2026年江苏省中考模拟数学自编试卷含答案（3）

这是一份2026年江苏省中考模拟数学自编试卷含答案（3），共14页。试卷主要包含了实数−2的绝对值是，下列图形，一定有外接圆的是，9的算术平方根是，计算等内容，欢迎下载使用。
1．实数−2的绝对值是（ ）
A．−2B．±2C．2D．﹣|2|
2．下列图形，一定有外接圆的是（ ）
A．平行四边形B．菱形
C．直角梯形D．矩形
3．要使分式x+2x+1有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠﹣2B．x≠﹣1C．x＝﹣2D．x＝﹣1
4．9的算术平方根是（ ）
A．3B．﹣3C．9D．﹣9
5．如图，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
6．如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿y轴翻折；②沿函数y＝x+2的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转45°；④绕点（1，﹣1）按顺时针方向旋转90°．其中，能使函数y＝2x+4的图象经过一种变换后过点P（2，2）的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二．填空题（每题3分共30分）
7．若一组数据1，2，5，3，x，﹣1的平均数是2，则x的值为 ．
8．已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是 ．
9．计算：(24−23)×3= ．
10．若x＝m是关于x的方程2x−a+3aa−x=1的解，则代数式4a2+4am+m2的值是 ．
11．设方程x2+2x﹣9＝0的正根介于整数m与m+1之间，则m＝ ．
12．一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图所示，这枚古钱币的直径为 mm．
13．如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝ ．
14．反比例函数y=kx（k＜0），当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝ ．
15．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，作EF⊥DE交BC于点F，对角线AC分别交DE，DF于点G，H，当DH⊥AC时，则GHEF的值为 ．
16．如图，在半径为4的⊙O中，弦AC=42，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为 ．
三．解答题（共11小题，共92分）
17（6分）．解不等式组：2(x+2)−x≤52x+13＞x−1．
18．（8分）已知：如图，在∠MON中，点C在边OM上．
（1）尺规作图：在射线ON上求作点A，使OA＝3OC；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）直接用三角板过点A画AD⊥OM，垂足为点D；
（3）尺规作图：过点A作AE∥OM．（不写作法，保留作图痕迹）
19．（8分）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲拥有的羊数就是乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人拥有的羊数相等．问甲、乙各有多少只羊？
20．（10分）阅读理解题．
我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式A=2xx+1，B=−2x+1，A−B=2xx+1−−2x+1=2x+2x+1=2(x+1)x+1=2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
（1）已知分式C=2+2xx−2，D=3xx−2，判断C是否为D的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”．
（2）已知分式M=E9−x2，N=x3−x，M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，x为整数，且M的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值．
21．（10分）郑东新区有着丰富的旅游资源，小明决定利用一天时间来郑东新区游玩，通过查阅资料，小明制定了如下游玩计划：上午从3个自然景点（A．北龙湖湿地公园；B．郑州之林；C．郑州市森林公园）中随机选取一个游玩，下午再从2个人文景点（D．河南自然博物馆；E．河南省科技馆新馆）中随机选取一个去参观．
（1）小明从自然景点中选中“郑州之林”的概率是 ；
（2）用树状图或表格求小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率．
22．（10分）某校举办校园投篮比赛，九年级（1）班选拔甲、乙两名同学参加集训．两人近5次投篮训练成绩（单位：个）制作成如下不完整的统计图与统计表：
