2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点05　活用抽象函数模型妙解压轴题(9大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点05　活用抽象函数模型妙解压轴题(9大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共14页。试卷主要包含了判断抽象函数单调性的方法，常见的抽象函数模型等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc201068461" 01 重点解读 PAGEREF _Tc201068461 \h 2
\l "_Tc201068462" 02 思维升华 PAGEREF _Tc201068462 \h 3
\l "_Tc201068463" 03 典型例题 PAGEREF _Tc201068463 \h 5
\l "_Tc201068464" 题型一：一次模型 PAGEREF _Tc201068464 \h 5
\l "_Tc201068465" 题型二：正弦模型 PAGEREF _Tc201068465 \h 7
\l "_Tc201068466" 题型三：余弦模型 PAGEREF _Tc201068466 \h 9
\l "_Tc201068467" 题型四：指数模型 PAGEREF _Tc201068467 \h 12
\l "_Tc201068468" 题型五：对数模型 PAGEREF _Tc201068468 \h 13
\l "_Tc201068469" 题型六：二次模型 PAGEREF _Tc201068469 \h 16
\l "_Tc201068470" 题型七：幂模型 PAGEREF _Tc201068470 \h 18
\l "_Tc201068471" 题型八：正切模型 PAGEREF _Tc201068471 \h 20
\l "_Tc201068472" 题型九：其他模型 PAGEREF _Tc201068472 \h 22
\l "_Tc201068473" 04 课时精练 PAGEREF _Tc201068473 \h 26
活用抽象函数模型解高考压轴题，是高考数学中极具挑战性与区分度的考查方向。此类题目常位于试卷末尾，定位为高难度综合题。抽象函数模型不给出具体解析式，仅通过函数性质（如单调性、奇偶性、周期性等）或特定运算关系描述，着重考查学生抽象思维、逻辑推理与知识迁移能力。考生需精准把握函数性质，灵活运用赋值法、特殊值法、数形结合等策略，将抽象问题具象化，突破思维瓶颈，从而在高考中脱颖而出，展现扎实的数学功底与卓越的解题能力。
抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等,一般通过代入特殊值求值、通过的变换判定单调性、出现及判定抽象函数的奇偶性、换x为确定周期性.
1、判断抽象函数单调性的方法
①若给出的是“和型”抽象函数f(x+y)=…,判断符号时要变形为或；
②若给出的是“积型”抽象函数,判断符号时要变形为或.
2、常见的抽象函数模型
（1）一次函数模型
（2）二次函数模型
（3）幂函数模型
或
（4）指数函数模型
或 且 )
（5）对数函数模型
或 或
且 )
（6）正切函数模型
（7）正弦函数模型
（8）余弦函数模型
或
（9）双曲函数模型
或
题型一：一次模型
【例1】已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．为增函数D．为奇函数
【变式1-1】已知函数的定义域为，对任意的，若对任意的，有，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2025·高三·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是偶函数
【变式1-3】（2025·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．是奇函数
C．D．的图象关于点对称
【变式1-4】已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．C．为偶函数D．为奇函数
题型二：正弦模型
【例2】（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（ ）
A．0B．2C．4D．6
【变式2-1】已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．
【变式2-2】已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列正确的是（ ）
A．是偶函数B．是周期函数
C．当时，D．当时，
【变式2-3】（2025·河北保定·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
题型三：余弦模型
【例3】已知函数满足：，对任意实数都有，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3-1】已知函数的定义域为R且则（ ）
A．B．C．1D．
【变式3-2】若，且，则（ ）
A．-2B．-1C．D．0
【变式3-3】已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．1B．C．2024D．
题型四：指数模型
【例4】已知函数满足：，，则的值（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】如果函数对任意满足,且,则
A．505B．1010C．2020D．4040
【变式4-2】如果函数对任意，满足，且，则
A．504B．1009C．2018D．4036
题型五：对数模型
【例5】已知集合，定义在上的函数满足：，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-1】已知定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数满足,且当x>1时，， 则（ ）
A．B．
C．D．
题型六：二次模型
【例6】（2025·高三·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2025·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．为偶函数
C．有最小值D．在上单调递增
【变式6-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．方程有解
C．是偶函数D．是偶函数
题型七：幂模型
【例7】（多选题）已知函数的定义域为，若，则以下一定成立的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．在上是增函数
【变式7-1】（多选题）已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．是偶函数
【变式7-2】（多选题）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为上的减函数D．为奇函数
【变式7-3】（多选题）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．函数为上的增函数D．函数为奇函数
