2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用7.3直线、平面平行的判定与性质(2大考点+8大)(讲义+精练)(学生版+解析)

这是一份2026年新高考数学大一轮复习讲义全归纳(新高考专用7.3直线、平面平行的判定与性质(2大考点+8大)(讲义+精练)(学生版+解析)，共24页。
\l "_Tc213316195" 02 落实主干知识 PAGEREF _Tc213316195 \h 3
\l "_Tc213316196" 一、直线和平面平行 PAGEREF _Tc213316196 \h 3
\l "_Tc213316197" 二、两个平面平行 PAGEREF _Tc213316197 \h 3
\l "_Tc213316198" 03 探究核心题型 PAGEREF _Tc213316198 \h 5
\l "_Tc213316199" 题型一：平行关系的判定 PAGEREF _Tc213316199 \h 5
\l "_Tc213316200" 题型二：利用中位线证明直线与平面平行 PAGEREF _Tc213316200 \h 6
\l "_Tc213316201" 题型三：利用平行四边形证明直线与平面平行 PAGEREF _Tc213316201 \h 7
\l "_Tc213316202" 题型四：利用面面平行证明线面平行 PAGEREF _Tc213316202 \h 10
\l "_Tc213316203" 题型五：线面平行的性质 PAGEREF _Tc213316203 \h 12
\l "_Tc213316204" 题型六：证明面面平行 PAGEREF _Tc213316204 \h 14
\l "_Tc213316205" 题型七：面面平行的性质 PAGEREF _Tc213316205 \h 17
\l "_Tc213316206" 题型八：综合应用问题 PAGEREF _Tc213316206 \h 19
\l "_Tc213316207" 04 好题赏析（一题多解） PAGEREF _Tc213316207 \h 22
\l "_Tc213316208" 05 数学思想方法 PAGEREF _Tc213316208 \h 23
\l "_Tc213316209" ①数形结合 PAGEREF _Tc213316209 \h 23
\l "_Tc213316210" ②转化与化归 PAGEREF _Tc213316210 \h 23
\l "_Tc213316211" ③分类讨论 PAGEREF _Tc213316211 \h 23
\l "_Tc213316212" 06 课时精练（真题、模拟题） PAGEREF _Tc213316212 \h 26
\l "_Tc213316213" 基础过关篇 PAGEREF _Tc213316213 \h 26
\l "_Tc213316214" 能力拓展篇 PAGEREF _Tc213316214 \h 26
1、理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．
2、掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
一、直线和平面平行
1、定义
直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
二、两个平面平行
1、定义
没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥
2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）
3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
题型一：平行关系的判定
【例题1】如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）

A．直线与直线垂直，直线MN平面
B．直线与直线平行，直线MN平面
C．直线与直线平行，直线MN⊥平面
D．直线与直线垂直，直线MN⊥平面
【例题2】已知平面平面，，下列结论中正确的是（ ）
A．若直线平面，；
B．若平面平面，则；
C．若平面直线l，则；
D．若直线直线，则.
【解题总结】
排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除．
【变式1】已知直线，平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2】已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，（ ）
A．若，，则B．若，，，，则
C．若，，，，则D．若，，则
【变式3】如图，在正四棱柱中，是底面的中心，，分别是，的中点，则下列结论可能正确的是（ ）
A．B．平面
C．平面D．平面
题型二：利用中位线证明直线与平面平行
【例题3】如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧面底面，为正三角形，分别是棱的中点，点在侧棱上，且．求证：平面．
【例题4】如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点，求证：平面.
【解题总结】
利用三角形中位线找线线平行.
【变式4】如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，．求证：平面．
【变式5】如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，垂直于底面，E为的中点，，O为中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：
题型三：利用平行四边形证明直线与平面平行
【例题5】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的重心，分别是线段上一点，且，.
(1)证明：与共面；
(2)证明：平面.
【例题6】已知四棱锥的侧棱长均为，底面正方形的边长为2，分别为的中点.

(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求三棱锥的体积.
【解题总结】
利用平行四边形找线线平行.
【变式6】在长方体中，已知，，，点，分别在棱，上，且．证明：平面；

【变式7】如图，在正方体中，，分别为，的中点．
(1)证明直线平面；
(2)设，求三棱锥的体积．
【变式8】如图，在四棱锥中，，为的中点.证明：平面.
【变式9】如图，在长方体中，证明：直线平面.

