江苏省南京市2026年中考模拟数学自编试卷含答案（一）

这是一份江苏省南京市2026年中考模拟数学自编试卷含答案（一），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（每题3分，共18分）
1．5的相反数是（ ）
A．B．0C．1D．5
2．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
4．在ABC中，∥，，，，则（ ）
A．5B．C．D．10
5．已知点和点在一次函数的图象上，且，下列四个选项中的值可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．图，在四边形中，，，，点从点向点运动，连接，过点作交于点，连接，设，的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（每题3分，共30分）
7．要使二次根式有意义，则的值可以是____________．（写出一个即可）
8．若，则________．
9．在中，，，点在边上，连接，若，则的面积为______．
10．根据某次安全知识竞赛成绩，笑笑绘制了所有参赛学生成绩的统计图如图所示，则本次安全知识竞赛成绩的优秀率是____________．
11．如图，点在反比例函数（）的图象上，过点作轴，垂足为点，交反比例函数（，）的图象于点．点为轴上任意一点，连接，．若的面积为6，则的值为_____．
12．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，则这四名同学中成绩最稳定的是_____．
13．如图，将两个完全相同的直角三角尺按照图示方式进行部分重叠放置，其中顶点重合，，以点为圆心，长为半径画，则图中阴影部分的面积是____________．
14．如图，，是双曲线（是常数且）上两点，线段经过原点，轴，于点，若的面积为，则的值为_______．
15．如图1所示的圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即）大约为，夏至正午时太阳高度角（即）大约为．圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为8，则表高（即的长）为( )
（参考数据：）
16．如图，在中，，根据下列步骤作图，并保留作图痕迹：
（1）分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，该直线交于点D，交于点E，连接；
（2）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交于点G，交于点H，分别以点G，H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长交于点F．
若，则_______ °．
三、解答题（共72分）
17．数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养．
例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数），
则：，
，
，
⋯⋯，
照此规律，解答下列问题：
(1)________；
(2)若，求的值；
(3)求的最小值．
18．如图，中，，，点在上，交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在上，，，分别交，于点，，找出图中与相等的线段，并证明；
(3)在（2）的条件下，若，求的值．
19．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，点Q的坐标为，那么称点Q是点P的“相关点”．
例如，点的“相关点”点Q的坐标为．
(1)当时，反比例函数的图象经过点P，则点P的“相关点”点Q的坐标是 ；
(2)点P的“相关点”点Q的坐标为，一次函数的图象经过点Q，与x轴交于点M，求证；
(3)抛物线经过点A（4，0）和点O（0，0）．点Q是点P的“相关点”，若，直线AQ与抛物线交于点C，，求n的值．
20．如图，在四边形中，，，，，，动点N从点D出发，以每秒的速度在射线上运动到C点返回，动点M从点A出发，在线段上，以每秒的速度向点B运动，点M，N分别从点A，D同时出发．当点M运动到点B时，点N随之停止运动，设运动时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形是平行四边形．
（2）是否存在点N，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．
21．已知 内接于，为 的内心，延长交于点，交于点．连结 ， ， ．
(1)若 求 的度数；
(2)设 四边形的面积记为， 连结， 当时，请完成下列问题．
①求证∶
②已知 求的值．
22．如图，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点，且点的纵坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点是轴上的一点，且，过点作轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，连接，求的面积的最大值并求此时的值．
23．【探究与证明】
(1)【教材再探】下面是某教材的一道问题：“如图1，在正方形中，，求证：”．请完成解答过程：
证明：设与交于点，
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
（ ）填判定依据，用字母表示
(2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点分别在边上，且，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由；
(3)【拓展探究】如图3，在中，，点为的三等分点，过点作交于，请直接写出的长．
24．【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，设．
【操作探究】
如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接．

(1)当时，________；当时，________；
(2)当时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
(3)如图2，取的中点F，将绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为________．
