2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点2　权方和、柯西、琴声、排序、切比雪夫不等式(5大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用培优点2　权方和、柯西、琴声、排序、切比雪夫不等式(5大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共17页。试卷主要包含了柯西不等式，权方和不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，琴生不等式等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc199597606" 01 重点解读 PAGEREF _Tc199597606 \h 2
\l "_Tc199597607" 02 思维升华 PAGEREF _Tc199597607 \h 3
\l "_Tc199597608" 03 典型例题 PAGEREF _Tc199597608 \h 5
\l "_Tc199597609" 题型一：柯西不等式 PAGEREF _Tc199597609 \h 5
\l "_Tc199597610" 题型二：权方和不等式 PAGEREF _Tc199597610 \h 7
\l "_Tc199597611" 题型三：排序不等式 PAGEREF _Tc199597611 \h 8
\l "_Tc199597612" 题型四：切比雪夫不等式 PAGEREF _Tc199597612 \h 10
\l "_Tc199597613" 题型五：琴生不等式 PAGEREF _Tc199597613 \h 13
\l "_Tc199597614" 04 课时精练 PAGEREF _Tc199597614 \h 17
高考中，利用权方和、柯西、琴生、排序及切比雪夫不等式求最值，是考察学生数学思维与技巧的重要考点。这些不等式能简化复杂计算，快速定位最值。掌握它们，可提升解题效率，在高考中占据优势，展现数学素养。
1、柯西不等式（Cauchy不等式）
（1）二元柯西不等式：对于任意的，都有．
（2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）．
2、权方和不等式
（1）二维形式的权方和不等式
对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立．
（2）一般形式的权方和不等式
若，，，则，当时等号成立．
3、排序不等式
给定两组实数．如果．那么其中是的一个排列．
4、切比雪夫不等式
对于两个实数数列，若有，
则有，
类似地，若有，则有．
5、琴生不等式
凹函数的定义
设连续函数的定义域为，对于区间内任意两点，都有，则称为上的凹函数.
（1）琴生不等式：若是区间上的凹函数，则对任意的点，有（当且仅当时取“=”）．
（2）加权琴生不等式：若在上为凹函数，则对任意，有
题型一：柯西不等式
【例1】柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14B．12C．10D．8
【变式1-2】（2025·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
【变式1-3】（2025·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakwsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14B．12C．10D．8
题型二：权方和不等式
【例2】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．39B．52C．49D．36
【变式2-1】（2025·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ）
A．16B．25C．36D．49
【变式2-3】权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为 .
题型三：排序不等式
【例3】已知数组（）与（）均是1，2，…，n的一个排列.则的最大值为 .
【变式3-1】排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，那么即“反序和乱序和顺序和”.当且仅当或时，反序和等于顺序和.
(1)设为实数，是的任一排列，则乘积的值不会超过___________.
(2)设是个互不相同的正整数，求证：.
(3)有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分钟，假定这些各不相同.问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？
【变式3-2】已知为正数，用排序不等式证明：．
题型四：切比雪夫不等式
【例4】应用排序不等式证明切比雪夫不等式：切比雪夫不等式：若， ，则
【变式4-1】（多选题）（2025·全国·模拟预测）设，，…，（），，，…，（）为两组正实数，，，…，是，，…，的任一排列，我们称为这两组正实数的乱序和，为这两组正实数的反序和，为这两组正实数的顺序和．根据排序原理有，即反序和≤乱序和≤顺序和．则下列说法正确的是（ ）
A．数组和的反序和为30
B．若，，其中（）都是正实数，则
C．设正实数，，的任一排列为，，，则的最小值为3
D．已知正实数满足，为定值，则的最小值为
【变式4-2】已知锐角三角形中，内角所对的边分别为，且．设，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【变式4-3】若，其中都是正数，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型五：琴生不等式
【例5】在锐角中，的最小值为 ．
【变式5-1】定义：设为区间D上的可导函数，若为增函数，则称为区间D上的凹函数.对于凹函数，丹麦著名数学家琴生（Jhan Jensen）提出了著名的琴生不等式：若函数为其定义域上的凹函数，则对其定义域内任意n个数，均有成立（当且仅当时等号成立）.