【变式10】在三棱台中，若是的中点．求证：平面．
题型四：利用面面平行证明线面平行
【例题7】如图，在四棱柱中，底面和侧面均是正方形，是上一点，且.
(1)求证：；
(2)求证：平面.
【例题8】如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．

【解题总结】
本法原理：已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行
【变式11】如图①，在直角梯形中，∥，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证:在四棱锥中，∥平面.
【变式12】如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点，分别为线段，上的一点，且，．
(1)求证：；
(2)求证：平面．
【变式13】如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. 求证：平面.
题型五：线面平行的性质
【例题9】如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：.
【例题10】四棱锥中底面是平行四边形，E是中点，平面与交于F．
(1)求证：平面．
(2)求证：F是中点．
【解题总结】
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
【变式14】如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°的角，且，平行于AD与BC截面分别交AB、AC、CD、BD于点E、F、G、H.
(1)求证：截面EFGH为平行四边形；
(2)当点E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？
【变式15】如图，四边形是平行四边形，点分别为线段的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，证明：．
【变式16】如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，点N为PC上的动点. 求证：存在点N，使得.
题型六：证明面面平行
【例题11】如图，在正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面AMN与平面DBEF把正方体分成三部分的体积之比．
【例题12】如图，几何体为正三棱台，且，点满足．
(1)证明：平面．
(2)若为的中点，证明：平面平面．
【解题总结】
常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行．
【变式17】如图，已知四边形ABCD为梯形，，S是平面ABCD外一点，且，，P，Q是SD上的点，满足；点M为棱SA上的点，满足.

(1)求证：平面平面ACP；
(2)平面BMQ与棱SC相交于点E，求的值.
【变式18】如图，多面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，是线段的两个三等分点．
求证：
(1)平面；
(2)平面平面．
【变式19】如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点．求证：平面平面．
题型七：面面平行的性质
【例题13】如图，在长方体中，分别是棱的中点.
(1)证明：平面.
(2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【例题14】如图，在直三棱柱中，E，F分别是AB，BC的中点，D为上一点，，．
(1)若D为的中点，证明：面；
(2)若二面角的正弦值为，求三棱锥的体积．
【解题总结】
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
【变式20】如图，在几何体中，侧面是正方形，，，，，且与平面所成角为.
(1)求证：平面平面；
(2)求四棱锥的体积；
(3)若平面与棱交于点，求四边形的面积.
【变式21】如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.

(1)求证：平面平面；
(2)求证：；
(3)若，求的值.
【变式22】如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于.
(1)求证：平面；
(2)求证：.
题型八：综合应用问题
【例题15】在三棱锥中，平行于，的截面与四条棱分别交于E，F，G，H.
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若， 求证：四边形的周长为定值；
(3)若且截面是矩形，求截面面积的最大值．
【例题16】如图，等腰梯形中，，于点，且．沿把折起到的位置，使．
(1)求证：平面．
(2)线段上是否存在点，使得平面．若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．
【解题总结】
证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
【变式23】如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，是侧棱上一点，且．