投篮训练成绩统计表
（1）补全条形统计图；
（2）表中a＝ ，b＝ ．
（3）根据计算结果，请你用相关统计知识分析谁更适合代表班级参赛．
23．（10分）如图，O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线．
选择其中一位同学的想法，完成证明．
（2）当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由．
24．（10分）为加强校际交流，某市甲、乙两所高校联合开展户外徒步行及参观友校校史馆等活动．甲、乙两校相距10千米，甲校队伍从本校出发匀速步行到乙校需2.5小时；乙校队伍从本校出发匀速步行到甲校需2小时．现甲、乙两所高校队伍同时从各自学校出发相向而行到对方学校，两校队伍的距离y（千米）与步行时间x（小时）之间的关系如图所示．
请回答下列问题：
（1）甲、乙两所高校队伍出发后几小时相遇？
（2）说明点C的实际意义，并求出点C的纵坐标；
（3）甲、乙两所高校队伍出发后多少小时相距8.5千米？
25．（10分）如图，甲、乙两人在道路的两边相向而行，当甲、乙两人分别行至点A、C时，测得乙在甲的北偏东60°方向上，乙留在原地休息，甲继续向前走了100米到B处，此时测得乙在其北偏东45°方向上，求道路的宽是多少米（结果保留根号）．
26．（10分）已知：抛物线y=49x2．
（1）将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，新抛物线顶点的坐标是 ；
（2）将抛物线平移，所得新抛物线的顶点P在一次函数y＝﹣2x的图象上．设P的横坐标为m．新抛物线与y轴交点的纵坐标为b．
①若0≤m≤3，求b的取值范围；
②新抛物线交x轴于A、B两点（B点在A点右侧），且OB＝PB，直接写出△OPB的面积．
27．（12分）如图1，在⊙O中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧COD与直线AB相切于点C，且OC＝10．
（1）求点D到直线AB的距离．
（2）如图2，优弧COD上存在一动点M，OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t秒．当点M运动至点D处时，停止转动．过点M作直线l∥OC，直线l与优弧COD交于另一点N．
①当直线l与优弧COD相切时，t的值为 ．
②当t＝2时，求阴影部分面积．
（3）在（2）的转动过程中，如图3，过点M作直线MP⊥OD，与直线AB交于点P，则在转动过程中，CP的最大值为 ．
江苏省2026年中考数学模拟试卷（3）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
一．选择题（共6小题）
1．实数−2的绝对值是（ ）
A．−2B．±2C．2D．﹣|2|
【分析】运用绝对值的性质进行计算、辨别、求解．
【解答】解：∵−2＜0，
∴|−2|＝﹣（−2）=2，
故选：C．
【点评】此题考查了实数绝对值的求解能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2．下列图形，一定有外接圆的是（ ）
A．平行四边形B．菱形
C．直角梯形D．矩形
【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质可得：有外接圆的四边形必须对角互补，即可得出答案．
【解答】解：∵四边形有外接圆的性质，
∴四边形的对角互补，
∵矩形的四个角都是直角，对角互补，
∴矩形一定有外接圆，
故选：D．
【点评】此题主要考查了四边形与三角形有外接圆的性质．注意抓住四边形必须对角互补才有外接圆是解决问题的关键．
3．要使分式x+2x+1有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x≠﹣2B．x≠﹣1C．x＝﹣2D．x＝﹣1
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此即可求得答案．
【解答】解：要使分式x+2x+1有意义，
则x+1≠0，
解得：x≠﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键．
4．9的算术平方根是（ ）
A．3B．﹣3C．9D．﹣9
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵32＝9，
∴实数9的算术平方根是3．
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，解答本题的关键要明确：如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么x叫做a的算术平方根．
5．如图，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB＝3．以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【分析】利用勾股定理求出OB的长，从而得到点P所表示的数，再根据无理数的估算即可求得答案
