2026年江苏省中考模拟数学自编试卷含答案（二）

这是一份2026年江苏省中考模拟数学自编试卷含答案（二），共16页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）14的绝对值是（ ）
A．−14B．14C．±12D．±14
2．（3分）据统计，2025年我国新能源汽车产量超过9880万辆，其中9880万用科学记数法表示为（ ）
A．0.988×107B．9.88×106C．9.88×107D．98.8×106
3．（3分）若式子−m有意义，则m的值可以是（ ）
A．5B．3C．1D．﹣1
4．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cmD．13cm，12cm，20cm
5．（3分）如图，三角形三条边的垂直平分线相交于一点，则以下正确的是（ ）
A．AB＝PBB．BC＝ACC．AC＝APD．PA＝PB＝PC
6．（3分）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．设大和尚有x人，则可列方程为（ ）
A．3x+100−x3=100B．3x＝100﹣x
C．x3+3(100−x)=100D．x3+x=100
7．（3分）如图，直线y＝k1x+b与双曲线y=k2x交于A（2，m），B（4，n）两点，则不等式k1x＜k2x+b的解为（ ）
A．2＜x＜4B．﹣4＜x＜﹣2
C．x＜﹣4或x＞﹣2D．﹣4＜x＜﹣2或x＞0
8．（3分）如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ABD的面积为4，那么△ACD的面积为（ ）
A．16B．12C．8D．6
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）若单项式12x2ym与﹣2xny3的和仍为单项式，则m+n＝ ．
10．（3分）因式分解：﹣4a2+1＝ ．
11．（3分）一副直角三角板如图所示放置，点E在BC的延长线上，BC∥DF，则∠CDE的度数为 ．
12．（3分）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将他往前推送2.4m（水平距离BC＝2.4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，绳索AD的长度为 ．
13．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°．若⊙O的半径为2，则劣弧BC的长为 ．
14．（3分）试管中某种液体发生化学反应后，液体温度T（℃）是关于时间t（min）的反比例函数，其部分图象如图所示，化学反应后该液体的温度从60℃降到36℃，要经过 min．
15．（3分）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC＝8，BD＝6．若P为线段AC上一点，分别以AD、AP为边向右构造▱APQD，则BP+BQ的最小值为 ．
三．解答题（共11小题，满分102分）
17．（6分）计算：25+(6−2π)2−(−2023)0．
18．（6分）小王同学解分式方程x+13x−6+2x+12−x=3的过程，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：x+1﹣3（2x+1）＝3…①
去括号得：x+1﹣6x+1＝3…②
移项得：x﹣6x＝3﹣1﹣1…③
合并同类项得：﹣5x＝1…④
系数化为1得：x=−15⋯⑤
∴x=−15是原分式方程的解…⑥
19．（6分）解不等式组：x≤2x+43x+1＞7−2x．
20．（8分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它们是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．
（1）若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《论语》的概率是 ；
（2）若从这四部著作中随机抽取两本，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的概率．
21．（10分）播州区教育体育局某部门为了解2023年暑假各初中学校学生参与暑期志愿服务的情况，在全区各初中学校随机调查了部分参与志愿服务的学生，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成如下不完整的统计图表．请根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）本次被抽取的学生共有 名．
（2）表中a＝ ；扇形统计图中“C”部分所占百分比为 %，“D”所对应的扇形的圆心角度数为 ．
（3）如果全区共有1000名初中生参与志愿服务，那么志愿服务时间超过60小时的大约有多少人？
22．（10分）粮食安全是“国之大者”，高标准农田建设是保障国家粮食安全的重要举措．某村计划将基本农田和荒地共3000亩改造成高标准农田，需要资金816万元．基本农田改造单价为每亩0.2万元，荒地改造单价为每亩0.32万元．
（1）求该村的基本农田和荒地各有多少亩？
（2）由于资金紧缺，该村决定先改造基本农田和荒地共1200亩，且要求改造的荒地亩数不低于改造基本农田的一半，为使改造费用最少，应改造基本农田和荒地各多少亩？
23．（10分）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．
（1）求∠C的度数；