(1)试确定侧棱上一点的位置，使平面．
(2)在侧棱上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式24】如图，在四棱锥中，平面ABCD，，.
(1)求证：平面平面PAC；
(2)设M是PA上任意一点，证明：；
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得平面CEF？并说明理由.
【变式25】如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.
(1)当为线段的中点时，
（ⅰ）求证：平面；
（ⅱ）求二面角的余弦值：
(2)在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.
1．如图1，在正四棱锥中，所有棱长均为2，E，F分别是棱AB和PC上的动点，满足
求证：平面PAD；
若异面直线EF与PD垂直，求的值；
如图2，现将棱长为2的正四面体与正四棱锥进行拼接，使得顶点P，B，C分别与，，重合，求证：P，A，B，Q四点共面．
2．如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4cm和6cm，为圆台的两条不同的母线．
求证：；
截面与下底面所成的夹角大小为，且截面截得圆台上底面圆的劣弧的长度为，求截面的面积．
①数形结合
1．在四面体中，M为AD上一点且，P是BM的中点，在线段AC上存在一点Q，使得平面BCD，则的值为
A．1B．2C．3D．4
2．在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则（ ）
A．平面EFGB．平面EFGC．平面EFGD．平面EFG
3．已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，点P为底面ABCD内包括边界的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
②转化与化归
4．平面平面的一个充分条件是（ ）
A．存在一条直线a，，
B．存在一条直线a，，
C．存在两条异面直线a，b，，，，
D．存在两条平行直线a，b，，，，
5．如图，矩形ABCD中，已知，，E为BC的中点．将沿着AE向上翻折至得到四棱锥，平面AEM与平面AECD所成锐二面角为，直线ME与平面AECD所成角为，则下列说法错误的是（ ）
A．若F为AD中点，则无论翻折到哪个位置都有平面平面MBF
B．若Q为MD中点，则无论翻折到哪个位置都有平面AEM
C．
D．存在某一翻折位置，使
6．在长方体中，，，分别在对角线，上取点M，N，使得直线平面，则线段MN长度的最小值为
A．B．C．D．
③分类讨论
7．（多选题）如图，已知正方体的外接球表面积为，点M为线段BC的中点，则
A．正方体的棱切球球与正方体的棱均相切表面积为
B．平面
C．在该正方体的8个顶点中任选4个构造一个三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为
D．平面截正方体所得的截面的面积为
8．（多选题）在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点含端点，则下列结论正确的有（ ）
A．P为中点时，的值最小
B．不存在点P，使得平面平面
C．P与端点C重合时，三棱锥的外接球半径为
D．P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的周长为
9．（多选题）已知正方体的棱长为2，M为空间中动点，N为CD中点，则下列结论中正确的是
A．若M为线段AN上的动点，则与所成角的范围为
B．若M为侧面上的动点，且满足平面，则点M的轨迹的长度为
C．若M为侧面上的动点，且，则点M的轨迹的长度为
D．若M为侧面上的动点，则存在点M满足
基础过关篇
1．（2025·四川成都·模拟预测）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．（24-25高二下·北京·期中）已知直线，平面，给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
3．（多选题）（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ）
A．B．平面
C．D．平面
4．（多选题）（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，为圆锥的底面圆的直径，为母线的中点，点为底面圆上异于的任一点，则圆上存在点满足（ ）
A．B．平面C．D．平面
5．（多选题）（2025·河南·模拟预测）在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面平面D．平面平面
6．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；
(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到的距离.
8．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
9．（2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
10．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，E为的中点，侧棱长为6.
(1)证明：平面；
(2)求该正四棱台的表面积.
11．（2025·北京昌平·二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，与相交于点，平面平面，点在棱上，．
(1)求证：；
(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小．
条件①：平面；
条件②：．
12．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点.
(1)证明：平面PAB；
(2)若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值.
能力拓展篇
1．如图，在棱长为1的正方体中，，若平面，则线段的长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．九章算术是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，分别为，的中点，点在线段上，与交于点，，若平面，则（ ）
A．B．C．D．
3．（多选题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ）
A．B．平面
C．D．平面
4．（多选题）如图所示，为圆锥的底面圆的直径，为母线的中点，点为底面圆上异于的任一点，则圆上存在点满足（ ）
A．B．平面C．D．平面
5．（多选题）在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．平面B．平面
C．平面平面D．平面平面
6．如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；
(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．
7．如图，，，，,为的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到的距离.
8．如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
9．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
10．如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，E为的中点，侧棱长为6.
(1)证明：平面；
(2)求该正四棱台的表面积.
11．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，与相交于点，平面平面，点在棱上，．
(1)求证：；
(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的大小．
条件①：平面；
条件②：．
12．如图，在四棱锥中，三角形是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为PD的中点.
(1)证明：平面PAB；
(2)若，求直线CE与平面PBC的夹角的余弦值.
13．如图一，四边形是边长为的菱形，，，，分别为的中点，将沿边折起，使，连接，如图二.
注意：1.请在答题纸上留下必要作图痕迹；2.本题若使用空间向量解题，将不得分.

(1)证明：；
(2)求直线和所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
文字语言
图形语言
符号语言
线∥线线∥面
如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行
面∥面线∥面
如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面
文字语言
图形语言
符号语言
线∥面线∥线
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理线∥面面∥面
如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行
线面面∥面
如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行
∥
文字语言
图形语言
符号语言
面//面
线//面
如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）
面//面
线面
如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线