2026年山东省初中学业水平考试数学模拟试题含答案（二）

这是一份2026年山东省初中学业水平考试数学模拟试题含答案（二），共14页。试卷主要包含了【答案】等内容，欢迎下载使用。
本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下列四个数中，最大的数是（ ）
A. 2B. -2C. D.
2. 地震应急是指破坏性地震发生前所做的各种应急准备以及地震发生后采取的紧急抢险救灾行动．下列地震应急标志中，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 西周青铜凤纹尊，为西周中期吴国的青铜器，1976年12月于江苏丹阳司徒公社窖藏出土，现收藏于镇江博物馆．西周青铜凤纹尊是所见吴国早期铸造最为华丽的青铜器．如图为一件凤纹尊，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 左视图与俯视图相同B. 主视图与俯视图相同
C 左视图与主视图相同D. 三种视图都不相同
4.中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种，3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.我国计划在2026年发射嫦娥七号探测器，开展月球南极的科学探测．某校航天社团为筹备航天主题科普展，准备从“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”这五个航天科普模型中随机选取两个布置展区，则恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（ ）
A 设有x名客人，y个盘子，根据题意可得
B. 设有x名客人，根据题意可得
C. 有20名客人
D. 有12个盘子
8.如图，在△ABC中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大
C. 函数的最小值小于 D. 当时，
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 分解因式：______．
12.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限．
13.已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________．
14.如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点A，，，，…，点，，，…在x轴上，连接，，，…，得到，，，…，则的面积是______．
15.如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（每小题4分，共8分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：．其中．
17.（8分）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
18.（8分）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
（1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
（2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
19.（10分）2025年6月5日是中国的第11个环境日，育华中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间（单位：h），张老师随机抽取了该校八年级m名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）_______．扇形统计图中_______．并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数；
（3）若育华中学八年级共有学生1200人，请根据样本数据，估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有多少人？
20.（10分）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为3，，求的长．
21.（9分）【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等．
【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A，B两棵树（与河岸平行），于是他提出，在不过河的前提下，如何测量河对岸的树A与树B之间的距离呢？
乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点C，D，使与河岸平行，且，经测量，，．
【问题解决】
（1）请根据乙同学的方案，计算出A，B两棵树之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
【交流讨论】
（2）丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C，D，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度，请帮助丙同学验证他的方案的可行性．
22.（11分）已知抛物线．
(1)若此抛物线与直线只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点．
①求此抛物线的解析式；
②以点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，若这两条抛物线有公共点，求的取值范围。
(2)若，将此抛物线向上平移个单位，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由
23.（11分）在等边三角形中，为边一点，连接为上一点，连接．
(1)如图1，，连接，若恰好平分，求的度数；
(2)如图2，为中点，将绕旋转至，在延长线上有一点，连接交于点，若，试探究、、之间的数量关系；
(3)如图3，若为直线上一点，为中点，连接，将沿着翻折至原平面内的，点在线段上且满足，连接、，当最小时，请直接写出的值
参考答案
2026年山东省初中学业水平考试
数学模拟试题（二）
本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 下列四个数中，最大的数是（ ）
A. 2B. -2C. D.
【答案】A
【分析】本题考查了有理数的大小比较，关键在于明确正数大于，大于负数，两个负数比较，绝对值小的，反而大．通过分析正负数的大小关系即可得出结论．
【详解】解：∵，，且，
∴，
最大的数2，
故选：A．
2. 地震应急是指破坏性地震发生前所做的各种应急准备以及地震发生后采取的紧急抢险救灾行动．下列地震应急标志中，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两旁部分能完全重合的图形，中心对称图形是绕某点旋转后能与原图形重合的图形，依据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断各选项即可求解．
【详解】A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
3. 西周青铜凤纹尊，为西周中期吴国的青铜器，1976年12月于江苏丹阳司徒公社窖藏出土，现收藏于镇江博物馆．西周青铜凤纹尊是所见吴国早期铸造最为华丽的青铜器．如图为一件凤纹尊，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 左视图与俯视图相同B. 主视图与俯视图相同
C 左视图与主视图相同D. 三种视图都不相同
【答案】C
【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可，正确记忆相关知识点解题关键．
【详解】解：由实物图，可知凤纹尊的主视图和左视图相同，
故选：C．
4.中华鲟是地球上最古老的脊椎动物之一，距今约有140000000年的历史，是国家一级保护动物和长江珍稀特有鱼类保护的旗舰型物种，3月28日是中华鲟保护日，有关部门进行放流活动，实现鱼类物种的延续并对野生资源形成持续补充．将140000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故选B．
5.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】本题考查整式的运算相关知识，熟练掌握运算法则是解题的关键；
可根据合并同类项、幂的乘方、完全平方公式、单项式乘法的运算法则，对选项逐一分析：
【详解】A．与不是同类项，不能合并，所以，该选项错误，不符合题意；
