2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用2.6指数运算与指数函数的图像与性质(2大考点+7大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用2.6指数运算与指数函数的图像与性质(2大考点+7大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共13页。
\l "_Tc200636334" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc200636334 \h 3
\l "_Tc200636335" 一、指数运算 PAGEREF _Tc200636335 \h 3
\l "_Tc200636336" 二、指数函数及其性质 PAGEREF _Tc200636336 \h 3
\l "_Tc200636337" 常用二级结论 PAGEREF _Tc200636337 \h 4
\l "_Tc200636338" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc200636338 \h 5
\l "_Tc200636339" 题型一：指数运算 PAGEREF _Tc200636339 \h 5
\l "_Tc200636340" 题型二：指数运算的实际应用 PAGEREF _Tc200636340 \h 5
\l "_Tc200636341" 题型三：指数函数的概念与图象 PAGEREF _Tc200636341 \h 7
\l "_Tc200636342" 题型四：指数式大小比拼 PAGEREF _Tc200636342 \h 8
\l "_Tc200636343" 题型五：解简单的指数方程或不等式 PAGEREF _Tc200636343 \h 8
\l "_Tc200636344" 题型六：指数函数性质的综合应用 PAGEREF _Tc200636344 \h 9
\l "_Tc200636345" 题型七：恒成立与有解问题 PAGEREF _Tc200636345 \h 10
\l "_Tc200636346" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc200636346 \h 13
\l "_Tc200636347" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc200636347 \h 14
\l "_Tc200636348" ①数形结合 PAGEREF _Tc200636348 \h 14
\l "_Tc200636349" ②转化与化归 PAGEREF _Tc200636349 \h 14
\l "_Tc200636350" ③分类讨论 PAGEREF _Tc200636350 \h 15
\l "_Tc200636351" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc200636351 \h 16
\l "_Tc200636352" 基础过关篇 PAGEREF _Tc200636352 \h 16
\l "_Tc200636353" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc200636353 \h 18
1、理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2、掌握指数运算在实际问题中的应用.
3、通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
4、理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
一、指数运算
1、若，则叫做的次方根．（，）
（1）当为奇数时，；（2）当为偶数时，；
2、根式的性质：①，②（，）
3、正数的正分数与负分数指数幂的意义：（，，，且）
①；②
4、正数的指数幂的运算性质：（，，，）
①，②，③；
④，⑤，⑥．
二、指数函数及其性质
1、指数函数概念：一般地，函数（，且）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.
2、图像与性质
常用二级结论
指数函数与的图象关于轴对称．
函数①；②；③；④的图象如下图左所示，则；
即时，（底大幂大）；时，．
题型一：指数运算
【例1】（2025·重庆九龙坡·三模）已知 ，则 .
【解题总结】
(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【变式1-1】（2025·江西南昌·二模）已知函数，若，则 .
【变式1-2】（2025·陕西·三模）已知函数，则 ．
【变式1-3】设函数满足：对任意的正数，，，且，则 ， ．
【变式1-4】已知实数满足，则 .
题型二：指数运算的实际应用
【例2】（2025·湖北黄冈·二模）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法，其中正确的说法是（ ）
①浮萍每月的增长率相同；
②若函数与的图像关于直线对称，则函数的值域为的充要条件是；
③若，则当时，恒成立；
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则.
A．①③④B．③④C．②③④D．①②④
【解题总结】
利用指数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数，利用待定系数法确定参数的值，然后解决问题.
【变式2-1】（2025·高三·河北石家庄·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中、是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么污染物减少大约需要花费（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2025·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A．小时B．小时C．小时D．小时
【变式2-3】（2025·山东枣庄·模拟预测）对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
【变式2-4】（2025·江苏泰州·模拟预测）《中华人民共和国国家标准综合排放标准》中一级标准规定的氨氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L．某企业生产废水中的氨氮含量为450ml/L，现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，至少要进行循环的次数为(参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)（ ）
A．3B．4C．8D．9
题型三：指数函数的概念与图象
【例3】（2025·甘肃兰州·模拟预测）已知函数 关于 的方程 有两个不等实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解题总结】
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
【变式3-1】（2025·河北·二模）已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（ ）

A．的图象与坐标轴有三个交点
B．的图象的对称轴在轴左侧
C．关于的方程有两个不等实根
D．在区间上单调递增
【变式3-2】（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】（2025·甘肃甘南·模拟预测）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-4】（2025·高三·河南周口·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（ ）
A．最小值B．最大值C．最小值D．最大值
题型四：指数式大小比拼
【例4】（多选题）（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【解题总结】
利用指数函数的性质比较大小，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量.