（2）求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
24．（10分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若a＝1，当x＝2时，y＝6，求y的函数表达式．
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标．
（3）已知函数y＝ax2+bx+1的图象与直线y＝ax+b都经过（﹣1，m），求证：a2+b2≥18．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y）与P2（x2，y2）的“近似距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|y1﹣y2|．
（1）已知点P（3，﹣5），点Q（1，0），求点P与点Q的“近似距离”；
（2）已知点A（0，﹣2），B为x轴上的动点．
①若点A与点B的“近似距离”为5，试求出满足条件的点B的坐标；
②求出点A与点B的“近似距离”的最小值．
26．（12分）已知⊙O的半径为2cm，P是⊙O外一点，PO＝4cm，点A、B在⊙O上，在△PAB中，BP＝BA．
（1）如图①，PB是⊙O的切线，当PA＝PB时，求证：PA是⊙O的切线；
（2）如图②，PA、PB分别交⊙O于点C、D，当点C为PA中点时，求PD的长；
（3）线段PA的取值范围是 ．
27．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝55，BD⊥AC于点D，BD＝45．点P从点B出发，沿BA向终点A运动，速度是每秒5个单位长度，当点P不与点A、B重合时，作PQ∥AC，PQ交BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN．设点P的运动时间为t秒，正方形PQMN与△ABC重合部分图形的面积为S．
（1）直接写出BC的值为 ．
（2）当点M落在AC边上时，求t的值．
（3）求S与t之间的函数关系式．
（4）直接写出S的最大值以及S取得最大值时t的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）14的绝对值是（ ）
A．−14B．14C．±12D．±14
【分析】根据绝对值的定义进行计算即可．
【解答】解：|14|=14，
故选：B．
【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
2．（3分）据统计，2025年我国新能源汽车产量超过9880万辆，其中9880万用科学记数法表示为（ ）
A．0.988×107B．9.88×106C．9.88×107D．98.8×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：9880万＝98800000＝9.88×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）若式子−m有意义，则m的值可以是（ ）
A．5B．3C．1D．﹣1
【分析】根据二次根式有意义的条件得−m≥0，求解即可．
【解答】解：由题意，得−m≥0，
∴﹣m≥0，
∴m≤0．只有D选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被告开方数为非负数是解题的关键．
4．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cmD．13cm，12cm，20cm
【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可．
【解答】解：A、3+4＜8，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
B、8+7＝15，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
C、5+5＜11，不能摆成三角形，本选项不符合题意；
D、13+12＞20，能摆成三角形，本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
5．（3分）如图，三角形三条边的垂直平分线相交于一点，则以下正确的是（ ）
A．AB＝PBB．BC＝ACC．AC＝APD．PA＝PB＝PC
【分析】根据线段的垂直平分线的性质判断即可．
【解答】解：A、AB与PB的相等关系不能确定，故本选项说法错误，不符合题意；
B、BC与AC的关系不能确定，故本选项说法错误，不符合题意；
C、AC与AP的关系不能确定，故本选项说法错误，不符合题意；
D、∵三角形三条边的垂直平分线相较于一点，
∴PA＝PB＝PC，故本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
6．（3分）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．设大和尚有x人，则可列方程为（ ）
A．3x+100−x3=100B．3x＝100﹣x
C．x3+3(100−x)=100D．x3+x=100
【分析】设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，根据题意列出一元一次方程即可．
【解答】解：由题意可得：3x+100−x3=100，
故选：A．
【点评】本题考查了列一元一次方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
