【苏州专用】2024-2025学年七下数学江苏省苏州期中名校真题卷01（含答案解析）

这是一份【苏州专用】2024-2025学年七下数学江苏省苏州期中名校真题卷01（含答案解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 第24届北京冬季奥林匹克会于2022年2月4日至2月20日成功举行．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
本题考查轴对称图形的识别，解题核心是紧扣轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿某一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴。
依次分析各选项：
A 选项图形找不到这样的对称轴，折叠后两侧无法重合，不是轴对称图形；
B 选项图形可找到一条竖直对称轴，沿此轴折叠两侧完全重合，是轴对称图形；
D 选项图形均无符合要求的对称轴，均不属于轴对称图形。
综上，本题选 B。
2. 下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
本题综合考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方以及合并同类项，需严格按照各运算法则逐一计算选项结果。
选项 A：同底数幂相乘，底数保持不变，指数相加，因此，结果符合要求；
选项 B：幂的乘方，底数不变，指数相乘，因此，结果不符合。，结果不符合；
选项 C：合并同类项的前提是所含字母相同且相同字母的指数也相同，与不是同类项，不能加减，不满足该条件；
选项 D：同底数幂相除，底数不变，指数相减，，结果不符合。综上，正确答案为 A。
3. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，截止年月，我国在芯片上的研究成绩喜人，以突破纳米量产、纳米试产技术，并在纳米设备领域实现局部超越，已知，则用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法的形式为a×10n，其中要求1≤∣a∣b）。图 1 为长方形，长为a+b、宽为a，阴影面积为长方形面积减去两个正方形的面积，
即；图 2 为大正方形，边长为a+b，阴影面积为大正方形面积减去两个正方形的面积，即，解得ab=16。将ab=16代入ab−b2=11，可得，而b2正是正方形B的面积。本题选 C
二、填空题（每题两分，共16分）
9. 计算：________．
【答案】
【解析】
本题考查积的乘方的逆运算，积的乘方公式为(ab)n=an⋅bn，其逆运算为an⋅bn=(ab)n，利用逆运算能简化幂的乘法计算。观察原式的指数特征，将原式变形为
故答案为：1．
10. 如图，在直角三角形中，，，，．将三角形沿着与垂直的方向向上平移，得到三角形，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】90
【解析】
本题考查平移的性质，图形平移后与原图形全等，因此空白部分的三角形和原直角三角形面积相等，阴影部分的面积可转化为平移形成的长方形的面积。
由题意，直角三角形沿与BC垂直的方向向上平移，平移的距离为 10，且原三角形中BC=9。根据平移性质，阴影部分是一个长为 9、宽为 10 的长方形，根据长方形面积公式长宽，可得阴影面积为9×10=90。
故答案为：90
11. 如图，将绕点顺时针旋转得到，若，则等于________°．
【答案】
【解析】
本题考查旋转的性质，图形绕某一点旋转一定角度后，旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角，且旋转前后的图形对应角相等。
△ABC绕点C顺时针旋转得到，因此旋转角，，求得
故答案为：55．
12. 若，则________．
【答案】
【解析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题方法是先将等式左边的多项式展开，再根据 “等式两边同类项的系数相等” 求解参数。
∴，
∴，
故答案为：．
13. 已知，，，为正整数，则________（用，表示）．
【答案】##
【解析】
本题考查幂的乘方和同底数幂乘法的逆运算，解题关键是将所求代数式转化为用已知的xm=a、xn=b表示的形式。
根据幂的运算法则，，
故答案为：．
14. 若关于，的二元一次方程组，则________．
【答案】4
【解析】
本题考查二元一次方程组的整体求解技巧，无需分别求出，的具体值，通过将两个方程相减，可直接得到的值。
，
得，
故答案为：4．
15. 若整式可以写成一个多项式的平方，则常数的值为________．
【答案】
【解析】本题考查完全平方式的特征，完全平方式的标准形式为a2±2ab+b2=(a±b)2，据此匹配多项式的各项，求解常数k
或
∴或
∴
故答案为：．
