江苏省苏州市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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满分100分，考试时间120分钟．
一、选择题（每题2分，共16分）
1. 等于（ ）.
A. 0.5B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据负指数的运算规则计算，可得答案．
【详解】解：，
故选：D
【点睛】本题考查了负指数，掌握负指数的运算规则是解题关键．
2. 2019新型冠状光病毒的直径是0.00012mm，将0.00012用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据科学记数法的表示方法表示即可．
【详解】0.00012=．
故选C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示,关键在于牢记表示方法．
3. 如果4x2+2kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A. 10B. ±10C. 20D. ±20
【答案】B
【解析】
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了完全平方式的逆用，即，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4. 下列等式从左往右因式分解正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将多项式写出几个整式的积的形式叫作因式分解，根据定义判断即可．
【详解】解：A、等式右边是多项式，不符合定义，故不符合题意；
B、，计算错误，故不符合题意；
C、是整式乘法，不符合定义，故不符合题意；
D、符合定义，计算正确，故符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解的定义，熟记定义及正确掌握因式分解的方法是解题的关键．
5. 如图，，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，然后根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图：
∵，，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角度定理，掌握以上知识是解题的关键．
6. 如图，为的中线，为的中线．若的面积为12，，则中边上的高为（ ）
A. 1B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形中线平分三角形的面积得到的面积是3，设中边上的高h，列得，求出h即可．
【详解】解：∵为的中线，的面积为12，
∴的面积为6，
∵为的中线，
∴的面积是3，
设中边上的高h，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形中线的性质：三角形的中线平分三角形的面积，熟记该性质是解题的关键．
7. 如图，已知，和分别平分和，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作，过点作，易证与、，与、间关系．再由角平分线的性质及角的和差关系计算得结论．
【详解】解：过点作，过点作，
，，，
，
，，，．
，
．
又和分别平分和，
，
①，
②．
①②，得，
③．
①③，得．
．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质及角的和差关系．根据平行线的性质得到，是解决本题的关键．
8. 在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号．如记，已知，则m的值是（ ）
A. -40B. 20C. -24D. -20
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次项的系数为3，可得n=4，然后列出算式进行计算，再根据常数项相等解答即可．
【详解】解：∵二次项的系数为3，
∴n=4，
∴
=
=
又∵，
∴m=20．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的乘方、数学常识、整式的混合运算，解决本题的关键是理解题目中所给已知等式的意义．
二、填空题（每题2分，共16分）
9. ______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据零指数幂的运算法则计算．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了零指数幂，熟练掌握零指数幂的运算法则是解题的关键．
10. 因式分解：______．
【答案】y（2x+3）（2x-3）
【解析】
【分析】先提取公因式，然后按平方差公式继续分解即可．
【详解】解：4x2y−9y
=y（4x2-9）
=y（2x+3）（2x-3）．
故答案为：y（2x+3）（2x-3）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
11. 已知，，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】运用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则求解即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法、幂的乘方法则的逆用等知识点，掌握运算过程中指数的变化规律是解答本题的关键．
12. 已知则＝____．
【答案】16
【解析】
【分析】先利用平方差公式进行因式分解，再代入题目给出的s+t=4，再提取公因式得到4(s+t)，最后得出答案．
【详解】原式=(s+t)(s-t)+8t
=4(s-t)+8t
=4s-4t+8t
=4(s+t)
=4×4
=16；
故答案为：16
【点睛】本题考查由给定式子值求另一个式子值，考查了平方差公式和提取公因式的运用，掌握求解的方法是解题关键．
13. 已知方程组，则的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】方程组中的两个方程相减，即可得出答案．
【详解】解：，
得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求出结果是解此题的关键．
14. 因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为____．
【答案】
【解析】
【分析】分别将甲乙两人的分解结果利用多项式乘法公式进行计算，然后取两人没看错的系数进行组合，重新分解因式.
【详解】解：甲错了a的值，，
，
乙看错了b值，，
，
分解因式正确的结果：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，根据两人的分解结果得到原本的多项式是解题的关键．
15. 如图，点C是线段上的一点，以、为边在的两侧作正方形，设，两个正方形的面积和，则图中阴影部分面积为____．

【答案】4
【解析】
【分析】设，，可得，，根据完全平方公式求出即可．
【详解】解：设，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
由完全平方公式可得，，
∴，
∴，
∴，
即：阴影部分的面积为4．
故答案是：4．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
16. 如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE．设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2＝___．
【答案】1
【解析】
【分析】S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可．
【详解】解：∵BE＝CE，
∴BE＝BC，
∵S△ABC＝6，
∴S△ABE＝S△ABC＝×6＝3.