【解答】解：OB=OA2+AB2=22+32=13，
∴P点所表示的数就是13，
∵9＜13＜16，
∴3＜13＜4，
即点P所表示的数介于3和4之间．
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握实数的性质，数轴知识．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿y轴翻折；②沿函数y＝x+2的图象翻折；③绕原点按顺时针方向旋转45°；④绕点（1，﹣1）按顺时针方向旋转90°．其中，能使函数y＝2x+4的图象经过一种变换后过点P（2，2）的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】逐一分析每种变换后，函数y＝2x+4的图象是否经过点P（2，2）．
【解答】解：①点P（2，2）关于y轴的对称点为（﹣2，2），把x＝﹣2代入y＝2x+4得，y＝2×（﹣2）+4＝0≠2，
∴函数y＝2x+4的图象沿y轴翻折后不过点P（2，2）；
②设点P（2，2）关于直线y＝x+2的对称点Q为（a，b），则点（a+22，b+22）在直线y＝x+2上，
∴b+22=a+22+2，
∴b＝a+4，
∴对称点为（a，a+4），
∵直线PQ与直线y＝x+2垂直，
∴设直线PQ为y＝﹣x+t，
则−2+t=2−a+t=a+4，解得a＝0，
∴对称点为（0，4），
当x＝0时，y＝2x+4＝4，
∴函数y＝2x+4的图象沿函数y＝x+2的图象翻折后过点P（2，2）；
③点P（2，2）绕原点按逆时针方向旋转45°得到（0，22），
当x＝0时，y＝2x+4＝4≠22，
∴函数y＝2x+4的图象绕原点按顺时针方向旋转45°后不过点P（2，2）；
④点P（2，2）绕点（1，﹣1）按逆时针方向旋转90°得到（﹣2，0），
当x＝﹣2时，y＝2x+4＝0，
∴函数y＝2x+4的图象绕点（1，﹣1）按顺时针方向旋转90°过点P（2，2）；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，运用逆向思维解答是本题的关键．
二．填空题（共10小题）
7．若一组数据1，2，5，3，x，﹣1的平均数是2，则x的值为 2 ．
【分析】先根据平均数的计算公式求出x的值．
【解答】解：由条件可知：1+2+5+3+ x+(−1)6=2，
解得x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了算术平均数，熟记平均数的计算公式是解题关键．
8．已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是 10 ．
【分析】根据2和4可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．
【解答】解：当4为腰时，三边为4，4，2，符合三角形三边关系定理，周长为：4+4+2＝10；
当2为腰时，三边为2，2，4，2+2＝4，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形．
故答案为：10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是会根据题意，分类讨论．
9．计算：(24−23)×3= 52 ．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：原式=24×3−23×3
=62−2
=52．
故答案为：52．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
10．若x＝m是关于x的方程2x−a+3aa−x=1的解，则代数式4a2+4am+m2的值是 4 ．
【分析】将x＝m代入方程，化简分式后得到m＝2﹣2a，再代入代数式4a2+4am+m2，即（2a+m）2，计算得值．
【解答】解：∵x＝m是方程2x−a+3aa−x=1的解，
∴2m−a−3am−a=1，
∴2−3am−a=1，
∴m＝2﹣2a，
∴4a2+4am+m2
＝（2a+m）2
＝（2a+2﹣2a）2
＝22＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查分式方程的解和求代数式的值，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
11．设方程x2+2x﹣9＝0的正根介于整数m与m+1之间，则m＝ 2 ．
【分析】利用配方法解出x的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可．
【解答】解：x2+2x﹣9＝0，
移项得：x2+2x＝9，
配方得：x2+2x+1＝9+1，
即（x+1）2＝10，
直接开平方得：x+1＝±10，
解得：x1=10−1，x2=−10−1，
∵9＜10＜16，
∴3＜10＜4，
∴2＜10−1＜3，
则m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
