2026年江苏省苏州市中考模拟数学自编试卷含答案

这是一份2026年江苏省苏州市中考模拟数学自编试卷含答案，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．3.1415926B．9C．−227D．π2
2．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×10﹣9B．0.7×10﹣8C．7×10﹣9D．7×10﹣8
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+ay﹣a＝a（x+y）B．a2+b＝a（a+b）
C．a2+a+1＝（a+1）2D．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a）
4．如图，这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
5．如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ）
A．五月份空气质量为优的天数是16天
B．这组数据的众数是15天
C．这组数据的中位数是15天
D．这组数据的平均数是15天
6．如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（ ）
A．41°B．51°C．49°D．59°
7．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（ ）
A．7x−7=y9(x+1)=yB．7x−7=y9(x−1)=y
C．7x+7=y9(x+1)=yD．7x+7=y9(x−1)=y
8．矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y=kx的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是（ ）
A．25B．35C．45D．85
二、填空题
9．计算 (−2x2)3= 8x6y3
10．要使代数式x+1有意义，则x的取值范围为 ．
11．如图是某二维码示意图，打印于边长为2cm的正方形区域内，为估计图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此估计黑色部分的总面积约为 cm2．
12．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝100°，观察尺规作图的痕迹，则∠BFC的度数为 ．
13．已知m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则m2﹣2m+n的值为 ．
14．校“爱心义卖”活动中，某班设计了一份宣传海报，如图海报中的“爱心”是由菱形ABCD的一组邻边AB、BC和两条等弧连接而成，两条等弧所在的圆分别与AB和BC相切于点A、点C．若∠ABC＝120°，AB＝12cm，则“爱心”的周长（图中实线部分的长度）为 cm．（结果保留根号、保留π）
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=5，BC＝25，D为AB的中点，E为BC边上一点，将△BDE沿DE翻折得到△B'DE，B'E与AD交于点F，若△BEF的面积是△DEF的3倍，则CE的长为 ．
16．如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B'C'交CD边于点G．连接BB'、CC'．若AD＝7，CG＝4，AB'＝B'G，则CC'BB'= （结果保留根号）．
三、解答题
17．计算：8+2cs60°−|1−2|−(12)−1+(π−1)0．
18．解不等式组2(x+1)＞x1−2x≥x+72．并把它的解集在数轴上表示出来．
19．先化简再求值：(x+1−3x−1)÷x2+4x+4x−1，其中x＝3．
20．如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数．
21．2025苏州马拉松活动于3月2日燃情而至，来自国内外25000余名跑者齐聚苏州，用脚步丈量苏州的千年文脉，用心跳感受苏州的古韵今风．此次马拉松比赛分为“全程马拉松”和“半程马拉松”两个项目，甲、乙、丙三人随机参加其中一个项目．
（1）甲参加“全程马拉松”的概率是 ；
（2）求甲、乙、丙三人都参加“半程马拉松”的概率．
22．某校开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级部分学生进行调查（每人必选且只能选一类课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中m的值为 ，“木工”对应的扇形圆心角大小是 ；
（3）若该校七年级共有800名学生，估计该校七年级学生选择“编织”劳动课程的人数．
23．如图，已知函数y=kx（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC＝1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．
（1）求△OCD的面积；
（2）当BE=12AC时，求CE的长；
（3）在坐标轴上是否存在一点P，使得PA+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）如图1，若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．
①点A的坐标为（ ， ），点B的坐标为（ ， ）；