∵AD＝2BD，S△ABC＝6，
∴S△BCD＝S△ABC＝×6＝2，
∵S△ABE﹣S△BCD＝（S△ADF＋S四边形BEFD）﹣（S△CEF＋S四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF，
即S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD＝3﹣2＝1.
故答案为：1
【点睛】本题考查三角形面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差．
三、解答题 （共68分）
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）首先计算同底数幂相乘，幂的乘方和积的乘方，然后合并即可．
（2）首先计算单项式乘多项式和完全平方公式，然后合并即可．
（3）首先根据平方差化解，然后根据完全平方公式求解即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，整式的乘法运算，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
18. 因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）直接提取公因式即可解答；
（2）先运用平方差公式分解，再运用完全平方公式分解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握运用提取公因式法和公式法因式分解是解答本题的关键．
19. 先化简，再求值：（m－2n）（m＋2n）－（m－2n）2＋4n2，其中m＝－2，n＝．
【答案】－4n2＋4mn，-5
【解析】
【分析】先按照平方差公式与完全平方公式进行整式的乘法运算，再合并同类项，再把代入求值即可.
【详解】解：原式＝m2－4n2 －（m2－4mn＋4n2）＋4n2
＝m2－4n2 －m2＋4mn－4n2＋4n2
＝－4n2＋4mn
把代入上式，
原式＝
＝－1－4＝－5
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，考查平方差公式与完全平方公式，掌握利用乘法公式进行简便运算是解题的关键.
20. 画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸中将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点C的对应点C′．
（1）请画出平移后的△A′B′C′；
（2）若连接AA′，BB′，则这两条线段之间的关系是 ；
（3）利用网格画出△ABC中AC边上的中线BD；
（4）在平移过程中，线段AB扫过的面积为 ．
【答案】（1）见解析 （2）平行且相等
（3）见解析 （4）20
【解析】
【分析】(1)利用点C和C′的位置确定平移的方向与距离，然后利用此平移规律画出A、B的对应点A′，B′即可；
(2)根据平移的性质进行判断即可；
(3)利用网格特点和三角形的中线的定义作图即可；
(4)根据平行四边形的面积公式计算即可求得．
【小问1详解】
解：由图中点C与对应点C′的位置可知：把点C，先向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度(或先向上平移5个单位长度，再向右平移4个单位长度)，得到点C′
故△ABC按此规律平移可得△A′B′C′
画图如下：
【小问2详解】
解：如图：
根据平移的性质可知：且
故答案为：平行且相等
【小问3详解】
解：如图：
BD即为AC边上的中线
【小问4详解】
解：在平移过程中，四边形为平行四边形
，向右平移的距离为4
故线段AB扫过的面积为：
故答案为：20
【点睛】本题考查了作图−−平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
21. 如图，F是上一点，于点是上一点，于点，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据垂直的性质得到，利用平行线的性质得到，即可求证．
【详解】证明：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
又∵
∴，即
∴
【点睛】此题考查了垂直、平行线判定与性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
22. 如图，CD是△ABC的角平分线，点E是AC边上的一点，.
（1）求证：；
（2），，求∠DEC的度数.
【答案】（1）证明见解析；（2）110°.
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，从而求出，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）根据三角形的外角性质得，可求出，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【详解】（1）∵CD是△ABC的角平分线，
∴
∵
∴
∴（内错角相等，两直线平行）；
（2）∵∠BDC是△ADC的外角
∴
∴
∴
∴.
故答案为（1）证明见解析；（2）110°.