16. 如图，在长方形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，AC＝5，动点M在线段AC上运动(不与端点重合)，点M关于边AD，DC对称点分别为M1，M2，连接M1M2，点D在M1M2上，则在点M的运动过程中，线段M1M2长度的最小值是_______．
【答案】
【解析】
本题考查对称变换的性质、点到直线的距离以及三角形面积公式，解题的核心是将求M1M2的最小值转化为求DM的最小值。由对称的性质可知，点M关于AD的对称点为M1​，关于DC的对称点为M2，则M1、D、M2三点共线，因此DM1=DM=DM2，M1M2=2DM
根据 “点到直线的垂线段最短”，当DM⊥AC时，DM取得最小值。如图：
在长方形ABCD中，AD=3，CD=4，AC=5，由三角形面积公式∴S△ADC=AD•CD=AC•DM'，
代入数据得DM'=，。因此M1M2的最小值为2DM'=​。
故答案为：．
三、解答题（共9大题，共68分．）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
本题考查零指数幂、负整数指数幂和有理数的乘方运算，需牢记相关法则：任何非零数的 0 次幂都等于 1，即a0=1(a=0)；一个数的负整数指数幂等于这个数正整数指数幂的倒数，即为正整数；有理数的乘方根据符号和指数计算。按照 “先算乘方，再算加减” 的顺序，依次计算各部分的值，再进行加减运算，得到最终结果。
解：原式
【小问2详解】
本题考查单项式的混合运算，涉及积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式和同底数幂的除法，各运算法则为：积的乘方，各因式分别乘方再相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘；单项式乘单项式，系数相乘、同底数幂相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减。按照 “先算乘方，再算乘除” 的顺序依次计算，逐步化简得到结果。
原式．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
本题考查整式的化简求值，涉及完全平方公式和平方差公式，先利用公式展开多项式，再合并同类项进行化简，最后代入数值计算。完全平方公式：(a−b)2=a2−2ab+b2，平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2。先根据公式将原式展开，再合并同类项得到最简整式，将已知的字母取值代入最简整式，计算出最终结果。化简后再求值能有效减少计算量，避免出错。
【详解】解：
；
当时，原式
19. 解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
本题考查用加减消元法解二元一次方程组，消元法的核心是通过对方程组的方程进行加减运算，消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。观察方程组中未知数的系数，选择消去系数互为相反数或相等的未知数，将两个方程相加（或相减）消去该未知数，解得到的一元一次方程，求出一个未知数的值；再将求出的值代入原方程组中的任意一个方程，解出另一个未知数的值，即可得到方程组的解。
解：，
由，得，解得：，
将代入①得，
故方程组得解为；
【小问2详解】
本题考查先整理再用加减消元法解二元一次方程组，对于含分母的方程，先通过去分母将其整理为标准的二元一次方程形式，再用消元法求解。先将方程组中的非标准方程整理为ax+by=c的形式，再观察两个方程中未知数的系数，通过加减运算消去一个未知数，转化为一元一次方程求解；求出一个未知数后，代入原方程求另一个未知数，最终得到方程组的解。
解：，
将②化简得③，
由得，
将代入①得，
故方程组得解为．
20. 如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用格点和直尺画图：
（1）补全；
（2）做出点关于直线的对称点，连接、；
①直线________线段的中垂线（填“是”或“不是”）
②射线________的平分线（填“是”或“不是”）
【答案】（1）见解析 （2）①；②是
【解析】
本题考查平移变换、轴对称变换的作图及性质，作图的关键是找准对应点的位置，再根据轴对称的性质判断线段与直线的关系。
【小问1详解】
补全△A′B′C′：平移的性质是对应点的连线平行且相等，已知点A的对应点A′，分别过点B、C作AA′的平行线，在平行线上截取与AA′长度相等的线段，得到B′、C′，依次连接A′、B′、C′，即可补全平移后的三角形。
【小问2详解】
①判断直线与线段的关系：根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线，点与点关于直线对称，，平分，
直线是线段的中垂线．
②判断射线是否为角平分线：由平移性质得BC∥B′C′，结合轴对称的性质，直线A′B′垂直平分，因此射线是的平分线．
21. 李老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律，请你结合这些算式解答下列问题.