12．一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图所示，这枚古钱币的直径为 13 mm．
【分析】先根据题意，则AB是⊙O的直径，过O作OC⊥TE，连接OD，再结合正方形的性质以及垂径定理得CE＝5mm，CD＝12mm，由勾股定理列式计算，即可作答．
【解答】解：如图，一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，AB是⊙O的直径，连接OD，过O作OC⊥TE，
由图可知，TE＝10mm，ED＝7mm，
∵OC⊥TE，
∴CE=12TE=5mm，CD＝5+7＝12（mm），
∴CO=12×10=5(mm)，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=OC2+CD2=25+144=13(mm)，
即这枚古钱币的直径为13×2＝26（mm），
故答案为：26．
【点评】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，垂径定理的应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
13．如图，D、E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝2：3，则S△DOE：S△AOC＝ 4：25 ．
【分析】根据S△BDE：S△CDE＝2：3可得BECE=23，从而得到BEBC=25，再根据相似三角形的判定与性质可得BEBC=DEAC=25，最后再根据△ODE∽△OCA可得S△DOES△AOC=(DEAC)2=(25)2=425．
【解答】解：∵S△BDE：S△CDE＝2：3，
∴BECE=23，
∴BEBC=25，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴BEBC=DEAC=25，
∵DE∥AC，
∴△ODE∽△OCA，
∴S△DOES△AOC=(DEAC)2=(25)2=425，
即S△DOE：S△AOC＝4：25，
故答案为：4：25．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，两个相似三角形的面积比关于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．反比例函数y=kx（k＜0），当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝ ﹣6 ．
【分析】根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答．
【解答】解：∵k＜0，
∴在每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大．
∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，
∴k3−k1=4，解得k＝﹣6，
综上所述，k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．
15．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，作EF⊥DE交BC于点F，对角线AC分别交DE，DF于点G，H，当DH⊥AC时，则GHEF的值为 309 ．
【分析】设AD＝a，AB＝b，根据矩形性质和勾股定理可得AC=a2+b2，再证得△ADE∽△BEF，可得ADBE=AEBF，BF=b24a，进而可得CF＝a−b24a，再由tan∠CDF＝tan∠CAD，可得CFCD=CDAD，得出CF=b2a，联立得a−b24a=b2a，求得a=52b，再证得△DGH∽△DFE，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，设AD＝a，AB＝b，
∴∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝a，AB＝CD＝b，
∴AC=AB2+BC2=a2+b2，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝∠AED+∠BEF＝90°，
∴∠ADE＝∠BEF，
∴△ADE∽△BEF，
∴ADBE=AEBF，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE=12AB=12b，
∴BF=b24a，
∴CF＝BC﹣BF＝a−b24a，
∵DH⊥AC，
∴∠ADH+∠CAD＝90°，
∵∠ADH+∠CDF＝90°，
∴∠CDF＝∠CAD，
∴tan∠CDF＝tan∠CAD，
∴CFCD=CDAD，即CFb=ba，
∴CF=b2a，
∴a−b24a=b2a，
∴a=52b，
在Rt△ADE中，DE=AD2+AE2=a2+(12b)2=62b，
∵DH•AC＝AD•CD，
∴DH=AD⋅CDAC=aba2+b2=53b，
∵∠DHG＝∠DEF＝90°，∠GDH＝∠FDE，
∴△DGH∽△DFE，
∴GHEF=DHDE=53b62b=309，
