在上恒成立，不符合题意，
当时，若只有1个整数解，则此整数解必为1，
所以，即，解得．
故选：D．
【变式3-3】（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】易知函数的定义域为，且，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
即，
又当趋近于时，趋近于，当趋近于时，且趋近于；
作出函数的图象如下图所示：
易知恒过定点，
由不等式的解集中有且仅有一个整数可知只有一个整数解；
令，利用一次函数图象性质可知，
当时，在上恒成立，不合题意；
当时，若只有1个整数解，因此整数必为1；
所以可得，即，解得；
即实数的取值范围是.
故选：B
题型四：隐零点法
【例4】已知函数（）.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当a为整数时，若恒成立，求a的最小值.
【解析】（1）当时，，∴，
∵，∴，
∴曲线在处的切线方程为：.
（2）的定义域为，
，
①当时，恒成立，在上单调递减；
②当时，令，得，令，得，
∴在上单调递减，在上单调递增.
（3）∵，∴，即.
设，则.
设，则.
设，则，
令，得；令，得.
∴时，为增函数，时，为减函数，
∴，即，∴在上为减函数.
∵，，
∴，使，
∴时，，从而，为增函数；
时，，从而，为减函数；
∴的最大值为.
由得，
∴，
∵，∴，
∴，
∴整数a的最小值为1.
【变式4-1】设函数．
(1)求的单调区间；
(2)若，t为整数，且当时，不等式恒成立，求t的最大值．
【解析】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递减；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数的单调递减区间是；
当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）当时，，
当时，不等式，
令，求导得，
令，求导得，函数在上单调递增，
，则存在，使得，
当时，，即；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，
依题意，，而是整数，因此，
所以t的最大值为4.
【变式4-2】已知函数．
(1)判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
(2)若函数在上的最大值在区间内，求整数m的值．
【解析】（1），，
当时，，，，，
∴在单调递增．
（2），
令，则，所以在上单调递增，
因为，，
所以存在，使得，即，即，
故当时，，当时，，
又当时，（等号仅在时成立），
所以当时，，
当时，（等号仅在时成立），
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
令，，则，，
所以在上单调递增，则，，
所以，所以．
【变式4-3】（2025·安徽安庆·二模）对任意，使得不等式成立的最大整数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，有，，
令，则，
令，则，
所以，函数在上单调递增，
因为，，
所以存在，使得，
因此，函数在单调递减，在单调递增，
，
构造函数，当时，，
所以，函数在上单调递增，因为，则，
所以最大整数为，
故选：B．
题型五：必要性探路法
【例5】已知函数（其中e为自然对数的底数）．若对定义域内的一切实数，都有，求整数的最小值．（参考数据：）
【解析】由题意得的定义域为，因为对定义域内的一切实数，都有，
所以，即．因为为整数，所以．
当时，由题意可得，显然在上单调递增．
设，则在上单调递增．
因为，
所以存在唯一，使得0，即，可得．
于是，，
设，显然在上单调递增，则成立．
故符合题意，即整数的最小值为1．
【变式5-1】已知函数，对，不等式恒成立，求整数的最大值．
【解析】
可得恒成立；
整数满足恒成立则一定满足恒成立；
注意到时，，取特殊值，得到，
可验证当时，若取大于的整数，都有使得．
下面验证满足恒成立：
令，，
，，
所以存在使得．
且当，，单调递减；
，，单调递增；
满足．
，当且仅当取等，，可得恒成立，
即恒成立，恒成立．
综上，可知满足题意的最大整数为．
【变式5-2】对一切的恒成立，试求出整数的最大值．
【解析】易知对一切的恒成立，
当时，可得，故仅可取1，2．
下面证明：当时，恒成立．设，
则．
从而在上单调递减，在上单调递增，
所以．
当2时，不等式恒成立，故的最大值为2．
1．若不等式（其中）的解集中恰有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，
当时，，当，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，且，
而当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于0，
当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大，
令，该函数图象为恒过的动直线，
因为不等式的解集中恰有一个整数，
结合图象可得，即，所以.
故选：D
2．已知是函数的导函数，且对任意实数都有，，若不等式（其中）的解集中恰有三个整数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，可设，
．，，
．
令解得，，令解得，，
可得：时，函数取得极小值，
，，，，所以
易知，直线恒过定点，
要满足不等式（其中）的解集中恰有三个整数，
如图，当时，直线与图象的交点G，必须介于点B与点F之间.