【变式4-1】（多选题）（2025·山东济南·二模）已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（多选题）若，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-4】（多选题）若，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型五：解简单的指数方程或不等式
【例5】方程的实数解为 ．
【解题总结】
利用指数函数的性质解方程、不等式，最重要的是“同底”原则.
【变式5-1】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ．
【变式5-2】已知函数，其中表示中的较大者.则不等式的解集为 .
【变式5-3】已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则不等式的解集为
【变式5-4】已知，若，则实数的取值范围为 .
题型六：指数函数性质的综合应用
【例6】（多选题）（2025·陕西汉中·三模）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，函数单调递增
B．存在正数，使得函数为偶函数
C．函数的图象与直线有两个交点
D．若函数在上单调递增，则实数的最小值为
【解题总结】
求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断.
【变式6-1】在数学中，不给出具体解析式，只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”．我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质．对于抽象函数，当时，，且满足：，均有
(1)证明：在上单调递增；
(2)若函数满足上述函数的特征，求实数的取值范围；
(3)若，求证：对任意，都有．
【变式6-3】已知函数 恒成立.
(1)求 a 的取值范围;
(2)设函数，若，，使得当,时，单调递增，且,，求的取值范围
【变式6-4】定义：双曲余弦函数，双曲正弦函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若函数在上的最小值为，求正实数的值；
(3)求证：对任意实数，关于的方程总有实根．
【变式6-5】若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”．
(1)判断定义在上的函数是否是“闭区间同域函数”，并说明理由；
(2)若是“闭区间同域函数”（，且）的“同域闭区间”，求，；
(3)若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求，．
题型七：恒成立与有解问题
【例7】已知函数.
(1)若，求的值；
(2)若，求在区间上的最小值；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
【解题总结】
分离参数
【变式7-1】已知函数．
(1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围．
【变式7-2】已知定义在上的函数，对一切实数a、b都有成立，且.
(1)求函数的表达式；
(2)若任意实数，求实数的取值范围.
【变式7-3】（2025·广东肇庆·一模）已知函数（其中，为常量，且，，）的图象经过点，．
(1)求，的值
(2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围．
【变式7-4】（2025·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且.
(1)求的值，并求出的解析式；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025年高考全国一卷数学真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022年新高考全国I卷数学真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知是函数的一个零点．若，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．若，，，则
A．B．C．D．
①数形结合
1．已知定义在R上的函数满足，当时，若，则实数a的取值范围是
A．，B．，
C．，D．，
2．已知函数，若，且，则的最小值为
A．B．C．D．
3．记表示a，b二者中较大的一个，函数，，若，使得成立，则a的取值范围是
A．B．C．D．
②转化与化归
4．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，已知，则函数的值可能为（ ）
A．B．C．1D．2
5．已知函数在定义域上单调递减，，均有，则函数的最小值是
A．8B．6C．4D．
6．已知函数的定义域为R，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于m的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
③分类讨论
7．若对R，使得且恒成立，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
8．已知函数且的定义域和值域都是，则（ ）
A．B．C．D．或
9．若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为
A．B．C．D．
基础过关篇
1．（2025·辽宁·三模）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江西新余·模拟预测）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数，若的值域为，则满足条件的整数a的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2025·江西·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2025·浙江·三模）已知函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．2
8．（2025·江西·二模）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（ ）（注：，）
A．30B．31C．32D．33
10．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
11．（2025·河北张家口·三模）已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，对于，都有，则（ ）
A．
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数的图象关于直线对称
D．
13．（多选题）已知实数x，y满足，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
14．（多选题）（2025·海南·模拟预测）自然常数是数学中非常重要的一个常数，17世纪人们在研究经济学中的复利问题时发现了这个数，后来众多数学家对自然常数进行了深入的研究，其字母表示来自数学家欧拉的名字.已知函数，则下列命题为真命题的是（ ）
A．，
B．，
C．，，
D．，，
15．（多选题）（2025·福建宁德·模拟预测）下列既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
16．（2025·山东临沂·三模）已知函数的定义域为，，，且，写出满足以下两个条件①②的函数 .条件①：，条件②：.