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，三角形的外角性质，准确识别图形是解题的关键．
23. 我市公交总公司为节约资源同时惠及民生，拟对一些乘客数量较少的路线换成中巴车，该公司计划购买10台中巴车，现有甲、乙两种型号，已知购买一台甲型车比购买一台乙型车少10万元，购买3台甲型车比购买2台乙型车多30万元．
（1）问购买一台甲型车和一台乙型车分别需要多少万元？
（2）经了解，每台甲型车每年节省2.5万元，每台乙型车每年节省2.1万元，若要使购买的这批中巴车每年至少能节省21.8万，则购买甲型车至少多少台？
【答案】（1）购买一台甲型车和一台乙型车分别需要50万元、60万元
（2）购买甲型车至少2台
【解析】
【分析】（1）设购买一台甲型车和一台乙型车分别需要万元、万元，根据购买一台甲型车比购买一台乙型车少10万元，购买3台甲型车比购买2台乙型车多30万元，列出方程组进行求解即可；
（2）购买甲型车台，则乙型车购买台，根据要使购买的这批中巴车每年至少能节省21．8万，列出不等式进行求解即可．
【小问1详解】
设购买一台甲型车和一台乙型车分别需要万元、万元，
由题意，得：，解得，
答：购买一台甲型车和一台乙型车分别需要50万元、60万元；
小问2详解】
设购买甲型车台，则乙型车购买台，由题意，得：
，
解得：；
答：购买甲型车至少2台．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组和不等式，是解题的关键．
24. 甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为，．

（1）填空：___________（用含m的代数式表示）；
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．设该正方形的面积为，试探究：与的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．
（3）若另一个正方形的边长为正整数n，并且满足条件的n有且只有4个，求m的值．
【答案】（1）
（2）是常数，19 （3）3
【解析】
【分析】（1）利用长方形的面积公式求出，再进行减法运算即可；
（2）先求出正方形的周长，进而求出正方形的边长和面积，再进行求解即可得出结论；
（3）根据满足条件的n有且只有4个，进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：
；
故答案为：；
【小问2详解】
是常数；
∵正方形的周长，
∴正方形的边长为，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
∵，
∴，
∵满足条件的n有且只有4个，
∴，
∴，
∵为正整数，
∴．
【点睛】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，整式加减的实际应用，根据一元一次不等式组的解集的情况，求参数．解题的关键是熟练掌握长方形的面积公式，以及相关运算法则．
25. 阅读并解决问题．
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，请用“配方法”解决以下问题．
（1）利用“配方法”分解因式：；
（2）19世纪的法国数学家苏菲热门解决了“把分解因式”这个问题：，请你把因式分解；
（3）若，求m和n的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将多项式加4再减去4，利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（2）将多项式加再减去，利用完全平方公式和平方差公式分解即可；
（3）已知等式变形后，利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
【小问2详解】

【小问3详解】
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方差公式，偶次方，分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
26. 直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E、F，在△AEF中，如果有两个角度数的比是3：2，请直接写出∠ABO的度数 ．
【答案】（1）不变，135° （2）不变，67.5° （3）60°或72°
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的意义求解；
（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB＝90°，进而得出∠OAB+∠OBA＝90°，故∠PAB+∠MBA＝270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F＝45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE＝112.5°，进而得出结论；
（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由两个角度数的比是3：2分四种情况进行分类讨论．
【小问1详解】
∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE= (∠OAB+∠ABO)＝45°，
∴∠AEB＝135°；
【小问2详解】
∠CED的大小不变．
如图，延长AD、BC交于点F．
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠PAB+∠MBA＝270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD=∠BAP，∠ABC=∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC= (∠PAB+∠ABM)＝135°，
∴∠F＝45°，
∴∠FDC+∠FCD＝135°，
∴∠CDA+∠DCB＝225°，
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，
∴∠CED＝67.5°；
【小问3详解】
∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E＝∠EOQ−∠EAO= (∠BOQ−∠BAO)= ∠ABO，
∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAF＝90°．
在△AEF中，
∵有两个角度数的比是3：2，故有：
∠EAF：∠E=3：2，∠E＝60°，∠ABO＝120°（舍去）；
∠EAF：∠F=3：2，∠E＝30°，∠ABO＝60°；
∠F：∠E=3：2，∠E＝36°，∠ABO＝72°；
∠E：∠F=3：2，∠E＝54°，∠ABO＝108°（舍去）．
∴∠ABO为60°或72°．
故答案为：60°或72°．
【点睛】本题考查三角形内角和与角平分线的综合应用，熟练掌握三角形内角和定理、平角的意义、角平分线的意义和比例的性质是解题关键．