因此直线的斜率，必须满足，
又，所以，
故选：C．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）若当时，关于x的不等式恒成立，则满足条件的a的最小整数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】设，，
则，
设，
则，
当时，，故，
而，
故当时，，故在为增函数，
故，故在为增函数，
所以即恒成立.
当时，，
故存在，使得任意，总有，
故在为减函数，故任意，总有，
所以任意，总有，
故在为减函数，故，这与题设矛盾，
故最小整数为0．
故选:A．
4．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，且，可得，
构建，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，可得，
且，
由题意可得，解得，
所以的取值范围是.
故选：C.
5．已知函数，若的解集为，且中恰有一个整数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，得，所以，
令，则，
当时，，在上递增；
当时，，在上递减，
令，画出的图象如图.
根据条件，由图象，可得，解得，
故选：A.
6．已知函数存在零点，则整数的最小值是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】C
【解析】因为时，，，
解得：，所以在上单调递减，在上单调递增，
而，当趋近于正无穷，则趋近于正无穷，
所以存在零点，故排除D.
当时，令，即，
令，即，令，故，
当时，，当时，，
故，
所以此时无零点，故时没有零点，故B不正确；
当时，，也不存在零点，故A不正确；
故选：C.
7．（2025·江苏南京·模拟预测）已知对任意实数都有，，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，即，得，则（为常数），
又，所以，所以，故，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以在取得极小值．
设，可知该函数恒过点，
画出的图象，如下图所示，
不等式（其中）的解集中恰有两个整数，
则这两个整数解为，所以，
即，解得，所以．
.
故选：C．
8．设函数 ，若 的整数有且仅有两个，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，即，
又，则.
令，，
，当时，，
时，，时，，
在单调递减，在单调递增，且，且，，作出函数图象如图所示，
若 的整数有且仅有两个，即只需满足
，即，解得：
故选：D
9．已知函数，若存在唯一的整数，使，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】的定义域为，由有唯一整数解，得有唯一整数解，
令，定义域为，，定义域为，
则，令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，∴在处取极大值也是最大值，
作出的大致图象如图所示，
易知的图象是恒过点的直线，
若，则显然不符合题意，
若，则，即，解得，
故选：A.
10．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期末）设函数，若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】若存在唯一整数使得，可得，则，
令，该函数的定义域为，则，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
，，，且，
因此，若存在唯一的整数使得，则.
故选：A.
11．已知函数，若关于x的不等式的解集中有且只有三个整数，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为，，
当时，；当时，；
即在上单调递增，在上单调递减，
且，当时，；当时，；
令，则不等式即为，
故，即，即，
则不等式的解集中有且只有三个整数，
即为不等式的解集中有且只有三个整数，
由于，且，
结合题意可知要满足题意，解集中的三个整数为2,，3，4，
需有，即，
即实数a的取值范围是，
故答案为：
12．已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线上方，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，
当时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
且时，恒成立，故的图象如图所示，
因为，，故，
又，因为,所以,
因为有且仅有一个整数，使得点在直线上方，故，
故答案为：.
13．已知函数，设，若只有一个零点，则实数的取值范围是 ；若不等式的解集中有且只有四个整数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
∴；当时，；当时，；．
据此可作出图象如图所示：
令，则或，
由，可得；
又∵只有一个零点，∴无解，或，
∴，或，
∴的取值范围是．
令，则．
①当时，则或，
由，可得，无整数解，∴中有3个整数解，
结合的图象可知此4个整数解为,5，
∵，
由函数的单调性可知，∵，
∴；
②当时，，
由，得，不满足题意；
③当时，由，得或，
∵的解集中无整数，的解集中有若干个整数，不满足题意；
综上，的取值范围为．
故答案为：；．
14．不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，设，，
，
令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
其中，，，，
的图象恒过点，在同一坐标系内作出的图象，如下：
要想不等式解集中有且仅含有两个整数，显然2为一个符合要求的整数，
当经过点时，，解得，
故，此时，1为另一个符合要求的整数，
故，
故答案为：
15．已知函数 有两个零点a、b，且存在唯一的整数，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【解析】定义域为，因有两个零点，
则有两个零点，则方程有两个根，
即函数图象与图象存在两个交点，
因，则得，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
则的最大值为，
又因在上只有一个零点，且，，故其图象如下：
则由数形结合可知，当，即时，存在唯一的整数，且.