17．（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为
18．（2025·浙江·三模）已知函数，为奇函数，则 ．
能力拓展篇
19．（2025·河南·模拟预测）设函数，若，，则当取得最小值时， .
20．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ．
21．（2025·陕西·三模）已知函数，则 ．
22．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是 ．
函数名称
指数函数
定义
函数（，且）叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
变化对图
象的影响
在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．
2.6 指数运算与指数函数的图像与性质
目录 TOC \ "1-2" \h \z \u
\l "_Tc200636333" 01 课标要求 PAGEREF _Tc200636333 \h 2
\l "_Tc200636334" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc200636334 \h 3
\l "_Tc200636335" 一、指数运算 PAGEREF _Tc200636335 \h 3
\l "_Tc200636336" 二、指数函数及其性质 PAGEREF _Tc200636336 \h 3
\l "_Tc200636337" 常用二级结论 PAGEREF _Tc200636337 \h 4
\l "_Tc200636338" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc200636338 \h 5
\l "_Tc200636339" 题型一：指数运算 PAGEREF _Tc200636339 \h 5
\l "_Tc200636340" 题型二：指数运算的实际应用 PAGEREF _Tc200636340 \h 7
\l "_Tc200636341" 题型三：指数函数的概念与图象 PAGEREF _Tc200636341 \h 10
\l "_Tc200636342" 题型四：指数式大小比拼 PAGEREF _Tc200636342 \h 12
\l "_Tc200636343" 题型五：解简单的指数方程或不等式 PAGEREF _Tc200636343 \h 15
\l "_Tc200636344" 题型六：指数函数性质的综合应用 PAGEREF _Tc200636344 \h 16
\l "_Tc200636345" 题型七：恒成立与有解问题 PAGEREF _Tc200636345 \h 23
\l "_Tc200636346" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc200636346 \h 27
\l "_Tc200636347" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc200636347 \h 31
\l "_Tc200636348" ①数形结合 PAGEREF _Tc200636348 \h 31
\l "_Tc200636349" ②转化与化归 PAGEREF _Tc200636349 \h 33
\l "_Tc200636350" ③分类讨论 PAGEREF _Tc200636350 \h 35
\l "_Tc200636351" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc200636351 \h 37
\l "_Tc200636352" 基础过关篇 PAGEREF _Tc200636352 \h 37
\l "_Tc200636353" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc200636353 \h 45
1、理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
2、掌握指数运算在实际问题中的应用.
3、通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
4、理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
一、指数运算
1、若，则叫做的次方根．（，）
（1）当为奇数时，；（2）当为偶数时，；
2、根式的性质：①，②（，）
3、正数的正分数与负分数指数幂的意义：（，，，且）
①；②
4、正数的指数幂的运算性质：（，，，）
①，②，③；
④，⑤，⑥．
二、指数函数及其性质
1、指数函数概念：一般地，函数（，且）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为.
2、图像与性质
常用二级结论
指数函数与的图象关于轴对称．
函数①；②；③；④的图象如下图左所示，则；
即时，（底大幂大）；时，．
题型一：指数运算
【例1】（2025·重庆九龙坡·三模）已知 ，则 .
【答案】/0.5
【解析】由题意，所以.
故答案为：
【解题总结】
(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【变式1-1】（2025·江西南昌·二模）已知函数，若，则 .
【答案】2
【解析】由题意知，当时，，解得；
当时，，解得，与矛盾，此时无解.
所以.
故答案为：2
【变式1-2】（2025·陕西·三模）已知函数，则 ．
【答案】2783
【解析】由知，
设，则，
对照系数，得，则，即，
则，
的图象关于点中心对称；
故．
即
，
故答案为：2783
【变式1-3】设函数满足：对任意的正数，，，且，则 ， ．
【答案】 2 10240
【解析】令，得，所以．
令，，得，所以．
令，，得，即．
所以．
所以．
故答案为：2；10240.
【变式1-4】已知实数满足，则 .
【答案】
【解析】由题意可得，即，
两边同时取对数可得，即.
由可得，
即，
令，则恒成立，
所以函数在上单调递增，
而，
所以，即，
所以.
故答案为：.
题型二：指数运算的实际应用
【例2】（2025·湖北黄冈·二模）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法，其中正确的说法是（ ）
①浮萍每月的增长率相同；
②若函数与的图像关于直线对称，则函数的值域为的充要条件是；
③若，则当时，恒成立；
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则.
