2026年江苏省南京市弘光中学中考模拟数学自编试卷含答案

这是一份2026年江苏省南京市弘光中学中考模拟数学自编试卷含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共12分）
1．（本题2分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．0C．D．
2．（本题2分）2025年无锡人均约为万元，数据万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．（本题2分）下面四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的函数是（ ）
A．B．C．D．
4．（本题2分）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图所示，是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，当白方落子在A、B、C、D中的________处，则所得的对弈图是轴对称图形．（ ）
A．B或CB．A或DC．B或DD．A或C
5．（本题2分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C．D．
6．（本题2分）如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共20分）
7．（本题2分）计算：___________．
8．（本题2分）使在实数范围内有意义的x应满足的条件是________．
9．（本题2分）当时，化简_____．
10．（本题2分）图中表示被撕掉一块的正边形纸片．若，则的值是_______．
11．（本题2分）如图，在中，，，，则___．
12．（本题2分）正方形的边长为，以正方形的一边向外作等边三角形，点G，F分别为边，上一动点（不与端点重合），且，随着点G，F的运动，的最小值为___________．
13．（本题2分）如图，周日下午八年级某班小明想到A站乘公交车返校上学，发现他与公交车的距离为．假设公交车的速度是小明速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为_________m．
14．（本题2分）二次函数的部分图象如图所示，该图象的对称轴是直线，图象与y 轴交点的纵坐标是2，图象与x轴交点的横坐标分别为，，且满足．
根据以上信息，给出下面四个结论：①；②；
③当时，；
④抛物线上有两点，，若，则．
上述结论中，所有正确结论的序号是_______．
15．（本题2分）把一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，然后把它切成棱长2cm的小正方体，则一面涂色的小正方体有_________块.
16．（本题2分）如图，已知正方形的边长为8，在上，，是上的一动点，则的最小值为___．
三、解答题（共88分）
17．（本题6分）解不等式组：
18．（本题6分）计算：
(1)；
(2)．
19．（本题7分）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
(2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克．
20．（本题8分）如图，为的直径，C为上一点，，垂足为D，平分
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
21．（本题8分）为了倡导“节约用水，从我做起”，某市政府决定对该市直属机关200户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查中发现，每户家庭月平均用水量在3～7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
(1)填空： ， ．
(2)这些家庭中月平均用水量数据的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ．
(3)市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率．
22．（本题8分）雷锋精神是我们中华民族宝贵的精神财富，它激励着一代又一代的青少年健康成长，促进了社会文明的进步，为弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的雷锋精神，倡导志愿服务理念，树立“学雷锋”的意识，某校组织了“学习雷锋精神，爱心捐款活动”．活动结束后对本次活动的捐款金额抽取了样本进行统计，制作了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)求这次调查共抽取的学生人数，并补全条形统计图．
(2)求元捐款所在扇形圆心角的度数．
(3)若该校共有名学生，请估计该校这次活动中捐款金额为元的学生人数．
23．（本题8分）如图，是的直径，是上一点，是的中点，过点作直线的垂线，垂足为，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，则阴影部分图形的面积为 ．
24．（本题8分）若(且)，、是正整数，则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求的值；
(2)若，，用含的代数式表示．
25．（本题9分）如图，已知抛物线：的顶点为，对称轴：，与直线有且只有一个公共点，点在抛物线上，点关于直线的对称点恰好落在抛物线的对称轴上．
(1)求直线的解析式；
(2)点是第二象限内抛物线上一点，关于的对称点是，连接，点是线段上一点，且，，求点的坐标．
26．（本题10分）探究下列问题：
(1)【操作发现】如图①，将绕点A顺时针旋转得，连接，．根据条件填空：
①的度数为 ；②若，则的值为 ．
(2)【解决问题】如图②，在正方形中，点E在边上，点F在边上，且满足，，，求正方形的面积．
(3)【灵活运用】如图③，在四边形中，，，，为对角线，且满足，，，求的值．
27．（本题10分）如图1，在中，为边上的中线，交于点，此时我们称点为、的“垂对称点”．特别的，当点也为中点时，我们称这样的三角形为“中垂三角形”，例如，图2、图3中，，是的中线，，垂足为，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，．
(1)【特例探究】如图1，，，为、的“垂对称点”，，则________；