B．根据幂的乘方法则，该选项错误，不符合题意；
C．根据完全平方公式，该选项错误，不符合题意；
D．根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，，该选项正确，符合题意；
故选：D．
6.我国计划在2026年发射嫦娥七号探测器，开展月球南极的科学探测．某校航天社团为筹备航天主题科普展，准备从“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”这五个航天科普模型中随机选取两个布置展区，则恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥七号飞跃器”“鹊桥中继星”分别为，
可画树状图为：
由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，其中恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的结果数有2种，
∴恰好选中“嫦娥七号飞跃器”和“鹊桥中继星”的概率是．
7.《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（ ）
A 设有x名客人，y个盘子，根据题意可得
B. 设有x名客人，根据题意可得
C. 有20名客人
D. 有12个盘子
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或一元一次方程）是解题的关键．
根据题意可列出二元一次方程组或一元一次方程，然后求解可求出客人数和盘子数，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．设有x名客人，y个盘子，
根据题意可列出方程组，选项A不符合题意；
B．设有x名客人，
根据题意可列出方程，选项B符合题意；
C．解方程，得：，
∴有30名客人，选项C不符合题意；
D．∵，
∴（个），
∴有13个盘子，选项D不符合题意．
故选：B．
8.如图，在△ABC中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】先根据切线的性质得出，再利用直角三角形两个锐角互余求得，然后利用圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：连结，
∵，以为直径的半圆交于点，
∴，
∵与半圆相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
故选：C．
9. 如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，首先联立得到，求出，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，
∵反比例函数与直线交于点，
∴联立得，，
解得或，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴将代入，
∴，
∴．
故选：D．
10.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ）
A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大
C. 函数的最小值小于 D. 当时，
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可.
【详解】解：由题意可得：方程的两根异号，
∴，
解得，
∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意；
∵的对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意；
∵当时，，
∴最小值为，故C不符合题意；
当时，，
∵，
∴此时，故D符合题意；
故选：D
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 分解因式：______．
【答案】
【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
12.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限．
【答案】四
【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴点A坐标为，在第四象限；
故答案为：四．
13.已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________．
【答案】
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
14.如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点A，，，，…，点，，，…在x轴上，连接，，，…，得到，，，…，则的面积是______．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，归纳出的坐标规律是解题的关键．设直线与轴交于点，分别求出点的坐标，三角函数求出，进而求出的长，推出的长，同法得到，，┈，进而求出，，求出的长，的坐标，利用的面积进行求解即可．
【详解】解：如图所示，设直线与轴交于点，
当时，；当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，
同理，，，┈，
∴，，
∴，，
∴点的横纵坐标为，
∴，
∴的纵坐标为，
∴，
∴的面积．
故答案为：.
15.如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________．
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，则，，在中，利用，求解即可．
【详解】解：过点作于点，
∴，
设，则，
∴，得，
则，，
由翻折得，
设，
则，，
在中，，
即，
解得，即，
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（每小题4分，共8分）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：．其中．
【答案】（1）
【分析】（1）本题主要考查了二次根式的乘法计算，乘方和绝对值等计算，先计算二次根式乘法，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案．（2）本题考查了分式化简求值；先计算同分母分式加法，将分子进行因式分解，再进行约分化简，然后代值计算，即可求解．
【详解】解；（1）．
（2），
将代入，得原式．
17.（8分）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是：
（1）直接利用证明即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：由作图知：．
在和中，
．
【小问2详解】
解：，，
．
又，
，．
，
，
．
18.（8分）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
（1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
（2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
【答案】（1）修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元
（2）修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式．
（1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可；
（2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可．
【小问1详解】
解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得，解得
答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元．
【小问2详解】
解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得，
解得，
，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，此时（万元），
答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．
