江苏省南京市2026年中考模拟数学自编试卷含答案（二）

这是一份江苏省南京市2026年中考模拟数学自编试卷含答案（二），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每题3分，共24分）
1．年是农历丙午马年，的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（ ）
A．10B．0.3C．3D．7
5．若二次根式有意义，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A．；B．；
C．；D．.
7．如图，点A在双曲线上，轴于B，点C是x轴上的任意点，且，则（ ）
A．2B．C．4D．
8．如图，从一个边长是8的正六边形纸片上剪出一个扇形（阴影部分），将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面半径为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每题3分，共21分）
9．分解因式：2x2﹣8=_______
10．已知关于的方程的解与方程的解相同，则的值______．
11．如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面与水平地面的夹角为，小明将它扶起（将畚箕绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面绕点A旋转的度数为______．
12．如图，点A是反比例函数图象上的一点，垂直于x轴，垂足为B．的面积为8，若点也在此函数的图象上，则________．
13．如图，求的度数_________________
14．如图，在中，，，分别以、为边向外作正方形和正方形．点分别为线段和线段上的动点，在运动过程中，周长的最小值为___________．
15．如图，平行四边形的对角线，交于点，平分，交于点，且．设，连接；若，，则平行四边形的面积为______ ；设，则与满足的关系式为______．
三、解答题（共75分）
16．（1）解方程：；
（2）解不等式组：
17．先化简，再求值：，再在0，1，2，中选择一个合适的数作为的值带入求值．
18．如图，在矩形中，点是边上一点，，于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
19．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能、人工智能机器人、语音类人工智能、视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
(1)随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为 ；
(2)从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率．
20．随着人工智能的快速发展，初中生使用大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用x表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图：
抽取的学生一周使用大模型辅助学习时间频率分布表
根据提供的信息回答问题：
(1)请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）；
(2)调查所得数据的中位数落在________组（填组别）；
(3)该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数．
21．如图，中，．
(1)在上找一点M，使得，并说明理由；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的基础上，若，，求的长．（保留根号，无需化简）
22．如图，是的外接圆，点D在延长线上，且满足．
(1)求证：是的切线；
(2)若是的平分线，，，求的半径．
23．如图，夜晚，小亮从点A朝着路灯P的正下方沿直线走到点B．
(1)若他在点A处的影长为，他的身高为，路灯高P距离地面的高度为，求此时他到路灯的水平距离；
(2)已知他在点A，B处的影长之差为，他的身高为，求路灯P离地面的高度（用含b，h的式子表示）．
24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于C（0，3），直线y=+n经过点C，与抛物线的另一交点为点D，点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线解析式并求出点D的坐标；
（2）连接PD，△CDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值．
25．将一副直角三角尺按图1摆放，其中，等腰顶点D在边上，边经过点C，DE与交于点M．
(1)若D为的中点．
①_____；
②如图2．将绕点D按顺时针方向旋转，直角边交于N，试猜想与之间的数量关系，并说明理由；
③如图2，若，在绕点D的旋转过程中，求的最小值；
(2)如图3，若，在绕点D的旋转过程中，同时改变点D在上位置，的最小值也会发生变化，当_____时，在绕点D的旋转过程中的最小值达到最小，最小值为_____．
组别
时间
频率
A
B
C
D
E
合计
1
《江苏省南京市2026年中考数学模拟练习卷（二）》参考答案
1．A
【详解】解：，
的相反数是．
2．B
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】
解：A．不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故该选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．B
【分析】本题考查同类项的概念与幂的运算法则，根据对应法则逐一判断选项即可得到答案．
【详解】解：选项A，a与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误；
选项B，，故本选项运算正确；
选项C，，故本选项运算错误；
选项D，，故本选项运算错误．
4．C
【分析】在大量重复试验中，频率会稳定在概率附近，用总球数乘稳定的频率即可得到红球个数的估计值．
【详解】解：∵多次试验后摸出红球的频率稳定在0.3左右，
∴可估计摸出红球的概率为0.3，
∵袋子中共有10个球，
∴红球个数约为 （个），
因此袋子中红球的个数最有可能是3个．
5．C
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，列不等式求解．
【详解】解：二次根式有意义，
，
解得．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中，被开方数大于等于0．
6．B
【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
7．D
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：设点的坐标为，根据轴可知平行于轴，且的长度为；以为底时，高为点的纵坐标；利用三角形面积公式结合反比例函数的几何意义即可求解.