如图2，为“中垂三角形”，当，时，则___，____，____；
(2)【归纳证明】观察特例探究结果，猜想、、三者之间的关系，并利用图3证明你的猜想；
(3)【拓展应用】如图4，在平行四边形中，点、F、G分别是、、的中点，，，，求的长度．
(4)【知识迁移】如图5，在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点在轴上，与轴交于点．当时，求证：为线段的黄金分割点．
月平均用水量（吨）
3
4
5
6
7
频数（户数）
4
a
9
10
7
频率
0.08
0.40
b
0.20
0.14
《2026年江苏省南京市弘光中学中考数学练习试题》参考答案
1．C
【分析】本题考查立方根，算术平方根，无理数的定义，无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数，据此对各选项判断即可．
【详解】解：∵，3是整数，属于有理数
∵0是整数，属于有理数
∵是无限不循环小数，属于无理数
∵，3是整数，属于有理数
∴是无理数的是，
故选：C．
2．D
【分析】此题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键是正确确定的值以及的值．
【详解】解：万，
故选：．
3．C
【分析】把代入每一个选项的函数关系式中，进行计算即可解答．
【详解】解：A．当时，，故此选项不符合题意；
B．当时，，故此选项不符合题意；
C．当时，，故此选项符合题意；
D．当时，，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查函数值，函数的概念．准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：根据轴对称图形的定义，发现放在B，D处不能构成轴对称图形，放在A或C处可以．
5．D
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，积的乘方及合并同类项运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意.
6．A
【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形的性质．
由矩形的性质、平行线的性质和角平分线的定义得到，利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：矩形，
，，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
点为的中点，
．
7．
【详解】解：原式
．
8．
【分析】根据二次根式有意义的条件与分式有意义的条件，即可得到x的取值范围．
【详解】解：根据题意得且，
∴且，
∴．
9．
【分析】本题考查二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：要使根式有意义，则，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．8
【分析】延长、交于点，根据得到，于是可以得到正多边形的一个外角为，进而可得正多边形的边数．
【详解】解：如图，延长，交于点，
，
，
∵是正边形纸片，
∴，
即正多边形的一个外角为，
．
【点睛】重点掌握正多边形和外角的关系．
11．
【分析】本题考查的是平行四边形的性质与勾股定理的综合应用，解题关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质，将已知线段长度转化为直角三角形的直角边，再两次运用勾股定理求解线段长度．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
在中，，
在中，．
故答案为：．
12．
【分析】构造直角三角形建立关系式．过点作于点， 设，用分别表示出和，由勾股定理得到关于的表达式，再利用配方法求出最小值．
【详解】解：四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
过点作于点，交于点，则，
在中，，
设，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，有最小值，
的最小值为，
的最小值为．
13．120
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
设小明到站之间的距离为，小明的速度为，则公交车到站之间的距离为，公交车的速度为，利用时间路程速度，结合小明不会错过这辆公交车，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【详解】解：设小明到站之间的距离为，小明的速度为，则公交车到站之间的距离为，公交车的速度为，
根据题意得：，
即，
解得：，
小明到站之间的距离最大为．
故答案为：．
14．①②④
【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点问题，抛物线与轴的交点问题，二次函数图象与系数的关系，一元二次方程跟的判别式等．解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
根据抛物线的对称轴可得，进而判断结论①，根据抛物线的增减性，函数值可判断结论③，根据抛物线的对称性得出抛物线与轴的另一个交点在和之间，进而判断结论②，根据抛物线的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，结合抛物线的增减性即可判断结论④，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为，
即，
∴，
∴，故①结论正确；
∵，，
故抛物线的解析式为，
当时，，
当时，，
∵，
∴，
∵抛物线的对称轴是，故抛物线的最大值为；
当时，，
故当时，；即③结论不正确；
根据图象可得：抛物线与轴的一个交点在和之间，抛物线的对称轴为，
故抛物线与轴的另一个交点在和之间，
当时，，故②结论正确；
∵抛物线的对称轴为，
故点关于对称轴的对称点坐标为，
∵抛物线的开口向下，
故抛物线在对称轴的左侧，随的增大而减小，
∴当时，，故④结论正确；
综上，结论正确的有①②④．
故答案为：①②④．
15．72
【分析】首先明确一面涂色的在长方体中间的面上,再对原长方体进行切割,切割后长有8块,宽有5块,高有4块,拿走四周的小正方体,剩下的就是一面涂色的.