(1)分别判断函数与是否为其定义域上的凹函数；
(2)若函数为上的凹函数，求m的取值范围；
(3)设数列中的各项均不小于1，证明：.
【变式5-2】已知，且，求证：．
【变式5-3】若，则有
(1)；
(2)．
1．（2025·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（ ）
A．B．C．12D．20
2．已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
3．设，对任意，，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ．
5．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ．
6．（2025·四川德阳·模拟预测）已知.
(1)解不等式；
(2)若为的最小值，设，求的最小值.
7．（2025·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；
(3)已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数、（），均有.求证：对任意，，恒有.
8．已知．
(1)若，解不等式．
(2)当时，的最小值为3，正实数满足，证明：．
9．若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式.
(1)若，证明二维形式的权方和不等式：.
(2)已知，，求的最小值.
(3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
已知正数，满足，求的最大值.
由权方和不等式得，
所以的最大值是5.
10．设，求证：．
11．设，且，求证：等号成立当且仅当．
12．若a，b，c为任意的正数，则有．
培优点2 权方和、柯西、琴声、排序、切比雪夫不等式
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc199597606" 01 重点解读 PAGEREF _Tc199597606 \h 2
\l "_Tc199597607" 02 思维升华 PAGEREF _Tc199597607 \h 3
\l "_Tc199597608" 03 典型例题 PAGEREF _Tc199597608 \h 5
\l "_Tc199597609" 题型一：柯西不等式 PAGEREF _Tc199597609 \h 5
\l "_Tc199597610" 题型二：权方和不等式 PAGEREF _Tc199597610 \h 7
\l "_Tc199597611" 题型三：排序不等式 PAGEREF _Tc199597611 \h 8
\l "_Tc199597612" 题型四：切比雪夫不等式 PAGEREF _Tc199597612 \h 10
\l "_Tc199597613" 题型五：琴生不等式 PAGEREF _Tc199597613 \h 13
\l "_Tc199597614" 04 课时精练 PAGEREF _Tc199597614 \h 17
高考中，利用权方和、柯西、琴生、排序及切比雪夫不等式求最值，是考察学生数学思维与技巧的重要考点。这些不等式能简化复杂计算，快速定位最值。掌握它们，可提升解题效率，在高考中占据优势，展现数学素养。
1、柯西不等式（Cauchy不等式）
（1）二元柯西不等式：对于任意的，都有．
（2）元柯西不等式： ，取等条件：或（）．
2、权方和不等式
（1）二维形式的权方和不等式
对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立．
（2）一般形式的权方和不等式
若，，，则，当时等号成立．
3、排序不等式
给定两组实数．如果．那么其中是的一个排列．
4、切比雪夫不等式
对于两个实数数列，若有，
则有，
类似地，若有，则有．
5、琴生不等式
凹函数的定义
设连续函数的定义域为，对于区间内任意两点，都有，则称为上的凹函数.
（1）琴生不等式：若是区间上的凹函数，则对任意的点，有（当且仅当时取“=”）．
（2）加权琴生不等式：若在上为凹函数，则对任意，有
题型一：柯西不等式
【例1】柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为，当且仅当时等号成立．已知，直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设直线与曲线相切的切点为，
由得，则，即，
则，得，
所以，代入得，
因为，所以
，
因为，
所以，当且仅当，即等号成立.
故选：B.
【变式1-1】柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14B．12C．10D．8
【答案】A
【解析】因为，
根据题目中柯西不等式的三元形式可知，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值是，
故选：A
【变式1-2】（2025·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【解析】，由，解得，
当时，，当，，
当，则，
此时且，
由柯西不等式可得，
当且仅当，即时取等号，此时，即，
所以函数的最大值为2.
故选：C.
【变式1-3】（2025·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakwsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14B．12C．10D．8
【答案】A
【解析】由题干中柯西不等式可得，
所以的最大值为，当且仅当时取等号.
故选：A
题型二：权方和不等式
【例2】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．39B．52C．49D．36
【答案】B
【解析】因为，
因为，所以，，
根据权方和不等式有：，
当且仅当时，即时等号成立.
所以函数的最小值为.
故选：B
【变式2-1】（2025·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，，
则，
当且仅当，即时等号成立，所以．
故选：C．
【变式2-2】权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（ ）
A．16B．25C．36D．49
【答案】B
【解析】由，则，，
故，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：B.