A．①③④B．③④C．②③④D．①②④
【答案】A
【解析】由图象可知，函数过点，则，即.
对于①，浮萍每月的增长率为，故①正确；
对于②，若函数与的图像关于直线对称，则，
则，要使其值域为，则函数的值域要包含，
因为二次函数开口向上，所以即可，解得或，故②错误；
对于③，，设，则，
所以，
当且仅当即时等号成立，所以，故③正确；
对于④，由题意知，，，，所以，，
则，故，故④正确.
故选：A.
【解题总结】
利用指数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数，利用待定系数法确定参数的值，然后解决问题.
【变式2-1】（2025·高三·河北石家庄·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中、是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么污染物减少大约需要花费（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由可知，当时，；
当时，，解得，那么.
因为污染物减少，所以，所以，
所以．
所以污染物减少大约需要花费．
故选：B．
【变式2-2】（2025·上海静安·一模）污水处理厂通过清除污水中的污染物获得清洁用水并生产肥料.该厂的污水处理装置每小时从处理池清除掉的污染残留物.要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A．小时B．小时C．小时D．小时
【答案】B
【解析】设处理池中的残留物初始时为，则小时后，处理池中的残留物为，
根据题意可得，即，解得.
因此，要使处理池中的污染物水平降到最初的，大约需要的时间为小时.
故选：B.
【变式2-3】（2025·山东枣庄·模拟预测）对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用表达，其中为正实数，是极角，是极径．若每增加个单位，则变为原来的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
【答案】B
【解析】设所对应的极径为，则，
则所对应的极径为，所以，
故每增加个单位，则变为原来的倍.
故选：B
【变式2-4】（2025·江苏泰州·模拟预测）《中华人民共和国国家标准综合排放标准》中一级标准规定的氨氮含量允许排放的最高浓度为15ml/L．某企业生产废水中的氨氮含量为450ml/L，现通过循环过滤设备对生产废水的氨氮进行过滤，每循环一次可使氨氮含量减少，要使废水中的氨氮含量达到国家排放标准，至少要进行循环的次数为(参考数据lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)（ ）
A．3B．4C．8D．9
【答案】D
【解析】由题，设至少循环次，才能达到国家排放标准，
则，即，
两边同时取对数，可得，所以，
所以至少要进行次循环，
故选：D
题型三：指数函数的概念与图象
【例3】（2025·甘肃兰州·模拟预测）已知函数 关于 的方程 有两个不等实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】作出函数 的图象，如图所示，
若关于 的方程 有两个不等实根，
则函数 的图象与直线 有两个交点，由图知，．
故选：D.
【解题总结】
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
【变式3-1】（2025·河北·二模）已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（ ）

A．的图象与坐标轴有三个交点
B．的图象的对称轴在轴左侧
C．关于的方程有两个不等实根
D．在区间上单调递增
【答案】D
【解析】因，函数的图象在上为减函数，则，即得，又图象经过点，即，故得，解得，
于是，，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为，
对于A，因函数在上单调递增，
则，即的图象与轴没有交点，
又的图象与轴有唯一交点，即的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误；
对于C，关于的方程的实根个数，等于直线与曲线的交点个数，
由A项，因，则直线与曲线的交点个数为0，故C错误；
对于B，的图象的对称轴是直线，在轴右侧，故B错误；
对于D，因的图象对称轴：，在区间上单调递增，故D正确.
故选：D.
【变式3-2】（2025·福建福州·模拟预测）若函数的定义域和值域的交集为空集，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得函数的定义域为，
当时，，
要使得定义域和值域的交集为空集，则，
又时，，
若，则，此时显然不满足题意，
若，则在上单调递减，，
故，
所以，解得.
故选：B.
【变式3-3】（2025·甘肃甘南·模拟预测）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若为上的增函数，则，解得，
故的取值范围是．
故选：A．
【变式3-4】（2025·高三·河南周口·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（ ）
A．最小值B．最大值C．最小值D．最大值
【答案】B
【解析】由题设，且，则，
所以，则时，，
所以，令，则，
当且仅当时取等号，故最大值为.
故选：B
题型四：指数式大小比拼
【例4】（多选题）（2025·甘肃庆阳·模拟预测）已知非零实数满足，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】由题意可得，对于函数，
则在R上单调递增，结合，可得.