故答案为：309．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．如图，在半径为4的⊙O中，弦AC=42，B是⊙O上的一动点（不与点A重合），D是AB的中点，M为CD的中点，则AM的最大值为 13+1 ．
【分析】连接OB，OA，取OA的中点E，连接DE，CE，取CE的中点G，连接GM，AG，证DE为△AOB的中位线得DE＝2，由此得随着点B在⊙O上运动，点D在以E为圆心以2为半径的圆上运动，再证GM为△CED的中位线得GM＝1，由此随着点E的运动，点M在以点G为圆心以1为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得AM≤AG+GM，进而得当A，G，M在同一条直线上时，AM为最大，最大值为AG+GM，取OE的中点F，连接GF，OC，先证△AOC为直角三角形，再证GF为△EOC的中位线，则GF＝2，OF＝1，GF∥OC，进而得∠AFG＝∠AOC＝90°，AF＝OA﹣OF＝3，然后在Rt△AGF中，由勾股定理求出AG，进而可求出AG+GM，据此可得AM的最大值．
【解答】解：连接OB，OA，取OA的中点E，连接DE，CE，取CE的中点G，连接GM，AG，如图1所示：
∵⊙O的半径为4，
∴OA＝OB＝4，
∵点D为CD的中点，点E为OA的中点，
∴DE为△AOB的中位线，
∴DE=12OB＝2，
∴随着点B在⊙O上运动，
点D在以E为圆心以2为半径的圆上运动，
∵点M为CD的中点，点G为CE的中点，
∴GM为△CED的中位线，
∴GM=12ED＝1，
∴随着点E的运动，点M在以点G为圆心以1为半径
的圆上运动，
根据“两点之间线段最短”得：AM≤AG+GM，
∴当AM＝AG+GM时，AM为最大，
即当A，G，M在同一条直线上时，AM为最大，
最大值为AG+GM，
如图2所示，取OE的中点F，连接GF，OC，
∵⊙O的半径为4，
∴OA＝OC＝4，
∴OA2+OC2＝42+42＝32，
又∵AC=42，
∴AC2=(42)2=32，
∴OA2+OC2＝AC2，
∴△AOC为直角三角形，即∠AOC＝90°，
∵点F是OE的中点，点G是CE的中点，
∴GF为△EOC的中位线，
∴GF=12OC＝2，OF=12OE＝1，GF∥OC，
∴∠AFG＝∠AOC＝90°，
∴AF＝OA﹣OF＝3，
在Rt△AGF中，AF＝3，GF＝2，
由勾股定理得：AG=AF2+GF2=13，
∴AG+GM=13+1．
∴AM的最大值为13+1．
故答案为：13+1．
【点评】此题主要考查了圆的有关概念，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定理等，熟练掌握圆的有关概念，三角形的中位线定理，理解两点之间线段最短是解决问题的关键．
三．解答题（共11小题）
17．解不等式组：2(x+2)−x≤52x+13＞x−1．
【分析】先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解：2(x+2)−x≤5①2x+13＞x−1②，
解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x＜4，
∴原不等式组的解集为x≤1．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．
18．已知：如图，在∠MON中，点C在边OM上．
（1）尺规作图：在射线ON上求作点A，使OA＝3OC；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）直接用三角板过点A画AD⊥OM，垂足为点D；
（3）尺规作图：过点A作AE∥OM．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）根据要求作出图形；
（3）利用同位角相等，两直线平行作出直线AE即可．
【解答】解：（1）如图，线段OA即为所求；
（2）如图，直线AD即为所求；
（3）如图，直线AE即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
19．我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲拥有的羊数就是乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人拥有的羊数相等．问甲、乙各有多少只羊？
【分析】设甲有x只羊，乙有y只羊，根据“如果乙给甲9只羊，那么甲拥有的羊数就是乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人拥有的羊数相等”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，
根据题意得：x+9=2(y−9)x−9=y+9，
解得：x=63y=45．
答：甲有63只羊，乙有45只羊．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．阅读理解题．