【详解】解：设点的坐标为
∵点在双曲线上，
∴；
∵轴，
∴轴，且，
∵点在轴上，
∴点到直线的距离等于点的纵坐标；
∴；
∵图像在第二象限，；
∴
∴
∵
∴，
如图可知：
故选：D.
8．B
【分析】先求出正六边形的内角的度数，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求出底面半径．
【详解】解：六边形是正六边形，
，
则弧的长为，即圆锥底面周长为，
设圆锥底面半径为r，则，
∴，
圆锥底面半径为．
9．2（x+2）（x﹣2）
【分析】先提公因式，再运用平方差公式．
【详解】2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键．
10．5
【分析】先求出第一个方程的解，再把代入第二个方程得出，再求解即可得到答案．
【详解】解：解方程，
得：，
把代入方程，
得：，
解得：,
故答案为：．
【点睛】本题考查了同解方程和解一元一次方程，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．
11．/度
【分析】本题考查了旋转的性质、平角的定义，根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：箕面与水平地面的夹角为，
，即箕面绕点旋转的度数为，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查的是反比例函数的几何意义．由的面积可得的值，再把代入解析式即可得到答案．
【详解】解：∵的面积为8，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点也在此函数的图象上，
∴，
∴，
故答案为：．
13．/540度
【分析】本题主要考查了三角形内角和的定理、多边形内角和定理等知识点，将所求角度的和转化为五边形的内角和成为解题的关键．
如图：连接，由三角形内角和定理以及对顶角的性质可得，进而将所求角度的和转化为五边形的内角和求解即可
【详解】如图：连接，设与相交于点．
在和中，，，
又∵(对顶角相等)，
∴．
∴，即为五边形的内角和．
∵五边形的内角和为，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】延长，截取，连接，延长，过点，作于点，根据勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，得出当、、、在同一直线上时，的周长最小，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：延长，截取，连接，延长，过点，作于点，如图所示：
∵，，
∴，
∵四边形和是正方形，
∴，，，
∴，，
∴垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，
∴当、、、在同一直线上时，的周长最小，且此时的周长等于的长，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的周长最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，等腰直角三角形，正方形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出的周长最小时、的位置．
15．
【分析】根据平行四边的性质可得，，进而得到，由角平分线的性质可得，以此得到为等边三角形，当，，易得，根据等边对等角得，根据三角形外角性质可求出，进而得到，设，则，根据勾股定理求得，则；由可得，进而得到，于是，由平行四边的性质可得，由可得，则，易得，以此即可求解．
【详解】解：∵四边形为平行四边，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
若，，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，，
∴，
解得或舍去，
∴，，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的定义、勾股定理、含度角的直角三角形等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
16．（1），；（2）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，熟知解一元二次方程和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
（1）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
解得，；
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式的解集为：．
17．，当时，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件选择合适的值代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式．
18．(1)见解析
(2)10
【分析】（1）证明，得到，即可得出结论；
（2）设，则，根据勾股定理得出，即，求出，即可求出结果．
【详解】（1）证明：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴．
19．(1)
(2)见解析，
【分析】此题考查的是用列表法，概率公式求概率．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意列表得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：∵共有4张卡片，
∴从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为；
故答案为：；
（2）解：根据题意列表如下：
共有种等可能的结果数，其中抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的结果数为2，
所以求抽到的两张卡片恰好是“决策类人工智能”和“视觉类人工智能”的概率．
20．(1)图见解析
(2)C
(3)该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人
【分析】本题考查频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提，解题的关键是正确的从表中读出有关的信息．