【变式7-4】（多选题）（2025·高三·山西运城·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．B．是奇函数
C．函数是上的增函数D．
题型八：正切模型
【例8】定义在的函数，当时，若，，，则P，Q，R的大小为
A．B．C．D．
【变式8-1】已知函数定义在区间上，，且当x，时，恒有，又数列满足，，设，对于任意的，的最小自然数m的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
题型九：其他模型
【例9】（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1B．C．D．
【变式9-1】（多选题）（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数对任意实数a，b都有，且，则（ ）
A．B．
C．D．若x为正整数，则
【变式9-2】（2025·高三·河北承德·期中）设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数x，y均有，则（ ）
A．0B．1012C．2024D．4048
【变式9-3】已知函数满足：对，都有，且，则以下选项错误的是（ ）
A．B．C．D．
1．已知函数满足，，，则（ ）
A．B．0C．1D．2
2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（ ）
A．B．0C．D．1
3．已知定义域为的函数满足：，，且，则（ ）
A．B．
C．是奇函数D．，
4．已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为增函数
5．已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有.若，则（ ）
A．B．-1C．D．0
6．已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．函数是奇函数
C．若，则D．函数在单调递减
7．已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
8．已知函数的定义域为，若，则下列选项不正确的有（ ）
A．B．
C．函数是增函数D．函数是奇函数
9．（2025·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
10．（多选题）（2025·四川成都·三模）已知函数，对任意，均有，且为的导函数，则（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
11．（多选题）若定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．在上是减函数
D．若，则不等式的解集为
12．（多选题）已知函数的定义域为，对任意实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为减函数D．为奇函数
13．（多选题）已知函数的定义域为，对任意，总有，且当时，，则（ ）
A．
B．
C．为奇函数
D．函数在上单调递增
14．（多选题）已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．
B．
C．方程有唯一的实数解
D．函数有最小值
15．（多选题）已知函数的定义域为，对任意，均满足，且，则（ ）
A．函数为偶函数
B．8是的一个周期
C．的图象关于点对称
D．
16．（多选题）已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．
B．
C．方程有唯一的实数解
D．函数有极大值
17．（多选题）已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．
D．若，则或
18．（多选题）（2025·高三·江苏南京·开学考试）已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，则（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（多选题）（2025·山西阳泉·三模）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．是奇函数B．在上单调递减
C．是偶函数D．在在上单调递增
20．（多选题）设函数的定义域为，且满足，当时，，则下列说法一定正确的是（ ）
A．是偶函数
B．不是奇函数
C．函数有10个不同的零点
D．
21．（多选题）（多选）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为增函数
22．（多选题）（2025·甘肃白银·三模）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．
B．
C．
D．函数的值域为
23．（多选题）（2025·海南·三模）已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．D．若，则
24．（多选题）（2025·高三·江苏南通·期末）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的，均满足：，，记，则（ ）
A．B．
C．D．
25．（多选题）（2025·江西鹰潭·二模）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的均满足：，，记，则（ ）
A．B．是偶函数
C．D．
26．（多选题）（2025·重庆·三模）函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ）
A．B．
C．D．
27．（多选题）（2025·高三·江苏苏州·开学考试）已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．若，则
28．（多选题）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．是偶函数
C．若，则
D．若当时，，则在单调递减
29．（多选题）（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数B．
C．D．
30．（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）已知函数的定义域为R，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数B．C．D．
31．（多选题）定义在上的函数满足，且当时，则（ ）
A．B．是奇函数
C．在上单调递增D．
32．（多选题）定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的有（ ）
A．是奇函数B．是增函数
C．D．
33．（多选题）（2025·浙江·模拟预测）若定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）．
A．若，，，则
B．若，则
C．若，则的图像关于点对称
D．若，则
34．定义在上的函数满足当时，，且对任意的、，有，，则不等式的解集为 .