我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式A=2xx+1，B=−2x+1，A−B=2xx+1−−2x+1=2x+2x+1=2(x+1)x+1=2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
（1）已知分式C=2+2xx−2，D=3xx−2，判断C是否为D的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”．
（2）已知分式M=E9−x2，N=x3−x，M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，x为整数，且M的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值．
【分析】（1）根据定义即判断．
（2）根据定义，计算出E的代数式，然后分析P，即可找到所有的x的值，即可求值．
【解答】解：（1）C不是D的“雅中式”，理由如下，
C﹣D=2+2xx−2−3xx−2
=2−xx−2
＝﹣1，
∴C不是D的“雅中式”；
（2）∵M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，
∴M﹣N＝1，
∴E9−x2−x3−x=1，
E﹣3x﹣x2＝9﹣x2，
∴E＝3x+9，
∴M=3x+99−x2=33−x．
∵M的值也为整数，且分式有意义，
故3﹣x＝±1或3﹣x＝±3，
∴x的值为：0，2，4，6．
【点评】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键．
21．郑东新区有着丰富的旅游资源，小明决定利用一天时间来郑东新区游玩，通过查阅资料，小明制定了如下游玩计划：上午从3个自然景点（A．北龙湖湿地公园；B．郑州之林；C．郑州市森林公园）中随机选取一个游玩，下午再从2个人文景点（D．河南自然博物馆；E．河南省科技馆新馆）中随机选取一个去参观．
（1）小明从自然景点中选中“郑州之林”的概率是 13 ；
（2）用树状图或表格求小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示6种等可能的结果，再找出小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）明从自然景点中选中“郑州之林”的概率=13；
故答案为：13；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的结果数为1，
所以小明恰好选“北龙湖湿地公园”和“河南省科技馆新馆”的概率=16．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
22．某校举办校园投篮比赛，九年级（1）班选拔甲、乙两名同学参加集训．两人近5次投篮训练成绩（单位：个）制作成如下不完整的统计图与统计表：
投篮训练成绩统计表
（1）补全条形统计图；
（2）表中a＝ 8 ，b＝ 9 ．
（3）根据计算结果，请你用相关统计知识分析谁更适合代表班级参赛．
【分析】（1）根据平均数求出甲第5次、乙第3次的成绩，补全条形统计图；
（2）按照中位数和众数的定义解答即可；
（3）根据平均数，中位数，众数以及方差判断即可．
【解答】解：（1）第5次甲的成绩：7.4×5﹣（6+5+9+9）＝8（个），
第3次乙的成绩：7.4×5﹣（7+8+8+8）＝6（个），
补全条形统计图：
（2）把乙的成绩从小到大排列为：6，7，8，8，8，
∴a＝8；
∵甲的成绩为：5，6，8，9，9，
∴b＝9．
故答案为：8，9；
（3）甲乙两人平均数和中位数相同，乙的方差小于甲的方差，乙比甲发挥更稳定，所以乙更适合代表班级参赛（答案不唯一，言之有理即可）．
【点评】本题考查了条形统计图，平均数，中位数，方差的意义．关键是掌握这些知识进行解答．
23．如图，O是▱ABCD的对称中心，BC与⊙O相切于点E．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线．
选择其中一位同学的想法，完成证明．
（2）当AB与⊙O相切时，▱ABCD是菱形吗？说明理由．
【分析】（1）连接EO并延长与AD交于点F，连接BD，通过证明三角形全等可得OE＝OF，进一步证明直线AD是⊙O的切线；
（2）设AB与⊙O相切于点G，连接GO并延长与CD交于点H，同理（1）得CD是⊙O的切线，再根据切线长定理得BG＝BE，CE＝CH，再进一步可得AB＝BC，即可证明▱ABCD是菱形．
【解答】（1）证明：如图，
连接EO并延长与AD交于点F，连接BD，
∵O是▱ABCD的对称中心，
∴AD∥BC，OB＝OD，
∴∠ODF＝∠OBE，
∵∠DOF＝∠BOE，
∴△BOE≌△DOF（AAS），
∴OE＝OF，
∴BC与⊙O相切于点E，
∴AD与⊙O相切于点F，
即直线AD是⊙O的切线．
（2）解：▱ABCD是菱形．
理由：如图，
设AB与⊙O相切于点G，连接GO并延长与CD交于点H，
同理（1）知CD是⊙O的切线，AG＝CH．
∴CE＝CH，BG＝BE，
∵AG＝CH，
∴AG＝CE．
∴AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，圆的切线的判定以及切线长定理，熟练掌握与运用平行四边形的性质，全等三角形的判定，圆的切线的判定以及切线长定理是做题的关键．