对于A，，故A正确；
对于B，由不能判断与1的大小，故B错误；
对于C，取，此时C不成立，故C错误；
对于D，因为，由指数函数的单调性易得，故D正确.
故选：AD.
【解题总结】
利用指数函数的性质比较大小，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量.
【变式4-1】（多选题）（2025·山东济南·二模）已知实数满足，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】因为，所以，所以，故A对；
因为，所以，
由，所以，故B对；
若，满足，显然不成立，故C错；
当，则，必有，
当，则，故，必有，
故D对.
故选：ABD
【变式4-2】（多选题）若，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】由得，
令，则．
因为函数在上都是增函数，所以在上是增函数，
所以，故A正确．
当时，，故B错误．
因为函数在上单调递增，所以由得，故C正确．
因为函数在上单调递减，所以由得，故D正确．
故选：ACD．
【变式4-3】（多选题）（2025·辽宁·模拟预测）已知实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】由，得，则，
对于A，，A正确；
对于B，令，，则，B错误；
对于C，，则，C正确；
对于D，若，则，D错误.
故选：AC
【变式4-4】（多选题）若，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】对A，当时，是减函数，所以，故A错误；
对B，当时，函数在上单调递增，故，故B正确；
对C，当时，，则是增函数，故，故C错误；
对D，当时，是减函数，，D正确．
故选：BD.
题型五：解简单的指数方程或不等式
【例5】方程的实数解为 ．
【答案】
【解析】方程，化为：，整理得，
解得或（舍去），则，所以所求实数解为.
故答案为：
【解题总结】
利用指数函数的性质解方程、不等式，最重要的是“同底”原则.
【变式5-1】（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ．
【答案】
【解析】当时，，，；
当时，，，；当时，，
因此函数为奇函数，函数在上单调递减，在上单调递减，
则函数在上单调递减，则，
于是，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
【变式5-2】已知函数，其中表示中的较大者.则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】因为，
作出的大致图象，如图所示：
当时，由，得；
当时，由，得，
所以的解集为.
故答案为：
【变式5-3】已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则不等式的解集为
【答案】
【解析】函数的定义域为，由是奇函数，得，
即，则不等式化为，
令，则有，即，因此或，
由，得，即，解得；
由，得，即，解得，
所以所求不等式的解集为.
故答案为：
【变式5-4】已知，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，且函数、在上均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由可得，即，解得或，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
题型六：指数函数性质的综合应用
【例6】（多选题）（2025·陕西汉中·三模）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，函数单调递增
B．存在正数，使得函数为偶函数
C．函数的图象与直线有两个交点
D．若函数在上单调递增，则实数的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，当时，为增函数，
当时，，则函数、均为增函数，
故函数也为增函数，
综上所述，当时，函数单调递增，A对；
对于B选项，取，则，此时，
所以，此时，
函数的定义域为，，即函数为偶函数，
因此，存在正数，使得函数为偶函数，B对；
对于C选项，当时，由A选项可知，函数在上为增函数，且，
此时，函数的图象与直线只有一个公共点，C错；
对于D选项，因为，则，
由题意可知时，函数为增函数，
当时，由题意可知，对任意的，恒成立，
只需，即，
因为，则，
因为，则，所以，即，
所以，可得，解得或，
因为，所以.
综上所述，实数的取值范围是，故实数的最小值为，D对.
故选：ABD.
【解题总结】
求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断.
【变式6-1】在数学中，不给出具体解析式，只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”．我们需要研究抽象函数的定义域、单调性、奇偶性等性质．对于抽象函数，当时，，且满足：，均有
(1)证明：在上单调递增；
(2)若函数满足上述函数的特征，求实数的取值范围；
(3)若，求证：对任意，都有．
【解析】（1）任取，且，
则，
由，可知，则，
可得，即，
所以在上单调递增.
（2）当时，，
注意到，则，，可得，
即，可得；
又因为，均有，
即，
整理得，
即，
注意到，则，即，
可得，可得，即；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）由题意知，对任意，
且，均有，
令，可得，即，
故对任意正整数与正数，都有，
所以对任意正整数与正数，都有，
即对任意正整数与正数，都有，
令，则，
令，则，
对任意，可得，
由（1）可知：在上单调递增，
则，，
所以.
【变式6-2】根据1.中结论结合单调性证明，.
【变式6-3】已知函数 恒成立.