25．如图①，已知正方形和等腰直角，，连接，．
(1)【问题发现】
如图①，线段与的数量关系为______，位置关系为______；
(2)【问题探究】
如图②，将绕点A旋转，再将绕点F顺时针方向旋转至，连接，探究线段与线段的数量及位置关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
将绕点A旋转至，延长交直线于、交于，若，，求出的长．
26．如图1，抛物线 过点，点，，与y轴交于点C．点M是抛物线一点，过点 M作直线轴，交x轴于点 E，设M 的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；
(2)如图2，连接，连接交y轴于点N，交于点D，连接，设的面积为，的面积为，求 的最大值．
(3)设函数y在内最大值为p，最小值为q，若 ，直接写出m的值 ．
《江苏省南京市2026年中考数学模拟练习卷（一）》参考答案
1．A
【详解】解：∵和5只有符号不同的数是，
∴5的相反数是．
2．D
【分析】根据左视图的定义，即可解答．
【详解】解：结合几何体的俯视图可得：左视图有两行三列，从左往右，第一列有2个小正方形，第二列有2个正方形，第三列有1个正方形且在最下面．
故选D．
3．C
【分析】根据解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解．
【详解】解：，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得．
4．B
【分析】先求得，再证明，利用相似三角形的性质求得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
5．A
【分析】本题考查一次函数的增减性，先比较、两点横坐标的大小，再结合判断函数增减性，得到的取值范围，即可选出正确选项．
【详解】解：∵点横坐标为，点横坐标为，，
∴，即，
又∵，说明一次函数随的增大而减小，
根据一次函数性质，一次项系数小于，
∴，解得，
选项中只有A选项，符合要求，因此选A．
6．C
【分析】过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于，可证明四边形是正方形，是等腰直角三角形，，设，利用平角的定义及直角三角形两锐角互余得出，即可证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出，，利用三角形面积公式得出，利用二次函数的性质即可判断与之间函数关系的图象．
【详解】解：过点作于，过点作，交延长线于，延长，交于，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，，
∴四边形是正方形，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵的面积为，
∴，
∵，，
∴与之间函数关系的图象是开口向上的抛物线，且最大值为，与轴交点坐标为，
∴C选项符合题意．
【点睛】本题考查 动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质，正确得出是解题关键．
7．0（答案不唯一）
【分析】根据被开方数为非负数得到，求出，任取一个符合条件的值即可．
【详解】解：要使二次根式有意义，
则，
，
的值可以是．
8．
【分析】设，再代入所求式子中求值即可．
【详解】解：∵，
∴可设，
∴．
9．或/或
【分析】过点作交于点，由勾股定理和等腰三角形的性质得，分类讨论：当点在点左边时，当点在点右边时，求解即可．
【详解】解：过点作交于点，
，
，
，
当点在点左边时，如图
，
，
；
当点在点右边时，如图
，
；
综上，的面积为或．
10．
【分析】先根据条形统计图计算出本次参赛学生的总人数，再结合条形统计图和扇形统计图算出成绩优秀的学生人数．再用优秀学生人数除以总人数即可得本次参赛成绩的优秀率．
【详解】解：由条形统计图可知本次参赛学生一共有（人），
其中成绩合格的学生有400人，
成绩优秀的学生人数为（人），
∴本次安全知识竞赛成绩的优秀率为：．
11．6
【分析】设点A的横坐标为a，用含a的式子表示出，，再根据即可求解．
【详解】解：设点A的坐标为，则点C的坐标为，
，，
的面积为6，
，
解得．
12．丁
【分析】根据方差的意义，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴丁的方差最小，成绩最稳定．
13．
【分析】熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形，扇形的面积计算是解题关键．
根据题意得出，，利用平行线的性质确定，得出，设，则，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，再结合图形求出，利用即可求解．
【详解】解：∵，直角三角尺，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
，
∴阴影部分的面积是：．
14．
【分析】设点的坐标为，由对称性可得点的坐标为，则，，根据三角形面积公式求出的值．
【详解】解：设点的坐标为，
由题意可知，点与点关于原点对称，
∴点的坐标为，
∵轴，，
∴，，
∵，
∴，
解得．
15．
【分析】设，解得到；求出，解得到，则可推出，根据，得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：设，
如图2所示，在中，，
∴；
在中，，则，
∴，，
∴，，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
16．15
【分析】利用线段的垂直平分线和角平分线的性质进行求解．
【详解】解：由作图得：垂直平分平分，
∴，
∴，
∴．
17．(1)1
(2)
(3)
【分析】本题主要考查求代数式的值，分式方程求解及规律探索，理解题意是解题关键．
（1）根据题意直接代入求解即可；
（2）根据题意写出相应式子，然后得出方程求解即可；
（3）根据题意得出5个式子为一个周期，循环出现，确定，，，求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：1；
（2）根据提题意，得，，，，，
，
，
，
，
⋯⋯，
∵，
∴．
解得，．
经检验是方程的解，且符合题意．
∴．
（3）由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现，
，，，
∴
∵，
∴时，的最小值是．
18．(1)见详解
(2)，见详解