24．为加强校际交流，某市甲、乙两所高校联合开展户外徒步行及参观友校校史馆等活动．甲、乙两校相距10千米，甲校队伍从本校出发匀速步行到乙校需2.5小时；乙校队伍从本校出发匀速步行到甲校需2小时．现甲、乙两所高校队伍同时从各自学校出发相向而行到对方学校，两校队伍的距离y（千米）与步行时间x（小时）之间的关系如图所示．
请回答下列问题：
（1）甲、乙两所高校队伍出发后几小时相遇？
（2）说明点C的实际意义，并求出点C的纵坐标；
（3）甲、乙两所高校队伍出发后多少小时相距8.5千米？
【分析】（1）依据题意得，甲队速度：10÷2.5＝4（千米/小时 ），乙队速度：10÷2＝5（千米/小时），又设出发m小时相遇，可得4m+5m＝10，进而计算可以得解；
（2）依据题意，由乙校队伍从本校出发匀速步行到甲校需2小时，则乙队2小时到达甲校，而此时甲队走了4×2＝8（千米），结合图象可以得解；
（3）依据题意，分两种情形列出关系式计算可以得解．
【解答】解：（1）由题意得，甲队速度：10÷2.5＝4（千米/小时 ），乙队速度：10÷2＝5（千米/小时），
设出发x小时相遇，
∴4m+5m＝10．
∴m=109．
答：甲、乙两所高校队伍出发后109小时相遇；
（2）由题意，∵乙校队伍从本校出发匀速步行到甲校需2小时，
∴乙队2小时到达甲校，而此时甲队走了4×2＝8（千米），
∴两队距离为8千米，即点C纵坐标为8．
答：点C的实际意义是乙队2小时到达甲校，两队距离为8千米；点C纵坐标为8；
（3）由题意，分两种情形：
设甲、乙两所高校队伍出发后x小时相距8.5千米，
①相遇前，10﹣（4x+5x）＝8.5，
∴x=16．
②相遇后，由乙队2小时已到达，
∴4x＝8.5．
∴x＝2.125．
答：甲、乙两所高校队伍出发后16小时或2.125小时时，两队相距8.5千米．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键．
25．如图，甲、乙两人在道路的两边相向而行，当甲、乙两人分别行至点A、C时，测得乙在甲的北偏东60°方向上，乙留在原地休息，甲继续向前走了100米到B处，此时测得乙在其北偏东45°方向上，求道路的宽是多少米（结果保留根号）．
【分析】过C作AB的垂线，设垂足为D，由题意得，∠BAC＝30°，∠CBD＝60°，∠BCA＝∠BAC＝30°，得CB＝AB＝100米；在Rt△BCD中，可用正弦函数求出CD的长即可得到答案．
【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，则CD的长即为道路的宽．
由题意得∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，∠CBD＝45°，
∵∠CDB＝90°，
∴∠CBD＝∠BCD＝45°，
∴BD＝CD．
∴tan∠CAD=CDAD=CD100+CD=33，
∴CD＝50（3+1）m，
∴道路的宽约为50（3+1）m．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握解直角三角形是解题的关键．
26．已知：抛物线y=49x2．
（1）将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，新抛物线顶点的坐标是 （﹣1，﹣2） ；
（2）将抛物线平移，所得新抛物线的顶点P在一次函数y＝﹣2x的图象上．设P的横坐标为m．新抛物线与y轴交点的纵坐标为b．
①若0≤m≤3，求b的取值范围；
②新抛物线交x轴于A、B两点（B点在A点右侧），且OB＝PB，直接写出△OPB的面积．
【分析】（1）求出平移后的函数解析式为y=49（x+1）2﹣2，即可求顶点坐标；
（2）①求出平移后的函数解析式为y=49（x﹣m）2﹣2m，则b=−49（m−94）2+94，再由m的范围求出b的范围即可；
②求出点B（m+322m，0），再由OB＝PB，求出m＝2，从而确定B、P点坐标，即可求△OPB的面积．
【解答】解：（1）y=49（x+1）2﹣2，
∴顶点为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2）；
（2）①设P的横坐标为m，
∴P（m，﹣2m），
∴y=49（x﹣m）2﹣2m，
当x＝0时，b=−49m2﹣2m=−49（m−94）2+94，
∵0≤m≤3，
∴0≤b≤94；
②当49（x﹣m）2﹣2m＝0时，解得x＝m+322m或x＝m−322m，
∴B（m+322m，0），
∵OB＝PB，
∴（m+322m）2＝（322m）2+（2m）2，
解得m＝0（舍）或m＝2，
∴B（5，0），P（2，﹣4），
∴△OPB的面积=12×5×4=10．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质是解题的关键．
27．如图1，在⊙O中截掉一个圆心角为60°的扇形，优弧COD与直线AB相切于点C，且OC＝10．
（1）求点D到直线AB的距离．