(1)求 a 的取值范围;
(2)设函数，若，，使得当,时，单调递增，且,，求的取值范围
【解析】（1），
即恒成立．
，
当时等号成立，
，即的取值范围为．
（2）函数为增函数，要使在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增．
又函数为增函数，在上为增函数，由（1）知，
，且．
又在区间上单调递增，且，
即
在上有两个不等实数根．
解得．
综上所述，的取值范围为．
【变式6-4】定义：双曲余弦函数，双曲正弦函数．
(1)求函数的最小值；
(2)若函数在上的最小值为，求正实数的值；
(3)求证：对任意实数，关于的方程总有实根．
【解析】（1）依题意有
，
令，则.
因为在R上单调递增，
当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
所以，所以当时，即时，
函数有最小值．
（2）函数在上的最小值为，
即函数有最小值．
因为
令，则，
因为最小值为，所以，解得，
所以正实数的值为．
（3）证明：令，定义域为，
则，
又，所以是奇函数，
因为是上的增函数，
所以在上单调递增，且当趋近于时，趋近于1，
所以函数在上的值域为，
直线过定点，
如图所示：无论取任何实数，直线与函数的图象都有交点，
即对任意实数，关于的方程总有实根．
【变式6-5】若函数的定义域与值域均为，则称为“闭区间同域函数”，称为的“同域闭区间”．
(1)判断定义在上的函数是否是“闭区间同域函数”，并说明理由；
(2)若是“闭区间同域函数”（，且）的“同域闭区间”，求，；
(3)若是“闭区间同域函数”的“同域闭区间”，求，．
【解析】（1）不是“闭区间同域函数”．
理由如下：
由在上单调递增，则，
即的值域为，所以不是“闭区间同域函数”；
（2）当时，在上单调递减，
则，该方程组无解．
当时，在上单调递增，则，
解得；
（3）由题意得图象的对称轴为直线．，可得.
当时，在上单调递增，得，
则是方程的两个不相等的实根，
得，不符合题意．
当时，在上单调递减，
在上单调递增，．
①当时，，不符合题意；
②当时，，解得．
当时，在上单调递减，则，
两式相减得．由，得，
则，即，
将，代入，得或1．
当时，，不符合题意；当时，，符合题意．
综上或．
题型七：恒成立与有解问题
【例7】已知函数.
(1)若，求的值；
(2)若，求在区间上的最小值；
(3)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
【解析】（1）由，得，即：，解得.
（2）当时，，
令，因为，所以，
所以，
当时，取最小值，所以在区间上的最小值为.
（3）若对任意的，总存在，使得，
可得：.
又因为，所以对任意的，，
则对任意的恒成立，
即，即，令，.
因为在区间上为增函数，所以
所以实数的取值范围是.
【解题总结】
分离参数
【变式7-1】已知函数．
(1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围．
【解析】（1），
又，当且仅当，即时，等号成立，
则，解得；
（2）由题，有实根，
令，则有正根，
①有两个正根，；
②有一个正根一个负根，；
③有一个正根一个零根，；
综上，.
【变式7-2】已知定义在上的函数，对一切实数a、b都有成立，且.
(1)求函数的表达式；
(2)若任意实数，求实数的取值范围.
【解析】（1）令时，得，又，
所以，
所以，
所以，
（2）令，因为，所以，
则，可化为：，易知，
即，
即，
因为，所以
所以当时，取得最大值，
所以实数的取值范围是.
【变式7-3】（2025·广东肇庆·一模）已知函数（其中，为常量，且，，）的图象经过点，．
(1)求，的值
(2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围．
【解析】（1）函数的图象经过点，，
得，解得；
（2）由（1）得，，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以在上的最大值为，
因为关于的不等式在上有解，
所以，解得，
即的取值范围为
【变式7-4】（2025·山西·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且.
(1)求的值，并求出的解析式；
(2)若在上恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）因为是偶函数，所以，
解得，
当时，可得，所以，
所以函数的解析式为
（2）由（1）知，当时，，
因为在上恒成立，
所以，
又因为，
当且仅当时，即时等号成立，
所以，即的取值范围是.