7．（3分）如图，直线y＝k1x+b与双曲线y=k2x交于A（2，m），B（4，n）两点，则不等式k1x＜k2x+b的解为（ ）
A．2＜x＜4B．﹣4＜x＜﹣2
C．x＜﹣4或x＞﹣2D．﹣4＜x＜﹣2或x＞0
【分析】找出一次函数图象位于反比例函数图象下方时x的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即可．
【解答】解：直线y＝kx+b关于原点对称的直线的解析式为﹣y＝﹣kx+b，即y＝kx﹣b，
∵直线y＝kx+b与双曲线y=k2x交于A（2，m），B（4，n）两点，
∴直线y＝kx﹣b与双曲线y=k2x交于点（﹣2，﹣m），（﹣4，﹣n）两点，
观察图象可知，当﹣4＜x＜﹣2或x＞0时，直线y＝kx﹣b在反比例函数图象的下方，
∴不等式k1x＜k2x+b的解为是﹣4＜x＜﹣2或x＞0，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的理解能力和观察图象的能力，用了数形结合思想．
8．（3分）如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ABD的面积为4，那么△ACD的面积为（ ）
A．16B．12C．8D．6
【分析】首先证明出△ABD∽△CBA，由相似三角形的性质可以得到两个三角形的面积比，进而得到答案．
【解答】解：∵∠BAD＝∠C，∠ABD＝∠CBA，
∴∠ADB＝∠CAB，
∴△ABD∽△CBA，
∵AC＝2AD，
∴ADAC=12，
∴S△ABDS△CBA=（ADAC）2=14，
∵△ABD的面积为4，
∴△CBA的面积是16，
∴S△ACD＝S△CBA﹣S△ABD＝12，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
9．（3分）若单项式12x2ym与﹣2xny3的和仍为单项式，则m+n＝ 5 ．
【分析】根据同类项相同字母的指数相同求解即可．
【解答】解：∵12x2ym与﹣2xny3的和是单项式，
∴12x2ym与﹣2xny3是同类项，
∴m＝3，n＝2，
∴m+n
＝3+2
＝5；
故答案为：5．
【点评】本题考查了同类项的定义，解题关键是明确同类项所含字母相同，相同字母的指数也相同．
10．（3分）因式分解：﹣4a2+1＝ （1+2a）（1﹣2a） ．
【分析】将原式变形后利用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：原式＝1﹣4a2＝（1+2a）（1﹣2a），
故答案为：（1+2a）（1﹣2a）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
11．（3分）一副直角三角板如图所示放置，点E在BC的延长线上，BC∥DF，则∠CDE的度数为 15° ．
【分析】由平行线的性质推出∠CDF＝∠ACB＝45°，即可求出∠CDE＝∠CDF﹣∠EDF＝15°．
【解答】解：∵BC∥DF，
∴∠CDF＝∠ACB＝45°，
∵∠EDF＝30°，
∴∠CDE＝∠CDF﹣∠EDF＝15°．
故答案为：15°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠CDF＝∠ACB．
12．（3分）如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将他往前推送2.4m（水平距离BC＝2.4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，绳索AD的长度为 5.1m ．
【分析】秋千在运动过程中，长度固定不变，可得AD＝AB．两次的高度分别为0.6m和1.2m，因此CD＝0.6m．设AD＝AB＝xm，则AC＝（x﹣0.6）m，直角三角形ABC的三边满足勾股定理，解出x即可．
【解答】解：设AD＝xm，
∵绳索长度不变，
∴AD＝AB＝xm，
∵DE＝0.6m，BF＝1.2m，
∴CD＝0.6m，
∴AC＝（x﹣0.6）m，
在直角三角形ABC中，AB2＝AC2+BC2，代入得，
x2＝（x﹣0.6）2+2.42，
解得，x＝5.1，
故答案为：5.1m．
【点评】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解题关键．
13．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°．若⊙O的半径为2，则劣弧BC的长为 π ．
【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理求出∠BOC，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°，
∴劣弧BC的长为：90π×2180=π，
故答案为：π．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
14．（3分）试管中某种液体发生化学反应后，液体温度T（℃）是关于时间t（min）的反比例函数，其部分图象如图所示，化学反应后该液体的温度从60℃降到36℃，要经过 2 min．
【分析】利用待定系数法求出T与t之间的函数关系式，分别求出当T＝60，T＝36时对应t的值并求差即可．
【解答】解：设T与t之间的函数关系式为T=kt（k为常数，且k≠0），
将坐标（2，90）代入T=kt，
得90=k2，
解得k＝180，
∴T与t之间的函数关系式为T=180t，
当T＝60时，得60=180t，解得t＝3，
当T＝36时，得36=180t，解得t＝5，
5﹣3＝2（min），
∴化学反应后该液体的温度从60℃降到36℃，要经过2min．