②求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，将（1）中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．
参考答案
1．下列实数中是无理数的是（ ）
A．3.1415926B．9C．−227D．π2
【分析】根据定义解答，即无限不循环小数是无理数．
【解答】解：π2是无理数．
故选：D．
2．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的功耗，我国某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A．0.7×10﹣9B．0.7×10﹣8C．7×10﹣9D．7×10﹣8
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000000007＝7×10﹣9．
故选：C．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．ax+ay﹣a＝a（x+y）B．a2+b＝a（a+b）
C．a2+a+1＝（a+1）2D．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a）
【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可．
【解答】解：根据因式分解的方法，逐项分析判断如下：
A、ax+ay﹣a＝a（x+y﹣1），选项错误，不符合题意；
B、a2+b不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；
C、多项式不能进行因式分解，选项错误，不符合题意；
D、﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），选项正确，符合题意；
故选：D．
4．如图，这个几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据简单几何体的三视图的画法画出它的俯视图即可．
【解答】解：这个几何体的俯视图是，
故选：D．
5．如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ）
A．五月份空气质量为优的天数是16天
B．这组数据的众数是15天
C．这组数据的中位数是15天
D．这组数据的平均数是15天
【分析】分析折线统计图中的数据即可求出答案．
【解答】解：A、根据折线图，五月份空气质量为优的天数是16天，故不符合题意；
B、根据折线图，这组数据的众数是15天，故不符合题意；
C、这组数据的中位数是15+152=15（天），故不符合题意；
D、这组数据的平均数是16×（12+14+15+15+16+15）＝14.5，故符合题意．
故选：D．
6．如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（ ）
A．41°B．51°C．49°D．59°
【分析】根据矩形的性质得出∠B＝90°，再结合平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：延长CB与直线b交于点M，
∵a∥b，∠2＝41°，
∴∠BMA＝∠2＝41°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠1+∠BMA＝90°，
∴∠1＝90°﹣41°＝49°．
故选：C．
7．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（ ）
A．7x−7=y9(x+1)=yB．7x−7=y9(x−1)=y
C．7x+7=y9(x+1)=yD．7x+7=y9(x−1)=y
【分析】根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住，
∴7x+7＝y；
∵如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，
∴9（x﹣1）＝y．
∴根据题意得可列方程组7x+7=y9(x−1)=y．
故选：D．
8．矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y=kx的图象与AB边交于点D，与AC边交于点F，与OA交于点E，OE＝2AE，若四边形ODAF的面积为2，则k的值是（ ）
A．25B．35C．45D．85
【分析】过点E作EM⊥OC，则EM∥OB，设E(a，ka)，由△OME∽△OCA，可得OC=32a，AC=32⋅ka，再S矩形OBAC＝S△OBD+S△OCF+S四边形ODAF，列方程，即可得出k的值．
【解答】解：过点E作EM⊥OC，则EM∥OB，
∴△OME∽△OCA，
∴OMOC=EMAC=OEOA，
设E(a，ka)，
∵OE＝2AE，
∴OMOC=EMAC=23，
∴OC=32a，AC=32⋅ka，
∴S矩形OBAC=S△OBD+S△OCF+S四边形ODAF=32a⋅32⋅ka，
即k2+k2+2=32a⋅32⋅ka，解得：k=85，
故选：D．
9．计算 (−2x2)3= 8x6y3
【解答】解：
（4）(−2x2y)3
＝8x6y3．
10．要使代数式x+1有意义，则x的取值范围为 x≥﹣1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数，列出关于x的不等式，解不等式即可．
【解答】解：要使代数式x+1有意义，则x+1≥0，