（1）根据频数、频率、总数之间的关系可求出总人数，进而求出D组人数，
（2）50个人的中位数是第25和26人的平均数；
（3）由这所学校共有学生人数乘以一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生的频率即可．
【详解】（1）解：．
D组人数：人．
如图为所求：
（2）解：总人数有50人，从小到大排列后，中位数为第25人和26人的学习时间的平均数，
从统计图，可知，组8人，组12人，组15人，那么第25人和26人的数据落在组，
故答案为：C；
（3）解：，
（人）．
答：该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数约为450人．
21．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）作线段的垂直平分线即可，根据线段垂直平分线的性质即可得到；
（2）先求得，推出，作于点，利用等腰三角形的性质求得，，再利用勾股定理求得即可．
【详解】（1）解：如图，点M即为所作；
由作图知，是线段的垂直平分线，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点，
∴，
∴，，
在中，．
【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)r
【分析】本题考查了垂径定理，圆的切线，解直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）如图，连接，与相交于点E，由，得出，由圆周角定理得，由已知，可得，根据推出，则问题可解；
（2）根据是的平分线，推出，利用垂径定理得，在中，利用正弦定理得
，求出长度，进而求出长度，设的半径为r，则，在中，，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，与相交于点E，
，
．
，
．
，
．
，
，
，
．
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）是的平分线，
．
，
，
．
在中，，
，解得，
．
设的半径为r，则，
在中，，
，解得．
23．(1)
(2)
【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据，可得，即可求解；
（2）过点C作，交于点G．可得，从而得到，进而得到．然后根据，可得，再由，即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，即．
，
．
（2）解：过点C作，交于点G．
，
．
，
．
．
．
，
·
，
．
．
．
因此，路灯P离地面的高度为
24．（1）y=﹣x2+2x+3，D点坐标为（）；（2）当m=时，△CDP的面积存在最大值，最大值为；（3）m的值为 或 或．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式和直线CD的解析式，然后解方程组得D点坐标；
（2）设P（m，-m2+2m+3），则E（m，-m+3），则PE=-m2+m，利用三角形面积公式得到S△PCD=××（-m2+m）=-m2+m，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）讨论：当PC=PE时，m2+（-m2+2m+3-3）2=（-m2+m）2；当CP=CE时，m2+（-m2+2m+3-3）2=m2+（-m+3-3）2；当EC=EP时，m2+（-m+3-3）2=（-m2+m）2，然后分别解方程即可得到满足条件的m的值．
【详解】（1）把A（﹣1，0），C（0，3）分别代入y=﹣x2+bx+c得，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
把C（0，3）代入y=﹣x+n，解得n=3，
∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，
解方程组，解得
或，
∴D点坐标为（，）；
（2）存在．
设P（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），
∴PE=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+m，
∴S△PCD=••（﹣m2+m）=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+，
当m=时，△CDP的面积存在最大值，最大值为；
（3）当PC=PE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2=（﹣m2+m）2，解得m=0（舍去）或m=；
当CP=CE时，m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2=m2+（﹣m+3﹣3）2，解得m=0（舍去）或m=（舍去）或m=；
当EC=EP时，m2+（﹣m+3﹣3）2=（﹣m2+m）2，解得m=（舍去）或m=，
综上所述，m的值为或或．
【点睛】本题考核知识点：二次函数的综合应用. 解题关键点：灵活运用二次函数性质，运用数形结合思想.
25．(1)①；②，理由见解析；③
(2)，3
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）①证明是等边三角形，得，，由正切函数可得结论；
②先证明，再证明，利用相似三角形的性质解决问题即可；
③证明M，D，N，C四点共圆，推出是该圆的直径，易知当是该圆的直径时，的长最短．
（2）当时，根据“垂线段最短”知，的长最短，当四边形是矩形时，，此时最短．解直角三角形，求出即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵°，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②如图，过点作于点，于点，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，即；
③连接．
∵，
∴，
∴M，D，N，C四点共圆，
∴是该圆的直径，
∵，
∴当时，的长最短，此时．
（2）解：如图，当时，
根据“垂线段最短”知，的长最短，
当四边形是矩形时，，此时最短．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为3，
故答案为：，3