【详解】解：一面涂色的在长方体中间的面上,
长16÷2=8,8-2=6,宽10÷2=5,5-2=3,高8÷2=4,4-2=2,
∴一面涂色的小正方体=2×（6×3+6×2+3×2）=72（块）
故答案是72
【点睛】本题考查了长方体的性质,属于简单题,考查了空间想象力.
16．
【分析】连接，，根据点与点关于对称和正方形的性质得到的最小值即为线段的长．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴点关于的对称点是点．
连接，，且交于点，与交于点，此时的值最小．
∵，正方形的边长为8，
∴，．
由，
∴．
又∵点与点关于对称，
∴且平分．
∴．
∴．
∴的最小值是．
17．
【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据同小取较小即可得出结果．
【详解】解：解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∴不等式组的解集为．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据有理数的乘方，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，负整数指数幂，求一个数的算术平方根，逐步计算即可求解；
（2）根据分式的混合运算法则进行计算即可求解．
【详解】（1）
，
，
，
．
（2）
，
．
19．(1)元
(2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用；
（1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可；
（2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可．
【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．
∴用智能机器人采摘的成本是（元）；
（2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；
∴，
解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
∴（千克），
答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克．
20．(1)见解析
(2)18
【分析】（1）连接根据等腰三角形性质和角平分线定义得，由即可解决问题；
（2）根据直径性质得到，根据角平分线的定义得到，根据余弦的定义即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
为半径，
直线是的切线；
（2）为的直径，
，
，
平分，
，
，
在中，，，
，
在中，，，

21．(1)20，0.18；
(2)4.92，4，5
(3)
【分析】（1）根据题意，首先计算得到被调查样本数，再根据频数和频率的性质计算，即可得到答案；
（2）根据平均数、众数、中位数的性质计算，即可得到答案；
（3）根据用树状图求概率的方法计算，即可得到答案．
【详解】（1）（1）抽查的户数为：（户），
，；
（2）这些家庭中月平均用水量数据的平均数（吨），
众数是4吨，中位数为（吨）；
（3）画树状图如图：
共有12种等可能的结果，恰好选到甲、丙两户的结果有2种，
∴恰好选到甲、丙两户的概率为．
22．(1)这次调查共抽取的学生人数为人，补全条形统计图见解析；
(2)；
(3)估计该校这次活动中捐款金额为元的学生人数为人．
【分析】（1）结合扇形统计图中元的百分比与条形统计图中元的人数求出总人数，再计算元的人数以补全统计图；
（2）利用扇形圆心角公式，即该组人数占总人数的比例乘以计算；
（3）通过样本中元捐款的比例乘以全校总人数来估计总体数量．
【详解】（1）解：根据条形统计图和扇形统计图，元捐款的人数为8人，占总人数的，
∴总人数为(人)．
∴元捐款的人数为(人)，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：∵元捐款的人数为人，总人数为人，
∴元捐款所在扇形圆心角的度数为；
（3）解：估计该校名学生中捐款元的人数为人，
答：估计该校这次活动中捐款金额为元的学生人数为人．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据弧与圆心角的关系得到，根据圆周角定理得到，可知，根据平行线的判定和性质得到，即可证明是的切线；
（2）根据勾股定理求出，根据三角函数得到，即，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：连接，
是的中点，
，
，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分图形的面积．
24．(1)
(2)
【分析】（1）将等式的左边化为，根据已知结论，即可求解；
（2）根据，得出，求得，代入，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．(1)或
(2)
【分析】（1）根据对称轴：，可得，再由抛物线：与直线有且只有一个公共点，可得方程有两个相等的实数根，从而得到，进而得到抛物线的解析式为，再求出点A的坐标为，设点N的坐标为，根据轴对称的性质可得，从而得到，进而得到点N的坐标为或，即可求解；