【变式2-3】权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知为正数，，当且仅当时，等号成立.若x为锐角，则的最小值为 .
【答案】8
【解析】，
当且仅当时，即时，取等号.
故答案为：8
题型三：排序不等式
【例3】已知数组（）与（）均是1，2，…，n的一个排列.则的最大值为 .
【答案】
【解析】注意到，.
由排序不等式，知当时，和式的值为最大.此时.
【变式3-1】排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，那么即“反序和乱序和顺序和”.当且仅当或时，反序和等于顺序和.
(1)设为实数，是的任一排列，则乘积的值不会超过___________.
(2)设是个互不相同的正整数，求证：.
(3)有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分钟，假定这些各不相同.问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？
【解析】（1）依题意，是的任一排列，
设两组数与，
则可看作与两组实数的“乱序和”；
设也是的一个排列，且，
其中满足集合.
则为与两组实数的”顺序和“，
且.
则由排序不等式：乱序和顺序和，
得.
故答案为：.
（2）设两组数：与.
由是个互不相同的正整数，
设是的一个排列，且满足，
即是这个互不相同的正整数从小到大的排列，
因此，又，
由排序不等式：乱序和序和，得
，
所以.
（3）依题意，水龙头注满第个人的水桶需要分钟，
则第个人打水时，即个人都在等，需要等候总时间为，
则所有人打完水，他们等候的总时间为，
设两组数：与，由假定，这些各不相同，
设为的一个排列，且，
又因为，
由排序不等式：乱序和反序和，得，
所以只有一个水龙头时，要使他们等候的总时间最少，应安排需要时间最少的人总是先打水，
即各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水，
等候的总时间最少为，其中为从小到大的一个顺序排列.
【变式3-2】已知为正数，用排序不等式证明：．
【解析】不妨设，则，
由排序不等式可得：
，，，
三式相加得，
当且仅当时，取等号.
∴.
题型四：切比雪夫不等式
【例4】应用排序不等式证明切比雪夫不等式：切比雪夫不等式：若， ，则
【解析】同序和乱序和反序和．固定的位置，让进行轮换，轮换一周，恰好轮换次，共得以下个式子：
，
，
，
，
……，
，
将以上个式子相加，得，
即
【变式4-1】（多选题）（2025·全国·模拟预测）设，，…，（），，，…，（）为两组正实数，，，…，是，，…，的任一排列，我们称为这两组正实数的乱序和，为这两组正实数的反序和，为这两组正实数的顺序和．根据排序原理有，即反序和≤乱序和≤顺序和．则下列说法正确的是（ ）
A．数组和的反序和为30
B．若，，其中（）都是正实数，则
C．设正实数，，的任一排列为，，，则的最小值为3
D．已知正实数满足，为定值，则的最小值为
【答案】AC
【解析】选项A，根据反序和的定义可知，数组和的反序和为
，故A正确；
选项B，设两组正实数均为，则为两组正实数的顺序和，为两组正实数的乱序和，由排序原理知，故B错误；
选项C，不妨设两组正实数为，，和，，，其中，
则，则是两组正实数的乱序和，
是两组正实数的反序和，故，故C正确；
选项D：设两组正实数为，，…，和，，…，，其中，
则，则是两组正实数的乱序和，
是两组正实数的反序和，
故，故D错误．
故选：AC.
【变式4-2】已知锐角三角形中，内角所对的边分别为，且．设，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【解析】由题意知，
则，
则由排序不等式有
，
，
两式相加得
【变式4-3】若，其中都是正数，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依序列的各项都是正数，不妨设则为序列的一个排列．由排序不等式，得，即．
题型五：琴生不等式
【例5】在锐角中，的最小值为 ．
【答案】
【解析】构造函数，，则，
令，则，
所以函数在上为下凸函数．
由琴生不等式得，
即，当且仅当时等号成立．
因此在锐角中，的最小值为．
故答案为：.
【变式5-1】定义：设为区间D上的可导函数，若为增函数，则称为区间D上的凹函数.对于凹函数，丹麦著名数学家琴生（Jhan Jensen）提出了著名的琴生不等式：若函数为其定义域上的凹函数，则对其定义域内任意n个数，均有成立（当且仅当时等号成立）.