故答案为：2．
【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
15．（3分）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6的图象，点B（6，2.68）在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 能 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．
【分析】根据题意求出当x＝2时，y的值，若此时y的值大于1.8，则货车能完全停到车棚内，反之不能，据此求解即可．
【解答】解：∵CD＝4m，B（6，2.68），
∴6﹣4＝2，
在y＝﹣0.02x2+0.3x+1.6中，
当x＝2时，y＝﹣0.02×22+0.3×2+1.6＝2.12，
∵2.12＞1.8，
∴货车能完全停到车棚内，
故答案为：能．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出范围是解题的关键．
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC＝8，BD＝6．若P为线段AC上一点，分别以AD、AP为边向右构造▱APQD，则BP+BQ的最小值为 97 ．
【分析】先充分理解题意得AC⊥BD，BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，结合P为线段AC上一点，分别以AD、AP为边向右构造▱APQD，得DQ⊥BD，过点B作EF∥AC，再作点P关于直线EF的对称点P1，则BP+BQ＝BP1+BQ，当P1B，Q三点共线时，则 BP+BQ的最小值是P1Q，然后证明四边形POBT是矩形，四边形PODH是矩形，得出HP1＝P1P+HP＝9，运用勾股定理列式计算，即可作答．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，AC＝8，BD＝6，
∴AC⊥BD，BO=OD=12BD=12×6=3，AO=OC=12AC=12×8=4，
∵P为线段AC上一点，分别以AD、AP为边向右构造▱APQD，
∴DQ∥AC，DQ＝AP，
∵AC⊥BD，
∴DQ⊥BD，
过点B作EF∥AC，再作点P关于直线EF的对称点P1，连接BP1，P1P且P1P交EF于一点T，如图所示：
∴BP＝BP1，则BP+BQ＝BP1+BQ，
当P1，B，Q三点共线时，则 BP+BQ的最小值是P1Q，
∵P为线段AC上一点，
∴P1为线段XY上的一点，
此时BP＝BP1，PT＝P1T，∠PTB＝90°，
∵EF∥AC，
∴∠TPO＝∠PTB＝90°，
∵AC⊥BD，
∴∠POB＝∠TPO＝∠PTB＝90°，
∴四边形POBT是矩形，
∴PT＝OB＝3，P1T＝PT＝3，TB＝PO，
∴P1P＝3+3＝6，
∴HP1＝P1P+HP＝6+3＝9，
延长P1P交QD的延长线于点H，则∠HPO＝180°﹣∠TPO＝90°，
∵DQ⊥BD，
∴∠HDO＝∠POD＝∠HPO＝90°，
∴四边形PODH是矩形，
∴HP＝DO＝3，∠PHQ＝90°，HD＝PO，
∴HQ＝HD+DQ＝PO+AP＝AO＝4，
在Rt△P1HQ中，QP1=HP12+HQ2=81+16=97，
即BP+BQ的最小值是97，
故答案为：97．
【点评】本题考查了勾股定理，菱形的性质，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
三．解答题（共11小题，满分102分）
17．（6分）计算：25+(6−2π)2−(−2023)0．
【分析】根据实数的混合计算法则和零指数幂计算法则求解即可．
【解答】解：原式＝5+2π﹣6﹣1
＝2π﹣2．
【点评】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
18．（6分）小王同学解分式方程x+13x−6+2x+12−x=3的过程，请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：x+1﹣3（2x+1）＝3…①
去括号得：x+1﹣6x+1＝3…②
移项得：x﹣6x＝3﹣1﹣1…③
合并同类项得：﹣5x＝1…④
系数化为1得：x=−15⋯⑤
∴x=−15是原分式方程的解…⑥
【分析】观察阅读材料中的解方程过程，找出错误的步骤，修改解答过程即可．
【解答】解：错误的步骤是①、②，正确解答如下：
去分母得：x+1﹣3（2x+1）＝3（3x﹣6），
去括号得：x+1﹣6x﹣3＝9x﹣18，
移项得：x﹣6x﹣9x＝﹣18﹣1+3，
合并同类项得：﹣14x＝﹣16，
解得：x=87，
检验：当x=87时，3x﹣6=−187≠0，
所以分式方程的解为x=87．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19．（6分）解不等式组：x≤2x+43x+1＞7−2x．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：x≤2x+43①x+1＞7−2x②，
由①得 x≤4，
由②得x＞2，
∴不等式组的解集为2＜x≤4．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（8分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它们是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．