（2）如图2，优弧COD上存在一动点M，OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t秒．当点M运动至点D处时，停止转动．过点M作直线l∥OC，直线l与优弧COD交于另一点N．
①当直线l与优弧COD相切时，t的值为 3s或9s ．
②当t＝2时，求阴影部分面积．
（3）在（2）的转动过程中，如图3，过点M作直线MP⊥OD，与直线AB交于点P，则在转动过程中，CP的最大值为 103 ．
【分析】（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E，利用等边三角形的性质，圆的切线的性质定理，含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）①利用分类讨论的思想方法分两种情形讨论解答：Ⅰ．当直线l与优弧COD相切，且直线l在OC的左侧时，利用切线的性质定理和平行线的性质求得∠MOC的度数，得到30t＝90，解方程即可得出结论；Ⅱ．当直线l与优弧COD相切，且直线l在OC的右侧时，利用切线的性质定理和平行线的性质求得∠MOC的度数，得到30t＝270，解方程即可得出结论；
②连接ON，过点O作OF⊥MN于点F，利用等边三角形的性质，圆的切线的性质定理求得MN，OF，∠MON，再利用阴影部分面积＝S扇形OMN﹣S△OMN解答即可；
（3）延长DO交MP于点T，过点C作CQ⊥MP于点Q，过点O作OR⊥CQ于点R，利用矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理得到CP=CQcs30°=233CQ=233（CR+RQ），利用垂线段最短的性质得到OT≤10，依据当OT取得最大值时，CP取得最大值，求得OT的最大值，代入化简即可得出结论．
【解答】解：（1）连接CD，过点D作DE⊥BC于点E，如图，
∵∠COD＝60°，OC＝OD，
∴△OCD为等边三角形，
∴∠OCD＝60°，CD＝OC＝10．
∵优弧COD与直线AB相切于点C，
∴OC⊥AB，
∴∠OCB＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∴DE=12CD＝5．
∴点D到直线AB的距离为5；
（2）①Ⅰ．当直线l与优弧COD相切，且直线l在OC的左侧时，如图，
∵直线l与优弧COD相切，
∴OM⊥l，
∵直线l∥OC，
∴OM⊥OC，
∴∠MOC＝90°，
∵OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t秒，
∴30t＝90，
∴t＝3．
Ⅱ．当直线l与优弧COD相切，且直线l在OC的右侧时，如图，
∵直线l与优弧COD相切，
∴OM⊥l，
∵直线l∥OC，
∴OM⊥OC，
∴∠MOC＝90°，
∴OM的旋转的度数为270°，
∵OM从OC出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒30°，转动时间为t秒，
∴30t＝270，
∴t＝9．
综上，当直线l与优弧COD相切时，t的值为3s或9s．
故答案为：3s或9s．
②连接ON，过点O作OF⊥MN于点F，如图，
∵t＝2，
∴∠MOC＝60°．
∵优弧COD与直线AB相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵直线l∥OC，
∴直线l⊥AB，
∵OF⊥MN，
∴四边形OFAC为矩形，
∴∠FOC＝90°，AF＝OC＝10，
∴∠FOM＝30°，
∴FM=12OM＝5，OF=32OM＝53．
∵OF⊥MN，
∴FM＝FN＝5，∠MON＝2∠FOM＝60°，
∴阴影部分面积＝S扇形OMN﹣S△OMN=60π×102360−12×10×53=50π3−253．
（3）延长DO交MP于点T，过点C作CQ⊥MP于点Q，过点O作OR⊥CQ于点R，如图，
∵直线MP⊥OD，CQ⊥MP，OR⊥CQ，
∴四边形ORQT为矩形，
∴OT＝RQ，∠TOR＝90°，
∴∠ROC＝90°﹣∠COD＝30°，
∴RC=12OC＝5，∠OCQ＝60°，
∵OC⊥AB，
∴∠QCP＝30°，
∴CP=CQcs30°=233CQ=233（CR+RQ），
∵OT＝RQ，
∴CP=233（OT+5）．
∴当OT取得最大值时，CP取得最大值，
∵优弧COD上存在一动点M，MP⊥OT，
∴OT≤OM，
∴OT≤10，
∴当点T与点M重合时，OT的最大值为10，
∴CP的最大值为233（10+5）＝103．
故答案为：103．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，矩形的判定与性质圆的切线的判定与性质，分类讨论的思想方法，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
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平均数
中位数
众数
方差
甲
7.4
8
b
2.64
乙
7.4
a
8
0.64
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
D
B
A
C
B
平均数
中位数
众数
方差
甲
7.4
8
b
2.64
乙
7.4
a
8
0.64