故答案为：
16．已知定义域为R的函数，若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题，可得，
当时，，所以单调递增区间是
当时，，所以的单调递减区间是.
设，可知该函数恒过点，
考虑过的切线，设切点为，则，
故，当时，；
当时，；
画出，的大致图像，如图所示，
若，
不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则这两个整数为0，－1，
所以，即，解得．
若，不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则这两个整数为3，4，
所以，即，解得．
故答案为：
17．已知函数，的图象在处的切线为．
(1)求函数的解析式；
(2)设，比较与大小关系，并说明理由；
(3)若对任意的，对任意的恒成立，求满足条件的最大整数的值．
【解析】（1）由得，，
因函数的图象在处的切线为，则，
因切点为，则，则，
故
（2）
则，
则得，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
因此，对任意成立．
（3），
因对任意的恒成立，则，
即对任意的恒成立，
令，则，
则得，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
则，即，故最大整数．
18．已知函数，若在处取得极值-6.
(1)求的值；
(2)若都为整数，当时关于的方程有两个不同的解，求实数的范围.
【解析】（1）对函数求导得：.
因为在处取得极值-6，所以①，
，化简得：②.
联立①②得：，解得或者.
当时，，，
令得或，令得，
那么在上单调递减，在上单调递增，
此时在处取得极值，符合题意；
当时，，，
令得或，令得，
那么在上单调递减，在上单调递增，
此时在处取得极值，符合题意；
所以的值为或.
（2）因为都为整数，所以，此时函数解析式为.
那么方程有两个不同的解的问题转化为函数与直线有两个不同的交点问题.
由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增.
而，所以么在上单调递减，在上单调递增，
其图象如下：
此时的极小值为，而，，.
结合单调性可求得的取值范围为.
19．已知函数在和处取得极值.
(1)求；
(2)，求整数的最大值.
【解析】（1）函数，，
因为函数在和处取得极值，
所以即解得
而当时，，
当时，；当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以和分别是的极大值点､极小值点，
故满足题意.
（2）由题意，恒成立.
设，则，
显然在上单调递增.
又，所以存在唯一的，使得，
即，所以.
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，
当时，，所以，
由题意知，且，
所以整数的最大值为1.
20．（2025·高三·河南·开学考试）已知函数（）在处取得极值．
(1)求的单调区间；
(2)若恒成立，求整数的最小值．参考数据：，．
【解析】（1）由题意得的定义域为，（），
因为在处取得极值，所以，解得，
此时，，
其中恒成立，当时，，当时，，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是，并且在处取得极大值．
（2）即，令，则，
，
令，则，
所以在上单调递减，
又，，
所以存在唯一的，使得，即，所以．
当时，，，当时，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，所以，
又在上单调递增，故，
又，所以整数的最小值为1．
21．（2025·高三·重庆·开学考试）已知函数在时取得极值，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若存在实数，使得成立，求整数的最小值．
【解析】（1）由题意知的定义域为，，
由于函数在时取得极值，且满足，
故，且，
解得，则，
经验证函数在时取得极小值，适合题意
故；
（2）由题意存在实数，使得成立，
即恒成立；
令，，则，
令，则在上恒成立，
故在单调递增，
又，
故存在唯一的使得，即，
则当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
故，结合，得，故整数的最小值为5.
22．是否存在整数，使得关于的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【解析】令,
令，则，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，即.
所以当时，，不符合题意．
若关于的不等式有解，又为整数，只需，
当时，，符合题意．
综上：整数的最小值为0．
23．（2025·福建·三模）函数，其中为整数.
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的最大值.
【解析】（1）当时，，则，
而，则，
所以函数在处的切线方程为，
即.
（2）当时，，则恒成立，
当时，由，得，
即，则，
即对于恒成立，
设，，
则，
当时，显然恒成立，则函数在上单调递增，
则，满足题意；
当时，令，即，解得，
此时函数在上单调递减，
则，不满足题意.
综上所述，的最大值为2.
24．已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)若，为整数，且当时，，求的最大值．
【解析】（1）的定义域为，，
当时，则，在上单调递增；
当时，由，得．
当变化时，，变化如下表：
综上，当时，无极值；
当时，有极小值，极小值为，无极大值.
（2），，
故当时，等价于，
令，则．
由（1）知，函数在上单调递增，而，
在存在唯一的零点，故在存在唯一的零点，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
在上的最小值为，
由，可得，
，
故整数的最大值为2．
0
单调递减
极小值
单调递增