35．已知定义在上且不恒为0的函数满足如下条件：（1），（2）当时，；则下列结论中正确的是 ．
①；
②函数是奇函数；
③函数在上是减函数；
④不等式的解集为
36．若定义在的函数满足，且有对恒成立，则的最小值为 ．
37．已知函数满足：对任意实数、，都有成立，且，则 ．
38．已知函数满足，，则的值为 .
39．如果且，则 ．
培优点05 活用抽象函数模型妙解压轴题
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc201068461" 01 重点解读 PAGEREF _Tc201068461 \h 2
\l "_Tc201068462" 02 思维升华 PAGEREF _Tc201068462 \h 3
\l "_Tc201068463" 03 典型例题 PAGEREF _Tc201068463 \h 5
\l "_Tc201068464" 题型一：一次模型 PAGEREF _Tc201068464 \h 5
\l "_Tc201068465" 题型二：正弦模型 PAGEREF _Tc201068465 \h 7
\l "_Tc201068466" 题型三：余弦模型 PAGEREF _Tc201068466 \h 9
\l "_Tc201068467" 题型四：指数模型 PAGEREF _Tc201068467 \h 12
\l "_Tc201068468" 题型五：对数模型 PAGEREF _Tc201068468 \h 13
\l "_Tc201068469" 题型六：二次模型 PAGEREF _Tc201068469 \h 16
\l "_Tc201068470" 题型七：幂模型 PAGEREF _Tc201068470 \h 18
\l "_Tc201068471" 题型八：正切模型 PAGEREF _Tc201068471 \h 20
\l "_Tc201068472" 题型九：其他模型 PAGEREF _Tc201068472 \h 22
\l "_Tc201068473" 04 课时精练 PAGEREF _Tc201068473 \h 26
活用抽象函数模型解高考压轴题，是高考数学中极具挑战性与区分度的考查方向。此类题目常位于试卷末尾，定位为高难度综合题。抽象函数模型不给出具体解析式，仅通过函数性质（如单调性、奇偶性、周期性等）或特定运算关系描述，着重考查学生抽象思维、逻辑推理与知识迁移能力。考生需精准把握函数性质，灵活运用赋值法、特殊值法、数形结合等策略，将抽象问题具象化，突破思维瓶颈，从而在高考中脱颖而出，展现扎实的数学功底与卓越的解题能力。
抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等,一般通过代入特殊值求值、通过的变换判定单调性、出现及判定抽象函数的奇偶性、换x为确定周期性.
1、判断抽象函数单调性的方法
①若给出的是“和型”抽象函数f(x+y)=…,判断符号时要变形为或；
②若给出的是“积型”抽象函数,判断符号时要变形为或.
2、常见的抽象函数模型
（1）一次函数模型
（2）二次函数模型
（3）幂函数模型
或
（4）指数函数模型
或 且 )
（5）对数函数模型
或 或
且 )
（6）正切函数模型
（7）正弦函数模型
（8）余弦函数模型
或
（9）双曲函数模型
或
题型一：一次模型
【例1】已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．为增函数D．为奇函数
【答案】B
【解析】函数的定义域为R，对任意实数满足，
令，可得，即有，故A正确；由，可得，，即，可得，故B错误；令，则，即，则函数为奇函数，故D正确；
令，可得即，当时，，即，
设，即，即有，
则在上递增，故C正确．
故选：B．
【变式1-1】已知函数的定义域为，对任意的，若对任意的，有，则满足的实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，有，得
令，，所以函数是奇函数，
由可知，当，，即，所以单调递减，
不等式，
所以，解得：.
故选：A
【变式1-2】（2025·高三·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】C
【解析】因为，
所以令，可得，
令，则，
所以，
则既不是奇函数又不是偶函数，
且，
所以是奇函数.