∴x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
11．如图是某二维码示意图，打印于边长为2cm的正方形区域内，为估计图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此估计黑色部分的总面积约为 2.8 cm2．
【分析】经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，可得点落入黑色部分的概率为0.7，根据边长为2cm的正方形的面积为4cm2，进而可以估计黑色部分的总面积．
【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.7左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.7，
∵边长为2cm的正方形的面积为4cm2，
∴估计黑色部分的总面积约为4×0.7＝2.8（cm2）．
故答案为：2.8．
12．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝100°，观察尺规作图的痕迹，则∠BFC的度数为 110° ．
【分析】由作图可知，DE是线段AC的垂直平分线，BF是∠ABC的角平分线，求出∠FBC，∠BCF，再利用三角内角和定理即可求解．
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∠A＝30°，
∴∠A＝∠ACD＝30°∵BF是∠ABC的角平分线，∠ABC＝100°，
∴∠FBC=∠FBD=12∠ABC=50°，
∵∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠A，
∴∠ACB＝180°﹣100°﹣30°＝50°，
∵∠BCF＝∠ACB﹣∠DCA＝50°﹣30°＝20°，
∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠BCF＝180°﹣50°﹣20°＝110°．
故答案为：110°．
13．已知m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则m2﹣2m+n的值为 8 ．
【分析】先x＝m将代入方程得到m2﹣3m＝5，再根据根于系数的关系得到m+n＝3，代入求值即可．
【解答】解：有条件可知m2﹣3m﹣5＝0，即m2﹣3m＝5，m+n＝3，
∴m2﹣2m+n＝m2﹣3m+m+n＝5+3＝8，
故答案为：8．
14．校“爱心义卖”活动中，某班设计了一份宣传海报，如图海报中的“爱心”是由菱形ABCD的一组邻边AB、BC和两条等弧连接而成，两条等弧所在的圆分别与AB和BC相切于点A、点C．若∠ABC＝120°，AB＝12cm，则“爱心”的周长（图中实线部分的长度）为 （24+323π3） cm．（结果保留根号、保留π）
【分析】求出∠OAD＝90°﹣60°＝30°，OA＝OD=AD3=123=43，再由弧长公式求出优弧AD的长度为(360−120)π×43180=163π3（cm），即可得到答案．
【解答】解：∵∠ABC＝120°，AD∥BC，
∴∠DAB＝60°，
∵AB与⊙O相切，
∴∠OAB＝90°，
∴∠OAD＝90°﹣60°＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝30°，
∴∠AOD＝120°，
∴OA＝OD=AD3=123=43，
∴优弧AD的长度为(360−120)π×43180=163π3（cm），
同理优弧CD的长度为163π3cm，
∴“爱心”的周长为12+12+163π3+163π3=（24+323π3）cm，
故答案为：（24+323π3）．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=5，BC＝25，D为AB的中点，E为BC边上一点，将△BDE沿DE翻折得到△B'DE，B'E与AD交于点F，若△BEF的面积是△DEF的3倍，则CE的长为 52 ．
【分析】连接AE，A'B，过点D作DM⊥BE于点M，DN⊥EF于点N，先求出AB＝5，则BD＝AD=52，根据△BEF的面积是△DEF的3倍得S△BED＝2S△DEF，则S△DEFS△BED=DFBD=12，进而得DF=12=54，则DF＝AF=54，由翻折的性质得∠BED＝∠FED，B'D＝BD=52，BE＝B'E，则DM＝DN，再由三角形的面积公式得BE＝2EF，继而得B'F＝EF，则四边形EDAB'是平行四边形，由此得AE＝B'D=52，然后由勾股定理即可求出CE的长．
【解答】解：连接AE，A'B，过点D作DM⊥BE于点M，DN⊥EF于点N，如图所示：

在△ABC中，∠C＝90°，AC=5，BC=25，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=(5)2+(25)2=5，
∵点D是AB的中点，
∴BD＝AD=12AB=52，
∵S△BEF＝3S△DEF，
∴S△BED+S△DEF＝3S△DEF，
∴S△BED＝2S△DEF，
∴S△DEFS△BED=12，
∵△BED的边BD上的高与△DEF的边DF上的高相同，
∴S△DEFS△BED=DFBD，
∴DFBD=12，
∴DF=12BD=12×52=54，
∴AF＝AD﹣DF=52−54=54，
∴DF＝AF=54，
由翻折的性质得：∠BED＝∠FED，B'D＝BD=52，BE＝B'E，
∴DE是∠AEB的平分线，
∵DM⊥BE，DN⊥EF
∴DM＝DN，
由三角形的面积公式得：S△BED=12BE•DM，S△DEF=12EF•DN，
∵S△BED＝2S△DEF，