请观察以下算式：
①；
②；
③；
……
（1）请结合上述三个算式的规律，写出第④个算式：______；
（2）设两个连续奇数为，（其中n为正整数）、写出它们的平方差，并说明结果是8的倍数．
【答案】（1）
（2），说明见解析
【解析】
【小问1详解】
本题考查数字规律探索，先观察已知算式的特征，总结出通用规律，再根据规律写出第④个算式。观察已知算式，可总结规律：两个连续奇数的平方差等于 8 乘以正整数，其中奇数为2n+1和2n−1（n为正整数），对应的乘数为n。第④个算式中n=4，对应的奇数为9和 7，因此算式为
【小问2详解】
本题考查整式的运算证明规律，先表示出两个连续奇数的平方差，再通过多项式的运算化简，证明结果为 8 的倍数。
设两个连续奇数为2n+1和2n−1（n为正整数），先写出其平方差，再根据完全平方公式展开：，去括号、合并同类项后得到。因为n是正整数，所以8n能被 8 整除，即两个连续奇数的平方差是 8 的倍数。
22. 阅读理解，并解答问题：
观察发现：
如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴．
问题解决：
用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3、图4、图5中各画一种拼法．
（1）图3中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．
（2）图4中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）图5中所画拼图拼成的图案是中心对称图形，但不是轴对称图形．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）图见解析
【解析】
本题考查轴对称图形和中心对称图形的设计，解题关键是紧扣两个图形的定义：轴对称图形能沿某条直线折叠后两侧重合，中心对称图形绕某点旋转 180° 后与自身重合，结合四块正方形瓷砖的特征进行拼图。
【小问1详解】
既是轴对称又是中心对称：将四块瓷砖按 “田” 字摆放，使瓷砖的图案对称分布，该图形既存在横竖两条对称轴，又能绕中心旋转 180° 后与自身重合，满足双重要求。
解：由题意，设计图形如下：
【小问2详解】
是轴对称但不是中心对称：将四块瓷砖沿竖直方向排成一列，图形能沿竖直中线折叠后两侧重合，是轴对称图形；但找不到能使图形旋转 180° 后重合的中心点，不是中心对称图形。
由题意，设计图形如下：
【小问3详解】
是中心对称但不是轴对称：将四块瓷砖斜向拼接成大正方形，图形能绕中心旋转 180° 后与自身重合，是中心对称图形；但无法找到一条直线，使图形沿该直线折叠后两侧重合，不是轴对称图形。
由题意，设计图形如下：
23. 已知关于，的方程组．
（1）方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________．
（2）若方程组的解满足，求的值；
（3）无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【小问1详解】
本题考查二元一次方程的正整数解，正整数解要求x、y均为正整数，解题方法是将x依次取正整数，代入方程求出对应的y，筛选出符合条件的解即可。
解：一个正整数解为，
故答案为：
【小问2详解】
本题考查方程组的解的应用，先解关于x、y的二元一次方程组，再根据条件x+y=某值，将含式子代入，解该方程即可求出m的值。
由题知，
解得，
将代入，
解得
【小问3详解】
本题考查二元一次方程的固定解，方程的固定解与参数的取值无关，解题方法是将方程整理为 “含参数的项 + 不含参数的项 = 0” 的形式，令含参数的项的系数为 0，求解即可。
将方程整理为关于参数的代数式与关于x、y的代数式相乘的形式，要使解与参数无关，需让含参数的代数式为 0，同时让另一个代数式也为 0，列出方程组并求解，得到的解即为方程的固定解。
，则
∴
故答案为．
24. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：一盒水笔120元，一包笔记本80元；任务2：有三种方案，①购买水笔6盒，笔记本2包；②购买水笔4盒，笔记本5包；③购买水笔2盒，笔记本8包