（1）若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《论语》的概率是 14 ；
（2）若从这四部著作中随机抽取两本，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的概率．
【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取的恰好是《论语》的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取的恰好是《论语》的结果有1种，
∴抽取的恰好是《论语》的概率是14．
故答案为：14．
（2）将《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A，B，C，D，
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的结果有：（B，C），（C，B），共2种，
∴抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的概率为212=16．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21．（10分）播州区教育体育局某部门为了解2023年暑假各初中学校学生参与暑期志愿服务的情况，在全区各初中学校随机调查了部分参与志愿服务的学生，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成如下不完整的统计图表．请根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）本次被抽取的学生共有 50 名．
（2）表中a＝ 4 ；扇形统计图中“C”部分所占百分比为 32 %，“D”所对应的扇形的圆心角度数为 144° ．
（3）如果全区共有1000名初中生参与志愿服务，那么志愿服务时间超过60小时的大约有多少人？
【分析】（1）用表格中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次被抽取的学生人数．
（2）用本次被抽取的学生人数分别减去表格中B，C，D的频数，可得a的值；用C的人数除以本次被抽取的学生人数再乘以100%可得扇形统计图中“C”部分所占百分比；用360°乘以D的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中C，D的人数所占的百分比之和，即可得出答案．
【解答】解：（1）本次被抽取的学生共有10÷20%＝50（名）．
故答案为：50．
（2）a＝50﹣10﹣16﹣20＝4．
扇形统计图中“C”部分所占百分比为16÷50×100%＝32%，
“D”所对应的扇形的圆心角度数为360°×2050=144°．
故答案为：4；32；144°．
（3）1000×16+2050=720（人）．
答：志愿服务时间超过60小时的大约有720人．
【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
22．（10分）粮食安全是“国之大者”，高标准农田建设是保障国家粮食安全的重要举措．某村计划将基本农田和荒地共3000亩改造成高标准农田，需要资金816万元．基本农田改造单价为每亩0.2万元，荒地改造单价为每亩0.32万元．
（1）求该村的基本农田和荒地各有多少亩？
（2）由于资金紧缺，该村决定先改造基本农田和荒地共1200亩，且要求改造的荒地亩数不低于改造基本农田的一半，为使改造费用最少，应改造基本农田和荒地各多少亩？
【分析】（1）设该村的基本农田有x亩，荒地有y亩，根据“该村的基本农田和荒地共3000亩，且全部改造成高标准农田需要资金816万元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设改造基本农田m亩，则改造荒地（1200﹣m）亩，根据改造的荒地亩数不低于改造基本农田的一半，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设改造费用为w万元，利用改造费用＝基本农田改造单价×改造基本农田亩数+荒地改造单价×改造荒地亩数，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设该村的基本农田有x亩，荒地有y亩，
根据题意得：x+y=30000.2x+0.32y=816，
解得：x=1200y=1800．
答：该村的基本农田有1200亩，荒地有1800亩；
（2）设改造基本农田m亩，则改造荒地（1200﹣m）亩，
根据题意得：1200﹣m≥12m，
解得：m≤800．
设改造费用为w万元，则w＝0.2m+0.32（1200﹣m），
∴w＝﹣0.12m+384，
∵﹣0.12＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝800时，w取得最小值，此时1200﹣m＝1200﹣800＝400．
答：为使改造费用最少，应改造基本农田800亩，荒地400亩．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
23．（10分）如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．
（1）求∠C的度数；
（2）求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
【分析】（1）过点B作BD∥AF，交AC于点D，根据平行线的性质求出∠ABD，再根据三角形内角和定理求出∠AC；