∴12BE•DM＝2×12EF•DN，
∴BE＝2EF，
∴B'E＝2EF，
∴B'F+EF＝2EF，
∴B'F＝EF，
又∵DF＝AF=54，
∴四边形EDAB'是平行四边形，
∴AE＝B'D=52，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE=AE2−AC2=(52)2−(5)2=52．
故答案为：52．
16．如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B'C'交CD边于点G．连接BB'、CC'．若AD＝7，CG＝4，AB'＝B'G，则CC'BB'= 745 （结果保留根号）．
【分析】先连接AC，AG，AC'，构造直角三角形以及相似三角形，根据△ABB'∽△ACC'，可得到CC'BB'=ACAB，设AB＝AB'＝x，则AG=2x，DG＝x﹣4，Rt△ADG中，根据勾股定理可得方程72+（x﹣4）2＝（2x）2，求得AB的长以及AC的长，即可得到所求的比值．
【解答】解：连接AC，AG，AC'，
由旋转可得，AB＝AB'，AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'，
∴ABAC=AB'AC'，
∴△ABB'∽△ACC'，
∴CC'BB'=ACAB，
∵AB'＝B'G，∠AB'G＝∠ABC＝90°，
∴△AB'G是等腰直角三角形，
∴AG=2AB'，
设AB＝AB'＝x，则AG=2x，DG＝x﹣4，
∵Rt△ADG中，AD2+DG2＝AG2，
∴72+（x﹣4）2＝（2x）2，
解得x1＝5，x2＝﹣13（舍去），
∴AB＝5，
∴Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=52+72=74，
∴CC'BB'=ACAB=745，
故答案为：745．
17．计算：8+2cs60°−|1−2|−(12)−1+(π−1)0．
【分析】利用二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂计算后再算加减即可．
【解答】解：原式＝22+2×12−（2−1）﹣2+1
＝22+1−2+1﹣2+1
＝1+2．
18．解不等式组2(x+1)＞x1−2x≥x+72．并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出公共部分，表示在数轴上即可．
【解答】解：2(x+1)＞x①1−2x≥x+72②，
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≤﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤﹣1．
19．先化简再求值：(x+1−3x−1)÷x2+4x+4x−1，其中x＝3．
【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分，最后化简求值．
【解答】解：原式=x2−1−3x−1•x−1(x+2)2
=(x+2)(x−2)x−1•x−1(x+2)2
=x−2x+2，
当x＝3时，原式=3−23+2=15．
20．如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数．
【分析】（1）直接根据全等三角形的判定证明结论即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AC＝AE，∠CAE＝∠BAC＝60°，再证明△ACE是等边三角形，利用等边三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：在△ABC与△ADE中，
AB=AD∠B=∠DBC=DE，
所以△ABC≌△ADE（SAS）；
（2）解：因为△ABC≌△ADE，∠BAC＝60°，
所以AC＝AE（全等三角形对应边相等），∠CAE＝∠BAC＝60°（全等三角形对应角相等），
所以△ACE是等边三角形．
所以∠ACE＝60°．
21．2025苏州马拉松活动于3月2日燃情而至，来自国内外25000余名跑者齐聚苏州，用脚步丈量苏州的千年文脉，用心跳感受苏州的古韵今风．此次马拉松比赛分为“全程马拉松”和“半程马拉松”两个项目，甲、乙、丙三人随机参加其中一个项目．
（1）甲参加“全程马拉松”的概率是 12 ；
（2）求甲、乙、丙三人都参加“半程马拉松”的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）画出树状图，用符合条件的情况数除以所有等可能发生的情况总数即可．
【解答】解：（1）由题意得，甲恰好参加的是“半程马拉松”的概率是12，
故答案为：12．
（2）将“全程马拉松”“半程马拉松”分别记为A，B，画树状图如下：
∴共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人都参加“半程马拉松”的结果有1种，
∴概率为18．
22．某校开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级部分学生进行调查（每人必选且只能选一类课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 60 ，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中m的值为 25 ，“木工”对应的扇形圆心角大小是 36° ；
（3）若该校七年级共有800名学生，估计该校七年级学生选择“编织”劳动课程的人数．