1．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
2．（2025年高考全国一卷数学真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选：B．
3．（2022年新高考全国I卷数学真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
4．已知是函数的一个零点．若，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】法一：设，，在同一坐标系中作出其图象，如图，在内的图象在图象的上方，即，所以，即，同理可得
法二：函数，，在上均为增函数，
由 ，则函数在上为增函数且，
时，，
时，
故选
5．若，，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解法一：因为，
，，，所以，故选A；
解法二：因为，，
所以，排除BC；
因为，所以，所以，排除
故选：
①数形结合
1．已知定义在R上的函数满足，当时，若，则实数a的取值范围是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】因为，所以为奇函数；
又因为，所以关于直线对称；
由知的一个周期为
因为当时，，所以在上单调递增，
函数的图象如图所示，根据图象可知，
若，则，，
解得实数a的取值范围是，
故选
2．已知函数，若，且，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题可得：作出的图像如下：
由，且，则，，即，
可得：，
所以
，
由，
则
，
所以，故当，即时，取最小值为
故选：B
3．记表示a，b二者中较大的一个，函数，，若，使得成立，则a的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在R上单调递减，在上单调递增，
当时，，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，即在区间上的值域为
，
令，得，解得或，
画出，的图象如图所示，若，
使得成立，则解得，
即a的取值范围是
故选：A
②转化与化归
4．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，已知，则函数的值可能为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【解析】因为，
因为，
所以，
所以，即，
当时，，
当时，，
所以函数的值可能为，
故选：
5．已知函数在定义域上单调递减，，均有，则函数的最小值是
A．8B．6C．4D．
【答案】A
【解析】记 ，
用y替换中的x得 ，且，
，
由函数单调性知，
因为，
所以 ，
或 ，又函数在定义域上单调递减，
所以有 满足题设条件，
所以，，
所以时，函数的最小值是
故选：
6．已知函数的定义域为R，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于m的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，
又对任意的，都有，
所以在上单调递增，
故关于m的不等式可等价为，
即，
当时，不等式可化为，
即，无解；
当时，即，不等式可化为，
即，即，
所以，解得，
即关于m的不等式的解集为
故选：
③分类讨论
7．若对R，使得且恒成立，则实数a的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若且对任意的都成立，
①当时，由，得到，因为指数函数在上单调递增，故要使得对任意成立，有，
即得
②当时，变形为，
即得，因为指数函数在上单调递减，要使得对任意成立，即有，
即，即得
因此，结合题意可知要使得对R，使得且恒成立，取①②两种情况下a取值范围的交集可知
故选
8．已知函数且的定义域和值域都是，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【解析】当时，单调递增，
有，，可知无解；
当时，单调递减，
有，，解得，，
所以
故选
9．若函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由函数的定义域为，
设，则，
又单调递增，
当时，，，无单调性，不成立；
当时，在和上单调递增，
即在和上单调递增，
所以，则，即；
当时，在和上单调递减，
即在和上单调递减，不成立；
综上所述，
故选：
基础过关篇
1．（2025·辽宁·三模）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
，，，
，所以，
对于A，在单调递增， ，故A错误；
对于B， 在上单调递减， ，故B错误；
对于C， 在单调递减， ，故C错误；
对于D，在单调递增， ,
又在单调递减， ,
，故D正确.
故选：D
2．（2025·江西新余·模拟预测）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】；
充分性：若，则，故充分性成立；
若，则，一正一负，即，故必要性成立，
则“”是“”的充要条件，
故选：C.
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据换地公式,,则,
由基本不等式可知即，
因为，即，
则，可知，
，可知，所以.
综上可知.
故选：D.
4．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知函数，若的值域为，则满足条件的整数a的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】当时，单调递增，所以，
当时，，，
1)当时，，在上单调递增，此时，
要使的值域为，则，即，
记，则，在单调递减，
因为，所以，即满足题意；
2)当时，，此时，
因为，所以的值域为，即满足题意；
3)当时，由得，
由得，
所以在上单调递增，在和上单调递减，
所以在处取得极大值，
当且趋近于时，趋于，
所以时，，
因为，
所以时，，
此时，的值域不是，不满足题意.
综上，满足条件的整数a的值为和，共两个.
故选：B
5．（2025·江西·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，且
因为是单调递减函数，且，即能成立，所以A，B都不正确；
因为，又当时，，则，当时，，则，
当时，，
综上，，所以C错误，D正确.
故选：D.
6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，
对于A，，定义域不关于原点对称，
所以不是奇函数，故A错误；
对于B，所以，则，
令，定义域关于原点对称，
，所以B正确；
对于C，，定义域不关于原点对称，
所以不是奇函数，故C错误；
对于D，所以，则，
令，定义域关于原点对称，
，
所以不是奇函数，所以D不正确；
故选：B.