(3)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，垂直的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是构造出辅助线，并熟练运用以上性质定理．
（1）利用平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂直的性质即可求得结果；
（2）构造角平分线，利用平行四边形的性质和平行线的性质得出相关线段和角相等，证出，，进而可求得相等线段；
（3）构造辅助线，根据题目条件、平行四边形和等腰直角三角形的性质得出，设，表示出相关的线段长，利用勾股定理表示出和求出比值即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图，过点作平分，交于点，
中，，，
中，，，
∴，，
∵，
∴（ASA），
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
中，，
∴，
∵，
∴，
∴（ASA）
∴．
（3）解：
如图，过点作于点，
由（2）知，中，，，
∴，，
中，，
又∵，
∴，
∵，，
∴，，
设，则，，
∴中，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴中，，
中，，
∴．
19．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）先根据反比例函数的解析式求出点坐标，再根据题目要求求出点坐标即可；
（2）利用一次函数图象的性质，求出相关线段的长度，利用全等三角形的判定和性质即可求出结果；
（3）利用待定系数法求出二次函数的解析式，采用分类讨论的数学思想，分别求出的值即可．
【详解】（1）解：当，即当时，代入得，，
∴点的坐标为，
根据“相关点”的定义，点的坐标是．
故答案为：．
（2）证明：根据题意，得点的坐标为，
∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴点的坐标为，
过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∴．
（3）解：抛物线经过点和点
∴，
解得．
∴抛物线解析式为．
当时，点的坐标为，点的坐标为．
当时，过点P作轴于点E，过点Q作轴于点F，如图2，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
过点C作轴于点D，则．
当点Q在线段AC上时，
∵，
∴，
∴，即，
∴， ，
∴，
∴
∵点C在抛物线上，
∴
解得（舍去），；
当点C在线段上时，如图3，过点C作轴于点D，过点P作轴于点E，过点Q作轴于点F，则．
∵，即，
∴．
∵，
∴
∴．
∴．
∴．
∴点C的横坐标为．
∴点C的坐标为．
∵点C在抛物线上，
∴．
解得：，
∵，
∴．
当时，且点C在延长线上时，如图4，
同理可得：
∴
解得：或（舍去）；
当时，如图5，
∵，
∴不符合．
综上，或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，一次函数图象与性质，二次函数图象与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论的数学思想等知识点，解题的关键是根据题意求出点的坐标，并熟练掌握以上函数的性质．
20．（1）5秒或秒；（2）存在，秒或秒或秒
【分析】（1）由题意已知，AB∥CD，要使四边形MNBC是平行四边形，则只需要让BM=CN即可，因为M、N点的速度已知，AB、CD的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；
（2）使△BMN是等腰三角形，可分三种情况，即BM=BN、NM=NB、MN=MB；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．
【详解】解：（1）设运动时间为t秒．
∵四边形MNCB是平行四边形，
∴MB=NC，
当N从D运动到C时，
∵BC=13cm，CD=21cm，
∴BM=AB-AM=16-t，CN=21-2t，
∴16-t=21-2t，
解得t=5，
当N从C运动到D时，
∵BM=AB-AM=16-t，
CN=2t-21
∴16-t=2t-21，
解得t=，
∴当t=5秒或秒时，四边形MNCB是平行四边形；
（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，
Ⅰ．当NM=NB时，
作NH⊥AB于H，则HM=HB，
当N从D运动到C时，
∵MH=HB=BM=（16-t），
由AH=DN得2t＝(16−t)+t，
解得t＝秒；
当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=（16-t）+t，
解得t=秒．
Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时，
MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，
∵MN2=t2+122，
∴（16-t）2=122+t2，
解得t＝（秒）；
Ⅲ．当BM=BN，当N从C运动到D时，
则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t，
∵BM2=BN2=NH2+BH2=122+（16-2t）2，
∴（16-t）2=122+（16-2t）2，
即3t2-32t+144=0，
∵△＜0，
∴方程无实根，
综上可知，当t=秒或秒或秒时，△BMN是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．
21．(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据圆周角定理可得，根据三角形内心的性质可得，即可求解；
（2）①过点作的垂线，垂足为，根据垂径定理可得，则，，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
②过点作于点，证明得出，根据得出，则，解方程得出，进而根据三角形的面积公式得出，即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴
又∵为 的内心，，
∴
（2）①证明：如图所示，过点作的垂线，垂足为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的内心，
∴，
∴
∴
∴
∴；