【分析】（1）从两个统计图中可得选择“园艺”的有18人，占调查人数的30%，可求出调查人数；求出选择“编织”的人数，即可补全条形统计图；
（2）由（1）中求出的样本容量，结合条形统计统计图中“厨艺”人数即可求出m；用360°乘以“木工”人数所占比例；
（3）样本中，选择“编织”的占1260，因此估计总体800人的1260是选择“编织”的人数．
【解答】解：（1）由条形统计图与扇形统计图的数据关联可得18÷30%＝60（人），
故答案为：60；
∴60﹣15﹣18﹣12﹣6＝9（人），
（2）由（1）知抽查了60人，
∴厨艺占比为1560×100%=25%，则扇形统计图中m的值为25；
∴圆心角大小是360°×660=36°，
故答案为：25，36°；
（3）估计该校七年级学生选择“编织”劳动课程的人数为：800×1260=160（人），
答：该校七年级800名学生中选择“编织”劳动课程的大约有160人．
23．如图，已知函数y=kx（x＞0）的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，2），过点A作AC∥y轴，AC＝1（点C位于点A的下方），过点C作CD∥x轴，与函数的图象交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足E在线段CD上，连接OC、OD．
（1）求△OCD的面积；
（2）当BE=12AC时，求CE的长；
（3）在坐标轴上是否存在一点P，使得PA+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得D点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（2）根据BE的长，可得B点的纵坐标，根据点在函数图象上，可得B点横坐标，根据两点间的距离公式，可得答案；
（3）存在；分两种情况讨论：①当P在x轴上时，作点D关于x轴的对称点D′，连接AD′交x轴于P，PA+PD最小，∵PA+PD＝AD′，根据勾股定理求出即可；②当P在y轴上时，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′D交y轴于P，PA+PD最小，∵PA+PD＝A′D，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）∵y=kx（x＞0）的图象经过点A（1，2），
∴k＝2，
∵AC∥y轴，AC＝1，
∴点C的坐标为（1，1），
∵CD∥x轴，点D在函数图象上，
∴点D的坐标为（2，1），
∴S△OCD=12×1×1=12；
（2）∵BE=12AC，
∴BE=12，
∵BE⊥CD，
∴点B的纵坐标＝2−12=32，
由反比例函数y=2x，
得点B的横坐标为x＝2÷32=43，
∴CE=43−1=13；
（3）存在；分两种情况讨论：如图所示：
①当P在x轴上时，作点D关于x轴的对称点D′（2，1），
连接AD′交x轴于P，PA+PD最小；
∵PD′＝PD，
∴PA+PD＝AD′，
设直线AD′的解析式为y＝kx+b，
把点A（1，2），D′（2，﹣1）代入得：k+b=22k+b=−1，
解得：k＝﹣3，b＝5，
∴y＝﹣3x+5，
当y＝0时，x=53，
∴P（53，0）；
②当P在y轴上时，作点A关于y轴的对称点A′（﹣1，2），
连接A′D交y轴于P，PA+PD最小；
∵PA＝PA′，
∴PA+PD＝A′D，
设直线A′D的解析式为y＝ax+c，
把A′（﹣1，2），D（2，1）代入得：−a+c=22a+c=1，
解得：a=−13，c=53，
∴y=−13x+53，
当x＝0时，y=53，
∴P（0，53）．
综上所述：点P坐标为（53，0）或（0，53）．
24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．
（1）如图1，若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．
①点A的坐标为（ ﹣5 ， 0 ），点B的坐标为（ ﹣1 ， 0 ）；
②求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，将（1）中的抛物线向右平移若干个单位，再向下平移若干个单位，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．
【分析】（1）①根据抛物线的对称性分别求出点A的坐标、点B的坐标；
②利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）作PD⊥OC于D，根据等腰直角三角形的性质得到PD＝OD，设出抛物线的顶点式，根据抛物线经过原点计算，得到答案．
【解答】解：（1）①∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4，
∴点A的坐标为（﹣5，0），点B的坐标为（﹣1，0），
故答案为：﹣5；0﹣1；0；
②∵抛物线经过（﹣5，0），（﹣1，0），
∴−25−5m+n=0−1−m+n=0，
解得，m=−6n=−5，
则抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣5；
（2）如图2，作PD⊥OC于D，
∵△OCP是等腰直角三角形，
∴PD=12OC＝OD，
设点P的坐标为（a，a），
设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣a）2+a，
∵抛物线经过原点，
∴﹣（0﹣a）2+a＝0，
解得，a1＝0（不合题意），a2＝1，
∴△OCP是等腰直角三角形时，点P的坐标为（1，1）．