(1)分别判断函数与是否为其定义域上的凹函数；
(2)若函数为上的凹函数，求m的取值范围；
(3)设数列中的各项均不小于1，证明：.
【解析】（1）的导函数为，
因为函数不是上的增函数，
所以不是上的凹函数.
的导函数为，
当时，令，
由对勾函数的单调性知在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以函数是上的凹函数.
（2）由题可知，
设，则.
因为函数为上的凹函数，所以为增函数，
所以，即恒成立.
设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
故m的取值范围是.
（3）设，因为，故，记，
由（1）知为定义域上的凹函数，所以由琴生不等式可知
，
所以.
【变式5-2】已知，且，求证：．
【解析】已知，且，
则有，
，
，
，当且仅当时等号成立，
，
，
设，由幂函数性质可知它在是上凸函数，
由琴生不等式得，
，
，
又，所以，
所以，当且仅当时等号成立．
【变式5-3】若，则有
(1)；
(2)．
【解析】（1）由是凹函数，应用琴生不等式可得：
即,得证.
（2）应用琴生不等式可得：
,
而，
则
.
即,得证.
1．（2025·高三·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（ ）
A．B．C．12D．20
【答案】A
【解析】由，解得，
所以函数的定义域为，
由柯西不等式得，，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
2．已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，
则条件为，所以
，
等号当且时取得，因此所求代数式的最大值为．
故选：D
3．设，对任意，，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，则．
由题意，，，，且，
由绝对值不等式，得，
∴，即，因此．
故选：C．
4．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ．
【答案】49
【解析】因为正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，
所以，
当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为49，
故答案为：49.
5．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为 ．
【答案】8
【解析】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立，
又，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故答案为：8.
6．（2025·四川德阳·模拟预测）已知.
(1)解不等式；
(2)若为的最小值，设，求的最小值.
【解析】（1）因为，由，得到，即，
当时，原不等式等价于，得到，
当时，原不等式等价于，得到，
当时，原不等式等价于，得到，
综上，不等式的解集为.
（2）因为，
所以，得到，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
7．（2025·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当（）或存在一个数，使得（）时，等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设是棱长为的正四面体内的任意一点，点到四个面的距离分别为、、、，求的最小值；
(3)已知正数数列满足：①存在，使得（）；②对任意正整数、（），均有.求证：对任意，，恒有.
【解析】（1）柯西不等式的二元形式为：
设，则，
当且仅当时等号成立.
（2）由正四面体的体积，
将正四面体放入到棱长为为正方体中，
则,
得，所以，
又由柯西不等式得
，
所以，
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
（3）对，记是的一个排列，
且满足,
由条件②得：.
于是，对任意的，
都有，
由柯西不等式得
，
所以
，
从而，对任意，，恒有，
因为对任意，，，
所以，对任意，，恒有，
8．已知．
(1)若，解不等式．
(2)当时，的最小值为3，正实数满足，证明：．
【解析】（1）若，不等式为．
当时，，解得，故；
当时，，解得，故；
当时，，即，显然不成立，不等式无解．
综上，不等式的解集为．
（2）当时，
当时等号成立．
由得，所以．
由柯西不等式得，
即，当且仅当，即时取等号．
9．若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式.
(1)若，证明二维形式的权方和不等式：.
(2)已知，，求的最小值.
(3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
已知正数，满足，求的最大值.
由权方和不等式得，
所以的最大值是5.
【解析】（1）证明：
，当且仅当时，等号成立.
因为，所以.
（2）
，
当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为..
（3）这种解法不正确.
原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立.
由，消去得，因为，所以本方程无实数解，
所以，的最大值不是5.
10．设，求证：．
【解析】证明：由幂函数的图像可知，在上为上凸函数，由琴生不等式，
则
，
且，，不能同时相等，从而等号取不到．
∴．
11．设，且，求证：等号成立当且仅当．
【解析】若某个为0，易知不等式成立．以下设，令，则且．考虑函数，
由，，所以是上的严格上凸函数，应用琴生不等式可得：，
即，
易知等号成立当且仅当，即．
12．若a，b，c为任意的正数，则有．
【解析】利用函数的凸性，在琴生不等式（3）中，取
，，，，，
可以算得：．
由此推得：．