7．（2025·浙江·三模）已知函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】当时，，则，所以，.
故选：C．
8．（2025·江西·二模）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据得
可得，故为奇函数
故选：A
9．（2025·浙江绍兴·三模）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（ ）（注：，）
A．30B．31C．32D．33
【答案】C
【解析】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，
由题意：，.
于是，
所以.
故选：C.
10．（2025·浙江嘉兴·二模）若实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以即，
故即，当且仅当时等号成立，
故的最大值为，
故选：D.
11．（2025·河北张家口·三模）已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，且，都有即，
记，
则由单调性的定义知，函数在上单调递增，
则需满足：在上单调递增①，
在上单调递增②，
且 ③，
对于①，要使在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
所以，因为，所以，解得；
对于②，因为在上单调递增，
所以在上单调递增时，；
对于③，，所以；
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故选：B
12．（多选题）（2025·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，对于，都有，则（ ）
A．
B．函数的图象关于点中心对称
C．函数的图象关于直线对称
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，令，则，可得，
解得，故A正确；
对于B，由，可得，
所以函数的图象关于点中心对称，故B错误；
对于C，由可得，
所以函数的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，设①，
又②，由①②可得，
所以，即，
所以，所以，
，所以，故D正确．
故选：ACD．
13．（多选题）已知实数x，y满足，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以.
A：在上是增函数，故，故本关系恒成立；
B：当时，显然符合，但是不成立，故本关系式不恒成立；
C: 因为在上是增函数，所以，故本关系恒成立.
D：由于为单调递增函数，为单调递减函数，故为上的单调递增函数，由可得，故，故本关系式恒成立；
故选：ACD
14．（多选题）（2025·海南·模拟预测）自然常数是数学中非常重要的一个常数，17世纪人们在研究经济学中的复利问题时发现了这个数，后来众多数学家对自然常数进行了深入的研究，其字母表示来自数学家欧拉的名字.已知函数，则下列命题为真命题的是（ ）
A．，
B．，
C．，，
D．，，
【答案】ABD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，当时，，故B正确；
对于C,D，，，，
要使选项中所述等式成立，需，
当，时，该式不一定成立，
当，时，该式成立，
故C错误，D正确.
故选:ABD.
15．（多选题）（2025·福建宁德·模拟预测）下列既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】对A：因为，所以函数为奇函数.且当时，单调递增；
根据奇函数的性质，在上也是单调递增，所以在上为增函数，故A正确.
对B：因为函数的定义域为，所以函数非奇非偶，故B错误；
对C：因为，所以函数一定不是奇函数，故C错误；
对D：应为，所以，所以为奇函数，
且随的增大而增大，随的增大而减小，
所以随着的增大，的值在增大，即在上为增函数，故D正确.
故选：AD
16．（2025·山东临沂·三模）已知函数的定义域为，，，且，写出满足以下两个条件①②的函数 .条件①：，条件②：.
【答案】（答案不唯一）
【解析】设，则为上的增函数，此时必成立，
而，
故满足性质①②，
故答案为：（答案不唯一）.
17．（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为
【答案】
【解析】令，可得.
所以定点的坐标为.
故答案为：.
18．（2025·浙江·三模）已知函数，为奇函数，则 ．
【答案】-3
【解析】因为函数为奇函数，
所以，当时，，，
所以，，
所以．
故答案为：.
能力拓展篇
19．（2025·河南·模拟预测）设函数，若，，则当取得最小值时， .
【答案】
【解析】，
（当且仅当，即时取等号），
，则，即（当且仅当时取等号），
.
故答案为：.
20．（2025·北京海淀·二模）已知函数，则的值域为 ，曲线的对称中心为 ．
【答案】 /
【解析】因为，
因为，则，故，即函数的值域为，
因为，
所以，，
因此，函数的对称中心为.
故答案为：；.
21．（2025·陕西·三模）已知函数，则 ．
【答案】2783
【解析】由知，
设，则，
对照系数，得，则，即，
则，
的图象关于点中心对称；
故．
即
，
故答案为：2783
22．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】在上单调递增，需要满足，
解得，所以.
故答案为：.
函数名称
指数函数
定义
函数（，且）叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点
图象过定点，即当时，．
奇偶性
非奇非偶
单调性
在上是增函数
在上是减函数
变化对图
象的影响
在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．