②解：如图所示，过点作于点，
∵是的内心
∴，
设
又∵
∴
∴，
∴
∴，则
∴
又∵
∴
∴，
∵，则到的距离相等，设到的距离为，设到的距离为，
∴
∴
∴
∴
解得：（负值舍去）
由①可得
又．
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，三角形的内心的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，解直角三角形；熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．(1)反比例函数解析式为；
(2)当时，有最大值，最大值为．
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数最值问题，熟练掌握该知识点是解题的关键．
（）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（）根据题意列出，根据二次函数最值问题解答即可．
【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上，且点的纵坐标为，
∴，解得，
∴，
∵点在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵点是轴上的一点，且，过点作轴的平行线，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，
∴，，
∴
∴
；
∴当时，有最大值，最大值为．
23．(1)，90，
(2)不成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）利用正方形的性质，证明即可．
（2）根据矩形的性质，证明即可．
（3）利用三角形相似的性质计算即可．
【详解】（1）解：设与交于点
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：，90，．
（2）解：不成立，理由如下：设与交于点，
证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
．
（3）补齐矩形，由于线段的三等分点有两个，故分类解答：
如图3-1，．
同（2）得，且相似比为，
中，
中，，
，
∴
，
；
如图3-2，同理可得．
综上所述或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
24．(1)2；30或210
(2)画图见解析；
(3)
【分析】（1）当时，与重合，证明为等边三角形，得出；当时，根据勾股定理逆定理得出，两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可；
（2）证明四边形是正方形，得出， 求出，得出，求出，根据求出两块三角板重叠部分图形的面积即可；
（3）根据等腰三角形的性质，得出，即，确定将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，求出圆的周长即可．
【详解】（1）解：∵和中，
∴，
∴当时，与重合，如图所示：连接，

∵，，
∴为等边三角形，
∴；
当时，
∵，
∴当时，为直角三角形，，
∴，
当在下方时，如图所示：

∵，
∴此时；
当在上方时，如图所示：

∵，
∴此时；
综上分析可知，当时，或；
故答案为：2；30或210．
（2）解：当时，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
即两块三角板重叠部分图形的面积为．
（3）解：∵，为的中点，
∴，
∴，
∴将绕着点A旋转一周，点F在以为直径的圆上运动，
∵
∴点F运动的路径长为．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，确定圆的条件，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是画出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论．
25．(1)，；
(2)，，理由见解析；
(3)3或15．
【分析】（1）延长交于点，证明，，，，进而即可作答；
（2）延长交于，交于，推出是等腰直角三角形，，，，，，则，推出四边形为平行四边形，即可作答；
（3）分两种情况讨论，分别作答即可．
【详解】（1）解：延长交于点，
为等腰直角三角形，四边形为正方形，
，，，
，
，，
，
，
，
，
即，
故答案为：，；
（2）解：，，理由如下：
如图，延长交于，交于，
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，
，；
（3）解：分两种情况，情况一：如图，
，，
，
由（1）得，
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
；
情况二：如图，
同理得，，
，
综上所述：的长为3或15．
【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解题的关键是分类讨论画出相应的图形解决问题．
26．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，三角形的面积，熟练掌握二次函数的性质是银题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）；，即可求解；
（3）先根据二次函数的性质求得，再分两种情况：当时，当时，y值最小，最小值为；当时，当时，y值最小，最小值为；根据，得关于m的方程，求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，
则，
则，解得，
故抛物线的表达式为，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）解：设点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为，
则点的坐标为，
设四边形的面积为，
则；
则，
则，
，故有最大值．
当时，的最大值为．
（3）解：∵，，
又∵，
∴当时，y有最大值4，
∵函数y在内最大值为p，最小值为q，
∴，
当时，当时，y值最小，最小值为，
∴，
∵，
∴，
化简整理得：，
解得：，（舍去），
当时，当时，y值最小，最小值为，
∴，
∵，
∴，
解得：（舍去），
综上，m的值为．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
A
D
C
B
A
C