故选：C
【变式1-3】（2025·甘肃庆阳·一模）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．是奇函数
C．D．的图象关于点对称
【答案】D
【解析】取，则，即，得，故A正确；
取，则，得，故是奇函数，B正确；
对任意的都有，可得，
因此的图象关于点对称，故D错误；
由于且是奇函数，得，即，
因此，C正确.
故选：D
【变式1-4】已知函数的定义域为，，则（ ）
A．B．C．为偶函数D．为奇函数
【答案】D
【解析】对于A， 令，则，得，
所以或，
当时，不恒成立，所以，所以A错误，
对于B，令，则，得，
所以，或，
由选项A可知，所以，所以B错误，
对于CD，令，则，由选项A可知，
所以，所以，
令，则，
所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确，
故选：D
题型二：正弦模型
【例2】（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】B
【解析】令，可得，所以，
令，可得，
因为不恒为0，所以，所以是奇函数，
因为，
所以.
故选：B.
【变式2-1】已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．
【答案】B
【解析】令，则，解得，故A正确；
令，则，即，
因为不恒为0，所以，且定义域为，故函数为奇函数，故C正确；
令，则，因为不恒为0，且，
所以只能，从而，周期为4，
显然，故B错误D正确.
故选：B
【变式2-2】已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列正确的是（ ）
A．是偶函数B．是周期函数
C．当时，D．当时，
【答案】D
【解析】对于A，
令，则，得，
令，得，
由整理可得，
由题干可知不恒为0，故，
即，故是奇函数，不是偶函数，A错误；
对于B，设，则，
则，
且，
故，则，
又，是奇函数，故是增函数，
由是增函数可得不是周期函数，故B错误；
对于C，时，，，
，，C错误；
对于D，时，，
，，D正确.
故选：D.
【变式2-3】（2025·河北保定·一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【解析】函数的定义域为，且有，
令，得，解得；
令，得，则，
而，即不恒为0，因此，函数为奇函数，
由为偶函数，得，则，
于是，，8为的一个周期，
由，得，即
，因此，所以.
故选：B
题型三：余弦模型
【例3】已知函数满足：，对任意实数都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，得，即，
所以，两式相加可得，
所以，则，可得，
所以的周期为6，
由，得，
令，则，即恒成立，则，
由，得，
所以，且，
由，得，则，
从而，
∴
.
故选：B
【变式3-1】已知函数的定义域为R且则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【解析】令得， ，
又 ，所以 ①，
①中将替换为 ，得 ②，
由①+②，得 ③，
③中将替换为 ，得 ，
③中将替换为 ，得 ，
所以 的周期为6，
令，得 .
由①，易得 ，
同理 ，
所以 ，
.
故选：A
【变式3-2】若，且，则（ ）
A．-2B．-1C．D．0
【答案】A
【解析】令，，得，得，
令，，
又，故，即，
故得到周期，
令，，即，故是偶函数，
又，，所以得到图象关于对称，
所以，，，，
所以.
故选：A
【变式3-3】已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．1B．C．2024D．
【答案】B
【解析】令，，则，因为，所以，
令，则，
则，
则，所以以6为周期，
令，得，所以，
则．
故选：B．
题型四：指数模型
【例4】已知函数满足：，，则的值（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由,,
令,得,所以,
令可得
所以
.
故选:C.
【变式4-1】如果函数对任意满足,且,则
A．505B．1010C．2020D．4040
【答案】C
【解析】函数对任意，满足，且，
，
．
故选．
【变式4-2】如果函数对任意，满足，且，则
A．504B．1009C．2018D．4036
【答案】C
【解析】根据以及，找到规律，由此求得所求表达式的值.由于函数对任意，满足，且，
令，则；
令，则，；
以此类推，可知，
所以.
故选：C
题型五：对数模型
【例5】已知集合，定义在上的函数满足：，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，得，故，
令，得，故，
令，得，即，
令，则定义域为，且，故为偶函数.