（2）过点B作BE⊥AC于E，根据正弦的定义求出BE，进而求出AB．
【解答】解：（1）如图，过点B作BD∥AF，交AC于点D，
则∠ABD＝∠FAB＝30°，
∵∠FAC＝60°，
∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABD﹣∠DAC＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°；
（2）如图，过点B作BE⊥AC于E，
在Rt△BEC中，BC＝20海里，∠C＝50°，
∵sinC=BEBC，
∴BE＝BC•sinC≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABE中，∠BAE＝30°，
则AB＝2BE＝2×15.32≈30.6（海里），
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（10分）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若a＝1，当x＝2时，y＝6，求y的函数表达式．
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标．
（3）已知函数y＝ax2+bx+1的图象与直线y＝ax+b都经过（﹣1，m），求证：a2+b2≥18．
【分析】（1）把a＝1代入二次函数的关系式，再把x＝2，y＝6代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式；
（2）令y＝0，则ax2+bx+2＝0，当Δ＝0时，求得b2＝8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标；
（3）根据题意得到a﹣b+1＝﹣a+b整理得b＝a+12，则a2+b2＝a2+（a+12）2＝2a2+a+14=2（a+14）2+18，根据二次函数的性质即可得到a2+b2≥18．
【解答】（1）解：∵a＝1，
∴y＝x2+bx+1．
∵当x＝2时，y＝6，
∴4+2b+1＝6，
∴b=12．
∴y的函数表达式y＝x2+12x+1；
（2）解：令y＝0，则ax2+bx+1＝0，
当Δ＝0时，则b2﹣4a＝0，
∴b2＝4a，
∴若a＝1，b＝2时，函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为y＝x2+2x+1＝（x+1）2，顶点坐标是（﹣1，0）．
（3）证明：∵函数y＝ax2+bx+1的图象与直线y＝ax+b都经过（﹣1，m），
∴m＝a﹣b+1＝﹣a+b，
∴b＝a+12，
∴a2+b2＝a2+（a+12）2＝2a2+a+14=2（a+14）2+18≥18 ．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键：（1）熟知待定系数法；（2）求得b2＝4a；（3）熟知二次函数的性质．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y）与P2（x2，y2）的“近似距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）的“近似距离”为|y1﹣y2|．
（1）已知点P（3，﹣5），点Q（1，0），求点P与点Q的“近似距离”；
（2）已知点A（0，﹣2），B为x轴上的动点．
①若点A与点B的“近似距离”为5，试求出满足条件的点B的坐标；
②求出点A与点B的“近似距离”的最小值．
【分析】（1）由题意即可得点P与点Q的“近似距离”；
（2）①设点B的坐标为（x，0），由“近似距离”的定义得出|0﹣x|＝5，即可得出结论；
②设点B的坐标为（x，0），且A（0，﹣2），由|﹣2﹣0|＜|0﹣x|，得点A、B两点的“近似距离”为|x|＞2；再由|﹣2﹣0|≥|0﹣x|，得点A、B两点的“近似距离”为|﹣2﹣0|＝2；即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P（3，﹣5）、点Q（1，0），|3﹣1|＜|﹣5﹣0|＝5，
∴点P与点Q的“近似距离”为5．
（2）①∵B为x轴上的一个动点，
∴设点B的坐标为（x，0）．
∵A、B两点的“近似距离”为5，A（0，﹣2），
∴|0﹣x|＝5，
解得：x＝5或x＝﹣5，
∴点B的坐标是（5，0）或（﹣5，0），
②∵设点B的坐标为（x，0），且A（0，﹣2），
∴|﹣2﹣0|＝2，|0﹣x|＝|x|，
若|﹣2﹣0|＜|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|x|＞2；
若|﹣2﹣0|≥|0﹣x|，则点A、B两点的“近似距离”为|﹣2﹣0|＝2；
∴A、B两点的“近似距离”的最小值为2．
【点评】本题是三角形综合题，考查了新定义“近似距离”、点的坐标、绝对值的定义、绝对值不等式等知识，本题综合性强，正确理解新定义“近似距离”和绝对值的定义是解题的关键，属于中考常考题型．
26．（12分）已知⊙O的半径为2cm，P是⊙O外一点，PO＝4cm，点A、B在⊙O上，在△PAB中，BP＝BA．
（1）如图①，PB是⊙O的切线，当PA＝PB时，求证：PA是⊙O的切线；
（2）如图②，PA、PB分别交⊙O于点C、D，当点C为PA中点时，求PD的长；
（3）线段PA的取值范围是 3≤PA≤6 ．
【分析】（1）连接OA，OB，证明△PBO≌△PAO得到∠PAO＝∠PBO＝90°即可得证；
（2）连接BC，AD，OD，先根据圆的有关性质求出BA＝BP＝4cm，再证明△OBD∽△POB，根据相似比求出BD即可解答；