19.（10分）2025年6月5日是中国的第11个环境日，育华中学八年级学生积极参加公益活动，为了解活动时间（单位：h），张老师随机抽取了该校八年级m名学生进行问卷调查，用得到的数据绘制出如下两幅不完整的统计图．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）_______．扇形统计图中_______．并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数；
（3）若育华中学八年级共有学生1200人，请根据样本数据，估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有多少人？
【答案】（1）200，30，图见解析
（2）参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数为
（3）估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有240人
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）用的人数除以所占的比例，求出的中，再用的人数除以总数，求出的值，求出的人数，补全条形图即可；
（2）用360度乘以的人数所占的比例，进行求解即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
∴；
的人数为：，补全条形图如图：
【小问2详解】
；
答：参加公益活动时间为所对应扇形圆心角的度数为；
【小问3详解】
（人）；
答：估计育华中学八年级参加公益活动的时间是的学生有240人．
20.（10分）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交、于点、，若．
（1）试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若的半径为3，，求的长．
【答案】（1）与相切，理由见解析
（2）
【分析】本题考查了切线的判定，等边对等角，正切的定义，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）连接，根据等边对等角可得，，进而根据，得出，即可得出结论；
（2）根据已知可得，进而设，，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：与相切；
理由如下：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵为半径，
∴与相切；
【小问2详解】
解：如（1）图，，
∵的半径为3，
∴
∵，，
∴，
∴，
设，，
在中，，
∴
解得：
∴．
21.（9分）【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等．
【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A，B两棵树（与河岸平行），于是他提出，在不过河的前提下，如何测量河对岸的树A与树B之间的距离呢？
乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点C，D，使与河岸平行，且，经测量，，．
【问题解决】
（1）请根据乙同学的方案，计算出A，B两棵树之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，）
【交流讨论】
（2）丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C，D，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度，请帮助丙同学验证他的方案的可行性．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的应用，涉及等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，理解题意，利用锐角三角函数和相似三角形的性质求解是解答的关键．
（1）过点D作，垂足为，先证明四边形是矩形得到，，再角度计算得到，在中，利用等角对等边求得，在中，利用锐角三角函数求得，进而可求解；
（2）在中，利用锐角三角函数得到，再证明，得到，进而可求解．
【详解】解：过点D作，垂足为，
，，，
，
四边形是矩形．
，，
，，
，
，
在中，
，
，
，
在中，
，
，
，
答：A，B两棵树之间的距离约为；
（2）在中，，
，
，
，
，
，
，
．
22.（11分）已知抛物线．
(1)若此抛物线与直线只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点．
①求此抛物线的解析式；
②以点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，若这两条抛物线有公共点，求的取值范围。
(2)若，将此抛物线向上平移个单位，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由
22.【答案】(1)①；②
(2)，理由见解析
【分析】（1）①联立抛物线与直线的解析式，结合两者只有一个公共点的条件，利用一元二次方程有两个相等实根的判别式求出的值，再根据二次函数向右平移1个单位的平移规律写出平移后的解析式，代入已知点求出的值，进而确定原抛物线的解析式；
②先将原抛物线配方为顶点式，再利用中点坐标公式求出原抛物线上任一点关于点的对称点坐标，代入原解析式推导出对称抛物线的解析式，联立两条抛物线解析式得到一元二次方程，结合有公共点的条件，利用一元二次方程有实数根的判别式求出的取值范围；
（2）先根据二次函数向上平移个单位的平移规律写出平移后的解析式，代入、的条件求出关于、的表达式，结合确定抛物线开口向上，再根据时且时的条件得出该区间内函数单调递减，进而得到对称轴满足的不等关系，将的表达式代入后化简推导，结合的条件比较出与1的大小．
【详解】（1）①解：联立抛物线与直线，
得：，整理为．
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴该一元二次方程有两个相等的实根，
判别式，解得，
解析式为：，
抛物线向右平移1个单位，平移后的解析式为：．
∵平移后的抛物线过点，
∴，即，解得．
∴原抛物线的解析式为．
②解：，
∴原抛物线的顶点为，开口向下．
设原抛物线上任意一点关于点的对称点为，
根据中点坐标公式，得，，解得，．
将，代入原抛物线解析式，
得，整理得，
即对称后的抛物线解析式为．
联立，得，
整理得．
∵该一元二次方程有实数根，
∴判别式，解得；
（2）解：，理由如下：
将抛物线向上平移个单位长度，得到的解析式为．
∵当时，，
∴将，代入得，整理得．
∵，
∴是开口向上的二次函数．
∵当时，；当时，，
∴当时，随着的增大而减小，
∴，即，
∴，整理得．
∵，
∴．
23.（11分）在等边三角形中，为边一点，连接为上一点，连接．
(1)如图1，，连接，若恰好平分，求的度数；
(2)如图2，为中点，将绕旋转至，在延长线上有一点，连接交于点，若，试探究、、之间的数量关系；
(3)如图3，若为直线上一点，为中点，连接，将沿着翻折至原平面内的，点在线段上且满足，连接、，当最小时，请直接写出的值
23．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，得到垂直平分，进而得到，等边对等角，得到，，设，利用三角形的外角的性质以及角的和差关系得到，，再根据三角形的内角和定理求出，三角形的外角求出的度数即可；
（2）延长至点，交于点，使，设交于点，先证明，得到，进而得到，再证明为等边三角形，得到，证明，得到，再根据线段的和差关系以及等量代换即可得出结论；
（3）根据折叠得到点在以为圆心，3为半径的圆上运动，作交的延长线于点，得到，进而得到，得到，取，连接，证明，推出，进而得到，得到当点在线段上时，，最小，连接，，作于点，根据进行求解即可．
【详解】（1）解：∵等边三角形，恰好平分，
∴垂直平分，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：延长至点，交于点，使，设交于点，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，
∵，
，，
∴，
又∵等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵等边，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵折叠，
∴，
∴点在以为圆心，3为半径的圆上运动，
作交的延长线于点，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
取，连接，则，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点在线段上时，，最小，即点运动到时，如图：
连接，，作于点，
∵为的中点，为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得或（舍去）；
∴，
∴
，
．