（2）过点F作于点M，过点B作于点N，则，设点G的坐标为，可得点E的坐标为，求出直线的解析式为，可设点F的坐标为，则点，，从而得到，证明，可得，可得到关于m，n的方程组，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线：的对称轴：，
∴，
∴，
∵抛物线：与直线有且只有一个公共点，
∴方程有两个相等的实数根，
整理得：，
此时，
解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点A的坐标为，
如图，
设点N的坐标为，
∵点关于直线的对称点恰好落在抛物线的对称轴上，
∴，
∴，
解得：，
∴点N的坐标为或，
设直线的解析式为，
当点N的坐标为时，点，即在直线上，
此时，解得：，
∴直线的解析式为；
当点N的坐标为时，同理直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或；
（2）解：∵，
∴点，
如图，过点F作于点M，过点B作于点N，则，
设点G的坐标为，
∵关于的对称点是，
∴点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把点代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点F的坐标为，则点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴点．
26．(1)①；②
(2)
(3)
【分析】（1）①根据旋转，等腰直角三角形的性质，进行求解即可；②根据旋转，勾股定理，进行求解即可；
（2）将绕点顺时针旋转得，根据旋转得出，，，证明，得出，设正方形的边长为，则，，根据勾股定理得出，解方程即可；
（3）将绕点顺时针旋转的度数，得到，连接，证明，得出，根据勾股定理得出，即，求出结果即可．
【详解】（1）解：①根据旋转可得：，，
∴；
②根据旋转可得：，，
∴；
（2）解：如图所示：将绕点顺时针旋转得，
则，
∴，，，，
四边形为正方形，
，
，
共线，
，
，
，
，
在与中，，，，
，
，
设正方形的边长为，则，，
在中，，
解得：，（舍去），
正方形的面积为；
（3）解：如图，将绕点顺时针旋转的度数，得到，连接，则，
，，，，
，
又，，
，
，
，
，，
，
在四边形中，
，
，
即，
，
在中，，
，
，
．
27．(1)；；；
(2)，证明见解析
(3)
(4)证明见解析
【分析】（1）过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质得出，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，根据相似三角形的判定和性质得出，结合勾股定理求出的值，即可求解；连接，根据直角三角形的性质得出，根据等角对等边得出，根据勾股定理求出，根据中线的定义以及中位线的判定和性质得出，，根据平行线的性质和等角对等边得出，根据勾股定理求出，结合勾股定理即可求解；
（2）连接，根据中线的定义以及中位线的判定和性质得出，根据勾股定理推得，据此即可证明；
（3）连接，交于点，与交于点，根据中线的定义以及中位线的判定和性质得出，根据平行线的性质得出，根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，，求得，根据平行四边形的判定和性质得出，，根据全等三角形的判定和性质得出，根据中线的定义得出，分别是的中线，结合（2）的结论，即可求解；
（4）过点作轴于点，连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求得，根据三角形的外角性质和等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，等量代换得出，即可证明．
【详解】（1）如图所示，过点作，交的延长线于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
在中，，
故
∵
故．
如图所示，连接，
根据题意可得：、是的中线，，；
，，
∴，
∴，
在中，，
故，
∵、是的中线，
∴，，
∴是的中位线，
，，
，
故，
在中，，
，
在中，，
在中，，
故，，
即，，．
（2）猜想：，
如图所示，连接，
根据题意可得：、是的中线，，
即，，
∵、是的中线，
∴，，
∴是的中位线，
则，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
故，
，
整理，得．
（3）如图所示，连接，交于点，与交于点，
∵点、G分别是、的中点，
∴是的中位线，
，
，
，
∵四边形是平行四边形，
，，
，
∵点，分别是，的中点，
，，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，
，
∴，分别是的中线，
由（2）的结论得：，
∴，
．
（4）如图所示，过点作轴于点，连接，
即，
根据题意可得，
∴．
在中，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
又，
故．
∴点为线段的黄金分割点．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
C
D
C
D
D
A