（3）先确定P的运动轨迹，当P，O，A三点共线时，PA最大，求出此时的PA，当BP最小时PA最小，根据勾股定理求出此时的PA几颗解答．
【解答】解：（1）连接OA，OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO＝90°，
在△PBO与△PAO中，
PB=PAOB=OAPO=PO，
∴△PBO≌△PAO（SSS），
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接BC，AD，OD，如图：
∵BA＝BP，点C为PA中点，
∴BC⊥AP，
∴AB是⊙O的直径，
设圆心为O，
连接OP，
∵⊙O的半径为2cm，
∴BA＝BP＝4cm，
∵OB＝OD，PO＝PB，
∴∠OBD＝∠ODB，∠OBP＝∠POB，
∴△OBD∽△PBO，
∴ODPO=BDBO，即24=BD2，
∴BD＝1，
∴PD＝PB﹣BD＝4﹣1＝3cm；
（3）∵OP＝4cm，
∴P的运动轨迹为以O为圆心，半径为4cm的圆，如图：
∴P，O，A三点共线时，PA最大，此时PA＝PO+OA＝4+2＝6cm，
延长PB交圆O于点M，连接MA，当点B是PM的中点且PA⊥MA时，PA最小，如图：
过点B作BH⊥PA，设PH＝x，
∴PA＝2x，
∵BO＝2，
∴PC＝4，
根据割线定理，PA•PC＝PE•PF，即2x•4＝2×6，
∴x=32，
∴PA＝3，
∴3≤PA≤6．
故答案为：3≤PA≤6．
【点评】本题考查与圆有关的性质和概念，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题关键．
27．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝55，BD⊥AC于点D，BD＝45．点P从点B出发，沿BA向终点A运动，速度是每秒5个单位长度，当点P不与点A、B重合时，作PQ∥AC，PQ交BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN．设点P的运动时间为t秒，正方形PQMN与△ABC重合部分图形的面积为S．
（1）直接写出BC的值为 10 ．
（2）当点M落在AC边上时，求t的值．
（3）求S与t之间的函数关系式．
（4）直接写出S的最大值以及S取得最大值时t的值．
【分析】（1）在 Rt△ABD，Rt△BCD 中，根据勾股定理，即可求解；
（2）根据题意得出sin∠A=PDAB=45，得出PN=APsinA=45(55−5t)=45−455t，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出PB=PQ=5t，建立方程，即可求解；
（3）分两种情况讨论，当0＜t≤209时，重叠部分为正方形PQMN，当209＜t＜5时，重叠部分为正方形PQMN的面积减去矩形FNMG的面积，进而列出函数关系式，即可求解；
（4）根据t的取值范围以及二次函数的性质，求得最大值，即可求解．
【解答】解：（1）AB=AC=55BD⊥AC于点D，BD=45，
在Rt△ABD，Rt△BCD中，AD=AB2−BD2=(55)2−(45)2=35，
∴CD＝AC﹣AD＝55−35=25，
BC=CD2+BD2=(25)2+(45)2=10，
故答案为：10；
（2）如图，当点M落在AC边上时，设PQ，BD交于点E，
由（1）可得AD=35，BD=45，AB=55，DC=25，
∴sin∠A=PDAB=45，
∵PB=5t，AP=AB−PB=55−5t，
∴PN=APsinA=45(55−5t)=45−455t，
∵PQ∥AC，
∴∠PQB＝∠C，
又∵AB=AC=55，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠PQB＝∠PBQ，
∴PB=PQ=5t，
∵四边形PQMN是正方形，则PQ＝PN，
∴45−455t=5t，
解得t=209；
（3）当0＜t≤209时，重叠部分为正方形PQMN，
由（2）可得PB=PQ=5t，
∴S=(5t)2=5t2，
当209＜t＜5时，如图，设PN，QM与AC交于点F，G，
∵AP=AB−PB=55−5t，sinA=45，
∴PF=APsinA=45(55−5t)，
重叠部分为正方形PQMN的面积减去矩形FNMG的面积，
∴S=5t⋅45(55−5t)=−4t2+20t，
综上所述，S=5t2(0＜t≤209)−4t2+20t(209＜t＜5)；
（4）当0＜t≤209时，当t=209时，S取得最大值为5×(209)2=200081，
当209＜t＜5时，S=−4t2+20t=−4(t−52)2+25，
当t=52时，S最大值＝25，
∵200081＜25，
∴当t=52时，S最大值＝25．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正方形的性质，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/28 23:10:54；用户：13961311856；邮箱：13961311856；学号：22772176

志愿服务时间x（小时）
频数
A
0＜x≤30
a
B
30＜x≤60
10
C
60＜x≤90
16
D
90＜x≤120
20
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C．
D
D
D
A
D
B
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
志愿服务时间x（小时）
频数
A
0＜x≤30
a
B
30＜x≤60
10
C
60＜x≤90
16
D
90＜x≤120
20