，且，
则，
∵，∴，
∵时，，∴，故，
∴，即，
∴在上为增函数，在上为减函数，
由得，，即，
∴，解得且，故不等式的解集为.
故选：D.
【变式5-1】已知定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，解得，
令，则，解得，
令，则，解得，
令，则，解得，
，
依次类推可得。
故选：C
【变式5-2】（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）已知定义在上的函数满足,且当x>1时，， 则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】由题意，，.
赋值，得；
赋值，得，即，
当时，，
当时，则，所以，即；
所以，A正确，
取，则，，显然不成立，B错，
赋值，得，解得，
即；
由，，
得，
其中由，可知，
当时，，即；
当时，，即；故C错误；
，得；
又，所以，
则，
故，且不恒为，故D正确.
故选：AD.
题型六：二次模型
【例6】（2025·高三·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，所以，
令，则，
所以，
令，则，所以，
令，则，
所以，
则当时，，
则
，
当时，上式也成立，
所以，
所以.
故选：C.
【变式6-1】（2025·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．为偶函数
C．有最小值D．在上单调递增
【答案】C
【解析】由于函数的定义域为R，且，
令，则，得，
时，恒成立，无法确定，A不一定成立；
由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定；
由于的对称轴为与的位置关系不确定，
故在上不一定单调递增，D也不确定，
由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，
故选：C
【变式6-2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．方程有解
C．是偶函数D．是偶函数
【答案】C
【解析】对于A，因为函数的定义域为，且满足，
取，得，则，
取，得，则，故错误；
对于B，取，得，则，
所以，
以上各式相加得，
所以，
令，得，此方程无解，故B错误.
对于CD，由知，
所以是偶函数，
不是偶函数，故C正确，错误.
故选：C.
题型七：幂模型
【例7】（多选题）已知函数的定义域为，若，则以下一定成立的是（ ）
A．B．
C．为奇函数D．在上是增函数
【答案】AC
【解析】对于A，令，可得，所以，故A正确；
对于B，当时，显然符合题设条件，此时，不一定有，
故B错误.
对于C，令，，所以，
令，时可得，所以为奇函数，
故C正确；
对于D，当时，显然符合题设条件，此时在上不具备单调性，故D错误.
故选：AC.
【变式7-1】（多选题）已知函数的定义域为，且，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】ABC
【解析】对于A选项，令，则，即，A正确；
对于B选项，令，则，令，则，则，故.B正确；
对于C选项，是奇函数，C正确；
对于D选项，是非奇非偶函数，D不正确.
故选：ABC.
【变式7-2】（多选题）已知函数的定义域为，对任意的实数，满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．为上的减函数D．为奇函数
【答案】AD
【解析】依题意，且，
令，得，故A选项正确.
令，则，
即，故B选项错误
由于，故C选项错误.
令，得，
即，
即，
所以为奇函数，故D选项正确.
故选：AD
【变式7-3】（多选题）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．函数为上的增函数D．函数为奇函数
【答案】ACD
【解析】对于A选项，对任意的实数、满足，
令可得，解得，A对；
对于B选项，令，可得，
即，解得，
再令可得，B错；
对于D选项，令，
由可得，
即，且，
令，则，即，
所以，函数为奇函数，D对；
对于C选项，由题意可知，当时，，
当时，，即时，，
故当时，，
任取、且，
则，
即函数在上为增函数，C对.
故选：ACD.
【变式7-4】（多选题）（2025·高三·山西运城·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．B．是奇函数
C．函数是上的增函数D．
【答案】ABD
【解析】对于A，令，则，所以，即A正确；
对于B，由得，
令，则有，
令，则有即，
所以是奇函数，即B正确；
对于C，根据选项B可知，令为一次函数，
可得，函数不一定是R上的增函数，即C错误；
对于D，由，
令，则有，
所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，即D正确.
故选：ABD
题型八：正切模型
【例8】定义在的函数，当时，若，，，则P，Q，R的大小为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】取，则，
所以，，令x=0,则-f(y)=f(-y),故函数在(-1,1)上是奇函数，
当-1