【解析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据购买数量和费用的关系列出方程组。
【详解】解：任务1
设一盒水笔的单价为x元，一包笔记本的单价为y元。根据 “购买 2 盒水笔和 1 包笔记本需 320 元”，得2x+y=320；根据 “购买 3 盒水笔和 2 包笔记本需 520 元”，得3x+2y=520。将两个方程联立成方程组，用加减消元法求解：将第一个方程乘 2 后减去第二个方程，消去y，求出x=120，再将x=120代入第一个方程，求出y=80，即得到水笔和笔记本的单价。
由题意得，，
解得，
答：一盒水笔120元，一包笔记本80元；
任务2
设购买水笔m盒，笔记本n包（m、n均为正整数），根据 “总费用 880 元” 列出方程120m+80n=880，整理得3m+2n=22，将其变形为​。因为m、n是正整数，所以22−3m必须是正偶数，即3m为偶数且22−3m>0。依次取m=2、4、6，分别求出对应的n=8、5、2，均符合正整数要求，得到三种购买方案。
当时，，即购买水笔6盒，笔记本2包．
当时，，即购买水笔4盒，笔记本5包．
当时，，即购买水笔2盒，笔记本8包．
则有三种方案，分别为①购买水笔6盒，笔记本2包；②购买水笔4盒，笔记本5包③购买水笔2盒，笔记本8包；
25. 如图，型卡片是边长为的正方形，型卡片是边长为的正方形，型卡片是长和宽分别为，的长方形．
（1）选取1张型卡片，2张型卡片，1张型卡片，请在下面图①的方框中画出拼得的正方形示意图（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），并完成填空．
你画的正方形的面积既可以表示为________，又可以表示为________，所以可得等式________．
（2）请利用型，型，型若干张拼出一个面积为的长方形，并在图②的方框中画出示意图．研究拼图发现等式________．
（3）选取1张型卡片，1张型卡片按图③的方式放在一起，、、在一条直线上，已知是的中点，若，，则阴影部分的面积为________．
（4）选取1张型卡片，3张型卡片按图④的方式不重叠地放在长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，则当与满足________时，为定值________．
【答案】（1）图见解析，，；
（2）图见解析，
（3）
（4）；
【解析】
本题考查完全平方公式的几何验证，用不同的卡片拼接正方形，从 “边长求面积” 和 “卡片面积和” 两个角度表示正方形的面积，从而得到代数等式。
【小问1详解】
用 1 张 A 型（边长a的正方形）、2 张 C 型（长a宽b的长方形）、1 张 B 型（边长b的正方形）可拼成一个边长为a+b的大正方形。从边长角度，大正方形的面积为；从拼接的卡片面积和角度，大正方形的面积为。同一图形的面积相等，因此可得完全平方公式。
拼图示意：
【小问2详解】
本题考查多项式乘法的几何验证，先将多项式分解因式得到长方形的长和宽，再用卡片拼出对应长方形，从两个角度表示面积得到等式。
面积为的长方形，将多项式分解因式得
如图所示，即为所求；
【小问3详解】
本题考查几何图形的面积计算，结合中点的性质和正方形的边长，用边长表示出阴影部分两个三角形的底和高，再求和计算总面积。
由题意，是的中点，
∵，，
∴，
∴
代入数据得阴影部分的面积；
【小问4详解】
本题考查整式的化简与定值问题，先根据图形表示出S1​和S2​的面积，结合化简得到关系式，再根据 “定值与变量无关” 的条件求解。
解：由题知，，
∴
，
∵为定值，
∴，
∴，
∴
故答案为：；．设计奖项设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，需考虑获奖人数以及奖品购买方案
素材1
已知购买2盒水笔和1包笔记本需要320元，3盒水笔和2包笔记本需要520元．
素材2
学校准备出资880元购买水笔和笔记本两种奖品．
问题解决
任务1
确定单价
求一盒水笔和一包笔记本各多少元？
任务2
确定购买数量
将880元全部用完，可以购买水笔多少盒？笔记本多少包？